Algebra de Boole
Un algebra de boole es toda clase o conjunto de elementos que pueden tomar dos valores perfectamente diferenciados, suele asignarse los símbolos 0 y 1
Estos símbolos no representan números si no estados diferentes de un dispositivo
encendido (1)
apagado (0)}
Estos elementos están relacionados mediante dos operaciones binarias.
Suma Lógica (+) {Conexión en paralelo}
Producto Lógico (*) {conexión en serie}
Postulados / Propiedades del álgebra de Boole
Mediante los circuitos de conmutación implementados con contactos.
Postulados del álgebra de Boole
Mediante los circuitos de conmutación implementados con contactos.
Teorema 1
Cada identidad deducida de los anteriores postulados del algebra de Boole permanece valida si las operaciones y y los elementos 0 y 1 se intercambia entre sí. PRINCIPIO de DUALIDAD.
Nueva Operación
Inversión ó Complemento
Leyes de De Morgan
1º Ley:
El producto lógico negado de varias variables lógicas es igual a la suma lógica de cada una de dichas variables negadas.
Si tomamos un ejemplo para 3 variables tendríamos.
~ (a.b.c) = ~a + ~b + ~c (también como: )
El primer miembro de esta ecuación equivale a una compuerta NAND de 3 entradas, representada en el siguiente gráfico y con su respectiva tabla de verdad.
2º Ley:
La suma lógica negada de varias variables lógicas es igual al producto de cada una de dichas variables negadas..(complementario del anterior).
~ (a + b + c) = ~a . ~b . ~c o
El primer miembro de esta ecuación equivale a una compuerta NOR de 3 entradas y la representamos con su tabla de verdad…
Leyes de De Morgan
Compuertas Lógicas
Compuertas Lógicas
COMPUERTAS.
Compuerta NOT
Invierte el dato de entrada, por ejemplo; si la entrada es 1 (nivel alto) se obtiene en la salida un 0 (o nivel bajo), y viceversa.
Esta compuerta dispone de una sola entrada.
Su operación lógica es s igual a a invertida.
Compuertas Lógicas
Compuerta AND
Una compuerta AND tiene dos datos de entrada como mínimo y su operación lógica es un producto entre ambas, no es un producto aritmético.
La salida (resultado) es siempre una (es decir un único valor 0 ó 1
*Observar que su salida será alta si (y sólo si) sus dos datos de entradas están a nivel alto*
Compuertas Lógicas
Compuerta OR
Al igual que la anterior posee dos entradas como mínimo y la operación lógica, es la suma entre ambas.
Se trata de una compuerta O Inclusiva
*Es decir, basta que uno de los datos de entrada sea 1 para que su salida sea también 1*
Compuertas Lógicas
Compuerta OR-EX o XOR
Es OR EXclusiva en este caso con dos entradas (puede tener múltiples entradas) esta compuerta lo que hace con los datos de entrada es una suma lógica entre los productos de a por b invertida y a invertida por b.
*Al ser O Exclusiva su salida será 1 si uno y solo uno (o un número impar) de sus datos de entradas es igual a 1*
Compuertas Lógicas
Compuertas Lógicas Combinadas
Al agregar una compuerta NOT a cada una de las compuertas anteriores los resultados de sus respectivas tablas de verdad se invierten, y dan origen a tres nuevas compuertas llamadas NAND, NOR y NOR-EX…
Función de un Algebra de Boole
Una función es una variable binaria cuyo valor es igual al de una expresión algebraica
En la que se relacionan entre sí una o más variables binarias por medio de la operaciones
Básicas producto lógico, sumas lógicas e inversión.
F = f (a,b,c,……)
El valor lógico de f depende del de las variables a,b,c,…..
_
Sea f = (a, b, c) . El término a b c es un producto canónico
_
Sea f = (a, b, c) . El término a + b + c es una suma canónico
Para mayor facilidad de representación, cada término canónico, se expresa mediante un
número decimal equivalente al binario obtenido al sustituir las variables , ordenadas con
un criterio determinado, por 1 o un 0.
En nuestro caso a tiene peso 1, b tiene el peso 2, c el peso 3 y así sucesivamente.
_ _
d c b a = 0110 = 6
_ _
d + c + b + a = 1010 = 10
Función de un Algebra de Boole
_ _ _ _
F(a, b, c) = a b c + a b c + a b c
F(a, b, c) =? (2, 3, 5)
3
Suma Lógica
_ _ _ _
F(a, b, c) = (a + b + c) (a + b + c ) (a + b + c)
F(a, b, c) =? (1, 2, 7)
3
Producto Lógico
Teorema:
Para simplificar algebraicamente las funciones lógicas.
Toda algebra de boole se puede expresar de la siguiente forma
_
F (a ,b,c,….) = a F(1,b,c,….) + a F(0,b,c,…)
_
F (a ,b,c,….) = [a + F(0,b,c,….)] + a + F(1,b,c,…)]
_
Para demostrarlo es suficiente que la igualdad se cumpla para a = 0 y a = 1
F (a ,b,c,….) = a F(0,b,c) = 0 F(1,b,c) + 1 F(0,b,c) = F(0,b,c) (A)
F (a ,b,c,….) = a F(1,b,c) = 1 F(1,b,c) + 0 F(0,b,c) = F(1,b,c)
Función de un Algebra de Boole
_
Si multiplicamos F (a ,b,c,….) = a F(0,b,c) = 0 F(1,b,c) + 1 F(0,b,c) = F(0,b,c) por a y a.
( 1 ) a F(a,b,c) a F(1,b,c)
_ _
( 2 ) a F(a,b,c) = a F(0,b,c)
_
Si multiplicamos F (a ,b,c,….) = a F(1,b,c) = 1 F(1,b,c) + 0 F(0,b,c) = F(1,b,c) por a y a.
( 3 ) a + F(a,b,c) = a + F(0,b,c)
_ _
( 4 ) a + F(a,b,c) = a + F(1,b,c)
_ _ _ _ _
Dada la función F = a b c + a ( b + a c + a b c ) efectuar la simplificación algebraica
Rta.
_ _ _
F = a b c + a(b + b c )
Del teorema demostrado se concluye que toda función lógica puede transformarse
en una función canónica bajo las dos formas anteriormente indicadas.
_
F (a ,b,c,….) = a F(1,b,c,….) + a F(0,b,c,…)
Y dado que:
_
F(1,b,c,…) = b F(1, 1, c,….) + b F(1, 0,c,…)
_
F(0,b,c,…) = b F(0, 1, c,….) + b F(0, 0,c,…)
Resulta:
_ _ _ _
F(a,b,c,…) = a b F(1,1,c,…..) + a b F(1,0,c,……)+ a b F(0,1,c,……) + a b F (0, 0, c,…).
Repitiendo el proceso se obtiene:
_ _ _
F(a,b,c,…) = (abc…..) F(1,1,1,…..) +…… + (a b c….) F(0,0,0,…..) [1]
Esta expresión indica que una función es igual a la suma de todos los productos
canónicos afectados de un coeficiente igual al valor que toma la función al sustituir
cada variable por 1 o = según en el producto canónico figure directa o inversa
respectivamente
De igual forma se deduce que la expresión en forma de producto de sumas canónicas es:
_ _ _
F(a,b,c,…) = (a + b + c…..) f(0,0,0,…..) +…… + (a b c….) f(1,1,1,….. [2]
Utilizando la notación numérica para expresar los términos canónicos ambas ecuaciones
[1] y [2] se puede representar:
2?-1 2?-1
F(a,b,c,…) = ? F(i) i = ? [F (2? – 1 – i) + i]
i=0 i=0
Función de un Algebra de Boole
Mapas de Karnaugh
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