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Robótica. Planificación de trayectorias




Enviado por Pablo Turmero



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    1. Introducción. La realización de cualquier
    movimiento implica dos tareas: Planificación de la
    Trayectoria. Control del Movimiento.

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    1. Introducción. ¿En que consiste? Obtención
    de las funciones temporales 0TN(t) que nos llevan desde una
    localización inicial (Tini) hasta otra final (Tfin). O,
    alternativamente: q(t)=(q1(t), q2(t), …, qN(t)). Tipos de
    trayectorias: Trayectorias punto a punto: Evolución
    independiente de cada articulación. Sólo
    útiles en tareas a manipulador parado. Trayectorias
    continuas: 0TN(t) es conocida. Trayectorias suaves. Útiles
    en tareas con el brazo en movimiento.

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    1. Introducción. Tipos de Trayectorias Continuas: (Gp:)
    Trayectorias interpoladas (Gp:) Trayectorias Cartesianas
    Algoritmos más sencillos. Fácil control. Riesgo de
    choques con obstáculos. Control directo del movimiento en
    el espacio cartesiano. Ortogonalidad (separación
    rotación/translación) Mayor dificultad de
    implementación y control.

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    2. Trayectorias Interpoladas. Trayectorias interpoladas con
    funciones polinómicas. Trayectoria polinómica desde
    una posición inicial a otra final. Condiciones para
    trayectoriasuave: Continuidad en la velocidad. Grado del
    polinomio ?(t) menor posible.

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    2.1. Trayectorias Interpoladas. Uso de funciones
    polinómicas. Condiciones a satisfacer: 4 ! polinomio de
    grado 3. Aplicando las (4) condiciones de contorno:

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    2.1. Trayectorias Interpoladas. Uso de funciones
    polinómicas. Ejemplo: ?0 = 15º, ?f = 75º, tf = 3
    seg.

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    Es conveniente dar puntos intermedios (¿Por qué?).
    Podemos emplear un polinómio cúbico para cada
    segmento y replicar el método. Discusión del caso
    anterior: ?0 = 15º, ?1 = 75º, ?f = 135º, t01 = 3
    seg, t1f = 3 seg. 2.1. Trayectorias Interpoladas. Uso de
    funciones polinómicas.

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    2.1. Trayectorias Interpoladas. Uso de funciones
    polinómicas. Trayectorias con varios segmentos: Recorrido
    por secuencia varias posiciones intermedias. Cada segmento emplea
    un polinómio cúbico. Se garantiza continuidad en la
    posición y velocidad. Ventajas e inconvenientes.

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    2.1. Trayectorias Interpoladas. Uso de funciones
    polinómicas. Inconvenientes: No se asegura la continuidad
    en la aceleración. Problema mayor: fijar las velocidades
    intermedias. Solución: intercambio de las restricciones
    anteriores. No se indica velocidad en los puntos intermedios. A
    cambio se asegura la continuidad en la aceleración.

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    2.1. Trayectorias Interpoladas. Uso de funciones
    polinómicas. Caso sencillo con dos segmentos [?0, ?v, ?g]:
    Nótese los intervalos de tiempo. Condiciones impuestas:
    Recorrer los puntos inicial, final e intermedio:

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    2.1. Trayectorias Interpoladas. Uso de funciones
    polinómicas. Velocidades (nulas en este caso) en los
    extremos: Continuidad en la posición, velocidad y
    aceleración en el punto intermedio: Nótese que no
    exigimos un valor concreto en la velocidad, pero sí
    continuidad en la aceleración. (Gp:) !? Segmento 1
    Segmento 2

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    2.1. Trayectorias Interpoladas. Uso de funciones
    polinómicas. Solución (tf1 = tf2 = tf): Avances:
    Ajuste de tiempo favorable para resolver ecuaciones. Introducir
    continuidad en aceleración para no definir velocidades
    intermedias.

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    2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4 Operación
    frecuente: Traslado de objetos desde una superficie a otra.
    Solución sencilla: una trayectoria con cuatro puntos como
    la de la figura. Objetivo: evitar colisiones (¿por
    qué?). Cómo: introducción de dos puntos
    intermedios.

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    2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4. Se escogen
    puntos intermedios en unas posiciones de despegue y asentamiento
    normales a las superficies de origen y destino, respectivamente.
    Relación tiempos ! velocidad.

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    2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4. Condiciones de
    contorno para un movimiento suave: Inicio: posición,
    velocidad (nula) y aceleración (nula) determinadas. Fin:
    posición, velocidad (nula) y aceleración (nula)
    determinadas. Intermedios: paso por posiciones de despegue y
    asentamiento con continuidad en posición, velocidad y
    aceleración. ¿Grado del polinomio? (Gp:) 8
    condiciones ) 8 parámetros ) orden 7: ¿Bondad del
    polinómio?

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    2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4. Es preferible
    dividir el movimiento en 3 segmentos con polinomios de grado
    inferior. Soluciones: trayectorias 4-3-4 y trayectorias 3-5-3.
    Variables: ?: tiempo real en segundos. ?i: tiempo real al final
    de la trayectoria i-ésima. ti =(?i-?i-1): tiempo real
    requerido para el segmento i-ésimo. t: tiempo normalizado
    en el intervalo [0,1]:

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    2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4. Polinomios
    empleados: Ventajas/Inconvenientes del tiempo normalizado: 4 3
    4

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    2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4. Condiciones de
    contorno: Punto inicial: Punto despegue:

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    2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4. Punto
    asentamiento: Punto final: 14 ligaduras (ecuaciones) para 14
    parámetros

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    2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4. Primer
    segmento de la trayectoria: ? = ?0, t = 0 (inicio primer
    segmento).

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    2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4. ?=?1, t =1
    (final primer segmento). Ahora no ofrecen soluciones, más
    adelante recurriremos a ellas.

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    2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4. Segundo
    segmento de la trayectoria: ? = ?1, t = 0 (inicio segundo
    segmento).

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    2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4. Condiciones de
    continuidad con el tramo anterior: ?=?2, t =1 (final segundo
    segmento).

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    2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4. Tercer
    (último) segmento de la trayectoria: Nuevo cambio de
    variable para facilitar la resolución. Las derivadas no
    quedan afectadas (suma de constante). Nótese que el
    polinomio esta basado en la nueva variable y no en t (aunque
    podemos obtener fácilmente el correspondiente en t).

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    2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4. ?=?f, t =1,
    (final tercer segmento). ?=?2, t =0, (inicio tercer
    segmento).

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    2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4. Condiciones de
    continuidad con el tramo anterior: Gracias a los cambios de
    variable hemos obtenido de forma directa 7 de los 14
    parámetros. Para el resto …

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    2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4. Se calculan
    los cambios de las variables de articulación entre
    segmentos contiguos: Las condiciones (1) a (7) se pueden expresar
    en forma matricial: (Gp:) y (Gp:) C (Gp:) x (Gp:) = (Gp:) .

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    2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4.
    Solución: x = C-1y

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    2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4. Los
    coeficientes (a10,a11,a12,a20,an0,an1,an2) se obtienen de forma
    directa. Importante: recordar el último cambio de
    variable. Si utilizamos:Deberemos recorrer el tiempo de -1 a 0.
    Si queremos homogeneizar el tiempo (siempre de 0 a 1) hay que
    deshacer el cambio de variable:

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    2. Trayectorias Interpoladas. Trayectorias interpoladas con
    funciones lineales. Opción alternativa al uso de
    polinomios. Fundamento sencillo: conectar los puntos mediante
    rectas y solucionar los problemas derivados. Problema:
    discontinuidad en los extremos.

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    2.3. Trayectorias Interpoladas. Uso de Funciones Lineales.
    Solución: suavizado parabólico con una determinada
    aceleración. Secuencia de movimientos: Uniforme acelerado.
    Uniforme. Uniforme decelerado. ¿Durante cuanto
    tiempoaceleramos/deceleramos? tb

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    2.3. Trayectorias Interpoladas. Uso de Funciones Lineales.
    Suponemos una cierta aceleración (Ã ventajas
    prácticas). Implicaciones del discriminante
    positivo.

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    Generalización a varios segmentos: Definición de
    secuencia de puntos (?1, ?2, …, ?f). Definición de
    los instantes de tiempo (t1, t2, …, tf). En los puntos
    intermedios se realiza una aceleración de suavizado . 2.3.
    Trayectorias Interpoladas. Uso de Funciones Lineales. ?i:
    ángulo punto i-ésimo. ti: tiempo punto
    i-ésimo. tsi: duración del suavizado. tli-1,i:
    duración zona lineal. tdi-1,i: duración
    segmento.

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    Parámetros que definen el movimiento (Ã
    síntesis posterior): Segmentos intermedios: 2.3.
    Trayectorias Interpoladas. Uso de Funciones Lineales.

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    Segmento inicial: 2.3. Trayectorias Interpoladas. Uso de
    Funciones Lineales.

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    Segmento final: 2.3. Trayectorias Interpoladas. Uso de Funciones
    Lineales.

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    3. Trayectorias Cartesianas. Descripción de las posiciones
    del manipulador. T G (Gp:) C(t) P (Gp:) Z (Gp:) M (Gp:) W(t) 0TN
    ! T: Trans. Hom. brazo robot. NGherr ! G: coordenadas herramienta
    (desde el EF). absZbase ! Z: coordenadas base del robot (desde el
    SdR global). absW(t)obj ! W(t) : coordenadas del objeto (desde el
    SdR global). Caso General: Consideramos que puede estar en
    movimiento (depende de t). objPherr ! P: coordenadas de la
    herramienta (desde el SdR del objeto). Para simplificar el
    cálculo posterior: C(t)=Z-1W(t)

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    3. Trayectorias Cartesianas. T1 G1 (Gp:) C1(t) P1 La
    posición del manipulador se puede expresar como: TG=C(t)P
    Aplicando PCI podremos resolver: T=C(t)PG-1 Para realizar una
    tarea habrá que desplazar la herramienta entre varios
    puntos consecutivos (1,2,3,…,f): T1G1=C1(t)P1 T2G2=C2(t)P2
    … TfGf=Cf(t)Pf T2 G2 P2 C2(t)

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    3. Trayectorias Cartesianas. Entre dos puntos consecutivos
    cualquiera: Entonces podríamos obtener: Vamos a suponer un
    par de transformaciones, Pi,i y Pi,i+1, tal que fuera posible: Es
    decir, el movimiento entre los dos puntos (i,i+1)
    consistiría simplemente en la transformación de
    Pi,i+1 en Pi+1,i+1.

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    3. Trayectorias Cartesianas. G1 (Gp:) C1(t) P1 Obviamente
    Pi,i=Pi, pero ¿Pi,i+1? Despejamos Pi,i+1 de la segunda
    ecuación: Despejando T de la primera ecuación y
    sustituyendo en la anterior: Así, Pi,i+1 puede ser
    precalculado. T2 G2 P2 T1 C2(t) G2 P1,2

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    3. Trayectorias Cartesianas. Podemos definir una
    transformación D(t) (transformación de
    impulsión) que convierte la matriz Pi,i+1 en la matriz
    Pi+1,i+1 conforme avanza el tiempo. Se realiza en tiempo
    normalizado t (0 · t · 1). Verifica las siguientes
    condiciones de contorno: De donde podemos despejar D(1):

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    3. Trayectorias Cartesianas. La transformación D(t)
    consiste en un movimiento translacional (para alcanzar la
    posición final) y dos rotacionales (orientación).
    La translación lleva el vector pi hasta pi+1. La primera
    rotación lleva ai hasta ai+1 (!). La segunda
    rotación (sobre a) lleva oi hasta oi+1 (y por tanto ni a
    ni+1).

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