Anualidades ordinarias y anticipadas

Introducción

Una interesante introducción a este capitulo
puede lograrse con la solución del siguiente
ejemplo:

Ejemplo 1

Una persona compra un terreno cuyo valor, al contado, es
de 2 millones. Si le dan la facilidad para pagarlo en 4 cuotas
trimestrales de $R c/u, que se efectuarán a final de cada
trimestre y, además se le cargaría un
interés del 40% CT ,hallar el valor de la cuota trimestral
de amortización.

Solución.

Primero construimos un dibujo que muestre las fechas, el
valor de la deuda y el valor de los pagos (esto también se
conoce con el nombre de flujo de caja). Puesto que la tasa tiene
efectividad trimestral y los pagos son trimestrales usaremos el
trimestre como período.

Si planteamos la ecuación de valor poniendo la
fecha focal en cero nos quedaría la ecuación
así:

2000000= R(1+0.1)-1 + R(1+0.1)-2 + R(1+0.1)-3 +
R(1+0.1)-4 Factorizando R se tendrá:

2000000= R[(1.1)-1 +(1.1)-2 + (1.1)-3 + (1.1)-4]
2000000= R[3.169865] R= $ 630941.61

Si hubiésemos planteado la ecuación de
valor con la fecha focal al final nos habría quedado
así:

2000000(1.1)4= R[(1+0.1)0 + (1+0.1)1 + (1+0.1)2 +
(1+0.1)3]

Factorizando se tiene:

2929200= R[4.641] R=$630941.61 Se observa a primera
vista que la ecuación tiene una presentación muy
distinta pero resultado final es el mismo.

El problema anterior no presentó dificultades
para resolverlo, pero, si el número de pagos hubiese
aumentado considerablemente, la solución no hubiese sido
tan sencilla, como en el caso de pagar una deuda mediante pago
mensuales, durante veinte años. La solución de este
problema ha dado origen a un modelo matemático llamado
anualidad. Antes de entrar a estudiar las anualidades daremos
algunas definiciones.

Renta

Es el pago periódico de igual valor que
corresponde a los $R del ejemplo anterior. A la renta
también se le conoce como: cuota, depósito, retiro
o pago, según sea el caso.

Periodo de renta Es el tiempo que transcurre
entre dos pagos periódicos consecutivos.

Anualidad

Una anualidad es una serie de pagos que cumple con las
siguientes condiciones: 1. Todos los pagos son de igual valor. 2.
Todos los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo 3. A
todos los pagos se le aplica la misma tasa de interés 4.
El número de pagos es igual al número de periodos
Las condiciones anteriores obedecen a ciertas normas y tienen
algunas implicaciones, por ejemplo, la primera condición
es indispensable para poder factorizar tal como se hizo cuando se
plantearon las ecuaciones de valor del ejemplo 1. La segunda
condición establece que los pagos deben hacerse a iguales
intervalo de tiempo, esto es necesario para que los exponentes
sea ascendentes o descendentes tal como se ve en las ecuaciones
del ejemplo anterior aún si los pagos son trimestrales, o
anuales y sin embargo a las series se les sigue dominando
anualidad. La tercera condición establece que todos los
pagos deben ser llevados a valor presente o a valor final,
según sea el caso, a la misma tasa de interés. Esto
nos garantiza que todos los términos dentro del
paréntesis angular tienen la misma base, por lo tanto, la
serie que esta dentro del paréntesis angular forma una
progresión geométrica.

La cuarta condición establece que el
número de pagos debe ser igual al número de
periodos. Por lo tanto la serie que se muestra en la siguiente
gráfica no representa una anualidad porque tiene tres
pagos y sólo hay dos períodos.

Para que la gráfica anterior represente una
anualidad bien conformada que es necesario agregar la un periodo
que bien puede quedar al principio o al final. En el primer caso
se tendrá:

La anualidad así conformada recibe en nombre de
anualidad ordinaria o anualidad vencida que viene a ser aquella
en que los pagos se efectúan al final del período
por ejemplo pago de los sueldos de un empleado (primero viene el
período de trabajo y después viene el
pago)

En el segundo caso se tendrá:

La anualidad así conformada recibe el nombre de
Anualidad anticipada por que los pagos se efectúan al
principio del período por ejemplo el pago mensual del
arriendo de una casa (primero paga y después tiene derecho
a ocupar la casa durante el mes que pago).

El siguiente dibujo no representa una anualidad por
qué hay tres pagos y hay cuatro
períodos.

Claramente puede observarse que cuando se inicia el
dibujo con pago y se termina con pago, como ocurre en la
gráfica 1, no hay una anualidad bien conformada y cuando
el dibujo inicia con un período y termina con un
período, como en el caso de la gráfica 4, tampoco
hay una anualidad bien conformada. Las gráficas dos y tres
si representan anualidades bien conformadas y tienen una
característica en común, que su inicio y fin son
diferentes, en la gráfica 2 se inicia con período y
se termina con pago y en la gráfica tres inicia con pago y
se termina con período. En conclusión para que una
anualidad esté bien conformada su inició y fin
deben ser diferentes.

Plazo de una anualidad El tiempo que transcurre
entre el inicio del primer período y el final del
último período se denomina el plazo de una
anualidad y se representa por n. Una anualidad tienes dos valores
el valor final y el valor presente en el primer caso, todos los
pagos son trasladados al final de la anualidad y en el segundo
caso todos los pagos son trasladados al principio de la
anualidad.

Valor final Hagamos los cálculos para
hallar el valor final de una anualidad ordinaria. El valor final
puede ser representado de dos maneras:

La primera usando la notación
tradicional:

(F/A,n,i%) Donde F significa un valor final, A significa
que se trata de una anualidad, n indica el número de pagos
de la anualidad y la i% significa la tasa a la cual todos los
pagos son trasladados al valor final.

La segunda forma de representación es con la
notación actuarial: Sn( i Donde la S significa valor
final, la n (cantidad que se escribe dentro del ángulo)
indica el número de pagos y la i indica la tasa a la cual
serán llevados todos los pagos a valor final. Debido a que
la notación actuarial es más condensada les
sugerimos al lector que utilice esta forma.

Ahora procederemos a calcular el valor final de una
anualidad. No se pierde generalidad si suponemos que la renta es
de $1 pues como se puede apreciar (reproducimos la
ecuación del ejemplo 1 después de factorizar la R)
2000000= R[(1.1)-1 +(1.1)-2 + (1.1)-3 + (1.1)-4] Lo que esta
dentro del paréntesis angular es el valor de $1 en un
período, seguido del valor presente de $1 en dos
períodos y así sucesivamente hasta llegar al valor
presente de $1 en 4 períodos.

En forma general se tendrá:

Para plantear la ecuación de valor como fecha
focal en n trasladamos cada uno de los pagos de $1 a valor final
usando la ecuación del interés compuesto S=P(1+i))n
a cada pago, pero en cada caso, P=1. El pago que está en 1
se traslada por n-1 periodos, el que está en 2 se traslada
por n-2 y así sucesivamente hasta llegar al pago n el cual
no se traslada por estar en la fecha focal entonces:

[1] Sn( i = 1 + (1+i) + (1+i)2
+……+(1+i)n-1 Si la ecuación [1] la
multiplicamos por (1+i) obtenemos la ecuación [2]
entonces:

[2] Sn( i (1+i) = (1+i) + (1+i)2
+……+(1+i)n Substrayendo la ecuación [1] de
la ecuación [2], tenemos la ecuación
[3]:

Sn( i (1+i) = (1+i) + (1+i)2 +……+(1+i)n
Sn( i = 1 + (1+i) + (1+i)2 +……+(1+i)n-1
———————————————————————–
[3]

Sn( i (1+i) – Sn( i= (1+i)n-1 Factorizando Sn( i se
tiene la ecuación [4] Sn( i (i) – Sn( i= (1+i)n-1
Finalmente despejando Sn( i se tiene la ecuación [
5]

Valor
presente

El caso del valor presente lo representaremos por an( i
en la notación actuarial y por (P/A,n,i%) en la
notación tradicional y significará el valor
presente de una anualidad de n pagos puestos en valor presente a
la tasa i%.

La fórmula se obtiene al plantear la
ecuación de valor con fecha focal al principio y
trasladando todos los pagos a valor presente a la tasa i
(nuevamente, no se pierde generalidad si se supone que todos los
pagos son de $1)

(P/A,n,i%) = an( i = (1+i)-1 + (1+i)-2 +
… + (1+i)-n

Para simplificar esta ecuación, podría
seguirse un procedimiento similar al, realizado para el valor
final; sin embargo el camino más corto consiste en
actualizar el valor final an( i = Sn( i(1+i)-n si
reemplazamos Sn( i por su equivalente

se
tiene:

De donde se concluye que:

Las fórmulas anteriores fueron deducidas para una
renta de $1 pero si la renta hubiese sido de $R, el valor final
VF o el valor presente VP hubiese sido R veces mayor. Por tanto
podemos escribir:

VF = R Sn( i y también VP = R an(
i

Ejemplo 2 Un documento estipula pagos
trimestrales de $80.000, durante 6 años.

Si este documento se cancela con un solo pago
de:

• a. $A al principio o,

• b. $S al final, con una tasa del 32%
  CT.

Solución:

El número de pagos es n = 4 x 6 = 24 , R =
-$80.000 i= 32/4 = 8% efectivo trimestral

a)-

b)-

Ejemplo 3

Una persona empieza el día primero de julio de
1986 a hacer depósitos de $1.000 mensualmente el
día primero de cada mes. Estos depósitos son
efectuados en una entidad financiera que le paga el 24% CM; pero,
a partir del primero de octubre de 1987, decidió que de
ahí en adelante, sus depósitos serían de
$2.500. El último depósito lo hizo el primero de
agosto de 1.989. Si el primero de diciembre de 1989 decide
cancelar la cuenta. Cuál será el monto de sus
ahorros? Solución:

Observemos que hay 2 anualidades: la de renta de $1.000
y la de renta de $2,500. La primera anualidad empieza el 1-6-86
(primero de junio de 1986) y termina el 1-9-87 (primero de
septiembre de 1987) y la segunda anualidad empieza el 1-9-87 y
termina el 1-8-89. De ésta forma la primera anualidad
tendrá 15 períodos y su valor final deberá
ser trasladado por 27 períodos para llevarlo a la fecha
focal (desde el 1-9-87 hasta el 1-12-89). La segunda anualidad
tendrá 23 períodos y su valor final lo debemos
trasladar por 4 períodos y así la ecuación
de valor será:

1000S15(2%(1.02)27 + 2.500 S23(2%(1.02)4 = X De donde se
obtiene que: X = $107.574.69 Comentario: Al cambiar de
posición la fecha focal por ejemplo: si en lugar de
ponerla al final la hubiéramos puesto al principio la
respuesta no varía, aunque a primera vista la
ecuación de valor es muy distinta, porque en vez de usar
Sn( i hubiéramos podido utilizar an( i,
el uso de los factores anteriores depende de la posición
de la fecha focal.

Ejemplo 4

Una deuda de $50.000 se va a cancelar mediante 12 pagos
uniformes de $R. Con una tasa del 2% efectivo para el
período, hallar el valor de la cuota R
situando:

• a. la fecha focal el día de hoy
  y

• b. poniendo la fecha focal en 12
  meses

Solución:

En este caso se usa an( i porque todo el flujo
de caja debe ser puesto al principio que es donde está la
fecha focal y la ecuación de valor quedará
así:

50.000 = R a12( 2% de donde R = $4.727.98
b.

En este caso puede usarse Sn( i porque todo el flujo de
caja debe ser puesto en el punto 12 que es donde está la
fecha focal, pero la deuda de los $50.000 sigue en 0 lo cual
implica que deberá ser trasladada a valor final con todos
los pagos, entonces la ecuación quedará
así:

50.000(1.02)12 = R S12( 2% y vuelve a dar R =
$4.727.98

Anualidades
anticipadas

Como ya dijimos, una anualidad anticipada es aquella en
que los pagos se hacen al principio del período. El valor
presente y el valor final se representarán respectivamente
por:

.. än( i y Sn( i o por
(P/Ä, n, i%) y (F,/Ä, n, i%) Los dos puntos o
diéresis indican que es anticipado Existen relaciones
entre las anualidades ordinarias y las anualidades anticipadas,
las cuales podrán ser deducidas del análisis de las
siguientes gráficas:

• a. Para facilitar el planteamiento de la
  ecuación de valor comenzamos con el pago que
  está en n, siguiendo con el que está en n-1 y
  así sucesivamente hasta llegar al pago situado en 1,
  entonces para valor final con anualidad ordinaria la
  ecuación de valor quedará
  así:

Sn( i = 1 + (1+i) + (1+i)2 + … +
(1+i)n

Para la anualidad anticipada en valor final, la
gráfica del flujo de caja quedará
así:

Observe que en este caso hemos usado una doble
numeración la que está encima de la línea de
tiempo indica el número del pago, mientras que la que se
encuentra debajo de la línea de tiempo señala los
períodos y así en el período 0 que es el
comienzo del primer período se está haciendo el
pago número 1 en el período 1 que es el final del
primer período pero a su vez es el comienzo del segundo
período y por eso se realiza el segundo pago y así
sucesivamente hasta que lleguemos al punto n – 1 debajo de la
línea de tiempo que representa el final del período
n – 1 pero también es el comienzo del período n y
por tanto ahí debe estar el pago n y su ecuación de
valor será:

.. Sn( i =(1+i)1 +
(1+i)2+…..(1+i)n-1 + (1+i)n La diferencia entre las dos
anualidades estriba en que la serie de la anualidad ordinaria
empieza con 1 termina con (1+i)n-1 , en cambio, la serie de la
anualidad anticipada comienza con (1+i) y termina con (1+i)n . Si
a la serie anticipada se le agrega un 1 y se le resta al final y,
si además, le introducimos el paréntesis angular,
el resultado no se altera.

.. Sn( i =[1+(1+i) + (1+i)2+
(1+i)3…..(1+i)n-1] + (1+i)n-1 Obsérvese que la
parte que está dentro del paréntesis es igual a la
serie ordinaria, por tanto, podemos decir que:

.. Sn( i = Sn( i+ (1+i)n-1 Si
reemplazamos Sn( i por su equivalente ((1+i)n-1)/1 se
tendrá:

Reduciendo a un común denominador el miembro de la
derecha se tendrá:

Si factorizamos se
tendrá:

Entonces se tiene que:

Que es equivalente a:

(F/Ä,n,i%)=(F/A,n,i%)(1+i)

Ejemplo 5

Una persona arrienda una casa en $50.000 pagaderos por
mes anticipado. Si tan pronto como recibe cada arriendo, lo
invierte en un fondo que le paga el 2% efectivo mensual.
Cuál será el monto de sus ahorros al final de un
año?

Solución:

Obsérvese que de todos modos hay 12
períodos y 12 pagos. El valor final de ésta
anualidad está en el punto 12 (porque si comienza con pago
debe terminar con período) y la ecuación
será:

.. X=50000S12( 2%=50000S12(
2%(1.02)=$684016.58

Anualidad
Ordinaria en Valor Presente

La ecuación de valor la comenzamos a plantear con
el pago que ésta en 1 y terminando con el pago que
está en n.

(P/A,n,i%) = an( i =(1+i)-1 +
(1+i)-2+(1+i)-3…..(1+i)-(n-1) + (1+i)-n

Anualidad
Anticipada en Valor Presente

La diferencia entre las dos series estriba en que la
ordinaria empieza con 1 y termina con (1+i)-n y la anticipada
comienza con 1 y termina con (1+i)-(n-1)

Y la correspondiente ecuación de valor
quedará así:

(P/Ä,n,i%) = än( i =1+(1+i)-1 +
(1+i)-2+(1+i)-3…..(1+i)-(n-1) Si a la serie de la
anualidad anticipada le agregamos (1+i)-n y le restamos esa misma
cantidad y además le introducimos un paréntesis
angular, el resultado no se altera entonces:

än( i =1+[(1+i)-1 +
(1+i)-2+…..(1+i)-(n-1)+(1+i)-n]-(1+i)-n Ahora podemos
observar que la serie que está dentro del
paréntesis angular corresponde a la serie ordinaria, por
tanto podemos decir que:

än( i =1+an( i-(1+i)-n =
an( i + 1 – (1+i)-n

Si los dos últimos términos de la
ecuación anterior se encierran en un paréntesis
angular y se multiplican y dividiendo por i, no se altera la
igualdad, por tanto se tiene:

Factorizando än( i se tiene la
fórmula final

Ejemplo 6

El contrato de arriendo de una casa estipula pagos
mensuales de $40.000, al principio de cada mes, durante un
año. Si suponemos un interés del 30% CM.
Cuál será el valor del pago único que, hecho
al principio del contrato, lo cancelaría en su
totalidad?

Solución:

X=40000
ä12( 2.5% = 40000 an( 2.5%(1+0.025) =
$420586.35

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
POLITÉCNICA

"ANTONIO JOSÉ DE SUCRE"

VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZ DEPARTAMENTO DE
INGENIERÍA INDUSTRIAL

CÁTEDRA: INGENIERÍA FINANCIERA

Profesor:

Ing. Andrés Eloy Blanco

Integrantes:

Briceño, Francisco Delgado, Erika López,
Roberto

Autor:

Iván José Turmero Astros

Puerto Ordaz, Julio de 2006