Programación lineal en la investigación de operaciones

El presente Módulo de Autoaprendizaje titulado: "Investigación de Operaciones: PROGRAMACIÓN LINEAL" se ha elaborado para los alumnos de la escuela profesional de Ingeniería en Energía del curso de Investigación de Operaciones a fin de ayudar en el aprendizaje de esta amplia disciplina y cubriendo algunas necesidades pedagógicas.

El módulo se ha elaborado teniendo en cuenta las diversas metodologías existentes en los libros y adaptándolo a las necesidades pedagógicas propias de los estudiantes y, se ha dividido en cinco sesiones de aprendizaje considerando algunas actividades de atajo por cada tema donde el alumno tiene que ir comprobando su aprendizaje y al finalizar cada sesión se considera una auto evaluación. Los alumnos no podrán pasar a la siguiente sesión si no han desarrollado todas las actividades planteadas.

El contenido de las sesiones son los siguientes:

Sesión 01 : Fundamento Básicos de Investigación de Operaciones, orienta a los estudiantes en el contexto de la metodología de investigación de operaciones brindando las principales definiciones, sus campos de aplicación y las técnicas de investigación de operaciones desarrolladas.

Sesión 02 : Fundamentos de Programación Lineal, introduce al conocimiento de la técnica de programación lineal, construyendo sus modelos y la descripción de cada uno de sus elementos; se formula modelos a partir de situaciones problemáticas dándolo solución por el método grafico. Adicionalmente a ello se estudia el problema de Asignación, Transporte y de la dieta.

Sesión 03 : Método Simplex Primal, los alumnos aprenderán a resolver los modelos de Programación Lineal haciendo uso del algoritmo simplex primal dando un interpretación administrativa a los resultados y asignándolo un tipo de solución.

Sesión 04 : El Problema Dual y El Método Simplex Dual, el alumno construirá un problema dual a partir del problema primal brindando los resultados del dual a partir de la solución del Primal. Además, aprenderá el algoritmo Simplex Dual como una alternativa de solución de problemas de PL que se ajuste a las condiciones de esta técnica.

Sesión 05 : Análisis de Sensibilidad, el alumno estará en la capacidad de interpretar los resultados de la técnica de programación lineal, evaluando las posibilidades el incrementos o disminución de sus recursos y/o utilidades (costos) respetando las condiciones de factibilidad y optimidad respectivamente.

Con este módulo de autoaprendizaje pretendo contribuir en el campo pedagógico de la enseñanza de la investigación de operaciones de los estudiantes de Ingeniería y está abierta a cualquier sugerencia o crítica constructiva a fin de seguir mejorando y que es la razón de ser de todo profesional.

Investigación de operaciones

• 1. DEFINICIONES DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES.

"La I.O. puede describirse como un enfoque científico de la toma de decisiones que requiere la operación de sistemas organizaciones".

Hiller y Lieberman

"La I.O. comprende los métodos y modelos de matemáticas aplicadas para resolver problemas de operaciones complejas".

Comisión Presidencial sobre Seguridad de la

Aviación de los EEUU de Norteamérica.

"La I.O. es la aplicación de métodos científicos, técnicas y herramientas a problemas que involucran las operaciones de sistemas además de proveer a éstos, de soluciones óptimas en los problemas sobre control de sus operaciones".

Churchman, Ackoff y Arnoff

"La I.O. comprende la aplicación del método científico al estudio de organizaciones o actividades grandes y complejas"

Concejo Nacional de Investigación de Gran Bretaña

"Se define la I.O. como la aplicación del método científico al análisis y solución de problemas de decisión gerencial"

Turban y Meredith

"Se utiliza aquí el termino I.O. como el análisis del uso de los modelos matemáticos como un auxiliar en el proceso de la toma de decisiones"

Buffa y Dyer

Tomado del material de estudio del curso Técnicas de Investigación Operativa de la Maestría en administración de operaciones, de la Universidad de Tecnológica de Santiago, República Dominicana.

SECUENCIA OPERATIVA DE UN ESTUDIO DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES.

Tomado del material de estudio del curso Técnicas de Investigación Operativa de la Maestría en administración de operaciones, de la Universidad de Tecnológica de Santiago, República Dominicana.

• 2. CAMPOS DE APLICACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES.

La investigación de operaciones aborda temas que responde a preguntas que se formulan a continuación:

Cuál es la forma más eficiente de asignar ciertos recursos escasos para conseguir la más alta tasa de retorno? ¿Cuál es la mejor manera de asignar rutas a una flotilla de transporte de bienes que deben ser colocados en bodegas de distribuidores para que los costos sean más bajos? ¿Cuántas ventanillas deben colocarse en un banco en las horas normales y en las horas y días pico para que los clientes no se desesperen y se retiren al banco que está cruzando la calle (competencia)?

঩quest;Cuántas cajas registradoras debe habilitar un supermercado para que el largo de las colas no entorpezcan la circulación de los clientes que aún están comprando y de los trabajadores que colocan mercadería, etiquetan y dan atención al público? ¿De qué manera debe asignarse un presupuesto en una industria (o en un sector de la economía de un país), para que se satisfaga la demanda interna y externa del bien o servicio que produce?

঩quest;Cuál será la demanda de líneas telefónicas para el año 2010, teniendo en cuenta el crecimiento natural de la población, el cambio de sus hábitos, la producción, el número de profesionales, escuelas, comercios, etcétera, que habrán en ese entonces? ¿Será posible hacer predicciones (aproximadas por supuesto) de cuántas escuelas, comercios, profesionales, etcétera, habrá en el año 2010? , etc. Es muy oportuno porque es en estos casos donde los especialistas en esta disciplina pueden apoyar a los demás.

Como se podrá notar el campo de la investigación de operación es diverso: se puede aplicar en cualquier Actividad Humana pero primordialmente en la Administración, economía, industria e Ingeniería, siempre buscando optimizar sus recursos.

• 3. TÉCNICAS DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES.

Entre la técnicas mas utilizadas de investigación de operaciones podemos citar lo siguiente:

Programación Lineal y Entera.: Consiste en formular problemas en términos de modelos matemáticos conducidos a maximizar o minimizar los beneficios o costos. La programación lineal varia un tanto de la programación entera en respecto a la técnica para encontrar los resultados en función de los valores que asume.

Programación Dinámica.- La programación dinámica se utiliza tanto en problemas lineales como no lineales. Es útil para resolver un problema donde se deben tomar una serie de decisiones interrelacionadas. A diferencia de la Programación Lineal la programación dinámica no tiene formulación matemática estándar. Se trata de un enfoque de tipo general para la solución de problemas, y las ecuaciones se derivan de las condiciones individuales de los mismos.

Programación y evaluación de proyectos con PERT – CPM.: Esta técnica para la planificación de proyectos es un instrumento gerencial por excelencia, ya que permite alࠥjecutivo planear y mantener un control muy preciso durante la ejecución de los mismos.

Teoría de Inventarios.- se crea un inventario cuando el volumen de materiales, partes o bienes terminados que se recibe es mayor que el volumen de los mismos que se distribuye; el inventario se agota cuando la distribución es mayor que la recepción de materiales. La teoría de inventarios se dedica a estudiar diversos modelos de administración de inventarios de tal forma que nos permita mantener recursos disponibles necesarios sin incurrir en costos cuando suceda su faltante o un exceso. Entre varios métodos que nos permiten tener un inventario optimo entre ellos tenemos: Clasificación ABC, modelo JUST IN TIME ( JIT ), Modelo de Planeación de Requerimientos de Materiales (MRP), Modelo EOQ con demanda determinística, etc.

Teoría de Decisiones.- cada uno de nosotros siempre tomamos decisiones influenciados por diversos factores internos o externos pudiendo ser el resultado de estas decisiones favorable o desfavorable. En algunos casos los resultados de las decisiones son previsibles pero otros casos existe una gran incertidumbre. La teoría de decisiones se basa en el estudio de la toma de decisiones haciendo uso de las probabilidades basados en informaciones previas de tal forma que las posibilidades de acertar en una decisión sean calculadas previamente. Algunas de las técnicas son: teoría de BAYES, el criterio MÍNIMAX, MAXIMIN, MÁXIMAX, etc.

Teoría de Colas.- Las colas es una palabra común en nuestra vida por ejemplo si queremos sacar el dinero de un cajero automático, cuando vamos a atendernos a un hospital, maquinas descompuestas que esperan ser reparadas, etc todo esto trae como consecuencia incomodidad y costos inmersos en el hecho de realizar las colas. Esta teoría se basa en elaborar ciertas técnicas en reducir las molestias volviendo mas eficiente el sistema y por ende la reducción de los costos.

Teoría de Juegos.- consiste en razonamientos circulares, los cuales no pueden ser evitados al considerar cuestiones estratégicas. Por naturaleza, a los humanos no se les va muy bien al pensar sobre los problemas de las relaciones estratégicas, pues generalmente la solución es la lógica a la inversa.

En la Teoría de Juegos la intuición no es muy fiable en situaciones estratégicas, razón por la que se debe entrenar tomando en consideración ejemplos instructivos, sin necesidad que los mismos sean reales.

La Teoría de Juegos actualmente tiene muchas aplicaciones, sin embargo, la economía es el principal cliente para las ideas producidas por los especialistas en Teoría de Juego. Entre las disciplinas donde hay aplicación de la Teoría de Juegos tenemos: La economía, la ciencia política, la biología y la filosofía.

• 4. MODELOS EN INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES.

Un modelo es una representación de la realidad como un producto de análisis para efectos de su estudio.

Tipos de Modelos:

• Modelo Icónico: Es concreto, representación de un objeto de la vida real (fotografía, maqueta).

• Modelo Simbólico: Una curva de demanda en economía.

• Modelo Matemáticos: Las ecuaciones en este punto se propone la hipótesis de que el modelo es la representación real de la situación problemática.

Este tipo de modelo es el que hace uso la investigación de operaciones.

AUTOEVALUACION

Desarrollo Individual

• 1) Escribir un concepto de investigación de operaciones.

• 2) Explique mediante un ejemplo la secuencia de pasos de un estudio de investigación de operaciones.

• 3) Elaborar un cuadro resumen de las técnicas de investigación de operaciones.

• 4) Explique mediante un ejemplo 3 técnicas de investigación de operaciones.

• 5) Escriba un concepto de modelo y brinde ejemplos de los tipos de modelos.

TRABAJO GRUPAL: Formar grupos de 5 alumnos e investigue los siguientes temas:

• Antecedentes históricos de la investigación de operaciones.

• Investigar en que áreas de su especialidad se han aplicado la investigación de operaciones.

Preparar un informe grupal y las diapositivas para la exposición en la siguiente clase.

PROGRAMACIÓN LINEAL

ANTECEDENTES HISTORICOS.

• Debido al éxito obtenido en las campañas de la segunda guerra mundial, entonces, en la década de 1950 se usa en la industria, los negocios y el gobierno.

• Dio origen a las carreras como ingeniería mecánica, química e Industrial.

• Inglaterra dio origen a esta disciplina y a los EEUU se le atribuye el rápido crecimiento gracias al método simplex desarrollado en 1947 por George Dantzing. Otras herramientas de IO son PL, P. Dinámica, Líneas de Espera y teorías de inventario hasta antes de terminar la década de 1950.

DEFINICIÓN DE PROGRAMACIÓN LINEAL.

Es una técnica matemática de análisis que permite determinar cual es la asignación más eficiente de los recursos limitados en actividades que desarrolla la empresa con el propósito de optimizar los objetivos de la organización, esto es, maximizar beneficios o minimizar costos.

ELEMENTOS DE UN MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL.

VARIABLES DE DECISIÓN:

Incógnitas del Modelo (X1, X2, X3, … , Xn)

PARAMETROS: Variables controlables del sistema. ( aij )

FUNCION OBJETIVO : Maximización o Minimización. ( Max Zo. Ó Min Zo. )

RESTRICCIONES: Expresadas como ecuaciones restrictivas, representan los recursos limites del sistema.

REGIÓN FACTIBLE. Son el conjunto de valores de Xi que verifican todas y cada una de las restricciones. Todo punto de esa región puede ser solución del problema; todo punto no perteneciente a ese conjunto no puede ser solución.

La solución óptima del problema será un par de valores (Xa, Xb) del conjunto factible que haga que f(Xa,Xb) tome el valor máximo o mínimo.

MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL

PROPIEDADES DE LA FORMA DE PL ESTANDAR

Todas las restricciones son ecuaciones (con los segundos miembros no negativos si el modelo se soluciona por medio del método simplex primal.

Todas las variables son no negativas.

La función objetivo puede ser la maximización o la minimización.

TIPOS DE VARIABLES EN UN MODELO DE PL

Si la restricción es de la forma ( entonces se suma una VARIABLE DE HOLGURA Si

Si la restricción es de la forma ( entonces se agrega una VARIABLE DE EXCESO – Si

Variables Artificiales (Ai) : Hace las veces de una variable de holgura en restricciones de la forma =

Variables No Básicas: Son aquellas variables que tienen valor igual a cero.

Variables Básicas: Son aquellos que cuyo valor son distintos de cero. Si son positivos se dicen que son Variables Básicas Factibles.

Variable Irrestricta (o no restringida) : yi puede representarse en términos de dos variables no negativas mediante la sustitución de:

FORMULACION Y SOLUCION DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL.

FORMULACION DE UN MODELO DE MAXIMIZACIÓN.

Problema Nº 01

En una urbanización se van a construir casas de dos tipos: A y B. La empresa constructora dispone para ello de un máximo de 1800 millones de ptas, siendo el coste de cada tipo de casa de 30 y 20 millones respectivamente. El Ayuntamiento exige que el número total de casas no sea superior a 80. Sabiendo que el beneficio obtenido por la venta de una casa de tipo A es de 4 millones y de 3 millones por una de tipo B ¿cuántas casas deben construirse de cada tipo para obtener el máximo beneficio?

Solución:

El modelo de programación lineal es el siguiente:

La solución se dará por el método grafico más adelante.

Ejercicio N° 01ࠠ

La fábrica LA MUNDIAL S.A., construye mesas y sillas de madera. El precio de venta al público de una mesa es de S/. 270 y el de una silla S/.110ࠌA MUNDIAL S.A.ࠥstima que fabricar una mesa supone un gasto de S/. 100 de materias primas y de S/. 140 de costos laborales. Fabricar una silla exige S/. 40 de materias primas y S/. 50 de costos laborales. La construcción de ambos tipos de muebles requiere un trabajo previo de carpintería y un proceso final de acabado (pintura, revisión de las piezas fabricadas, empaquetado, etc.). Para fabricar una mesa se necesita 1 hora de carpintería y 2 horas de proceso final de acabado. Una silla࠮ecesita 1 hora de carpintería y 1 hora para el proceso de acabado. LA MUNDIAL S.A. no tiene problemas de abastecimiento de materias primas ni de los costos laborales, pero sólo puede contar semanalmente con un máximo de 80 horas de carpintería y un máximo de 100 horas para los trabajos de acabado. Por exigencias del mercado, LA MUNDIAL S.A.ࠦabrica, como máximo, 40 mesas a la semana. No ocurre así con las sillas, para los que no hay ningún tipo de restricción en cuanto al número de unidades fabricadas.

Determinar el número de mesas y de sillas que semanalmente deberá fabricar la empresa para maximizar sus beneficios. Formular el Modelo de Programación Lineal.

FORMULACION DE UN MODELO DE MINIMIZACIÓN.

PROBLEMA N° 02࠼/b>

Una campaña para promocionar una marca de productos lácteos se basa en el reparto gratuito de yogures con sabor a limón o a fresa. Se decide repartir al menos 30.000 yogures. Cada yogurt de limón necesita para su elaboración 0,5 gr. de un producto de fermentación y cada yogurt de fresa necesita 0,2 gr. de ese mismo producto. Se dispone de 9 kgs. de ese producto para fermentación. El coste de producción de un yogurt de fresa es el doble que el de un yogurt de limón. ¿Cuántos yogures de cada tipo se deben producir para que el costo de la campaña sea mínimo?

Solución:

Luego del Modelo de Programación Lineal será

La solución se dará por el método grafico más adelante.

Ejercicio 2:

En una granja de pollos se da una dieta " para engordar" con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentran dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y cinco de B, y el tipo Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 1000 pesetas y el del tipo Y es de 3000 pesetas. Se pregunta:

¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo?. Formular el Modelo de Programación Lineal.

SOLUCION POR EL METODO GRAFICO.

Modelo de Maximización: considerando el modelo del problema 1

Realizando las operaciones algebraicas para obtener los valores de X1 y X2 en cada una de las restricciones:

En la restricción 1 (C1):

Por lo tanto la solución optima esta en el punto R (Por ser un problema de maximización)

Aquí la Z se vuelve el mayor posible.

X1 = 20

X2 = 60

ZR = 260

Se tiene la siguiente grafica:

Interpretación Administrativa:

La Empresa Constructora debe construir 20 y 60 casas de tipo A y tipo B respectivamente para obtener la máxima utilidad posible que representa a 260 millones de ptas. bajo las condiciones de disponibilidad de recursos financieros y demanda del mercado.

Ejercicio 3: Dar solución con el Método Gráfico al ejercicio 1 y dar una interpretación administrativa al resultado.

Respuesta:

Mesas = 20 unidades.

Sillas = 60 unidades.

Utilidad Máxima = S/. 1800

Modelo de Minimización: considerando el modelo del problema 2

Realizando las operaciones algebraicas para obtener los valores de X1 y X2 en cada una de las restricciones:

En la restricción 1 (C1):

Si X1 = 0,entonces, X2 =30000 Luego P1(X1,X2) = P1(0,30000) y Z1= 1(0)+2(30000)=60000

Si X2 = 0,entonces, X1 =30000 Luego P2(X1,X2) = P2(30000,0) y Z2= 1(30000)+2(0)=30000

P1 si forma parte de la solución.

En la restricción 2 (C2):

Si X1 = 0 ,entonces, X2 =45000 Luego P3(X1,X2) = P3(0,45000) y Z3=1(0)+2(45000) = 90000

Si X2 = 0 ,entonces, X1 =18000 Luego P4(X1,X2) = P4(18000,0) y Z4 = 1(18000)+2(0) = 18000

P3 si forma parte de la solución.

Calculando el punto (R) donde se interceptan las dos restricciones:

Resolviendo simultáneamente las dos ecuaciones.

Luego: X1 = 10000

PR(X1,X2) = PR(10000,20000)

Entonces: ZR = 1(10000) + 2(20000)

ZR = 50000

Por lo tanto la solución optima esta en el punto R (Por ser un problema de minimización)

Aquí la Z se vuelve el mínimo posible.

X1 = 10000

X2 = 20000

ZR = 50000

Se tiene la siguiente grafica:

Interpretación administrativa:

A fin de minimizar los costos de producción en la fabricación de yogurt con sabor a limón o fresa que se pretende promocionar en la campaña se recomienda producir 10000 y 20000 unidades de yogures de limón y fresa respectivamente obteniendo un costo mínimo total de 50000 unidades monetarias bajo las condiciones mínimas de demanda en la promoción y los insumos de productos de fermentación disponibles.

Ejercicio 4: Dar solución con el Método Gráfico al ejercicio 2 y dar una interpretación administrativa al resultado.

Respuesta:

Tipo X = 2.5 unidades.

Tipo Y = 2.5 unidades.

Costo Mínimo = 10000 ptas.

APLICACIONES DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL

Aunque surgió como aplicación a cuestiones de carácter logístico y militar, es la industria y la economía donde, posteriormente ha encontrado sus aplicaciones más importantes.

Así, por ejemplo, la Programación Lineal permite resolver problemas de mezclas, nutrición de animales, distribución de factorías, afectación de personal a distintos puestos de trabajo, almacenaje, planes de producción, escalonamiento de la fabricación, problemas de circulación, planes de optimización de semáforos, estudios de comunicaciones internas, etc.

Veamos algunas de las aplicaciones más importantes:

EL PROBLEMA DE ASIGNACIÓN.

Este problema administrativo consiste en colocar m recursos (personal
u objetos) a n tareas. Por ejemplo, una empresa puede asignar óptimamente
sus m empleados a n áreas de la empresa teniendo en cuenta el rendimiento
del empleado. Aquí se puede maximizar el rendimiento. Por otro lado se
puede minimizar los costos asociados que tiene el hecho de asignar un empleado
a un determinado departamento.

Procedimiento:

Caso minimización.

• 1. Determinar el menor costo para cada una de las filas.

• 2. Restar con ese valor a los demás costos de la fila.

• 3. Hacer lo mismo a nivel de columnas si es que alguna no se halla cubierto con ceros y restar con ese valor a los demás elementos de la columna comprometida.

• 4. Trazar el menor numero de rectas que incluya la mayor cantidad de ceros. Si el numero de rectas es igual al numero de filas entonces se habrá llegado a la solución optima. Ir al paso 7.

• 5. Si no es solución óptima, en las celdas no cubiertas, seleccionar el menor valor de las celdas y restar de los demás y adicionar este valor aquellas celdas que forman parte de la intersección de dos rectas (no aquellos que sean ceros).

• 6. Regresar al paso 4.

• 7. Para obtener el costo empiece asignando a las celdas cubiertas con ceros los valores originales dados en la matriz inicial. Empiece este procedimiento con aquellas filas con el mínimo numero de ceros.

Caso Maximización:

Seleccionar los valores más altos de las filas y columnas y seguir los pasos dados anteriormente.

Problema: Caso Compañía JAV.

La gerencia general que se encuentra en Bogotá ha decidido que cada uno de los 4 vicepresidentes visite una de las 4 plantas de la compañía ubicadas en diferentes ciudades.

La gerencia empieza por estimar los costos que representará a la compañía el envío de cada vicepresidente a cada planta. Con esos costos el gerente puede evaluar cualquier designación particular con base en la siguiente matriz de costos:

PLANTA

Establecer el plan de asignación a mínimo costo.

Solución:

Paso 1:

Paso 2:

Paso 3:

Paso 4: Las rectas que incluyen la mayor cantidad de ceros (02) son la columna 1 y la fila de Finanzas. Como piden el mínimo numero de rectas se puede escoger arbitrariamente cualquiera de ellas. Escogemos la columna 1.

Paso 5: El menor valor de las celdas es el numero 1 que se encuentra en la celda (4,P). Luego se adiciona y resta según corresponda así:

Quedando la siguiente tabla:

Paso 6:

Paso 7:

Como el numero de rectas es igual al numero de filas entonces obtenemos el costo mínimo.

Luego la asignación queda de la siguiente manera

EL PROBLEMA DEL TRANSPORTE.

Este problema consiste en colocar en varios destinos las unidades situadas en varios orígenes, en tal forma que la colación sea óptima (reducir costos o maximizar la ganancia).

Procedimiento:

• 1. Obtener las penalizaciones restando el menor costo de cada fila o columna de su inmediato superior.

• 2. Seleccionar la fila o columna con mayor penalización y ubicar su menor costo.

• 3. Obtener el menor valor entre la oferta y demanda en la intersección encontrada en el paso anterior y restarlo del otro.

• 4. Eliminar aquella fila o columna con menor oferta o demanda. Regresar al paso 1 hasta ya no se pueda hacer más reducciones.

• 5. Luego que se ha obtenido la primera solución básica validar el resultado mediante la técnica de los signos (Método del eslabón).

• 6. Para evaluar los resultados asignar un signo positivo ( + ) a la celda vacía que se desea evaluar e ir asignando alternadamente con signos negativos o positivos a aquellas celdas llenas. Se debe tener en cuenta que en cada fila o columna debe tener un positivo y un negativo o viceversa.

Problema:

La compañía HBB productora de máquinas tiene 4 plantas (A,B,C,D) en diferentes ciudades que pueden suministrar 400, 900, 200 y 500 unidades al mes. Tres centros de consumo (X,Y,Z) requieren para su distribución 500, 700 y 800 unidades respectivamente. La compañía debe decidir cuántas máquinas enviará de cada planta a cada centro. Para esto tiene en cuenta el costo del transporte en miles de $ por unidad que está resumido en la siguiente tabla:

Observe que el problema se balancea en el sentido de que la oferta total suministrada por las máquinas disponibles es igual al número total de unidades requerido por los centros de consumo.

La meta de HBB consiste en minimizar los costos de transporte de las máquinas de las plantas a los centros.

Solución:

Paso 3:

El menor valor entre oferta y demanda: min(200,500) = 200

Luego la diferencia será: 500 – 200 = 300

Paso 4: Se elimina la Fila C por tener menor oferta = 200 y se aplica la técnica según el paso1.

Hallando el mínimo: Min (200,800) = 200 , entonces, la diferencia = 800 – 200 = 600 y se elimina la Fila D.

Paso 6:

Resumiendo los resultados en la siguiente tabla:

Consideremos que sucede el hecho de enviar 1 unidad en la ruta A – X.

Aumentar 1 unidad en A – X +12

Disminuir 1 unidad en A – Z -10.

Aumentar 1 unidad en D – Z +4

Disminuir 1 unidad en D – X -6

Total = 0 ; esto significa que enviar una unidad en esa ruta mantiene indistinto al modelo.

Consideremos que sucede el hecho de enviar 1 unidad en la ruta A – Y.

Aumentar 1 unidad en A – Y +6

Disminuir 1 unidad en A – Z -10

Aumentar 1 unidad en B – Z +9

Disminuir 1 unidad en B – Y – 4

Total = + $ 1 ; esto significa que enviar una unidad en esa ruta se incrementa el costo en una unidad de miles de dólares.

Ejercicio: Evaluar para las demás celdas vacías.

Finalmente la solución seria la óptima con un costo de acuerdo a la siguiente tabla.