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Principio de Inducción Matemática

Enviado por Pablo Turmero





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Supóngase que tenemos la sucesión de números naturales con la propiedad de que dichos números son de color rojo. 1,2,3,4,5,6,7... Supongamos que: El primer natural es de color rojo (1). Si todos los naturales que preceden al (n+1)-ésimo son de color rojo, entonces el (n+1)-ésimo número es de color rojo (2). Para demostrar que el número 8 es de color rojo, se observa que todos los que preceden al 7 y, por (2) el número 7 también es de color rojo. Este ejemplo ilustra el Principio de Inducción Matemática

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Inducción Matemática Ejemplo: Denótese por Sn=1+2+3+4+...+n (1) Consideremos que se afirma que: Sn=n(n+1)/2 para n=1,2,... (2) Se ha elaborado una sucesión de proposiciones, a saber S1=1(2)/2=1 S2=2(3)/2=3 S3=3(4)/2=6

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Supóngase que cada ecuación verdadera está marcada con una “X”. Dado que la primera ecuación es verdadera, S1=1(2)/2 X S2=2(3)/2 X S3=3(4)/2 X Sn-1=(n-1)n/2 X Sn=n(n+1)/2 X Sn+1=(n+1)(n+2)/2 ?

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Supóngase ahora que puede demostrarse que si todas las ecuaciones que preceden a la (n+1)-ésima ecuación están señaladas, entonces la (n+1)-ésima ecuación también lo está. Debe probarse que si todas las ecuaciones que preceden a la (n+1)-ésima son verdaderas, entonces la (n+1)-ésima ecuación también es verdadera. Sn+1=1+2+3+...+n+(n+1) =Sn+(n+1) =n(n+1)/2+(n+1) =(n+1)(n+2)/2

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Principio de Inducción Matemática: Supóngase que se tiene una proposición S(n) para cada entero positivo n, la cual es verdadera o falsa. Consideremos que Paso Básico: S(1) es verdadera Paso Inductivo: si S(i) es verdadera para todo i< n+1, entonces S(n+1) es verdadera.

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Ejemplo: Use inducción para demostrar que si a es distinto de 1, (Suma Geométrica). 1+a1+a2+...+an=(an+1-1)/(a-1) (1) Paso Básico: Se obtiene cuando n=0, 1=(a1-1)/(a-1), lo cual es verdadero. Paso Inductivo:Supongamos que la proposición es verdadera para n. Ahora 1+a1+a2+...+an+an+1 =(an+1-1)/(a-1)+an+1 =(an+1-1)/(a-1)+(an+1(a-1))/(a-1) =(an+2-1)/(a-1) Como el paso básico y el paso inductivo ya han sido verificados, el principio de inducción matemática establece que (1) es verdadera para n=0,1,2,...

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Definición Un grafo es una conjunto de vértices V y un conjunto de arcos E,tal que Así E, es simplemente una relación binaria en el conjunto V.

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Definición Un grafo simple es una conjunto de vértices V y un conjunto de arcos E, donde cada arco es una par no ordenado de distintos vértices a y b. El grado de un vértice es el número de arcos que se conectan a el. Ejercicio: Dibuje un grafo con 3 vértices de grado 2,2 y 1.

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