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Modelación y Estudio de las ecuaciones diferenciales en el dominio de Laplace utilizando MATLAB-SIMULINK




Enviado por Pablo Turmero



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    Modelación de Sistemas Dinámicos utilizando
    Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) Sistema Físico
    Sistema (Físico) a modelar Función forzante y(t)
    u(t) Respuesta del sistema Sistema Mecánico (sistema de
    suspensión en los autos) Sistema Hidráulico
    (llenado de un tanque) Sistema térmico (temperatura en un
    horno) Sistema Eléctrico (velocidad de motores) Sistema
    Fisiológico (efecto de una dosis en el cuerpo h. ) Sistema
    Económico ( inflación) Sistema de producción
    (producción entre máquinas) Relación
    causal

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    Para obtener una ecuación diferencial, podemos utilizar:
    Leyes físicas: que de acuerdo a la naturaleza del sistema,
    rigen la relación causal entre las variables de
    interés. Pruebas experimentales (análisis de la
    respuesta transitoria del sistema ante una función
    forzante conocida). Por analogías de comportamientos entre
    sistemas que guardan un comportamiento similar, a pesar de ser de
    naturaleza diferente. Aplicación de algoritmos y recursos
    computacionales para procesar los datos obtenidos de pruebas
    experimentales. …

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    Sistemas físico: Temperatura en un horno Horno Flujo de
    Combustible: qi(t) Temperatura: T(t)horno Temperatura Flujo de
    gas Relación causal

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    Sistema Físico:Llenado de un tanque Tanque Caudal de
    entrada qi(t) Nivel: h(t); Caudal de Salida, qo(t)
    Relación causal

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    Análisis de una ecuación diferencial lineal c. c.
    c. Sistema (Físico) a modelar u(t): Comportamiento deseado
    La respuesta y(t) de un sistema mecánico ante una
    función forzante u(t) está definida por la
    ecuación diferencial; y(0)= 2; y’(0) = 0
    Función forzante y(t) u(t) Respuesta del sistema

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    Función forzante: u(t)

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    Analogía de Sistemas de Primer Orden K: Ganancia en estado
    estable ?: Constante de tiempo (Gp:) qi(t) (Gp:) 0(t) (Gp:)
    dq0(t) (Gp:) q (Gp:) dt (Gp:) d (Gp:) dt (Gp:) qi(t) (Gp:) +
    q0(t) = (Gp:) R.A (Gp:) t (Gp:) + q0(t) =

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    La transformada de Laplace en la modelación, estudio y
    solución de las ecuaciones diferenciales.

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    Relación entre f(t) y su equivalente F(s). f(t) tiempo j?:
    Eje Imaginario ? : Eje real F(s) Plano Complejo: s = ? + j?
    Ejemplos

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    Principales funciones a obtener de una ecuación
    diferencial: G(s) y Y(s) Al aplicar la Transformada de Laplace a
    una ecuación diferencial, dos expresiones son de gran
    interés: 1) Y(S): La función respuesta de un
    sistema. (incluye las c.i. y a la función forzante) ;
    Función de transferencia del sistema (considera c.i.=0 y
    no se sustituye la función forzante. (Gp:) jw (Gp:) ?
    (Gp:) x o o x x Tanto G(s) como Y(s) estan formadas por los
    términos:

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    G(s) y Y(s) (Gp:) jw (Gp:) ? (Gp:) X -0.1 Para la ecuación
    diferencial Solución: (Gp:) jw (Gp:) ? (Gp:) o X X -0.3
    -0.1 0 Obtener: a) G(s) y, b) Y(s)

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    Obtención del valor inicial y final de y(t) (Gp:) jw (Gp:)
    ? (Gp:) o X X -0.3 -0.1 0 (Gp:) 2.4 (Gp:) 0.8 (Gp:) t Polo
    dominante

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    Gráfica aproximada de y(t) a partir de Y(s) Un horno que
    se encuentra a 80°C se apaga para su enfriamiento. Considere
    que la relación Temperatura-flujo combustible, es
    representada por la ecuación Diferencial: 200y´(t) +
    y(t) = K u(t). Obtenga, y(0) y y(?) Teorema de valor inicial:
    Teorema del valor final: t 80 ºC 0 ºC

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    Programa MATLAB-SIMULINK (basado en la representación a
    bloques) Para modelar y analizar los elementos de una
    ecuación diferencial a partir de las ecuaciones de un
    sistema físico. Obtener la respuesta en el tiempo para una
    función Y(s). Obtener las gráficas de las
    diferentes variables dentro de mismo sistema físico, sin
    requerir obtener su representación en el tiempo.

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    Modelación de una ecuación diferencial mediante
    Diagrama a bloques. Caudal de salida Caudal Acumulado = Qi(s) +
    Qo(s) H(s) Qo(s) Qi(s) – Qo(s) Caudal de entrada

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    Simulación del sistema hidráulico utilizando la
    herramienta computacional Matlab-Simulink

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    Dos Tanques H(s) Qi(s) Qi(s) – Q01(s) – Q02(s) Q01(s)
    Q02(s) – + –

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    Modelaciòn y simulación del sistema de dos tanques
    mediante SIMULINK.

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    Gráficas de Simulación (tanque_1entrada_2salidas)
    Flujo de salida q02(t) Flujo de salida q02(t) h(t): Altura (nivel
    de llenado) del tanque Qi(t): Flujo de entrada

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    Sistema: Masa-Resorte-Amortiguadoren la suspensión de un
    auto Masa: m Amortiguador Resorte z(t): desplazamiento o
    respuesta del sistema f(t)entrada: fuerza de entrada

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    Aplicación del sistema básico:
    masa-resorte-amortiguador

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    Simulación mediante SIMULINK Z(s) k B s Fi(s) F(s)resorte
    F(s)amortiguador Fi(s) – F(s)resorte – F(s)amortiguador = m
    s2 Z(s) – + – fi(t) z(t)

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    Masa-Resorte-Amortiguador con SIMULINK

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    Paso por un bache sencillo

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    Masa-Resorte-Amortiguador en terrenos con superficie
    rugosa.

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    Parte 1: Actividad en equipo(modificar el archivo
    correspondiente) Para el caso del tanque con dos válvulas
    de descarga: 1. Justifique el efecto sobre los dos flujos de
    salida en ambas válvulas, si las dos válvulas
    están igualmente abiertas: Rh1 = Rh2 = 2 2. Considere que
    Rh1 =1.5 y Rh2 = 3 ¿Cómo se afecta la altura del
    llenado del tanque, h(t), si se disminuye el valor del
    área del tanque de un valor A = 4 m2, por el de A = 2
    m2?

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    Parte 2: actividad Para la función Obtenga: Su
    expansión en fracciones parciales sin calcular el valor de
    los coeficientes. 2) ¿A qué función en el
    tiempo corresponde cada uno de los término de la
    expansión realizada en el inciso anterior? 3) Obtenga el
    valor de y(0) y de y(?) a partir de la función Y(s).

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