Programación lineal en la investigación de operaciones (página 2)

EL PROBLEMA DE LA DIETA.

Trata de determinar los alimentos que deben incluirse en una dieta para asegurar la nutrición necesaria y a la vez minimizar el coste.༯font>

Ejemplo: Un ave de rapiña necesita para subsistir al día 30 unidades de proteínas, 20 de grasas y 8 de vitaminas. Sus presas son dos tipos de animales: ratones que le proporcionan 3 unidades de proteínas, 4 de grasa y 1 de vitaminas; y palomas, que le proporcionan 6 unidades de proteínas, 2 de grasas y 1 de vitaminas. Si cazar y comer un ratón le cuesta 7 unidades de energía y una paloma 12 unidades de energía, ¿cuántas presas de cada clase debe cazar para satisfacer sus necesidades, con el menor gasto de energía?

Solución:

El problema consiste en minimizar el gasto de energía.

AUTOEVALUACIÓN

Resuelve el siguiente cuestionario luego consulta a tu profesor la respuesta de la misma.

Escribe V (verdadero) o F (Falso) a las siguientes proposiciones:

( ) Programación Lineal se utiliza para optimizar el
uso de los recursos buscando maximizar utilidades y minimizando
costos.

( ) El Método Simplex se creó el año 1947 y su creador fue George Dantzing.

( ) Los Modelos de Programación Lineal son de Maximización y Minimización.

( ) Un ejemplo de parámetro son las proporciones de
recurso disponible que se da para cada variable de decisión.

( ) La función objetivo son los recursos que se dispone para la asignación al modelo.

( ) Las restricciones son las limitaciones que tiene el modelo
en función a los recursos que dispone.

( ) La región factible es la solución optima.

( ) La solución optima forma parte de la región factible.

( ) Las restricciones de tipo ( siempre dan soluciones factibles
y se agrega variables de holgura.

( ) Las restricciones de tipo ( siempre dan soluciones infactibles
y se agregan variables de exceso.

( ) La variable artificial actúa como una holgura frente a una variable de exceso.

( ) Las variables Básicas son aquellos cuyo valor son igual a cero.

Formula y resuelve por el método gráfico el modelo de programación lineal.

• 1. Las rectas asociadas a las desigualdades

2x + y ( 18; 2x + 3y ( 26; x + y ( 16

se cortan dos a dos en tres puntos que son los vértices de un triángulo T. Sea S la intersección del triángulo T con el primer cuadrante (x(0, y(0). Hallar el máximo de la función 5x + 3y cuando x e y varían en S

• 2. Una industria vinícola produce vino y vinagre. El doble de la producción de vino es siempre menor o igual que la producción de vinagre más cuatro unidades. Por otra parte, el triple de la producción de vinagre sumado con cuatro veces la producción de vino se mantiene siempre menor o igual a 18 unidades.

Halla el número de unidades de cada producto que se deben producir para alcanzar un beneficio máximo, sabiendo que cada unidad de vino deja un beneficio de 800 ptas. y cada unidad de vinagre de 200 ptas.

• 3. Un hipermercado necesita como mínimo 16 cajas de langostino, 5 cajas de nécoras y 20 de percebes. Dos mayoristas, A y B, se ofrecen al hipermercado para satisfacer sus necesidades, pero sólo venden dicho marisco en contenedores completos. El mayorista A envía en cada contenedor 8 cajas de langostinos, 1 de nécoras y 2 de percebes. Por su parte, B envía en cada contenedor 2, 1 y 7 cajas respectivamente. Cada contenedor que suministra A cuesta 210.000 ptas., mientras que los del mayorista B cuestan 300.000 pesetas cada uno. ¿Cuántos contenedores debe pedir el hipermercado a cada mayorista para satisfacer sus necesidades mínimas con el menor coste posible?

METODO SIMPLEX PRIMAL

Algoritmo creado en 1947 por George Dantzing.

PROCEDIMIENTO:

El modelo debe estar representado en su forma estándar.

Debe tener una solución básica inicial factible. Es decir los elementos del lado derecho deben ser positivos.

Añadir las variables de Holgura, Exceso y/o artificial dependiendo del tipo de Restricción.

Evaluar las variables de entrada y salida según el método de Gauss-Jordan.

CONDICION DE OPTIMIDAD:

La variable entrante en una maximización (en una minimización) es la variable no básica, con el coeficiente mas negativo (más positivo) en la ecuación z objetivo. Un empate se rompe arbitrariamente. El óptimo se alcanza cuando todos los coeficientes no básicos en la ecuación z son positivos (negativos) o ceros.

CONDICION DE FACTIBILIDAD:

Cualquiera sea el modelo de Programación Lineal (Maximización o Minimización) la Variable Saliente es la variable básica actual, con la menor intersección (razón mínima con denominador estrictamente positivo) en dirección de la variable entrante. Un empate se rompe arbitrariamente.

METODO DE GAUSS – JORDAN.

1.- Ecuación Pivote:

Nueva Ec. Pivote = Ec. Pivote ( Elem Pivote

2.- Formula para hallar las demás ecuaciones, incluyendo Z.

Nueva Ec. = (Ec. Anterior) – (Coef. Columna Entrante) X (Nueva Ec. Pivote)

Tipo de Solución del Método Simplex Primal: Solución Optima y Factible.

Es aquella cuyo conjunto solución se encuentra en algún punto extremo del espacio de soluciones factibles (región factible). Se puede notar cuando se llega a una iteración donde no existe variable candidata para ingresar (condición de optimidad) y todos los elementos del lado derecho de la tabla son positivos (condición de factibilidad)

SOLUCION DE UN MODELO DE MAXIMIZACION CON EL METODO SIMPLEX PRIMAL

Sea el modelo:

FORMA ESTANDAR

Simplex Tableau — Iteration 2

Simplex Tableau — Iteration 3

ACTIVIDAD 01:

Completar la tabla siguiendo el procedimiento del algoritmo Simplex Primal para obtener la tabla optima final.

Solución:

Z = 12,6667

X1 = 3,3333

X2 = 1,3333

S1 = 0

S2 = 0

S3 = 3

S4 = 0,6667

SOLUCION DE UN MODELO DE MINIMIZACION CON EL METODO SIMPLEX PRIMAL

ACTIVIDAD 02:

Completar la tabla óptima haciendo los cálculos para cada una de las ecuaciones según la técnica del método Simplex Primal.

Solución:

Z = 13.33

X1 = 6.667

X2 = 3.333

A1 = 0

A2 = 0

S1 = 0

S2 = 0

CASOS ESPECIALES EN LA SOLUCIÓN CON EL METODO SIMPLEX

• 1. Soluciones Infactibles (Inexistentes).

Sucede cuando las restricciones no se puede satisfacer en forma simultanea. Esto puede suceder cuando existen restricciones distintas al de ( dado a que se debe agregar variables artificiales (valores muy grandes) que se convierten en cero cuando llegan al óptimo. Caso contrario (valor positivo de la variable artificial) se dice que la solución es infactible.

• 2. Soluciones Degeneradas.

Sucede cuando existe al menos una restricción redundante generando con ello que en el espacio de soluciones (variables básicas) aparezca algunas de ellas con valor cero (0).

• 3. Soluciones con opciones óptimas alternativas.

Sucede cuando la función objetivo es paralela a un restricción de enlace (ósea, una restricción que satisface en el sentido de la igualdad a través de la solución óptima). La función objetivo tomará el mismo valor óptimo en mas de un punto de solución[1]Otra forma de notarlo en las iteraciones del método simplex primal es cuando al evaluar mas dos variables candidatas a ingresar cualquiera de ellas cumple con el mismo valor en la función objetivo.

• 4. Soluciones No acotadas.

Sucede cuando los valores de la variable pueden aumentar o disminuir indefinidamente sin alterar a ninguna de las restricciones. Cuando el valor de la función objetivo crecen (maximización) o disminuyen (minimización) indefinidamente se dice que el espacio de soluciones y el valor optimo de la función objetivo son no acotadas.

Ejercicio:

Dados los siguientes modelos determinar su tipo de solución:

Minimizar Z = 3X1 + X2 + X3

sujeta a

X1 – 2X2 + X3 = 11

-4X1 + X2 + 2X3 = 3

2X1 – X3 = -1

X1;X2; X3 = 0

Maximizar Z = X1 + 3X2 – X3

sujeta a

X1 + 2X2 + X3 = 4

2X1 + X2 = 5

X1,X2 = 0

AUTOEVALUACIÓN

Resolver con el método simplex primal cada uno de los modelos propuestos e indicando el tipo de solución.

1) Min Z = 10 X1 + 4 X2

Sujeto a:

2) Maximizar Z = 4X1 + 3X2

Sujeto a:

3) Minimizar Z = X1 + 2X2

Sujeto a:

4) Un avión de carga tiene tres compartimientos para almacenar: delantero, central y trasero. Estos compartimientos tienen un límite de capacidad, tanto en peso como en espacio, y se pretende utilizarlos para satisfacer cualquier fracción conveniente de las demandas que también se indican. Para mantener balanceada la nave debe distribuírse la carga de manera que el peso en cada compartimiento sea proporcional a su capacidad. ¿Cuál es el modelo matemático del problema?.

EL PROBLEMA DUAL Y EL METODO SIMPLEX DUAL

PROBLEMA DUAL:

Considerar el siguiente modelo de PL.

Maximizar Z = CX

s.a.

AX ( b

X(0

Esta asociado al problema Dual:

Minimizar w = b T X

s.a.

A T Y ( CT

Y(0

Condiciones para derivar un Dual a partir de un Primal.

• 1. El objetivo primal es maximización, y el objetivo dual es minimización.

• 2. El número de variables en el dual es igual al número de restricciones en el primal.

• 3. El número de restricciones en el dual es igual al número de variables en el primal.

• 4. Los coeficientes de la función objetivo en el primal forman las constantes del lado derecho del dual.

• 5. Las constantes del lado derecho del primal forman los coeficientes de la función objetivo del dual.

• 6. Todas las variables son no negativas en ambos problemas.

Ejemplo 1 : Dado el siguiente modelo de PL.

La solución Dual se puede obtener a partir de la solución óptima Primal.

Así:

Ejemplo 2: Dado el siguiente modelo de PL (Primal) obtener su Dual.

Si en el modelo Primal existe una restricción de igualdad, entonces, en el modelo Dual aparecerá una variable irrestricta y viceversa. Así:

Ejemplo 3:

El Dual del Dual es el Primal.

Ejemplo 4.

El modelo anterior se puede representar de la siguiente manera:

Lo cual demuestra que el dual del dual es el primal.

METODO SIMPLEX DUAL

Es aplicado a modelos que tiene restricciones de tipo ( (esta restricción da solución inicial infactible) o la combinación de ( y ( (esta restricción siempre da solución inicial factible).

PROCEDIMIENTO:

El modelo debe estar representado en su forma estándar.

Debe tener una solución básica inicial óptima e infactible. Es decir los coeficientes de Z deben ser negativos o ceros y los elementos del lado derecho deben ser negativos.

Añadir las variables de Holgura o Exceso dependiendo del tipo de Restricción.

Las variables de Exceso deben tener coeficiente positivo. Logrando con ello que la solución inicial sea infactible.

La variable básica que sale es aquella que tiene valor negativo con mayor valor absoluto.

La variable No básica que ingresa resulta de la división entre los coeficientes de Z y los coeficientes de la variable que sale (discriminándose los ceros y positivos a fin de conservar la condición de optimidad) y se considera aquella cuyo resultado de la división sea la mas pequeña.

Calcular las demás ecuaciones según el método de Gauss-Jordan.

METODO DE GAUSS – JORDAN.

1.- Ecuación Pivote:

Nueva Ec. Pivote = Ec. Pivote ( Elem Pivote

2.- Formula para hallar las demás ecuaciones, incluyendo Z.

Nueva Ec. = (Ec. Anterior) – (Coef. Columna Entrante) X (Nueva Ec. Pivote)

SOLUCION DE UN MODELO DE MAXIMIZACION CON EL METODO SIMPLEX DUAL

Nueva Ec. Pivote:(NEP)

Calculo de los coeficientes de las demás variables:

AUTOEVALUACION

Obtiene el Problema dual a partir del Primal planteado. Da solución por el método simplex Dual al Problema (Dual o Primal) que mejor se adapte al método.

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD.

Sea el siguiente modelo de PL:

Sean las siguientes tablas:

Tabla Inicial:

Tabla Final:

A partir del análisis de estas dos tablas podemos deducir lo siguiente:

Estado de los recursos.- Pueden ser de dos tipos: Escasos y abundantes.

S1 es escaso (representa a Horas Hombre en carpintería).

S2 es escaso (representa a Horas Hombre en acabado).

Estas dos variables no forman parte de la solución básica por lo tanto S1=S2=0 lo cual indica que se ha utilizado todo en el proceso productivo.

Por otro lado, un recurso es abundante cuando forma parte de las variables básicas y es diferente de cero. Lo cual indica que existen recursos disponibles al finalizar el proceso productivo por lo tanto no es necesario disponer de más recursos.

Precios Duales (Precios sombra).- Representa el Precio Unitario que tiene cada recurso expresado en unidades monetarias por unidad de medida del recurso.

En el ejemplo:

El recurso 1: tiene un precio dual Y1 = 44/15.

El recurso 2: tiene un precio dual Y2 = 4/15.

CAMBIO EN LA DISPONIBILIDAD DE LOS RECURSOS

Cualquier cambio Di que se haga a un recurso Bi este afectará a la función objetivo en una proporción igual al coeficiente del recurso en la misma función objetivo.

Es decir:

Si cambio el recurso 1 de: 6000 a 6000 + D1 , entonces, Z = 56000/3 +(44/15)D1

El intervalo de variabilidad se calcula de la siguiente manera:

De aquí se tiene que analizar dos casos:

Ejercicio: Calcular el rango de variabilidad del recurso2 y cómo afecta a la función objetivo.

Solamente los recursos escasos se pueden calcular la variación de sus coeficientes debido a que el incremento de 1 unidad de esos recursos este incrementara la utilidad en la función objetivo. Los recursos abundantes no contribuyen en nada a la función objetivo.

Otro Método:

A partir del análisis anterior y de la tabla óptima siguiente:

Ejercicio: Calcular el rango de variabilidad del recurso2 y cómo afecta a la función objetivo.

CAMBIO EN LAS UTILIDADES Y/O COSTOS MARGINALES DE LA FUNCIÓN OBJETIVO

Cualquier cambio d1 que se efectué a los coeficientes de la función objetivo de las variables de decisión, este afectara en igual proporción en la solución óptima final.

Es decir:

Para calcular los coeficientes de variabilidad se toma dos casos.

Caso 1: Si No es variable básica.

El cambio d del coeficiente objetivo original de una variable no básica conduce siempre al decremento en la misma cantidad del coeficiente objetivo en la tabla optima actual.

Por ejemplo:

X2 es variable no básica su c2 = 20 , entonces el nuevo seria c2 = 20 + d2 y la variación del coeficiente de X2 se vera afectado en: 20/3 – d2

Para no romper la optimidad se debe cumplir que: 20/3 – d2 >= 0 , entonces, d2(20/3

Por lo tanto:

Método Analítico:

Ejercicio: Hallar la variación para el coeficiente de X3

Caso 2: Si es variable básica.

Nota:

Son mayores que cero para conservar la optimidad.

Solución por el Método Analítico:

Ejercicio: Calcular la variación de la utilidad de la variable básica x4

Otro Método:

A partir del análisis anterior y de la tabla óptima siguiente:

Ejercicio: Calcular la variación del coeficiente de X4

AUTOEVALUACION

• 1) La Constructora Casas Ltda., se ha adjudicado la construcción de 100 casas. El contrato la obliga a construir dos tipos de casas. Para los beneficiarios las casas tienen el mismo costo, pero para Constructora Casas, éstas tienen un margen de utilidad diferente, así las casas tipo campo arrojan 5.100 K$ y las de tipo rancho 5.000 K$. El contrato obliga a entregar las casas dentro de los nueve meses de firmado el contrato. Otra información relevante se resume en la siguiente tabla:

• a) Formule el problema de programación lineal.

• b) Encuentre la solución óptima gráficamente.

• c) Determine el estado de cada recurso.

• d) Determine el valor unitario de cada recurso.

• e) Con base en el valor unitario de cada recurso, ¿Qué recurso debe recibir prioridad para un incremento de nivel?

• f) Determine el intervalo de cambio de cada recurso.

• g) Determine el cambio máximo en el coeficiente de ganancia de X1 y X2.

• h) Suponga que se desea agregar un nuevo tipo de casa denominada "Española" que da un margen de utilidad de 4900 K$/casa y que requiere de 150 hr-carpintero/casa y 80 hr-albañil/casa. Explique si conviene o no fabricar las casas.

• 2) Un veterinario aconseja a un granjero dedicado a la cría de pollos una dieta mínima para la alimentación de las aves compuesta de 3 unidades. de hierro y 4 unidades. de vitaminas. El granjero sabe que cada kilo de maíz proporciona 2.5 unidades. de hierro y 1 unidad. de vitaminas, cada kilo de harina de pescado 3 unidades. de vitaminas y cada kilo de cierto pienso sintético 1 unidad de hierro y 2 unidades de vitaminas.

El granjero se pregunta por la composición de la dieta óptima que minimice el costo de la alimentación, sabiendo que los precios del maíz, harina de pescado y pienso sintético son de 20, 30 y 16 ptas. respectivamente.

Comprobar si la solución sigue siendo válida en los siguientes casos:

• El precio del kilo de maíz pasa de 20 a 25 ptas.

• El precio del kilo de harina de pescado se reduce a 20 ptas.

• El precio del kilo de pienso sube hasta las 20 ptas.

• Aparece otro tipo de alimento cuyo precio es de 25 ptas. y cuya composición es 2 unidades de hierro y 2 unidades. de vitaminas.

• Se hace necesario introducir un nuevo componente alimenticio de manera que las aves consuman por lo menos una unidad. En cada kilo de los alimentos (maíz, harina de pescado y pienso) se encuentra una unidad del nuevo componente.

• La cantidad mínima de hierro se amplia a 5 unidades.

• Las aves precisan consumir por lo menos 5 unidades. de vitaminas.

• Se presenta una variedad de maíz que en cada kilo contiene 3 unidades de hierro y 1 de vitaminas y que sigue costando 20 ptas./kilo.

• 3) Una compañía desea determinar el número
  de unidades mensuales de los productos P1, P2 y P3 que debe producir para
  maximizar sus beneficios totales. Para la elaboración de una unidad
  de cada uno de los productos se precisa de dos recursos R1 y R2. La cantidad
  de cada recurso disponible, la cantidad de recurso que precisa cada unidad
  de producto y, el beneficio por cada unidad de producto se dan en la siguiente
  tabla:

		P1	P2	P3	Cantidad Máxima disponible
R1		0	1	2	230
R2		2	1	1	360
Beneficio/unidad		2	2	4

Además, por necesidades de mercado, la producción mensual
conjunta de P1 y P2 debe ser de al menos 160 unidades.

• Determinar qué cantidad de cada producto debe fabricarse
  con objeto de maximizar el beneficio.

• ¿Cuánto puede variar la ganancia por unidad de producto
  P1 sin que se modifique la solución óptima?

• Diversos problemas en el suministro de R1 han reducido su disponibilidad
  a 50, ¿cuál es la nueva solución óptima?

• Se esta pensando una posible modificación de P2 que permitiría
  un aumento en su beneficio por unidad, pasaría a ser de 3, pero
  que provocaría un cambio en la cantidad de cada uno de los recursos
  consumidos, que serían ahora 1 y 2, respectivamente. ¿Resultaría
  rentable llevar a cabo las modificaciones?

• ¿Cómo se modificaría la solución óptima
  si la cantidad de P1 no pudiera superar las 100 unidades?

• Cabe la posibilidad de fabricar un nuevo producto P4, cuyo beneficio
  por unidad sería de 5, y cuyo consumo de R1 y R2 sería de
  4 y 1 unidades, respectivamente. ¿Merece la pena fabricarlo?

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Autor:

Ing. +Lic. Yunior Andrés Castillo S.



Santiago de los Caballeros,

República Dominicana,

2014.

[1] Tomado del libro de Taha ?vestigaci?de Operaciones?
Quinta Edici?