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Funciones matemáticas en la forma y=f(x)

Enviado por Arturo Gustavo Tajani





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Todos sabemos que el estudio de “Matemática” implica conocer y familiarizarse con enunciados, reglas, propiedades, conceptos, teoremas, procedimientos y muchas cosas mas. Pero resulta interesante destacar que toda la estructura de esta ciencia, desde la mas elemental “aritmética”, hasta los mas complejos desarrollos del “análisis matemático” se basan en dos conceptos (que se consideran fundamentales): El primero es la noción de “NÚMERO”; el segundo es el concepto de “FUNCIÓN”. Se podría decir que éstos son como las dos “piernas” o “columnas” sobre las que se asientan la totalidad de los capítulos en que puede dividirse la compleja estructura que forma la “Matemática actual”. Este trabajo se refiere, con cierto detalle, al concepto de “FUNCIÓN” y a las diferentes e infinitas formas que pueden adoptar en general “las FUNCIONES”. Funciones matemáticas

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3 Funciones; conceptos básicos: En el mundo que nos rodea existen muchos ejemplos sencillos de la noción de función . En efecto supongamos un simple viaje en taxi. Claramente en este caso hay dos variables que son, una la “distancia a recorrer (d)” y la otra el “precio del viaje (p)”. Por supuesto que todos sabemos que a cada distancia “d” le corresponde un precio ”p” y solo uno. En este ejemplo las dos variables tienen una diferencia fundamental; mientras que la distancia “d” la impone el pasajero de acuerdo a su necesidad, el precio del viaje “p” lo suministra el sistema. La variable “d es independiente” pero la variable “p es dependiente” de la primera. Si aceptamos que la palabra “depende”, puede reemplazarse por la expresión “es función”, podemos decir que el precio del viaje “depende” o “es función “de la distancia recorrida. No hay ningún inconveniente en usar el siguiente simbolismo: p = f (d) y decir que “p” es función de “d”. Funciones matemáticas

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4 Se puede generalizar lo anterior y definir “función” empleando un lenguaje sencillo, pero no demasiado riguroso. Se dice que una variable “y” es función de otra variable “x”, cuando entre ellas existe una expresión matemática tal que, a cada valor de “x” le hace corresponder un valor de “y” y sólo uno. y = f(x) Esta correspondencia “uno a uno” entre las variables se conoce como “unívoca”. La variable “x” se llama “variable independiente” o “argumento”, mientras que a la “y” se la conoce como “variable dependiente” o “función”. El conjunto de valores que pueden ser asignados a “x” se llama “Dominio D” o “conjunto de partida” mientras que se conoce como “Codominio CD” o “conjunto de llegada”, el que agrupa a los valores que puede tomar “y”. Dentro del codominio pueden existir elementos que no se correspondan con elementos del dominio; en ese caso se puede definir como “conjunto imagen” al que contiene solo aquellos valores que coincidan, por la función, con elementos del conjunto “x”. Funciones matemáticas

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5 Destacamos que una función no es la expresión matemática o fórmula que relaciona a las variables, sino que es el conjunto de todos los pares ordenados ( ???? ; ???? ) que satisfacen a la expresión dada. No obstante, suele decirse que la fórmula define a la función, pero resulta indispensable expresar claramente el “dominio” de la misma. Varios son los métodos de representación de las funciones: 1° - Mediante diagramas de Venn 2° - Con una matriz de dos columnas en correspondencia con las variables x e y . 3° - Mediante un gráfico Cartesiano. Nos apoyaremos en un cuadro de valores o matriz, para lo cual, utilizando la expresión dada, se calcularán en cada caso los valores numéricos correspondientes a “y”, para cada valor numérico arbitrario de “x”. Si bien el número de puntos que se calculen es obviamente limitado, una razonable interpolación gráfica permitirá conocer la “forma” de la función llevando los pares a coincidir con los puntos de un “grafico Cartesiano”. Debemos considerar que las expresiones matemáticas que relacionan a las variables son “infinitas”. Se tratará de probar esta afirmación, pero para un estudio sistemático de las funciones las agruparemos en “familias” con características particulares. Funciones matemáticas

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1. 6 Primera clasificación de las funciones matemáticas: Funciones Algebraicas Funciones Matemáticas Funciones Trascendentes Funciones Especiales Pero veremos una clasificación mas detallada: Funciones matemáticas

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2. 7 Racional Entera Lineal o de 1° grado Cuadrática o de 2° grado Cúbica o de 3° grado Polinomio general grado “n” Funciones Algebraicas Racional Fraccionaria Hiperbólica Homográfica Fraccionaria General Irracional Funciones matemáticas

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8 3. Funciones Trascendentes Exponencial Logarítmica Trigonométricas Hiperbólicas Creciente Decreciente Log. Decimales Log. Naturales Directas: Sen, Cos, Tg, Ctg, Sec y Cosec Inversas: arc.sen, arc.cos, etc. Directas Sh, Ch, Th. Inversas: arg.sh, arg.ch, etc. Funciones matemáticas

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4. 9 Lineales Módulo Signo Parte Entera Mantisa Funciones Especiales Operaciones entre funciones. Suma, Resta, Producto y Cociente Compuesta o función de función. Paramétricas Definida por tramos Funciones matemáticas

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5. 10 Algebraicas Racional Entera Racional Fraccionaria Irracional Exponencial Lineal o de 1° grado Cuadrática o de 2° grado Cúbica o de 3° grado Polinomio general grado “n” Hiperbólica Homográfica Fraccionaria General Creciente Decreciente Funciones Matemáticas Trascendentes Logarítmica Trigonométricas Log. Decimales Log. Naturales Directas: Sen, Cos, Tg, Ctg, Sec y Cosec Inversas: arc.sen, arc.cos, etc. Hiperbólicas Lineales Operaciones entre Directas Sh, Ch, Th. Inversas: arg.sh, arg.ch, etc. Módulo Signo Parte Entera Especiales funciones. Compuesta o función de función. Paramétricas Definida por tramos Funciones matemáticas Mantisa

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11 Coordenadas Cartesianas Ortogonales y +y Eje de ordenadas P(x;y) 1° cuadrante 2° cuadrante a = ángulo de una recta -x 3° cuadrante x -y Funciones matemáticas Origen (0;0) 4° cuadrante +x Eje de abcisas

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12 Funciones desde el comienzo 1. F. Lineal 2. F. Cuadrática 3. F. Cúbica 4. F. Polinomio gral. 5. F. Hiperbólica 6. F. Homográfica 7. F. Racional fraccionaria 8. F. Irracional 9. F Exponencial 10. F Logarítmica Elem. de Trigonometría 11. F. Trigonométricas 12. F. Trigonomét. Inversas 13. F. Hiperbólicas Trascen. 14. F. Hiperb. Inversas 15. F. Especiales lineales 16. Operaciones entre Func. 17. F. Compuesta o F de F. 18. F. Paramétricas 19. F. definidas por tramos Apéndice Funciones matemáticas

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13 1 - Función de 1° grado o Función Lineal y=ax + b Funciones matemáticas

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14 La primera función que se estudia es la llamada: Función lineal: y=ax + b El nombre de “lineal” es debido a que, como se verá, en todos los casos la representación cartesiana de esta función es una “línea recta” situada en algún lugar del plano. El dominio y el codominio, debido a su simpleza, se extiende a todos los números reales: R Como ejemplo tomemos la expresión: y=2x+3 Dándole a la variable “x” valores numéricos cualesquiera, se calculan los correspondientes valores de “y”. Luego se puede construir el siguiente “cuadro” o “tabla de valores”: X 1 2 3 -2 -3,5 0 Y 5 7 9 -1 4 3 Cada par de valores (x;y) se puede representar en un gráfico cartesiano por un punto, haciéndole corresponder al mismo las coordenadas (x;y) en ese orden. Si se unen con un trazo continuo los puntos indicados, se verá que están alineados según una recta. Se pueden obtener por cálculo todos los pares (x;y) de valores que se deseen y los puntos que se grafiquen seguirán estando sobre la recta anterior. Los infinitos pares de valores (x;y) tienen una correspondencia biunívoca con los infinitos puntos de la recta. Por supuesto que, se puede trazar la recta correspondiente, calculando solo dos puntos cualesquiera (dos puntos determinan una recta). Funciones matemáticas

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: 15 Y = 2 x + 3 Gráfico cartesiano Cuadro de valores Puntos aislados 10 9 Recta completa 10 9 X 1 2 3 -2 Y 5 7 9 -1 8 7 6 5 4 3 2 1 8 7 6 5 4 3 2 1 -3,5 4 -4 -3 -2 -1 0 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 -1 0 1 2 3 4 0 3 -2 -3 -4 -2 -3 -4 En lo que sigue, estudiaremos separadamente la influencia que tienen en la posición de la recta, los infinitos valores numéricos posibles para los parámetros “a” y “b” de la función lineal y = a x + b . Funciones matemáticas

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8 6 4 2 16 Función lineal: y = a x + b ; para: 0 < a < 8 (siempre positivo) y b = 0 10 Comenzamos con: y = 1 x (celeste) Y luego al coeficiente “a”, le asignamos varios valores menores que 1. 0 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 -2 -4 -6 -8 -10 Funciones matemáticas

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8 6 4 2 17 Función lineal: y = a x + b ; para: 0 < a < 8 (siempre positivo) y b = 0 10 Comenzamos con: y = 1 x (celeste) Y luego al coeficiente “a”, le asignamos varios valores menores que 1. y = 0,1 x (azul) -10 -8 -6 -4 -2 0 0 2 4 6 8 10 -2 -4 -6 -8 -10 Funciones matemáticas

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8 6 4 2 18 Función lineal: y = a x + b ; para: 0 < a < 8 (siempre positivo) y b = 0 10 Comenzamos con: y = 1 x (celeste) Y luego al coeficiente “a”, le asignamos varios valores menores que 1. y = 0,1 x (azul) -10 -8 -6 -4 -2 0 0 2 4 6 8 10 y = 0,3 x (rojo) Funciones matemáticas -2 -4 -6 -8 -10

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8 6 4 2 19 Función lineal: y = a x + b ; para: 0 < a < 8 (siempre positivo) y b = 0 10 Comenzamos con: y = 1 x (celeste) Y luego al coeficiente “a”, le asignamos varios valores menores que 1. y = 0,1 x (azul) -10 -8 -6 -4 -2 0 0 2 4 6 8 10 y = 0,3 x y = 0,5 x (rojo) (verde) Funciones matemáticas -2 -4 -6 -8 -10

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8 6 4 2 20 Función lineal: y = a x + b ; para: 0 < a < 8 (siempre positivo) y b = 0 10 Comenzamos con: y = 1 x (celeste) Y luego al coeficiente “a”, le asignamos varios valores menores que 1. y = 0,1 x (azul) -10 -8 -6 -4 -2 0 0 2 4 6 8 10 y = 0,3 x y = 0,5 x Y = 0,8 x (rojo) (verde) (violeta) Funciones matemáticas -2 -4 -6 -8 -10

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8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 21 Función lineal: y = a x + b ; para: 0 < a < 8 (siempre positivo) y b = 0 10 Comenzamos con: y = 1 x (celeste) Y luego al coeficiente “a”, le asignamos varios valores menores que 1. y = 0,1 x (azul) -10 -8 -6 -4 -2 0 0 2 4 6 8 10 y = 0,3 x y = 0,5 x Y = 0,8 x (rojo) (verde) (violeta) Funciones matemáticas -10 Si ”a” es menor que 1, el ángulo a aumenta desde 0°, pero no sobrepasa los 45°

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8 4 22 Función lineal: y = a x + b ; para: 0 < a < 8 (siempre positivo) y b = 0 10 Ahora al coeficiente “a”, le damos algunos valores mayores que 1 6 Comenzamos con: y = 1 x (celeste) 2 0 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 -2 -4 -6 -8 -10 Funciones matemáticas

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8 4 23 Función lineal: y = a x + b ; para: 0 < a < 8 (siempre positivo) y b = 0 10 Ahora al coeficiente “a”, le damos algunos valores mayores que 1 6 Comenzamos con: y = 1 x (celeste) 2 y = 1,5 x (naranja) 0 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 -2 -4 -6 -8 -10 Funciones matemáticas

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8 4 24 Función lineal: y = a x + b ; para: 0 < a < 8 (siempre positivo) y b = 0 10 Ahora al coeficiente “a”, le damos algunos valores mayores que 1 6 Comenzamos con: y = 1 x (celeste) 2 y = 1,5 x (naranja) 0 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 y= 3x ( azul) -2 -4 -6 -8 -10 Funciones matemáticas

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8 4 25 Función lineal: y = a x + b ; para: 0 < a < 8 (siempre positivo) y b = 0 10 Ahora al coeficiente “a”, le damos algunos valores mayores que 1 6 Comenzamos con: y = 1 x (celeste) 2 y = 1,5 x (naranja) 0 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 y= 3x ( azul) -2 y = 10 x (rojo) Funciones matemáticas -4 -6 -8 -10

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8 4 -6 26 Función lineal: y = a x + b ; para: 0 < a < 8 (siempre positivo) y b = 0 10 Ahora al coeficiente “a”, le damos algunos valores mayores que 1 6 Comenzamos con: y = 1 x (celeste) 2 y = 1,5 x (naranja) 0 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 y= 3x ( azul) -2 y = 10 x y = 100 x (rojo) (verde) Funciones matemáticas -4 -8 -10

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8 6 4 2 -6 27 Función lineal: y = a x + b ; para: 0 < a < 8 (siempre positivo) y b = 0 10 Ahora al coeficiente “a”, le damos algunos valores mayores que 1 Comenzamos con: y = 1 x (celeste) Cuando el valor de “a” es > 1, el ángulo aumenta desde 45°, pero no sobrepasa los 90°. y = 1,5 x (naranja) 0 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 y= 3x ( azul) -2 y = 10 x y = 100 x (rojo) (verde) Funciones matemáticas -4 -8 -10

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6 4 2 0 -2 28 Función lineal: y = a x + b ; para: 0 < a < 8 (siempre positivo) y b = 0 y = 0,1 x y = 0,3 x y = 0,5 x Y = 0,8 x y=1x (azul) (rojo) (verde) (violeta) (celeste) Y ahora tenemos todo el haz de rectas con “a” positivo. 10 8 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 y = 1,5 x (naranja) y= 3x ( azul) -4 y = 10 x y = 100 x (rojo) (verde) Funciones matemáticas -6 -8 -10

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4 2 0 -2 -6 -8 29 Función lineal: y = a x + b ; para: 0 < a < 8 (siempre positivo) y b = 0 10 y = 0,1 x y = 0,3 x y = 0,5 x Y = 0,8 x y=1x (azul) (rojo) (verde) (violeta) (celeste) 8 6 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 y = 1,5 x (naranja) Conclusión: Si el y= 3x ( azul) -4 coeficiente “a” es positivo, la orientación y = 10 x y = 100 x (rojo) (verde) Funciones matemáticas -10 de la recta es del 1° al 3° cuadrante, en todos los casos. El ángulo varía desde 0° hasta 90°.°

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8 6 30 Función lineal: y = a x + b ; para: 0 > a > - 8 (siempre negativo) y b = 0 10 A continuación al coeficiente “a”, le damos valores entre – 8 y -1 (valores negativos). 4 y = - 100 x (verde) 2 0 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 -2 -4 -6 -8 -10 Funciones matemáticas

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8 6 31 Función lineal: y = a x + b ; para: 0 > a > - 8 (siempre negativo) y b = 0 10 A continuación al coeficiente “a”, le damos valores entre – 8 y -1 (valores negativos). 4 y = - 100 x y = - 10 x (verde) (rojo) 2 0 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 -2 -4 -6 -8 -10 Funciones matemáticas

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8 6 32 Función lineal: y = a x + b ; para: 0 > a > - 8 (siempre negativo) y b = 0 10 A continuación al coeficiente “a”, le damos valores entre – 8 y -1 (valores negativos). 4 y = - 100 x y = - 10 x (verde) (rojo) 2 0 y= -3x ( azul) -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 -2 -4 -6 -8 -10 Funciones matemáticas

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8 6 -4 33 Función lineal: y = a x + b ; para: 0 > a > - 8 (siempre negativo) y b = 0 10 A continuación al coeficiente “a”, le damos valores entre – 8 y -1 (valores negativos). 4 y = - 100 x y = - 10 x (verde) (rojo) 2 0 y= -3x ( azul) -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 -2 y = - 1,5 x (naranja) Funciones matemáticas -6 -8 -10

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8 6 4 2 -4 -6 34 Función lineal: y = a x + b ; para: 0 > a > - 8 (siempre negativo) y b = 0 10 A continuación al coeficiente “a”, le damos valores entre – 8 y -1 (valores negativos). Cuando “a” se hace negativo, la recta sobrepasa los 90°. El ángulo “a” va hasta y = - 100 x y = - 10 x (verde) (rojo) 0 135°, conforme el valor crece hasta -1. y= -3x ( azul) -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 -2 y = - 1,5 x y=-1x (naranja) (celeste) Funciones matemáticas -8 -10

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8 6 2 35 Función lineal: y = a x + b ; para: 0 > a > - 8 (siempre negativo) y b = 0 10 Y finalmente el coeficiente “a” variará entre -1 y 0 (valores negativos). 4 y=-1x (celeste) 0 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 -2 -4 -6 -8 -10 Funciones matemáticas

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8 6 2 0 36 Función lineal: y = a x + b ; para: 0 > a > - 8 (siempre negativo) y b = 0 10 Y finalmente el coeficiente “a” variará entre -1 y 0 (valores negativos). 4 y=-1x Y = - 0,8 x (celeste) (violeta) -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 -2 -4 -6 -8 -10 Funciones matemáticas

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8 6 2 0 -2 37 Función lineal: y = a x + b ; para: 0 > a > - 8 (siempre negativo) y b = 0 10 Y finalmente el coeficiente “a” variará entre -1 y 0 (valores negativos). 4 y=-1x Y = - 0,8 x (celeste) (violeta) -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 y = - 0,5 x (verde) Funciones matemáticas -4 -6 -8 -10

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8 6 2 0 -2 -4 38 Función lineal: y = a x + b ; para: 0 > a > - 8 (siempre negativo) y b = 0 10 Y finalmente el coeficiente “a” variará entre -1 y 0 (valores negativos). 4 y=-1x Y = - 0,8 x (celeste) (violeta) -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 y = - 0,5 x (verde) y = - 0,3 x (rojo) -6 -8 -10 Funciones matemáticas

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8 6 4 2 0 -2 -4 39 Función lineal: y = a x + b ; para: 0 > a > - 8 (siempre negativo) y b = 0 10 Y finalmente el coeficiente “a” variará entre -1 y 0 (valores negativos). El ángulo “a” sigue creciendo hasta el valor 180°, para a=0 y=-1x Y = - 0,8 x (celeste) (violeta) -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 y = - 0,5 x (verde) y = - 0,3 x (rojo) y = - 0,1 x (azul) Funciones matemáticas -6 -8 -10

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8 6 4 2 -2 40 Función lineal: y = a x + b ; para: 0 > a > - 8 (siempre negativo) y b = 0 10 y = - 0,1 x (azul) y = - 0,3 x y = - 0,5 x Y = - 0,8 x (rojo) (verde) (violeta) Y ahora tenemos todo el haz de rectas con “a” negativo. y=-1x (celeste) -10 -8 -6 -4 -2 0 0 2 4 6 8 10 y = - 1,5 x (naranja) y= -3x ( azul) -4 y = - 10 x y = - 100 x (rojo) (verde) Funciones matemáticas -6 -8 -10

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