Modelación y Estudio de las ecuaciones diferenciales en el dominio de Laplace utilizando MATLAB-SIMULINK
Modelación de Sistemas Dinámicos utilizando
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) Sistema Físico
Sistema (Físico) a modelar Función forzante y(t)
u(t) Respuesta del sistema Sistema Mecánico (sistema de
suspensión en los autos) Sistema Hidráulico
(llenado de un tanque) Sistema térmico (temperatura en un
horno) Sistema Eléctrico (velocidad de motores) Sistema
Fisiológico (efecto de una dosis en el cuerpo h. ) Sistema
Económico ( inflación) Sistema de producción
(producción entre máquinas) Relación
causal
Para obtener una ecuación diferencial, podemos utilizar:
Leyes físicas: que de acuerdo a la naturaleza del sistema,
rigen la relación causal entre las variables de
interés. Pruebas experimentales (análisis de la
respuesta transitoria del sistema ante una función
forzante conocida). Por analogías de comportamientos entre
sistemas que guardan un comportamiento similar, a pesar de ser de
naturaleza diferente. Aplicación de algoritmos y recursos
computacionales para procesar los datos obtenidos de pruebas
experimentales. …
Sistemas físico: Temperatura en un horno Horno Flujo de
Combustible: qi(t) Temperatura: T(t)horno Temperatura Flujo de
gas Relación causal
Sistema Físico:Llenado de un tanque Tanque Caudal de
entrada qi(t) Nivel: h(t); Caudal de Salida, qo(t)
Relación causal
Análisis de una ecuación diferencial lineal c. c.
c. Sistema (Físico) a modelar u(t): Comportamiento deseado
La respuesta y(t) de un sistema mecánico ante una
función forzante u(t) está definida por la
ecuación diferencial; y(0)= 2; y’(0) = 0
Función forzante y(t) u(t) Respuesta del sistema
Función forzante: u(t)
Analogía de Sistemas de Primer Orden K: Ganancia en estado
estable ?: Constante de tiempo (Gp:) qi(t) (Gp:) 0(t) (Gp:)
dq0(t) (Gp:) q (Gp:) dt (Gp:) d (Gp:) dt (Gp:) qi(t) (Gp:) +
q0(t) = (Gp:) R.A (Gp:) t (Gp:) + q0(t) =
La transformada de Laplace en la modelación, estudio y
solución de las ecuaciones diferenciales.
Relación entre f(t) y su equivalente F(s). f(t) tiempo j?:
Eje Imaginario ? : Eje real F(s) Plano Complejo: s = ? + j?
Ejemplos
Principales funciones a obtener de una ecuación
diferencial: G(s) y Y(s) Al aplicar la Transformada de Laplace a
una ecuación diferencial, dos expresiones son de gran
interés: 1) Y(S): La función respuesta de un
sistema. (incluye las c.i. y a la función forzante) ;
Función de transferencia del sistema (considera c.i.=0 y
no se sustituye la función forzante. (Gp:) jw (Gp:) ?
(Gp:) x o o x x Tanto G(s) como Y(s) estan formadas por los
términos:
G(s) y Y(s) (Gp:) jw (Gp:) ? (Gp:) X -0.1 Para la ecuación
diferencial Solución: (Gp:) jw (Gp:) ? (Gp:) o X X -0.3
-0.1 0 Obtener: a) G(s) y, b) Y(s)
Obtención del valor inicial y final de y(t) (Gp:) jw (Gp:)
? (Gp:) o X X -0.3 -0.1 0 (Gp:) 2.4 (Gp:) 0.8 (Gp:) t Polo
dominante
Gráfica aproximada de y(t) a partir de Y(s) Un horno que
se encuentra a 80°C se apaga para su enfriamiento. Considere
que la relación Temperatura-flujo combustible, es
representada por la ecuación Diferencial: 200y´(t) +
y(t) = K u(t). Obtenga, y(0) y y(?) Teorema de valor inicial:
Teorema del valor final: t 80 ºC 0 ºC
Programa MATLAB-SIMULINK (basado en la representación a
bloques) Para modelar y analizar los elementos de una
ecuación diferencial a partir de las ecuaciones de un
sistema físico. Obtener la respuesta en el tiempo para una
función Y(s). Obtener las gráficas de las
diferentes variables dentro de mismo sistema físico, sin
requerir obtener su representación en el tiempo.
…
Modelación de una ecuación diferencial mediante
Diagrama a bloques. Caudal de salida Caudal Acumulado = Qi(s) +
Qo(s) H(s) Qo(s) Qi(s) – Qo(s) Caudal de entrada
Simulación del sistema hidráulico utilizando la
herramienta computacional Matlab-Simulink
Dos Tanques H(s) Qi(s) Qi(s) – Q01(s) – Q02(s) Q01(s)
Q02(s) – + –
Modelaciòn y simulación del sistema de dos tanques
mediante SIMULINK.
Gráficas de Simulación (tanque_1entrada_2salidas)
Flujo de salida q02(t) Flujo de salida q02(t) h(t): Altura (nivel
de llenado) del tanque Qi(t): Flujo de entrada
Sistema: Masa-Resorte-Amortiguadoren la suspensión de un
auto Masa: m Amortiguador Resorte z(t): desplazamiento o
respuesta del sistema f(t)entrada: fuerza de entrada
Aplicación del sistema básico:
masa-resorte-amortiguador
Simulación mediante SIMULINK Z(s) k B s Fi(s) F(s)resorte
F(s)amortiguador Fi(s) – F(s)resorte – F(s)amortiguador = m
s2 Z(s) – + – fi(t) z(t)
Masa-Resorte-Amortiguador con SIMULINK
Paso por un bache sencillo
Masa-Resorte-Amortiguador en terrenos con superficie
rugosa.
Parte 1: Actividad en equipo(modificar el archivo
correspondiente) Para el caso del tanque con dos válvulas
de descarga: 1. Justifique el efecto sobre los dos flujos de
salida en ambas válvulas, si las dos válvulas
están igualmente abiertas: Rh1 = Rh2 = 2 2. Considere que
Rh1 =1.5 y Rh2 = 3 ¿Cómo se afecta la altura del
llenado del tanque, h(t), si se disminuye el valor del
área del tanque de un valor A = 4 m2, por el de A = 2
m2?
Parte 2: actividad Para la función Obtenga: Su
expansión en fracciones parciales sin calcular el valor de
los coeficientes. 2) ¿A qué función en el
tiempo corresponde cada uno de los término de la
expansión realizada en el inciso anterior? 3) Obtenga el
valor de y(0) y de y(?) a partir de la función Y(s).