1 TEORÍA DE REDES. CIRCUITOS LINEALES Sentido convencional
de la corriente: Supondremos que la corriente eléctrica en
los circuitos lineales que vamos a estudiar está formada
por un flujo de cargas positivas que se origina en el polo
positivo de las fuentes y se mueven a través de los
elementos conductores del circuito hasta alcanzar el polo
negativo de las fuentes. Símbolo de resistencia
2 Rama: grupo de componentes de un circuito por los que circula
la misma corriente. Nudo / nodo: punto de conexión de dos
o más ramas. Red: Sistema de conductores que forman un
circuito cerrado. Lazo: Cualquier trayectoria cerrada en una red.
Malla: Lazo que no contiene otra trayectoria cerrada en su
interior TERMINOLOGÍA BÁSICA DE LA TEORÍA DE
REDES Resistencia Fuente de voltaje Fuente de corriente
3 LEYES DE KIRCHHOFF Ley de Kirchhoff de la corriente. LKC: En
cualquier instante, la suma de todas las corrientes que concurren
en un nudo es igual a cero. Ley basada en la conservación
de la carga (ecuación de continuidad): cuando el circuito
funciona en régimen estacionario, la carga no se acumula
en ningún punto del mismo. Para su aplicación damos
un signo a las corrientes entrantes y el signo opuesto a las
corrientes salientes. Ley de Kirchhoff del voltaje. LKV: La suma
de las caídas de tensión a lo largo de cualquier
trayectoria cerrada debe ser igual a cero en cualquier instante.
Definición de caída de tensión. La
caída de tensión V12 entre dos puntos de un
circuito (potencial del punto 1 respecto al punto 2) se define
como la energía (en julios) disipada cuando una carga de
+1 C circula entre el punto 1 y el punto 2. Ley basada en la
conservación de la energía: la energía
disipada en las resistencias debe ser suministrada por las
fuentes para mantener constante el flujo de cargas. Ejemplo: Si
V12 = +5V, la tensión V2 es menor que V1 ? se disipan 5 J
cuando + 1C circula desde 1 ? 2 Si V12 = -5V, la tensión
V2 es mayor que V1 ? la energía de +1 C de carga se
incrementa en 5 J cuando circula desde 1 ? 2. Esto implica que
debe haber fuentes que suministren tal energía.
4 LEYES DE KIRCHHOFF (Cont.) Reglas de aplicación 1. En
una resistencia hay una caída de tensión positiva
en el sentido de la corriente cuyo valor es i·R (ley de
Ohm). 2. En una batería (o fuente de c.c.) hay una
caída de tensión positiva (igual a su valor V0) en
el sentido del terminal + al – con independencia del
sentido de la corriente. (Gp:) Resto del circuito +9 V -9 V
Ejemplo: medidas con polímetros ¿Lectura? ?
¿Lectura? Ejemplo2 -4.5 V -9 V (Gp:) Mismo potencial (Gp:)
Mismo potencial
5 FÓRMULAS DE LOS DIVISORES DE TENSIÓN Y DE
CORRIENTE Divisor de tensión Formado por un conjunto de
resistencias en serie (circula la misma corriente por todas
ellas, la resistencia equivalente es igual a la suma de las
resistencias). Datos conocidos aplicamos LKV para calcular i
Cálculo de caídas de tensión a través
de las resistencias (ley de Ohm) Caída de tensión a
través de fuente: Intensidad calculada a partir de LKV
Fórmula del divisor de tensión: sirve para calcular
la caída de tensión (voltaje) en cada resistencia.
En general: para la resistencia Rk Forma alternativa de
representar el circuito: cortado a tierra. Símbolo de
tierra. Representa el potencial más bajo,
convencionalmente igual a cero. Resistencia en serie:
6 Divisor de corriente Formado por un conjunto de resistencias en
paralelo (todas las resistencias están sometidas a la
misma diferencia de potencial, y circula una corriente diferente
por cada una de ellas). Resistencia equivalente: el inverso de la
resistencia de la asociación en paralelo es igual a la
suma de los inversos de las resistencias que lo forman.
FÓRMULAS DE LOS DIVISORES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE
Datos conocidos Resistencia paralelo ? Obtenemos RP La d.d.p.
entre los extremos de cada resistencia paralelo es V0. Ley de
Ohm: Circuito equivalente LKV: (Gp:) igualamos Fórmula del
divisor de corriente para la resistencia Rk Obsérvese que
se verifica LKC El mismo circuito cortado a tierra
7 FÓRMULAS DE LOS DIVISORES DE TENSIÓN Y DE
CORRIENTE. EJEMPLO Determinar la corriente y la caída de
tensión en cada una de las resistencias del circuito
siguiente. LKV: Las resistencias de 2 k? y 3 k? forman un divisor
de corriente en el que la corriente entrante es i = 3 mA.
Cálculo de caídas de tensión Esta es la
caída de tensión en las resistencias de 2 k? y 3 k?
Dibujar el mismo circuito cortado a tierra Esta es la corriente
en la resistencia de 2.8 k?
8 FUENTES DE TENSIÓN o VOLTAJE Fuente ideal de
tensión o voltaje (independiente) Es aquella que mantiene
siempre la misma diferencia de potencial entre sus terminales,
igual a la fuerza electromotriz ? de la fuente,
independientemente de la corriente que circula por ella y de las
tensiones en otras partes del circuito. Fuente real de
tensión o voltaje Excepto cuando se encuentra en circuito
abierto, toda fuente real de tensión sufre una
pérdida de voltaje entre sus terminales debido a que
dentro de la misma existe resistencia al paso de la corriente y
por lo tanto una parte de la energía que la fuente puede
suministrar por unidad de carga se invierte en que la corriente
circule a través de la propia fuente. Una fuente real
puede considerarse como una fuente ideal de tensión ?
conectada en serie con una resistencia interna r. LKV:
Caída tensión Fuerza electromotriz (f.e.m.) de una
fuente Se define como el trabajo que la fuente es capaz de
realizar sobre la unidad de carga positiva para transportarla del
polo negativo hasta el positivo a través de su interior.
En el S.I. se expresa en J/C, es decir, en voltios. Fuente de
tensión o voltaje dependiente Aquella cuyo valor de
tensión depende de las tensiones o corrientes de otras
partes del circuito, (No serán consideradas en este tema).
Una fuente de voltaje es de mayor calidad cuanto menor sea su
resistencia interna r. Potencia suministrada por una fuente
9 Fuente ideal de corriente (independiente) Es un elemento que
suministra a la rama en la que se encuentra conectado una
corriente constante independientemente de la diferencia de
potencial entre sus terminales.. Fuente real de corriente Una
fuente real de corriente puede considerarse como la
combinación de una fuente ideal con una resistencia r en
paralelo, de modo que una fracción de la corriente
suministrada por la fuente de corriente ideal no llega a salir al
circuito exterior. La calidad de una fuente de corriente es tanto
mayor cuanto mayor sea el valor de la resistencia r. FUENTES DE
CORRIENTE Circuito exterior Ejemplo Equivalente: 4R
10 CIRCUITO ABIERTO Y CORTOCIRCUITO Circuito abierto: puede
considerarse como una conexión con resistencia infinita.
Por él no circula corriente. Cortocircuito: es una
unión carente de resistencia. Por lo tanto entre sus
terminales no hay caída de tensión. APARATOS DE
MEDIDA: VOLTÍMETROS Y AMPERÍMETROS
Voltímetro: destinado a medir las caídas de
tensión entre dos puntos de un circuito. Se conecta en
paralelo y lo ideal es que el aparato se comporte como un
circuito abierto (es decir, su resistencia interna RV sea muy
grande), para que por él no circule ninguna corriente que
pueda alterar la medida de tensión entre los dos puntos
conectados a, b. Circuito Voltímetro Amperímetro:
destinado a medir la corriente que circula por una rama de un
circuito. Se conecta en serie y lo ideal es que el aparato se
comporte como un cortocircuito (es decir, su resistencia interna
RA sea lo menor posible), para que pueda medirse la corriente
circulante sin alterarla (sin introducir una caída de
tensión extra que afecte a su valor). Circuito Rama
Amperímetro
11 SUPERPOSICIÓN En un circuito lineal donde existen
diversas fuentes de voltaje y/o de corriente, las intensidades
circulantes y las caídas de tensión en los
distintos elementos del circuito pueden calcularse por
adición de las contribuciones de cada una de las fuentes
en el elemento considerado. + ? Para llevar a cabo el
cálculo de la contribución una fuente en
particular, se considerará que el resto de fuentes de
voltaje se sustituyen por un cortocircuito (consideradas ideales,
su resistencia interna es cero), y el resto de fuentes de
corriente se sustituyen por un circuito abierto (consideradas
ideales, su resistencia interna es infinita). Ejemplo. Calcular
la corriente que circula por la resistencia de 200 ? y la
caída de tensión entre los terminales de la fuente
de corriente. La contribución a la corriente en cada rama
y a la caída de tensión en cada elemento del
circuito es la suma de las contribuciones de los siguientes
circuitos simples, constando cada uno de una sola fuente:
Cálculo i1: divisor de corriente Cálculo i2: LKV y
luego divisor corriente Cálculo i3: LKV Caída de
tensión entre los terminales de la fuente de corriente: la
misma que en la rama situada más a la derecha.
12 TEOREMA DE THEVENIN En cualquier circuito lineal, toda
combinación de resistencias, fuentes de voltaje y fuentes
de corriente (red lineal), vista desde un par de terminales a y
b, puede sustituirse por: * Una fuente de voltaje VTh igual al
voltaje medido en circuito abierto entre los terminales a, b. *
Una resistencia en serie con la fuente anterior cuyo valor es la
resistencia equivalente entre a y b. Red lineal Resto circuito
Importante: este teorema implica que cuando una red lineal es
sustituida por su equivalente Thèvenin, las corrientes y
voltajes del resto del circuito no sufren alteración.
Resistencia equivalente Rab: para su cálculo se determina
la resistencia equivalente desde los terminales a, b,
después de sustituir las fuentes de voltaje por
cortocircuitos y las fuentes de corriente por circuitos abiertos.
Ejemplo: determinar el equivalente Thévenin entre los
terminales a, b del circuito (véase resultado ejemplo
anterior) (Gp:) ? (Gp:) Resto circuito (Gp:) Circuito (Gp:)
¿Interpretación?
13 TEOREMA DE NORTON En cualquier circuito lineal, toda
combinación de resistencias, fuentes de voltaje y fuentes
de corriente (red lineal), vista desde un par de terminales a y
b, puede sustituirse por: * Una fuente de corriente ideal igual a
la corriente de cortocircuito iCC entre los terminales a, b. *
Una resistencia en paralelo con la fuente anterior cuyo valor es
la resistencia equivalente entre a y b. Red lineal Resto circuito
Importante: este teorema implica que cuando una red lineal es
sustituida por su equivalente Norton, las corrientes y voltajes
del resto del circuito no sufren alteración. (Gp:) Resto
circuito La corriente de cortocircuito es la corriente que
circularía a través de una conexión de
resistencia cero que conectase los terminales a y b, cuyo valor
está dado por iCC = VTh/Rab. La resistencia equivalente
Rab se calcula del mismo modo indicado en el apartado de
equivalente Thèvenin. Ejemplo: determinar el equivalente
Norton entre los terminales a, b del circuito Thèvenin
(Gp:) Cortocircuito (Gp:) Circuito (Gp:) CC (Gp:) i
14 CONVERSIONES ENTRE FUENTES DE VOLTAJE E INTENSIDAD
Conversión de fuente de corriente y resistencia en
paralelo (Gp:) Resto circuito Aplicando el teorema de
Thévenin, para el resto del circuito esto es equivalente a
Resto circuito Si se cumple Resto circuito Si se cumple Aplicando
el teorema de Norton, para el resto del circuito esto es
equivalente a Conversión de fuente de voltaje y
resistencia en serie (Gp:) Resto circuito
15 MÉTODO DE MALLAS Es un algoritmo basado en la LKV que,
ilustrado con un ejemplo, se aplica siguiendo estos pasos: 1. Se
numeran las mallas, se elige arbitrariamente un sentido, horario
o antihorario, y se asigna a cada malla del circuito a resolver
una corriente ficticia, denominada corriente de malla, la cual
circula en el sentido elegido (el mismo para todas las mallas del
circuito a resolver). 2. Siendo n el número de mallas, se
construye una matriz cuadrada de resistencias colocando en la
diagonal principal la suma de resistencias de cada malla, y
siendo los elementos fuera de la diagonal principal los opuestos
de las sumas de las resistencias compartidas por dos mallas
adyacentes (es decir, las situadas en la rama que limita ambas
mallas). Obsérvese que la matriz de resistencias
así construida es simétrica porque las resistencias
compartidas por la malla i y la malla j aparecen tanto en la
columna j de la fila i como en la fila i de la columna j. (Gp:)
Compartida mallas 2 y 3 (Gp:) Compartida mallas 1 y 3 (Gp:)
Compartida mallas 1 y 2 (Gp:) Compartida mallas 2 y 1 (Gp:)
Compartida mallas 3 y 1 (Gp:) Compartida mallas 3 y 2 (Gp:) Malla
1 (Gp:) Malla 2 (Gp:) Malla 3
16 MÉTODO DE MALLAS (CONTINUACIÓN) 3. Se construye
un vector de fuerzas electromotrices que contiene un elemento por
cada malla. Cada uno de estos elementos es la suma algebraica de
los valores todas las fuentes que existan en el contorno de dicha
malla, figurando la f.e.m. de cada fuente con signo + cuando al
recorrer la malla en el sentido arbitrariamente elegido se entra
en ella por el polo negativo, y signo – cuando se entra en
ella por el polo positivo. 4. Las corrientes de malla se calculan
resolviendo la siguiente ecuación matricial: donde las
incógnitas son las componentes del vector de las
corrientes de malla (iM), dado por Para resolver el sistema
calculamos los siguientes determinantes: Solución:
17 MÉTODO DE MALLAS (CONTINUACIÓN) Pregunta 2.
¿Tiene alguna ventaja definir las ficticias corrientes de
malla para resolver el circuito, en lugar de calcular la
corriente en cada rama aplicando directamente las leyes de
Kirchhoff?. Pregunta 1. Demostrar sobre el ejemplo anterior, por
aplicación directa de las leyes de Kirchhoff, que el
algoritmo indicado conduce al resultado correcto para las
corrientes de malla. Ejemplo numérico. Resolver el
circuito siguiente. Calcular qué corriente circula por
cada fuente y determinar la caída de tensión entre
A y B. Matriz de resistencias Determinantes Vector f.e.m
Ecuación matricial del sistema (Sentido de la corriente de
malla opuesto al que supusimos) Sentido opuesto a iM1 Sentido
opuesto a iM1 (Gp:) Sentido real
18 Una red lineal está formada por la fuente de corriente,
fuentes de voltaje y resistencias que aparecen en el siguiente
diagrama de circuito. Utilizando la conversión entre
fuentes de intensidad y fuentes de voltaje para aplicar
después el método de mallas, se pide: (a)
Determinar la corriente circulante por la resistencia de 2.2 k? y
la d.d.p. en la de 0.05 k?. ¿Merece algún
comentario el resultado? (b) Calcular el equivalente
Thévenin entre los terminales de la resistencia de 2.2 k?.
EJEMPLO (c) Si sustituimos la resistencia de 0.05 k? por otra de
5.05 k?, dejando invariable todos los demás elementos del
circuito, ¿cómo se vería afectada la
corriente que circula por la resistencia de 2.2 k? y la d.d.p.
entre sus extremos? ¿Qué corriente circula por la
resistencia de 5.05 k?? ¿Qué d.d.p. hay en la
fuente de corriente?
19 Mallas: La fuente de corriente proporciona 1200 mA. Pero al
ser su resistencia en paralelo tan pequeña, casi toda la
corriente (1183 mA) se desvía a través de
ésta y no está disponible para el resto del
circuito. EJEMPLO. SOLUCIÓN. Corrientes malla Resistencia
2.2 k?: (a) Convertimos la fuente de corriente y su resistencia
paralelo en fuente de voltaje / resistencia serie (a) Determinar
la corriente circulante por la resistencia de 2.2 k? y la d.d.p.
en la de 0.05 k?.
20 (b) Calcular el equivalente Thévenin entre los
terminales de la resistencia de 2.2 k?. EJEMPLO. SOLUCIÓN.
Resistencia entre C y D Cortocircuitamos las fuentes de voltaje y
abrimos la fuente de corriente Tres resistencias en paralelo
Voltaje Thèvenin: es la d.d.p. medida por un
voltímetro ideal entre los terminales C y D. Puesto que ya
calculamos antes la corriente circulante por la resistencia de
2.2 k?, podemos determinar inmediatamente dicho voltaje.
21 (c) Si sustituimos la resistencia de 0.05 k? por otra de 5.05
k?, dejando invariable todos los demás elementos del
circuito, ¿cómo se vería afectada la
corriente que circula por la resistencia de 2.2 k? y la d.d.p.
entre sus extremos? ¿Qué corriente circula por la
resistencia de 5.05 k?? ¿Qué d.d.p. hay en la
fuente de corriente? EJEMPLO. SOLUCIÓN. La fuente de
corriente proporciona 1200 mA. Como su resistencia en paralelo es
ahora mayor, la fracción de la corriente de la fuente que
circula por ella es bastante menor que en el apartado a). En
consecuencia, crece la corriente que circula por las ramas del
circuito, en particular por la de 2.2 k?. Corrientes malla
Resistencia 2.2 k?: Mallas: 1779 V