Introducción a la teoría del consumidor

La introducción a la teoría del consumidor son estudios basados en la distribución del tiempo de las personas, tiene como objetivo principal mostrar cómo la microeconomía puede ser aplicada a situaciones que los consumidores enfrentan cotidianamente. Para esto, se provee al lector de las herramientas comúnmente usadas por los economistas para explicar el comportamiento individual de los agentes. Por tal razón, se desarrolla el esquema formal de la microeconomía, de tal forma que podamos aproximarnos a la conducta de los agentes, siempre y cuando actúen bajo los supuestos enunciados. Ya que el libro pretende ofrecer una introducción básica de la teoría del consumidor, no se demostrará rigurosamente algunos de los teoremas usados, lo cual no implica que no se desarrolle cuidadosamente como éstos pueden emplearse en las estimaciones sobre los diferentes aspectos que conciernen a la elección del consumidor.

Límites de acción

Un límite de acción es la oportunidad de elegir una canasta de bienes que son directamente observables para cualquier consumidor, y cualquier variación en las oportunidades deberá influir directamente sobre la elección.

A menudo cuando vamos a comprar algún bien, no sólo se encuentra el bien que desea sino que además encuentra otros productos que le hacen reflexionar sobre los bienes que llevará. Esta situación muestra que las condiciones sobre las cuales debe elegir han variado y, por lo tanto, el conjunto de oportunidades cambia.

El conjunto de oportunidades

Se puede describir cuando los hogares tienen un ingreso Y, el cual gastan durante un período en M bienes, o en algunos. Dado que los bienes, o la cantidad de ellos, son positivos, a precios positivos, la restricción puede escribirse como:

En las restricciones tenemos 3 las restricciones típicas, las restricciones no lineales, y las restricciones múltiples:

Las restricciones típicas

Son las compras que realiza el consumidor donde solo gasta lo necesario para sobrevivir y cumplir con sus necesidades.

Las restricciones no lineales

Estas no existen en un medio único de intercambio de bienes, aquí es donde surge el fenómeno de intercambio más antiguo conocido como es el trueque, este se fundamenta en el intercambio de bienes no controlados por un patrón monetario. 

Las restricciones múltiples

Son las cuales el consumidor se enfrenta no a una sino a múltiples restricciones, por lo cual estará restringido a un conjunto de bienes y servicios.

Preferencias individuales

Consiste en cómo los individuos toman sus decisiones y cómo seleccionan alternativas de un conjunto disponibles de las mismas. La teoría nos dice que cada individuo ordena las alternativas de acuerdo con su preferencia. Así, cuando el realiza una elección, éste selecciona la alternativa con aquello que más tiene de todo lo posible.

En la definición formal tenemos las alternativas que considera el individuo para tomar la mejor decisión:

Reflexividad

Para todo x Î X, x x. Este supuesto nos dice que la canasta x, en el sentido débil, es preferida a sí misma, es decir, que al menos es tan buena como ella misma.

Completitud

Para todos los elementos x, q en X se cumple que x q ó q x o ambos. Este supuesto simplemente nos dice que dos canastas pueden ser comparadas.

Transitividad

Para todo x, q y z en X, si x q y q z entonces x z. La propiedad de transitividad plantea la coherencia en las elecciones.

Las propiedades mencionadas anteriormente son un conjunto de elecciones pre ordenada.

Se utilizan para caracterizar los deseos de los consumidores, por varias combinaciones de bienes. Los bienes son indexados de 1 hasta m. Una canasta de bienes es una colección de varias cantidades de esos m bienes, y la cantidad de cada bien en una canasta es un número real positivo

La función de utilidad

Si la ordenación de preferencias es continua, transitiva, reflexiva y continua, entonces las preferencias se pueden representar a través de una función de utilidad continua. La función de utilidad, u, es una función con valores reales, definida sobre el conjunto X, de tal forma que el orden de las preferencias sobre X se preserva por la magnitud de u.

De esta forma, una función de utilidad tiene la propiedad de que dados dos elementos x y q en X se cumple que u (q) ³ u(x) sí y solo sí q x.

Invarianza de la función de utilidad

Si una relación de preferencia representa una función de utilidad sobre R, entonces una función de la forma v(x) = f (u(x)), donde f es estrictamente creciente en el rango de v sobre u, también será una función que represente la misma relación de preferencia. Si f y u son continuas entonces v también es continua. En la invarianza tenemos 3 tipos:

• Invarianza en la descripción

• Invarianza en el procedimiento

• Invarianza en el contexto

El problema básico del consumidor

Este recae al momento de hacer la escogencia para la adquisición de un bien o servicios, el consumidor estará limitado respecto a su decisión prioritaria según sus necesidades. Cualquiera ha experimentado que los deseos de elegir m bienes se ven frustrados cuando decide ir al mercado o aun centro comercial, etc. Dicha frustración no es más que la confirmación de que aun cuando se tienen preferencias por los bienes. Existen restricciones como la cantidad de dinero que poseemos en nuestros bolsillos para comprar dichos bienes.

Dualidad

Un aspectos importantes en la teoría del consumidor, se basa en la dualidad. La cuales una de las "herramientas" más usadas en la estimación de modelos. Básicamente expresa la relación entre los bienes por un lado y los precios por el otro. De tal manera, el consumidor puede elegir entre maximizar la función de utilidad del sujeto a la restricción de presupuesto o, minimizar su gasto en una serie de bienes siempre y cuando, la función de utilidad permanezca constante.

Propiedades de la función indirecta de utilidad

Entre las propiedades usuales de la función indirecta de utilidad, tenemos

1) Es homogénea de grado cero en (p, y), esto es, v (tp, ty)= v (p, y) " t >0.

2) No es creciente en p y es estrictamente creciente en y.

3) Es cuasi convexa con respecto a p, esto es el conjunto {p: v (p, y) £ c} es convexo para cada y > 0 y algún c.

4) La derivada de la función indirecta de utilidad con respecto a los precios e ingreso se conoce también como la Identidad de Roy y es una forma conveniente de recuperar la demanda Marshalliana,

Propiedades de la función de gasto

Entre las propiedades usuales de la función de gasto, se encuentran:

1) La función de gasto es homogénea de grado uno en precios, formalmente para algún escalar q >0: C (u, qp) = q C (u, p). Esto es, si los precios se doblan se deberá desembolsar dos veces más cantidad de dinero para estar en la misma curva de indiferencia.

2) La función de gasto es creciente en m, no decreciente en p y creciente en al menos un precio. Esto se deriva del axioma de insaciabilidad ya que dados unos precios, el consumidor tiene que gastar más para estar mejor, debido a que un incremento en precios requiere más cantidad de dinero para permanecer mejor.

3) La función de gasto es cóncava en precios. Cuando el precio de un bien cambia, mientras los otros precios y la utilidad permanecen constantes, la concavidad implica que el costo aumenta no más que linealmente, esto es esencial, porque el consumidor minimiza sus gastos reacomodando sus compras en orden a tomar las ventajas de la estructura de precios

Propiedades de las funciones

De demandas Marshallianas y Hicksianas

Las propiedades de la función son:

Adición

Es el valor total de las demandas Hicksianas y Marshallianas y los gastos serán totales

Homogeneidad

Las demandas, Hicksianas son homogéneas de grado cero en precios.

Las demandas, Marshallianas en el gasto total y en los precios también lo son, esto es, para algún escalar q > 0, se cumple:

hi (u, q p) = hi (u, p)= gi (qy, qp) = gi (y, p)

Simetría

Las derivadas transversales de los precios, en las demandas Hicksianas son simétricas:

Negatividad

Trayectorias de expansión

Usualmente la demanda cambia ante un cambio en precios o ingreso; este se observa en términos de la estática comparativa.

La tasa marginal de sustitución

Es la pendiente de la curva de indiferencia, y su sentido económico no es otro que la cantidad que se está dispuesto a renunciar del consumo del bien.

Elasticidad

La elasticidad es lo que se discute cuando la sensibilidad de la demanda del consumidor enfrenta cambios en las variables como el precio o el ingreso, se puede medir directamente dicha sensibilidad, a través de la elasticidad. Una de las desventajas de esta medida, es la dependencia sobre las unidades usadas.

Algunas formas funcionales

Para las formas funcionales tenemos las siguientes:

El sistema Lineal de Gasto

El sistema lineal de gasto (LES) es una generalización de la función de utilidad Cobb-Douglas. Desarrollado por Klein, Rubin y Samuelson (1947-48). Investigado por Stone (1954) y Geary (1950), por lo cual se le da el nombre Stone-Geary. Este sistema básicamente es una Cobb-Douglas trasladada en el origen al punto (B1, B2), en el cuadrante positivo.

La función de utilidad CES

Surge como una analogía directa a la teoría de la producción (Arrow et-al 1961) y tiene la forma:

U(x1, x2) = (a1 x1n+a2 x2n) ¹/n, con n= 1

La función de Utilidad Indirecta Addilog

Como se ha observado, es posible derivar las funciones de demanda de los bienes a través de maximizar la utilidad, sujeta a la restricción de gasto. Sin embargo, la solución no siempre es estimable. De esta forma, a partir de la función de utilidad indirecta que corresponda a algún tipo de preferencias del consumidor puede recuperarse la demanda con la identidad de Roy. Una forma funcional es la función "addilog" de utilidad indirecta introducida por Houthakker (1965):

La función de utilidad translogarítmica

Proviene de Christensen, Jorgenson y Lau (1971,1975). Esta ha sido la forma funcional más usada en análisis empíricos de demanda. Una ventaja es su forma funcional flexible, ya que puede ser aproximada de una función de segundo orden por Taylor a una función de utilidad indirecta arbitraria.

EL SISTEMA CASI – IDEAL DE GASTO AIDS

El sistema AIDS (Almost Ideal Demand Sistem) cumple las restricciones de adición, homogeneidad y simetría. Para satisfacer las condiciones de negatividad se requiere que la matriz de Slutzky sea semi-definida negativa:

Cij= gij +bi bj Log (Y/ p) – xipi dij + xjpj xipi

El modelo de Rotterdam

Propuesto inicialmente por Theil (1965) y Barten (1966). Este modelo es parecido al

Stone-Geary, sólo que en lugar de trabajar con los niveles de los logaritmos se usan las diferencias de los mismos.

LA DEMANDA DEL CONSUMIDOR

La demanda representa la cantidad que un consumidor desea comprar de una serie de bienes, ya sea expresada como una función de los precios y el ingreso o como una función de la utilidad y de los precios.

UNICIDAD Y CONTINUIDAD

La demanda que corresponde a un vector de precios e ingreso podría no ser única, como se observa en la gráfica; allí existen dos soluciones xA y xB correspondientes a la restricción de presupuesto.

EL EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR Y DISPONIBILIDAD A PAGAR

Consideremos a un consumidor con preferencias racionales, continuas y localmente no saciadas. Asumiremos también que las funciones de gasto y utilidad indirectas son diferenciables, y concentraremos nuestro interés en los cambios de precios. Suponga que la riqueza del consumidor permanece constante a un nivel y > 0 y el vector inicial de precios es p0. Nosotros deseamos evaluar el impacto sobre la riqueza del consumidor, de un cambio de p0 a un nuevo vector de precios p1. Dicho cambio no debe parecernos extraño. Por ejemplo, si el gobierno decide aumentar los impuestos esto se traducirá directamente en los precios.

El problema se traduce en evaluar cuándo el consumidor estará mejor o peor.

INTEGRABILIDAD DE LA FUNCIÓN DE UTILIDAD

A partir de la función de demanda x(p,y) se puede recobrar la función de utilidad subyacente, en lo que se conoce como Integrabilidad. Suponga que nosotros tenemos una función de demanda continua y diferenciable x(p,y). Si esta función se encuentra bien definida y se cumple el supuesto de insaciabilidad local (y la ley de Walras) asegurando la igualdad, entonces como previamente se ha demostrado, deberán cumplirse las siguientes condiciones:

1. No negatividad: x(p,y) ³ 0 " p e y

2. Homogeneidad: x(tp,ty)= x(p,y) " t > 0

3. Insaciabilidad: px(p,y)= y

4. Simetría: La matrix de Slutzky es simétrica.

5. Semidefinida: S es semidefinida negativa

PREFERENCIAS REVELADAS

Los axiomas básicos sobre las preferencias son criticados por ser demasiado fuertes, ya sea en su reordenamiento o en su ordenamiento completo.

Una forma de hacer compatibles los supuestos sobre las preferencias y las decisiones que observamos en el mercado, consiste en lo que comúnmente se denomina como preferencias reveladas. La "eficacia" de la teoría de la preferencia revelada radica en que el estado de las preferencias se construye a partir de las decisiones observables, esto es, de las elecciones actuales realizadas por un consumidor determinado.

AGREGACIÓN

Un punto de singular importancia consiste en la agregación sobre los individuos, ya que el comportamiento agregado de los consumidores, en muchas situaciones, es más importante que el comportamiento de un consumidor en particular. Y desde un punto de vista econométrico, deberán existir restricciones en la agregación cuando se estimen las funciones de demanda.

Una agregación perfecta en un período, depende de que todos los precios sean los mismos para todos los individuos. Así, las variaciones provienen por parte de la riqueza que cada individuo posee.

SEPARABILIDAD

Hace algunos años Sono(1962), Goldman y Usawa (1964) y Pudney (1981), entre otros, observaron que es posible separar las decisiones de los individuos de asignar sus ingresos a una serie de bienes, manteniendo la estructura de preferencias, de las decisiones intertemporales de gastar.

De esta forma, el objetivo de este capítulo consistirá en mostrar cómo manteniendo la estructura de las preferencias es posible separar las decisiones de gastar en cada grupo.

ESTRUCTURA DE LAS PREFERENCIAS

Supongamos que los bienes son particionados en dos subgrupos, con un vector

x = (y,z), esto es, X =Y ´ Z. Para un z fijo se define un orden condicional z sobre

Y tal que la relación y z y´ se mantiene si y sólo si (y,z) (y´,z). De esta forma, z , es una restricción sobre el orden original definiendo un z fijo. Deberá observar que para algún z la relación z es de hecho un orden de preferencia sobre Y. Para una partición x = (y,z) si el orden de preferencias condicionado sobre Y es independiente de z, nosotros diremos que y es independiente de z.

SEPARABILIDAD DE LAS PREFERENCIAS

Para definir grupos de bienes o estructuras de bienes, deberemos partir de la definición de separabilidad en torno a las preferencias. Si esto es plausible, los bienes pueden ser particionados en grupos donde las cantidades en un grupo son independientes de las cantidades en otros grupos. Si los alimentos pertenecen a un grupo, el consumidor puede ordenar diferentes canastas de alimentos en un orden bien definido, el cual es independiente del consumo en gasolina, entretenimiento, arrendamientos, y cualquier bien por fuera del grupo. Esto significa que nosotros tendríamos funciones de sub utilidades para cada grupo y que los valores de cada subgrupo de utilidades se combinan de tal forma que se puede obtener una utilidad total.

SEPARABILIDAD Y SUSTITUCIÓN INTERGRUPAL

La separabilidad débil implica restricción sobre el grado de sustituibilidad entre los

bienes, en grupos diferentes. Suponga que las preferencias separables son representadas por una función de utilidad de la forma:

U=F[n1(q1), n2(q2), …., nG(qG)]

Con los subvectores q1,…,qG y una función F(.) creciente en sus argumentos.

PRUEBAS DE SEPARABILIDAD

La mayoría de las pruebas de separabilidad son desarrolladas por Byron (1969),

Jorgenson-Lau (1975) y Pudney (1981), quienes han usado esta técnica para encontrar patrones de separabilidad entre bienes con cierto grado de separabilidad en un período determinado. Barten ha comprobado la hipótesis de la restricción de separabilidad entre bienes y ocio usando series de tiempo para datos en U.S.A y ha rechazado la separabilidad.

Los resultados en últimas podrán sugerir una considerable especificación errónea de los estudios tradicionales. La función de producción de hogares Entre 1965 y 1966 los artículos de Gary Becker y Kevin Lancaster, introducen el concepto de Función de Producción de Hogares (household production function). De esta forma, los consumidores en lugar de obtener la utilidad directamente de los bienes comprados en el mercado, derivan ésta de los atributos que poseen los bienes; por ejemplo, aunque el consumidor compre alimentos sin cocinar en el mercado, la utilidad se deriva de consumir una comida que ha sido producida a través de combinar alimentos crudos con trabajo, tiempo, electricidad y otros insumos.

Muchos bienes parecen ser producidos de la forma anterior. Al igual que los alimentos, la ropa y gran parte de los bienes parecen exhibir una gama de variedades y cualidades. Los consumidores parecen seleccionar una o pocas de estas cualidades y privarse completamente del consumo de otras. Becker (1965) propone que "ver una opera" depende de una serie de insumos como el tiempo, los actores, etc. Y por ejemplo, "dormir" depende del insumo cama, del hogar y tiempo. De igual forma, "el jugo de naranja" se produce con un vector de características tales como calorías, vitamina C y tiempo.

El álgebra de maximización, a la cual estamos acostumbrados, indica que debemos clasificar a un bien como X1 y otro bien como X2 aplicando este análisis de igual forma a naranjas, kiwi, peras, manzanas o autos. Esta forma de clasificar los bienes hace que nosotros consideremos la carne de res y la carne de cerdo como sustitutos o un disquete y un programa de computadora como complementarios. Pero esta idea tiene su fundamento en la tecnología de usar dichos bienes particularmente, esto es, la vía a través de la cual se combina una serie de insumos y tiempo en orden a producir alguna utilidad.

ESTÁTICA COMPARATIVA

Bajo el análisis de estática comparativa, nos interesan las respuestas de los consumidores ante un cambio en el salario y los coeficientes tecnológicos. Como cualquier modelo de maximización de la utilidad, todos los parámetros del modelo de Becker entran en la restricción, y las implicaciones usuales pueden ser derivadas de la maximización solamente. Considerando los efectos de sustitución puros las demandas Hicksianas se obtienen de la siguiente forma:

Min å(pi bi + w ti ) Zi – w T

Sujeto a u (Z1,…., Zn) = u0

Las teorías económicas de la familia, de las tasas de nacimiento, del número de hijos óptimos, de la participación en el mercado de trabajo, de la diferenciación entre grupos de hombres y mujeres e incluso el reciente auge en los modelos medioambientales del coste de viaje, se derivan de aquí. Mayores salarios en el mercado para las mujeres, por ejemplo, aumentan el coste de oportunidad de los niños y de otras tareas que deberán realizar las mujeres en el hogar.

De esta forma, el incremento en el consumo de "bienes convenientes" por familias con dos trabajadores puede ser atribuido a salarios de mercado más altos y mayores salarios compraran ítems con "mayores cualidades" donde la cualidad del atributo reduce la cantidad de tiempo dedicado a las tareas en el hogar (reparaciones, atención de los niños, etc.). La teoría de la función producción de hogares nos da para pensar más rigurosamente sobre la importancia de las elecciones y provee un marco para reemplazar las explicaciones basadas en los gustos, por aquella basada en el cambio en las oportunidades.

Análisis de la riqueza en el mercado de bienes

La Función de Producción de Hogares se usa también "para analizar el daño realizado por la contaminación del aire, o los beneficios derivados de actividades recreativas, o proyectos de evaluación social" (Pollack 1978, pág. 28). Esta aproximación depende de la distinción entre bienes comprados y bienes consumidos, y en particular, del uso de la medición de los beneficios derivados de los bienes públicos. Los trabajos de Willig (1976) y Hausman (1981) emplean el teorema de la dualidad para demostrar que dada la unión entre el gasto y las funciones de utilidad, la demanda compensada no observada (debido a los atributos Zi) puede ser encontrada a partir de la función de demanda Marshalliana que sí es observada.

BIENES PÚBLICOS

Supongamos que a sea un bien medioambiental, tal como la calidad del aire, un lago o un paisaje. Entonces a entra en la función de utilidad directamente y es complementario con algún bien denotado como Z1, por ejemplo recreación. De esta forma, la utilidad es una función de a y Z. Observe también cómo a entra en la función de transformación t(z,x, a) y la función de gasto dependerá de a. Cuando u0 es el nivel de riqueza inicial, la variación compensada de un cambio en el vector de parámetro de a 0 a a' esta dado por:

(5.23) VC= C(p, u0, a') – C(p, u0, a0)

Donde C es la función de gasto. Si a es un bien público la variación compensada es negativa para un incremento en a y positiva cuando ésta cae. La medida dada por (5.23) no es directamente observable como señalan Bockstael y MacConnell para evaluar los efectos de riqueza cuando existe un cambio en a dada la información sobre la producción y el consumo asociado a la del bien Z1.

VARIABLES DEPENDIENTES DISCRETAS Y LIMITADAS

Existen muchos fenómenos en la actividad económica que responden a elecciones discretas como la decisión de trabajar, la decisión de comprar una bien, la decisión de votar por un candidato, etc.

Para Amemiya (1981), existen dos factores que explican el interés en los modelos de respuesta cualitativa: Primero, los economistas trabajan con modelos que involucran más de una variable discreta, más de dos respuestas, y por supuesto, más de una variable independiente. Segundo, el creciente número de encuestas que se realizan y la posibilidad de trabajar los datos que éstas producen.

A continuación, se desarrollarán algunos modelos estadísticos cuyo objetivo consiste en facilitar la contrastación empírica de la teoría del consumidor. Estos modelos son el de probabilidad lineal, el Logit, el Probit y el Tobit en sus diferentes versiones. Luego se presentará una versión del modelo de autoselección de Heckman y, finalmente, el modelo de variables latentes.

ESPECIFICACIÓN DEL MODELO

Suponga que usted desea considerar la ocurrencia de un evento como "comprar un carro"; para describir este evento, definiremos la variable aleatoria dicotómica Y, la cual tomará el valor de 1 si el evento ocurre y 0 si no ocurre. De igual forma, deberemos asumir que la probabilidad del evento depende sobre un vector de variables independientes x* y un vector de parámetros desconocidos q. El subíndice i denota el i- ésimo individuo. De esta forma, un modelo general dicotómico univariado, se puede expresar como:

pi = p( Yi =1) = G( x*i , q ) ; i = 1,2,…., n.

Los Yi son distribuidos independientemente. Por otro lado, dado que Yi es la probabilidad de comprar un auto, x*i estaría representando aquellas variables que explican Y como el ingreso, el sexo, la edad, el estatus, la educación del individuo i, así como los precios del auto. Ya que (6.1) es muy general, el investigador deberá escoger alguna función H(x*i , q) sobre un vector de parámetros q: p( Yi =1) = F[H( x*i , q)]

ESTIMACIÓN

A excepción del modelo de Probabilidad Lineal, los modelos Probit y Logit se estiman por máxima verosimilitud donde cada observación es extraída de una distribución de Bernoulli. El modelo con una probabilidad de suceso f(b'x) y observaciones independientes lleva a una probabilidad conjunta o a una función de verosimilitud de la forma:

Algunos modelos aplicados

En economía, la tradición de usar modelos Logit y Probit es extensa, aquí menciono tan sólo algunos modelos, quedando en deuda con el resto.

LEE, L.F.

Lee define la propensión del i-ésimo trabajador de unirse a un sindicato como:

PENCAVEL

Pencavel estudia cómo inciden en las decisiones de trabajar de la esposa y el esposo la ayuda económica brindada por el gobierno de los Estados Unidos en Seattle y Denver. De esta forma, estima la probabilidad de trabajar de la esposa usando 1657 familias durante 2 años. Las variables que el autor usa son: F igual a uno si la familia pertenece al experimento y cero lo contrario; L igual a uno si el esposo trabaja durante el año anterior al experimento y cero lo contrario; Y igual a uno si la observación es extraída del segundo año de experimento y cero si es extraída del primer año; U igual a uno si el esposo estuvo desempleado durante el año.

EL MODELO LOGIT CONDICIONADO

Esta es una versión reciente para incluir los atributos presentes en los bienes. Suponga que exista un modelo de elección no ordenada que provenga de una utilidad aleatoria para el i- ésimo consumo en j elecciones. De esta forma, la utilidad de la elección j es:

MODELOS ORDENADOS

Los modelos multinomiales de respuestas cualitativas se pueden clasificar en modelos ordenados y no ordenados. Un modelo ordenado se define como:

P(Y = j | x, q) = p (Sj)

Para alguna medida de probabilidad p, sobre x y q, y una secuencia finita de intervalos sucesivos { Sj } que depende sobre x y q tal que .En los modelos ordenados, los valores que y toma, corresponden a una partición sobre la línea real. A diferencia de un modelo no ordenado, donde la partición correspondería a particiones no sucesivas sobre la línea real o a particiones de dimensiones mayores sobre el espacio euclideano. En la mayoría de las aplicaciones, el modelo ordenado toma la forma:

P(Y = j | x, a, b ) = F( aj+1 – x´b) – F(aj – x´b) ; j = 0, 1,…,m;a0=- ¥; aj £ aj+1 ;am+1 = ¥

Para alguna distribución F, se puede definir un modelo Probit ordenado o un modelo Logit ordenado.

Modelo Logit Multinomial

Este modelo se define como:

Este modelo permite, además de obtener estimaciones de la probabilidad de un suceso, identificar los factores de riesgo que determinan dichas probabilidades, así como la influencia o peso relativo que éstos tienen sobre las mismas.

Este tipo de modelo arroja como resultado un índice, cuyos determinantes son conocidos, el cual permite efectuar ordenaciones, las cuales al realizarse, posibilitan, con algún método de estratificación, generar clasificaciones en las que se le asocia a cada elemento una calificación. Existen muchos criterios para llevar a cabo la asociación índice – calificación, muchos de ellos con base en índices de muestreo, donde el criterio es puramente estadístico. Otros criterios podrían considerarse como subjetivos.

VARIABLES DEPENDIENTES LIMITADAS

Existe un gran número de datos cuya observación nos muestra que están limitados o acostados de alguna forma. Esto nos lleva a dos tipos de efectos: el truncamiento y el censuramiento

El truncamiento

El efecto de truncamiento ocurre cuando la muestra de datos es extraída aleatoriamente de una población de interés.

Una distribución truncada es la parte de una distribución no-truncada antes o después de un valor específico; imagínese por ejemplo que nosotros deseamos conocer la distribución de los ingresos anteriores a 100.000 o el número de viajes a una zona mayores de 2, ésta será tan sólo una parte de la distribución total.

Densidad de una variable

La función de densidad de una variable truncada viene dada por:

Una variable aleatoria truncada es una variable aleatoria cuya distribución está truncada. La gran mayoría de aplicaciones de variables aleatorias truncada usa la distribución normal truncada. Si , entonces:

Momentos de una distribución truncada

Estimación por máxima verosimilitud

El método de máxima verosimilitud se utiliza por ejemplo para estimar los coeficientes de un modelo logístico de regresión, en el que se calcula la probabilidad de que ocurra un determinado suceso mediante la siguiente ecuación:

Donde p es la probabilidad de que ocurra el suceso de interés y xi son los posibles factores (factores de riesgo) que se piensa que están relacionados con la probabilidad de que el suceso se produzca.

Ahora a partir de los datos de la muestra, para los que hemos observado si se ha producido o no el suceso, y a partir de los valores de los factores de riesgo en cada caso de la muestra, se trata de estimar los valores de los coeficientes bi en el modelo para cada factor de riesgo, lo que entre otras cosas nos permite calibrar el efecto de esos factores en la probabilidad de que el suceso ocurra. Si denominamos de forma compacta a esos coeficientes con la letra b (vector de valores), y dado que los valores de los factores x son conocidos para cada sujeto, la probabilidad p es función de los coeficientes b, y lo representamos como p=f(b).

Si p es la probabilidad de que ocurra el suceso, la de que NO ocurra será 1-p, y entonces en los sujetos en los que ocurrió el suceso vendrá dada por p(xi), mientras que para un sujeto en el que NO ocurre el suceso, se calcula como 1-p(xi). Siendo ambas expresiones función de b.

Si la muestra es aleatoria y las observaciones son independientes entre sí, la probabilidad de que un sujeto de la muestra experimente el suceso es independiente de lo que le ocurra a cualquier otro, por lo que la probabilidad conjunta se calcula como el producto de las probabilidades individuales y de esa forma obtenemos la función de verosimilitud, que tiene en cuenta todos los datos de forma global, y será función únicamente de los coeficientes.

De igual manera que antes se calculará la derivada de esa función, se iguala a cero y se obtienen los valores de los coeficientes que maximizan esa función. Aunque esto que se dice fácil, al menos en el modelo logístico, es algo más complicado de efectuar que de narrar. Pero de eso hablaremos en otra ocasión.

Censuramiento

Censura es un procedimiento en el cual los rangos limitados a priori por el investigador; este procedimiento producen una distorsión estadística similar al proceso de truncamiento. Un procedimiento normal con datos microeconómicos, consiste en censurar la variable dependiente. Cuando la variable dependiente es censurada, los valores en un determinado rango son todos transformados a un valor singular.

Un procedimiento normal con datos microeconómicos, consiste en censurar la variable dependiente. Cuando la variable dependiente es censurada, los valores en un determinado rango son todos transformados a un valor singular. De esta forma, si definimos una variable aleatoria y transformada de la variable original como:

Distribución censurada

Si y* >0 y tiene la densidad de y*, entonces la distribución tiene partes discretas y continuas, donde la probabilidad total será de 1 como se requiere. Para lograr esto, se asigna la probabilidad total en la región censurada al punto de censuramiento.

CONTRASTE DE ESPECIFICACIÓN

De la mano con el desarrollo de las formas de estimación de los modelos, la literatura ha venido ofreciéndonos una serie de contrastes para conocer la "bondad" de los modelos estimados. El origen de estos contrastes se remonta a los trabajos de Rao (1947) en lo que se conoce como "contraste Score" o "contraste de puntuación". Posteriormente Silvey (1959) propone el contraste de multiplicadores de Lagrange que no es otra cosa que el mismo contraste de Rao.

El contraste de multiplicadores de Lagrange no es el único que se pueda usar, pues están el de Hausman (1978) y el contraste de momentos condicionales [Newey (1985) y Tauchen (1985)]. Para Pagan y Vella (1989) el uso del contraste de especificación en variables dependientes limitadas no es muy común debido a la dificultad computacional de los mismos.

Los contrastes de especificación que se desarrollarán serán: El contraste de Rao ó contraste de puntuación; el contraste de especificación de Hausman, el cual parte de los trabajos de Durbin (1954) y por lo tanto se conoce también como Durbin-Hausman o Durbin-Wu-Hausman debido a los trabajos de Wu (1973); el contraste de la matriz de información de White (1982) y el contraste de momentos condicionales sugerido por Newey (1985) y Tauchen (1985).

VARIABLES LATENTES

Las variables latentes representan conceptos unidimensionales en su más pura forma, puede decirse que se trata de variables abstractas como inteligencia, paisaje, etc. Como todas las variables latentes corresponden a conceptos, ellas son variables hipotéticas que varían en su grado de abstracción: inteligencia, clase social, poder y expectativas son variables latentes abstractas creadas en la teoría. Variables menos abstractas son la educación y el tamaño de la población.

Un ejemplo es la hipótesis de Emile Durkheim sobre la relación inversa entre la cohesión social y el suicidio: la cohesión social se refiere a la solidaridad de grupo, la cual es una variable abstracta; el suicidio es directamente observable, pero la relación directa e indirecta es muy débil de acuerdo con la misma clasificación de los suicidios.

Un modelo latente se acompaña de un conjunto de ecuaciones estructurales que resumen las relaciones entre las variables latentes.

Bollen (1989) usa las relaciones entre la democracia política y la industrialización en países desarrollados, para introducir la noción de modelos de variables latentes. Dado que algunas sociedades han alternado entre dictaduras y regímenes electorales, es difícil discernir si la asociación realmente existe. La democracia política se refiere a la extensión de los derechos políticos (imparcialidad de las elecciones) y libertades políticas (libertad de prensa) en un país. La industrialización es el grado en el cual la economía de una sociedad se caracteriza por el proceso de manufactura mecanizado, esto implica riqueza social, población educada, avances en el estándar de vida, y éstas son las oportunidades de una democracia.

MODELOS DE UTILIDAD DISCRETA

Generalmente las elecciones de los consumidores involucran elecciones discretas como usar gas o no, usar energía eléctrica o no, comprar un automóvil o no, etc.

Para Tversky, cuando se realiza una elección entre varias alternativas, las personas parten de experiencias inciertas e inconsistentes. Esto es, las personas no están seguras sobre cuál alternativa deberían seleccionar, así como tampoco toman siempre la misma elección bajo condiciones parecidas. Este comportamiento, aparentemente irracional, lleva al autor a concluir que "el proceso de elección debe ser visto como un proceso probabilístico".

Naturalmente, deberemos preguntarnos qué factores determinan dicha probabilidad. Es decir, el comportamiento de los agentes es intrínsecamente probabilístico o el modelador no puede representar el comportamiento del consumidor, o ambos.

Para Manski (1977), la falta de información lleva al modelador a determinar reglas probabilísticas de elección en los individuos más que la falta de racionalidad.

Ambas interpretaciones llevan a un esquema probabilístico donde se pueden diferenciar dos familias de modelos: La primera familia parte de que la regla de decisión es estocástica mientras la utilidad es determinística (Luce, Tversky). La segunda familia parte de una regla de decisión determinística mientras la utilidad es estocástica (Macfadden, Thurstone). Ambas familias pueden distinguirse a través de la naturaleza del mecanismo aleatorio que gobierna la elección.

REGLAS DE DECISIÓN

Modelos con regla de decisión estocástica

La interpretación proviene de Tversky (1972a), para quien la utilidad de diferentes alternativas es determinística, pero el proceso de elección en sí mismo es probabilístico.

En este tipo de modelos el individuo no necesariamente elige la alternativa que da la mayor utilidad; en lugar de esto, existe una probabilidad de elegir cada una de las posibles alternativas, incorporando la idea de "racionalidad limitada" dado que los individuos no necesariamente seleccionan lo que es mejor para ellos.

El primer modelo desarrollado bajo esta perspectiva es el de Luce (1959). Luce muestra que cuando las probabilidades de elección satisfacen los axiomas de elección, una escala puede ser definida sobre las alternativas, de tal forma que las probabilidades de elección pueden ser derivadas de escalas de alternativas.

El modelo de Luce tiene como inconveniente que una nueva alternativa, que sea más que proporcional a las otras, reducirá las probabilidades de elección de alternativas existentes que son similares y causará reducciones menos que proporcionales en las probabilidades de elección en alternativas diferentes.

Para ilustrar el proceso de eliminación de Tversky considere el siguiente ejemplo: Existen tres alternativas A = {a, b, c} y siete características i = 1,2,…,7. Cada característica se asocia con una escala de utilidad mi. Las alternativas en A son discretas, por lo cual:

a = ( U1, 0 , 0 , U4 , U5 , 0 , U7 )

b = ( 0 , U2 , 0 , U4 , 0 , U6 , U7 )

c = ( 0 , 0 , U3 , 0 , U5 , U6 , U7 )

Donde cero indica que la alternativa no posee la característica. Dado que la última característica U7, está presente en todas las alternativas, ésta no es considerada en el proceso de eliminación.

Observe que en P(a, b) la característica cuatro es común en a y b, por lo cual se elimina. De igual forma en P(a, c) la característica cinco es común en b y c . El procedimiento mostrado por Tversky se resume en los siguientes pasos:

Paso 1: Elimine las características comunes a todas las alternativas.

Paso 2: Seleccione una de las características que permanecen.

Paso 3: Elimine las alternativas que no poseen esta característica.

Paso 4: Deténgase si las alternativas que quedan tienen la misma característica, de otra forma regrese al paso 2.

Formalmente, suponga que existe una función U no negativa que especifica la utilidad para cada característica y denótese S como el número de características que están presentes después de haber eliminado las características comunes a las alternativas en el conjunto de elección S ??A. Finalmente, sea Si el conjunto de las alternativas contenidas en S que contienen las características i, i = 1, 2,…, S. En el modelo de Eliminación por Aspectos (EBA) propuesto por Tversky, la probabilidad de que la alternativa a ??S sea elegida.

Modelos con utilidad estocástica

Existen dos versiones tradicionales de los modelos de utilidad estocástica. El primero proviene de Thurstone a partir de la teoría sicológica de la elección individual y el segundo proviene de Macfadden en la versión económica de la elección discreta. El modelo de Thurstone tiene su origen en una serie de experimentos donde se les preguntaba a los individuos acerca de comparar intensidades de estímulos físicos, por ejemplo, el rango de tonos en términos del ruido. Dada la variabilidad en las respuestas, Thurstone propone que un estímulo provoca una "sensación" o un estado sicológico que es la realización de una variable aleatoria. De esta forma, "las utilidades se asumen que varían de un momento a otro , y el proceso de decisión consiste en una regla fija de escoger la alternativa con la mayor utilidad momentánea" Edgell y Geisler.

FUNCIONES DE UTILIDAD Y FUNCIONES INDIRECTAS DE UTILIDAD.