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Sistemas de numeración (Presentación PowerPoint)

Enviado por Arturo Gustavo Tajani





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? ? ? ? 3 Introducción El diccionario de la lengua española “Pequeño Larousse ilustrado – Edición 2006”, da para la palabra “número” varias acepciones: La primera e inmediata es: “Concepto matemático que expresa la cantidad de los elementos de un conjunto o el lugar que ocupa un elemento en una serie”. En cambio la acepción 12, expresa algo mas claro: “MAT. Noción fundamental de la matemática que permite contar, clasificar los objetos o medir magnitudes. No puede ser objeto de definición rigurosa”. Con las consideraciones que siguen y utilizando un lenguaje con algo mas de rigor, se pretende dar algunas definiciones que permitan aclarar conceptos tales como: número cardinal, número ordinal, operación de contar, sistemas de numeración, etc. Sistemas de Numeración

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? ? ? 4 Generalidades Si se ven pasar por una ruta a los participantes de una carrera de bicicletas, sin hacer ninguna cuenta se puede afirmar que la cantidad de ciclistas es igual a la cantidad de bicicletas, porque a cada ciclista le corresponde una bicicleta y a cada bicicleta le corresponde un ciclista. Se dice entonces que el conjunto de ciclistas (conjunto A) y el conjunto de bicicletas (conjunto B), están en relación uno a uno o que están entre ellos en relación biunívoca o que existe entre A y B una función biyectiva o también que ambos conjuntos son coordinables. Asimismo pueden definirse, el conjunto de los pares de zapatillas de los ciclistas (conjunto C), y el conjunto de las camisetas de colores que lleva cada uno de ellos (conjunto D). Estos conjuntos C y D, por supuesto, también están en relación uno a uno con los conjuntos anteriores A y B. Sistemas de Numeración

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? ? ? ? 5 Generalidades Los diferentes objetos que nos rodean pueden ser agrupados en “clases”, que tengan una misma propiedad. Por ejemplo: - clase de los conjuntos de elementos de la misma forma. - clase de los que tengan igual utilidad. - clase de los de similar color. - clase de los que están en una misma zona geográfica. - clase de los elementos del mismo peso. etc. . .etc. En nuestro caso, los conjuntos antes definidos A, B, C y D, se pueden agrupar en la “clase” de los que tienen como propiedad común “igual cantidad de elementos” , es decir que son coordinables. La propiedad común que tienen los conjuntos coordinables se llama: “número cardinal”. La idea de “número cardinal” está ligada con el “sentido de cantidad” o “sentido de número” que se encuentra naturalmente y en forma rudimentaria, en el hombre primitivo. Sistemas de Numeración

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? ? 6 Generalidades Así al número cardinal de los conjuntos unitarios, lo denominamos uno ( 1 ); al cardinal de los conjuntos de pares de elementos, lo llamamos dos ( 2 ); al cardinal de los conjuntos de ternas, lo nombramos como tres ( 3 ); . . . . y así siguiendo, se definen los Números Naturales ( N ). Bertrand Russell (1872 -1970) eminente filósofo y matemático dijo: “deben haberse necesitado muchos siglos para descubrir que un par de faisanes y un par de días, son, ambos, ejemplos del número dos.” Sistemas de Numeración

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? ? ? ? ? 7 Generalidades Un notable avance intelectual del hombre fue la creación de un proceso mental que se puede llamar operación de contar (o facultad de contar). Fueron ideadas diferentes formas para ir pasando de un número natural al siguiente. Así se usaron piedras apiladas, marcas o incisiones en ramas o troncos de árbol, nudos en una soga, cuñas en tablillas de arcilla o, en forma casi universal, los diez dedos articulados de las manos y eventualmente los de los pies. Las dificultades de las formas rudimentarias aparecieron cuando las cantidades a contar crecieron . Ello obligó a crear sistemas de representación mas elaborados y prácticos. Se hizo necesario adoptar un conjunto de signos o símbolos que, con ciertas reglas, progresaran en el sentido de las magnitudes crecientes y que se los hiciera coordinables con los números naturales. Se crearon así los llamados: “Sistemas de Numeración” Sistemas de Numeración

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? ? ? ? 8 Generalidades Una vez creado el sistema de numeración, contar una colección de objetos significa asignar a cada elemento de éste, un término de la sucesión natural definida. El término asignado al último elemento del conjunto o colección en estudio, se llama : “Número Ordinal” del mismo. Vale la pena destacar que cuando se desea determinar el número cardinal de un conjunto, nadie trata de encontrar otro conjunto modelo para compararlos. Simplemente contamos la colección y establecemos así el Número Ordinal correspondiente. En la realidad práctica, el concepto que realmente interesa en un planteo concreto, es el número.cardinal, pero esta noción no sirve de fundamenteción a una aritmética utilizable. Sistemas de Numeración

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? 9 Generalidades Como actualmente pasamos con gran facilidad del número cardinal al número ordinal, mediante la operación de contar , los dos aspectos del concepto de número, se nos presentan así como uno solo. Sistemas de Numeración

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? ? Reseña histórica En la antigua región de la Mesopotamia ( hoy Irak, este de Siria y sureste de Turquía), existió hacia el tercer milenio a.C (3000 años a.C = -3000 años), la primera civilización conocida: la SUMERIA. Entre el 2800 y el 2350 a.C los Sumerios utilizaron un sistema de numeración de base diez (obviamente basándose en los dedos de las manos) y también el de base 60 o sexagesimal (hoy se sigue utilizando para mediciónes del tiempo y de ángulos) . Sistemas de Numeración 10

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? ? ? ? Reseña Histórica Para aplicar el “sexagesimal”, se extiende la palma de la mano derecha y se cuentan con el pulgar sucesivamente, las tres falanges de los cuatro dedos restantes comenzando por el meñique. La cantidad máxima de unidades que se pueden contar así son doce. Pero si por cada grupo de doce unidades, se levanta un dedo de la mano izquierda, se puede fácilmente registrar hasta 60 ( base del sistema). Acadios (o Akkadios), Gúteos, nómades Semitas, Elamitas, Amorritas etc, se sucedieron en el dominio de la mesopotamia, pero pese a las contínuas guerras, se mantuvo la cultura sumeria. Entre los años -1900 y -1500 con los Asirios, cobró importancia la ciudad de Babilonia. En ese tiempo los Babilonios utilizaron un sistema numérico basado en todo lo anterior. Usaban además para la escritura de los numerales una marca vertical con forma de cuña, para la unidad, que estampaban con punzones en tablillas de arcilla. Sistemas de Numeración 11

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? • Reseña Histórica Se agregaban tantas unidades como fueran necesarias hasta llegar al 9. El 10 tenía su propio signo. Nuevamente se adicionaban los signos de 10 y se completaba el grupo con unidades, hasta llegar a 59. A continuación se utilizaba un sistema posicional tal que, avanzando desde la derecha hacia la izquierda, los grupos anteriores (de 1 a 59), valían 60 veces para la segunda posición; 60 x 60 = 3600 veces para la tercera y así sucesivamente. Sistemas de Numeración 12

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Reseña Histórica • Desde alrededor de 3000 años a.C. los antiguos Egipcios utilizaron como sistema de numeración una forma de representación por acumulación de signos o aditiva, de base diez. Para escribir los números recurrieron a jeroglíficos específicos. • Por cada unidad se dibujaba un trazo vertical, por cada decena un arco, etc; siempre acumulando los símbolos hasta completar el número. • Al no importar la posición de los dibujos, sino su acumulación, se podían escribir indistintamente de izq. a der., de der.a izq. de arriba para abajo o según un criterio estético cualquiera. Sistemas de Numeración 13

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Reseña Histórica • Los Griegos desarrollaron alrededor del año 600 a.C.un sistema de base decimal de estructura simplemente aditiva. • Para representar los dígitos hasta 4 se usaban trazos verticales. Para el 5, 10, 100, 1000 y 10000, usaron las letras correspondientes a la inicial del nombre del número. (penta, deka, hekto, kilo y miria). (Se suele llamar sistema “acrofónico”) • Los símbolos para el 50, 500 y 5000 se obtenían agregando al símbolo del 5, respectivamente los del 10, 100 y 1000, utilizando un principio multiplicativo. • Los numerales ya no eran jeroglíficos sino que tenían relación con el alfabeto. Sistemas de Numeración 14

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Reseña Histórica • El sistema descripto de los griegos, era en realidad ático o ateniense. Unos años después fue reemplazado por el Jónico que utilizaba las 24 letras del alfabeto griego, junto con algunos otros símbolos. • Los números así escritos tienen el aspecto de palabras y asimismo las palabras pueden tener un valor numérico. (Esta dualidad dio origen a disciplinas mágicas y adivinatorias). Sistemas de Numeración 15

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Reseña Histórica • Aproximadamente desde el año 1500 a.C. en la antigua China se empezó a usar un sistema de base 10 y que combinaba el principio aditivo con el multiplicativo. • Para aclarar se señala que para expresar el 500 en un sistema aditivo se recurre a acumular cinco representaciones del 100; mientras que en un sistema aditivo – multiplicativo (híbrido), se usa la combinación del 5 y del 100. Se destaca que el orden de la escritura se hace fundamental. ( 5 10 7, podría representar 57 ó 75). Sistemas de Numeración 16

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Reseña Histórica • El sistema de numeración Chino se escribía tradicionalmente de arriba hacia abajo, aunque se admitió también de izquierda a derecha. • Hubo grafías diferentes para los ideogramas, según fuesen documentos oficiales, usos domésticos, comerciales y también variantes regionales. • Además del chino clásico, también usaron sistemas híbridos los arameos, etíopes, tamiles, malayalames, etc. • Los Hebreos asimismo, utilizaron como los griegos, su propio alfabeto para escribir los numerales. Sistemas de Numeración 17

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Reseña Histórica • La civilización Romana utilizó los conocidos símbolos: I 1 V 5 X 10 L 50 C 100 D 500 M 1000 • Una serie de reglas en algunos casos aditivas y en otros sustractivas originaron un sistema de numeración bastante complicado. • En efecto, se puede repetir (o adicionar) un símbolo hasta tres veces, pero no se puede agregar un cuarto, sino que debe restarse uno del siguiente • No fue estrictamente un sistema aditivo, ni híbrido ni de posición • Dijo el científico y escritor Isaac Asimov (1920-1992) “Aún despues de cinco siglos de haber caído en desuso, los números romanos parecen ejercer una fascinación especial. Tengo la teoría de que la razón para que así suceda es que los números romanos halagan al ego”. Solo se los utiliza en la actualidad para monumentos, placas recordatorias, lápidas y relojes de lujo. Sistemas de Numeración 18

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Reseña Histórica • De las culturas precolombinas se destacan las llamadas “mesoamericanas”, con olmecas, zapotecas, aztecas y mayas, que ocuparon, con límites no muy bien definidos, los actuales México, Guatemala, El Salvador, Honduras y parte de Nicaragua y Costa Rica. En especial los Mayas, entre los años 300 y 600 de nuestra era, desarrollaron un sistema de numeración de posición con base 20. • Observando los símbolos usados, si bien parece que fuera un sistema de base 5 aditivo, en realidad el conjunto es de base 20 (puesto que los 20 signos son realmente diferentes). • Se destaca que tuvieron un signo especial para el cero. Fue un sistema posicional que se escribía de arriba hacia abajo, empezando por la cifra de mayor orden. Las distintas posiciones valían 1, 20, 20x20=400 y 20x20x20=8000. Sistemas de Numeración 19

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? Reseña Histórica • Fueron los Indios (hindúes), los que presumiblemente en el siglo séptimo de nuestra era (años 600 d.C), idearon un sistema de numeración tal como hoy lo conocemos. El único cambio ha sido, por supuesto, una diferente grafía en la escritura de los diez dígitos que se usan actualmente. • Se debe destacar la genial introducción del cero “0”, es decir un signo que signifique “nada” (sunya = vacío, para los indios y céfer para los árabes). Ninguno de los sistemas de numeración de la antigüedad, con la única excepción del utilizado en la India, sirvió para establecer una aritmética razonablemente útil y fundamentalmente simple. La presencia del cero aportó facilidad en los cálculos y en la lectura e interpretación de las cantidades. Sistemas de Numeración 20

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? ? ? Reseña Histórica El sistema de posición Indio, que incluía la genial concepción del número cero, fue introducido por los Arabes en Europa entre los años 1000 y 1200 de nuestra era y es conocido hoy universalmente como “numeración decimal” o “numeración arábiga”. Mas precisamente la difusión en occidente de la ciencia matemática de los árabes, incluída la numeración arábiga con el cero, se debió al gran matemático Leonardo Fibonacci (1175-1240) que publicó en 1202 el libro “Liber abbaci”, con contribuciones no solo en aritmética sino también en álgebra y geometría. La facilidad lograda por éste sistema en la realización de los cálculos, originó el florecimiento de la matemática aplicada, facilitó el gran desarrollo de las otras ciencias y por supuesto contribuyö al explosivo avance de la tecnología. La numeración decimal es la noción mas común que tiene el hombre actual. Sistemas de Numeración 21

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? ? ? Sistema de numeración decimal o de posición de base 10 Todo lo que se señale a continuación puede parecer trivial, por ser el sistema de numeración decimal, ampliamente conocido. No obstante se considera de interés destacar algunas propiedades del mismo. En este sistema se tienen diez signos o dígitos diferentes: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 y 9. . Probablemente, como ya se señaló, esta cantidad tiene como raíz histórica un hecho fisiológico: los diez dedos articulados de las manos. Para escribir números mayores que 9, se le asigna un “peso” o “ponderación” a las posiciones siguientes, de derecha a izquierda, equivalentes a las potencias crecientes, enteras y sucesivas del número 10 (base del sistema). Sistemas de Numeración 22

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• Así en un determinado número, cada cifra tiene un valor por el dígito y otro valor por la posición que ocupa. • Si se toma como caso el número 444, los tres dígitos 4, valen respectivamente de derecha a izquierda cuatro, cuarenta y cuatrocientos. • Como otro ejemplo se analizará un número natural cualquiera: 528 473 -------------3 . 100 = 3 ----------------7 . 101 = 70 ------------------4 . 102 = 400 ---------------------8 . 103 = 8 000 -----------------------2 . 104 = 20 000 --------------------------5 . 105 = 500 000 528 473 Sistemas de Numeración 23

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? ? ? 3 2 Se destaca el hecho de que el número decimal puede expresarse como un polinomio o una serie de potencias de 10, donde los sucesivos dígitos representan los coeficientes del desarrollo. Así se tendrá en el ejemplo anterior: 5 7 8 4 7 3 = 5 .105 + 7 .104 + 8 .103 + 4. 102 + 7. 101 + 3. 100 Asimismo se señala que los “pesos” de las posiciones de la parte fraccionaria, son considerados a partir de la coma decimal, de izquierda a derecha, como las potencias de 10, de exponentes negativos decrecientes. De manera similar se tiene: 0, 8 6 9 1 = 8 10-1 + 6.10-2 + 9.10-3 + 1.10-4 También se puede obtener el dígito de cada orden, haciendo divisiones sucesivas por la base 10, como se muestra a continuación: El número se reconstruye escribiendo en orden inverso, desde el último cociente hacia los restos intermedios: 4, 7, 5, 2, 3 = 47 523. 47 523 / 10 = 4752 4752 / 10 = 475 475 / 10 = 47 5 47 / 10 = 4 Sistemas de Numeración 7 4 24

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Sistema de Numeración Decimal o de Posición en base 10 Peso relativo y Nombre de cada posición 106 = 1 000 000 : unidades de millón----------------------6 105 = 100 000 : centenas de mil------------------------------7 104 = 10 000 : decenas de mil--------------------------------4 103 = 1 000 : unidades de mil---------------------------------8 102 = 100 : centenas---------------------------------------------5 101 = 10 : decenas------------------------------------------------2 100 = 1 : unidades------------------------------------------------3 n = 6 7 4 8 5 2 3 , 7 3 5 2 4 8 7 -------------------------Décimos: 0,1 = 10-1 3 -------------------Centésimos: 0,01 = 10-2 5 ---------------------Milésimos: 0,001 = 10-3 2 ------------Diezmilésimos: 0,000 1 = 10-4 4 ----------Cienmilésimos: 0,000 01 = 10-5 8 -----------Millonésimos: 0,000 001 = 10-6 Sistemas de Numeración 25

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? ? Sistemas de Posición en cualquier base. Las propiedades y algoritmos señalados en el título anterior para numeración decimal, son absolutamente válidos para todos los sistemas de posición, cualquiera sea el número de signos utilizados como base. Sea “n” el número de signos diferentes con que se desea estructurar un sistema de numeración. Las diferentes posiciones de derecha a izquierda, valdrán sucesivamente: n0 = 1; n1 = n; n2; n3; n4; n5; . . . Es decir que los “pesos” de cada posición, serán las potencias enteras crecientes de la base. Sistemas de Numeración 26

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? ? ? Sistemas de Posición en cualquier base. Para construir un número en cualquier base, deben definirse los signos que se emplearán y luego aplicar el método de las divisiones sucesivas. Por sencillez solo trabajaremos con números enteros positivos y signos decimales conocidos. Se destaca que podrían utilizarse cualquier conjunto de “dibujitos ” arbitrarios. Por convención, se señala la base en que está expresado un número, colocando luego de él, uno o mas dígitos entre paréntesis. Si no se indica nada, debe entenderse que la base es 10 . Para una mejor comprensión se desarrolla a continuación, un mismo número (cualquiera), en diferentes bases. Tomamos por ejemplo el número 429 = 429 (10) : Sistemas de Numeración 27

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• Sistemas de Posición en cualquier base. En base “ 9 “ - - - - - - - - - - - - - Sean los signos: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 y 8. 429 / 9 = 47 6 47 / 9 = 5 2 5 429 (10) = 526 (9) ; La serie de potencias de 9 permite leer el número obtenido: 526 (9) = (6 90) + (2 91) + (5 92) = 6 + 18 + 405 = 429 (10) Sistemas de Numeración 28

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• Sistemas de Posición en cualquier base. En base “ 8 “ ( o sistema octal ) - - - - - - - - - - - - - Sean los signos: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 y 7. 429 / 8 = 53 5 53 / 8 = 6 5 6 429 (10) = 655 (8) ; La serie de potencias de 8 permite leer el número obtenido: 655 (8) = (5 80) + (5 81) + (6 82) = 5 + 40 + 384 = 429 (10) Sistemas de Numeración 29

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• Sistemas de Posición en cualquier base. En base “ 7 “ - - - - - - - - - - - - - Sean los signos: 0; 1; 2; 3; 4; 5 y 6. . 429 / 7 = 61 2 61 / 7 = 8 5 8/7=1 1 1 429 (10) =1152 (7) ; La serie de potencias de 7 permite leer el número obtenido: 1152 (7) = (2 70) + (5 71) + (1 72) + (1 73) = 2 + 35 + 49 + 343 = 429 (10) Sistemas de Numeración 30

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• Sistemas de Posición en cualquier base. En base “ 6 “ - - - - - - - - - - - - - Sean los signos: 0; 1; 2; 3; 4 y 5. 429 / 6 = 71 3 71 / 6 = 11 5 11 / 6 = 1 5 1 429 (10) =1553 (6) ; La serie de potencias de 6 permite leer el número obtenido: 1553 (6) = (3 60) + (5 61) + (5 62) + (1 63) =3+ 30 + 180 + 216 = 429 (10) Sistemas de Numeración 31

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• Sistemas de Posición en cualquier base. En base “ 5 “ - - - - - - - - - - - - - Sean los signos: 0; 1; 2; 3 y 4. 429 / 5 = 85 4 85 / 5 = 17 0 17 / 5 = 3 2 3 429 (10) = 3204 (5) ; La serie de potencias de 5 permite leer el número obtenido: 3204 (5) = (4 50) + (0 51) + (2 52) + (3 53) =4+ 0 + 50 + 375 = 429 (10) Sistemas de Numeración 32

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• 1 Sistemas de Posición en cualquier base. En base “ 4 “ - - - - - - - - - - - - - Sean los signos: 0; 1; 2 y 3. 429 / 4 = 107 107 / 4 = 26 3 26 / 4 = 6 2 6 /4 = 1 2 1 429 (10) = 12231 (4) ; La serie de potencias de 4 permite leer el número obtenido: 12231 (4) = (1 40) + (3 41) + (2 42) + (2 43) + (1 44) = 1 + 12 + 32 + 128 + 256 = 429(10) Sistemas de Numeración 33

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• 0 Sistemas de Posición en cualquier base. En base “ 3 “ ( o sistema ternario ) - - - - - - - - - Sean los signos: 0; 1 y 2. 429 / 3 = 143 143 / 3 = 47 2 47 / 3 = 15 2 15 / 3 = 5 0 5/3=1 2 1 429 (10) = 120220 (3) ; La serie de potencias de 3 permite leer el número obtenido: 120220 (3) = (0 30) + (2 31) + (2 32) + (0 33) + (2 34) + (1 35) = = 0 + 6 + 18 + 0 + 162 + 243 = 429 (10) Sistemas de Numeración 34

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• 1 0 Sistemas de Posición en cualquier base. En base “ 2 “ ( o sistema binario ) - - - - - - - - - Sean solamente los signos: 0 y 1. 429 / 2 = 214 214 / 2 = 107 107 / 2 = 53 1 53 / 2 = 26 1 26 / 2 =13 0 13 / 2 = 6 1 6/2=3 0 3/2=1 1 1 429 (10) = 110101101 (2) ; La serie de potencias de 2 permite leer el número obtenido: 110101101 (2) = (1 20) + (0 21) + (1 22) + (1 23) + (0 24) + (1 25) + + (1 26) + (0 27) + (1 28) = 1 + 0 + 4 + 8 + 0 + 32 + 0 + 128 + 256 = 429 (10) Sistemas de Numeración 35

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• Sistemas de Posición en cualquier base. En base “ 16 “ ( o sistema hexadecimal ) - - - - - - - - Sean 16 los signos: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; A; B; C; D; E y F. (se utilizan las letras como dígitos, que valen respectivamente:10; 11; 12; 13; 14 y 15) 429 / 16 = 26 13 26 / 16 = 1 10 1 429 (10) = 1AD (16) La serie de potencias de 16 permite leer el número obtenido: 1AD (16) = (D 160) + (A 161) + (1 162) = 13 + 160 + 256 = 429 (10) Sistemas de Numeración 36

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? ? ? ? Sistema “Hexadecimal” ó en base 16 Este sistema solo se utiliza para presentar información binaria en forma compacta (por ejemplo para nombrar las direcciones de una memoria en un manual técnico. Nunca se usa en el interior de una máquina Nuestra vista prefiere ver pocos símbolos aunque sean variados, que muchos signos binarios. Esto es exactamente lo contrario que para un sistema inanimado (una computadora), dentro de la cual la numeración binaria es la única que se utiliza. Destacamos que en hexadecimal solo dos posiciones, permiten señalar 256 puntos diferentes. Esto resulta cómodo para algunas indicaciones técnicas. El pasaje de un número hexadecimal a binario es sencillo, ya que cada signo hexadecimal se reemplaza por cuatro dígitos binarios y viceversa. Sistemas de Numeración 37

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? ? ? Sistema “Binario” ó en base 2 Este sistema puede llamarse también “Numeración Binaria” y solo dispone de “ceros” y “unos” como signos posibles. ( “0” y “1” ) Es en la actualidad el mas importante de todos los sistemas de numeración, después, claro está, del sistema decimal usado en la vida diaria. Esta afirmación quedará justificada en forma analítica, al estudiarse los temas correspondientes a “Lógica Matemática” y “Algebra de Boole”. En efecto, la relativamente reciente aparición de las máquinas computadoras, las computadoras personales, las pequeñas calculadoras electrónicas y una gran cantidad de aparatos y dispositivos que revolucionaron el mundo en los últimos años, se debió por supuesto a tremendos avances científicos y tecnológicos, pero fundamentalmente pudieron realizarse, debido a la adopción de la “numeración binaria”. Esta numeración constituye en forma exclusiva el “lenguaje interno” de todos los dispositivos informáticos, equipos de control automático, sistemas de cálculo y sistemas de medición y control de tiempo. Sistemas de Numeración 38

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? Sistema “Binario” ó en base 2 Los números binarios se generan mediante la aplicación formal de las reglas de los números decimales: Decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Binario 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 Decimal 17 18 . . . 31 32 . . . 63 64 . . 127 Binario 10001 10010 . . . 11111 100000 . . . 111111 1000000 . . 1111111 15 16 Sistemas de Numeración 1111 10000 128 10000000 . . . y así siguiendo . . . 39

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? ? Sistema “Binario” ó en base 2 Pasaje de un número decimal a binario: Ya se vio en el ejemplo, que se deben efectuar las sucesivas divisiones del número decimal dado, por 2, hasta llegar a un cociente de valor 1. Las cifras del número binario son, de izquierda a derecha, el último cociente (1), seguido por los “restos” de las divisiones tomados en forma “ascendente”. Sea: 81 (10) 81 / 2 = 40 1 40 / 2 = 20 0 20 / 2 = 10 0 10 / 2 = 5 1 5/2=2 1 2/2=1 0 1 ________ 81 (10) = 1011001 (2) Sistemas de Numeración 40

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? ? Sistema “Binario” ó en base 2 Pasaje de un número binario a decimal: Teniendo en cuenta que las sucesivas posiciones del binario “pesan” como las potencias enteras del 2, estan valdrán : 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; 128; 256; 512; 1024; 2048; 4096; . . . Etc.; etc. Además como los dígitos sólo pueden valer “0” ó “1”, se sumarán, de derecha a izquierda, solamente aquellas potencias que coincidan con los “1” del binario propuesto: Ejemplos: Sistemas de Numeración 10100011 (2) = 1 + 2 + 32 + 128 = 163 (10) 11100 (2) = 4 + 8 + 16 = 28 (10) 11111 (2) = 1 + 2 + 4 +8 + 16 = 31 (10) 41

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