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Sistemas de control. Estabilidad y lugar geométrico de las raíces (Presentación PowerPoint)




Enviado por Pablo Turmero



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    Sistemas de control Estabilidad Estabilidad de un sistema Un
    sistema es estable si la respuesta del sistema al impulso tiende
    a cero cuando el tiempo tiende a infinito. Si el sistema tiende a
    un valor finito diferente a cero, se puede decir que el sistema
    es críticamente o marginalmente estable. Una magnitud
    infinita hace a el sistema inestable.

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    Sistemas de control Estabilidad Notas: Si los todos los polos de
    la función de transferencia están en el lado
    izquierdo de plano-s entonces el sistema es estable. Un sistema
    es críticamente estable si uno o más polos
    están en el eje imaginario del plano-s. En el estudio de
    estabilidad sólo los polos de la función de
    transferencia son importante, los zeros son irrelevantes. Los
    polos de un sistema son las raíces obtenidas de el
    denominador de la función de transferencia cuando es
    igualado a cero. Polinomio característico. El concepto de
    estabilidad es aplicado a sistemas a lazo cerrado o a lazo
    abierto.

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    Sistemas de control Estabilidad Criterio de estabilidad de
    Routh-Hurwitz El polinomio a(s) se dice Hurwitz si todas sus
    raíces tienen parte real negativa. Si es la función
    de transferencia de un sistema, entonces el sistema es estable si
    el polinomio d(s), conocido como el polinomio
    característico del sistema, es Hurwitz.

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    Sistemas de control Estabilidad Criterio de Routh-Hurwitz Sirve
    para determinar si un polinomio a(s) es Hurwitz o no. Considere
    el polinomio a(s) de grado n escrito en la forma donde los
    coeficientes son números reales. Se supone que es decir
    a(s) no tiene raíces en s=0. 2. Si alguno de los
    coeficientes es cero o negativo en presencia de al menos un
    coeficiente positivo, entonces el polinomio a(s) tiene
    raíces puramente imaginarias, o que tienen parte real
    positiva. En este caso a(s) no es Hurwitz.

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    Sistemas de control Estabilidad Criterio de Routh-Hurwitz 3. Si
    todos los coeficientes son positivos (o todos negativos) y
    diferentes de cero, construya el siguiente arreglo

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    Sistemas de control Estabilidad Criterio de Routh-Hurwitz donde
    Se continua de esta forma hasta que la n-ésima fila del
    arreglo ha sido completada.

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    Sistemas de control Estabilidad Criterio de Routh-Hurwitz El
    criterio de Routh-Hurwitz establece que el número de
    raíces de a(s) con parte real positiva es igual al
    número de cambios de signo de los coeficientes en la
    primera columna del arreglo. Entonces, el polinomio a(s) es
    Hurwitz si y solo si y todos los coeficientes en la primera
    columna del arreglo son positivos.

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    Sistemas de control Estabilidad Criterio de Routh-Hurwitz
    ejemplo:

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    Sistemas de control Estabilidad Casos especiales del criterio de
    Routh-Hurwitz El primer elemento de una fila es cero, y es el
    único elemento de la fila, o los demás elementos de
    la fila son diferentes de cero. En este caso, el cero es
    reemplazado por un número positivo muy pequeño ? y
    se continua con el cálculo del arreglo. Si el signo del
    coeficiente arriba del cero (?) en el arreglo es el mismo que el
    de abajo, entonces el polinomio a(s) tiene un par de
    raíces imaginarias. En caso contrario, esto es, si el
    signo del coeficiente arriba del cero (?) es diferente que el de
    abajo, entonces el polinomio a(s) tiene 2 raíces con parte
    real positiva.

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    Sistemas de control Estabilidad Criterio de Routh-Hurwitz
    ejemplo:

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    Sistemas de control Estabilidad Casos especiales del criterio de
    Routh-Hurwitz 2. Si todos los coeficientes de una fila son cero,
    entonces el polinomio a(s) tiene raíces de igual magnitud
    y opuestas en el plano-s, esto es, 2 raíces de igual
    magnitud y de signo contrario, o 2 raíces imaginarias
    conjugadas. En este caso, el arreglo de los coeficientes puede
    ser completado formando un polinomio auxiliar con los
    coeficientes de la fila anterior y usando los coeficientes de la
    derivada de este polinomio en la siguiente fila. Las
    raíces de igual magnitud y opuestas en el plano s
    corresponden a las raíces del polinomio auxiliar.

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    Sistemas de control Estabilidad Criterio de Routh-Hurwitz
    ejemplo: Polinomio auxiliar au(s) Fila de ceros Se remplaza la
    fila de ceros por la derivada del polinomio auxiliar.

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    Sistemas de control Estabilidad Criterio de Routh-Hurwitz
    ejemplo:

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    Sistemas de control Estabilidad Criterio de Routh-Hurwitz El
    criterio de Routh-Hurwitz también puede usarse para
    estudiar la estabilidad relativa de un sistema; esto es, si el
    sistema es estable, qué tan cerca está de ser
    inestable. Nos interesa saber en este caso si el polinomio a(s)
    tiene raíces a la derecha de la línea s=-?, donde ?
    es una constante. Para ello hacemos la substitución en
    a(s) y aplicamos el criterio de Routh-hurwitz al polinomio El
    número de cambios de signo en la primera columna del
    arreglo construido para es igual al número de
    raíces de a(s) a la derecha de la línea s=-?.

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    Sistemas de control Estabilidad Criterio de Routh-Hurwitz
    Ejemplo: Hallar el valor de K para

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    Sistemas de control Estabilidad Lugar Geométrico de la
    raíces (Root-locus) Utilizando los polos de la
    función de transferencia, el lugar geométrico de
    las raíces es el gráfico en el plano-s de la
    ubicación de los polos conforme K varia desde cero a
    infinito. El root-locus complementario es desde menos infinito a
    cero. Ejemplo: (Gp:) + (Gp:) – V(s) Y(s)

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    Sistemas de control Estabilidad Lugar Geométrico de la
    raíces (Root-locus) Ejemplo (cont.):

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    Sistemas de control Estabilidad Construcción root-locus Si
    a lazo cerrado La ecuación característica debe ser
    igualada a cero Si K>0, k=±1, ±2,… Si
    K<0, k=±1, ±2,…

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    Sistemas de control Estabilidad Construcción root-locus
    Podemos re-escribir Obteniendo entonces: Debemos hacer lo mismo
    con los ángulos

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    Sistemas de control Estabilidad Pasos para construir root-locus
    Ejemplo: Paso 1: Debido a que el lugar geométrico de las
    raíces comienza en los polos a lazo abierto y terminan en
    los ceros a lazo abierto se debe dibujar estos sobre el plano-s.
    -1 -2 -3 -4 -5 jw -s

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    Sistemas de control Estabilidad Pasos para construir root-locus
    Paso 2:Utilizando la condición de ángulo se
    determina que parte del eje real pertenece al root-locus.
    Supondremos raíces dentro de los intervalos en el plano-s.
    -1 -2 -3 -4 -5 s1 jw -s X X X X 0

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    Sistemas de control Estabilidad Pasos para construir root-locus
    Paso 3: Considerando que la función de transferencia a
    lazo abierto tiene n polos y m zeros y que para los sistemas
    n>m, se tiene un cierto número de ramas que comienzan
    en los polos y deben dirigirse a los zeros, como hay menos zeros
    que polos, estas ramas se dirigen a ceros en el infinito a lo
    largo de asíntotas. El Número de asíntotas
    es: NA=n-m La ubicación del punto de partida Y el
    ángulo de salida es: Esta ecuación es positiva, me
    equivoque en clase

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    Sistemas de control Estabilidad Pasos para construir
    root-locus

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    Sistemas de control Estabilidad Pasos para construir root-locus
    Paso 4: Puntos de ruptura sR1=-0.43; sR2=-1.6; sR3=-3,3+0,68j;
    sR4=-3,3-0,68j

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    Sistemas de control Estabilidad Pasos para construir root-locus
    Paso 5: Dibujar

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    Sistemas de control Estabilidad Pasos para construir root-locus
    Paso 6: el punto en el cual el root locus corta el eje
    imaginario. Se puede hallar usando el criterio de
    Routh-Hurwitz.

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    Sistemas de control Estabilidad Pasos para construir root-locus
    Paso 6: Se cálcula el valor de K para que una fila
    completa sean puros ceros. En este caso la fila es s1 y el valor
    de K=9.65. Tomaremos el polinomio auxiliar y despejaremos el
    valor de s. Entonces los puntos donde el LGR cruza el eje
    imaginario es ±1.5888j.

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    Sistemas de control Estabilidad Resultado final

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    Ejercicio de Lugar Geométrico de las Raíces

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    Ejercicio Dibuje el LGR del siguiente función de
    transferencia a lazo abierto 1º paso, representar los polos
    y zeros 30 x x o -1 -5 -10

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    Ejercicio 2º paso: Hallar donde existe el LGR, se procede de
    derecha a izquierda a contar los polos y zeros, y cuando la suma
    sea impar en ese intervalo si existe el LGR, si es par No existe
    el LGR. 31 x x o -1 -5 -10 Número impar Número Par
    Número impar

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    Ejercicio 3º paso: Hallar las asíntotas, los
    ángulos de las asíntotas y los puntos de partidas.
    32 x x o -1 -5 -10 Solo hay una Asíntota q es solamente 0,
    porque NA=1 El punto de partida se encuentra en el lado
    derecho.

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    Ejercicio 4º paso: Hallar los puntos de rupturas, como los
    polos deben ir a los zeros, y solo tenemos un cero y está
    después de los dos polos el LGR debe alejarse del eje real
    para poder llegar al zero en -10 y al zero en –inf. 33 x x
    o -1 -5 -10

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    Ejercicio 5º paso: Dibujar el LGR, debemos alejarnos, En
    realidad con esta técnica se dibuja un croquis del LGR,
    para hallar los verdaderos puntos donde el sistema es
    críticamente amortiguado, que son los lugares donde el LGR
    se separa del eje real se debe usar la EC a lazo cerrado. 34 x x
    o -1 -5 -10 º 4.52

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    Ejercicio Valores de K para que el sistema sea
    críticamente amortiguado: Comparando la EC con la
    respuesta ideal De la primera ecuación tenemos K=2a-6 y
    sustituyendo en la segunda. 35

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    Ejercicio Así el LGR queda definido como: 36 x x o -1 -5
    -10 º -16.70 -3.29 º

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    Ejercicio Usando un programa matemático: 37

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