Definiciones básicas (Gp:) Supongamos un sistema compuesto
por partículas. Para cada una de ellas podemos definir
Masa Posición Velocidad Aceleración Fuerza externa
Fuerza interna ejercida por j sobre i
Propiedades de las fuerzas interiores
Tercera ley de Newton: (principio de acción y
reacción) Si dos objetos interactúan, la fuerza F12
ejercida por el objeto 1 sobre el 2 es igual en módulo y
dirección, pero opuesta en sentido, a la fuerza F21
ejercida por el objeto 2 sobre el objeto 1. Las fuerzas siempre
se producen por parejas. No puede existir una única fuerza
aislada. En todos los casos, las fuerzas de acción y
reacción actúan sobre objetos diferentes, y deben
ser del mismo tipo. (Gp:) Fuerza ejercida por a sobre b (Gp:)
Notación
Aplicación de las leyes de Newton Sumando para todas las
partículas (Gp:) Los sistemas de vectores y tienen la
misma resultante y el mismo momento resultante
Momentos lineal y angular de un sistema de
partículas
Centro de masa de un sistema de partículas:
Definición La posición del centro de masas de un
sistema se puede describir como la posición media de la
masa del sistema El centro de masas de dos partículas de
masas diferentes se encuentra entre las dos partículas y
más cerca de la de mayor masa
Centro de masa de un sistema continuo: Definición La
posición del centro de masas de un sistema se puede
describir como la posición media de la masa del sistema
Podemos modelar el objeto no puntual como un sistema formado por
un gran número de elementos. Cada elemento se considera
como una partícula de masa y coordenadas La
separación entre las partículas en este modelo es
muy pequeña, por lo que éste es una buena
representación continua de masa del objeto. Si
establecemos que el número de partículas tiende a
infinito ( y como consecuencia el tamaño y la masa de cada
elemento tiende a cero)
Movimiento de un sistema de partículas: Definición
de la velocidad del centro de masas Suponiendo que ninguna
partícula entra ni sale del sistema, de manera que M
permanece constante La cantidad de movimiento total del sistema
es igual a su masa total multiplicada por la velocidad del centro
de masas. La cantidad de movimiento total de una sola
partícula de masa M que se mueve con la velocidad del
centro de masa
Movimiento de un sistema de partículas: Definición
de la aceleración del centro de masas Si volvemos a
derivar con respecto del tiempo, podemos obtener la
aceleración del centro de masas (Gp:) A priori, son todas
las fuerzas que actúan sobre la partícula i, tanto
internas como externas. Sin embargo, como ya hemos visto, al
sumar las fuerzas internas se cancelan dos a dos. Por lo tanto,
la fuerza neta ejercida sobre el sistema se debe sólo a
las fuerzas externas.
Movimiento de un sistema de partículas: Definición
de la aceleración del centro de masas El centro de masas
de un sistema se mueve como una partícula imaginaria de
masa M bajo la influencia de la fuerza neta ejercida sobre el
sistema. En ausencia de fuerzas externas, el centro de masas se
mueve con velocidad uniforme. La fuerza exterior neta ejercida
sobre el sistema de partículas es igual a la masa total
del sistema multiplicada por la aceleración del centro de
masas o, lo que es lo mismo, a la variación de la cantidad
de movimiento del sistema
Sistema de referencia del centro de masas Si describimos las
posiciones, velocidades y aceleraciones de todas las
partículas del sistema con respecto a un sistema de
referencia con origen en el centro de masas: Por
definición de posición y velocidad del centro de
masas llegamos a las siguientes conclusiones
Energía cinética de un sistema de partículas
Aplicando la definición de energía
cinética
Relación entre momentos angulares para el sistema de
laboratorio y el sistema de centro de masas Aplicando la
definición de momento angular
Cálculos de los centros de gravedad: Definición
Sistema discreto Sistema continuo
Cálculos de los centros de gravedad en distintos sistemas
continuos Sistema homogéneo Placa homogénea de
espesor constante Hilo homogéneo de sección
constante
Cálculos de los centros de gravedad en distintos sistemas
continuos Si pudiéramos considerar el sistema como la suma
de varios cuerpos En el caso de que el sistema tuviera huecos,
éstos podrían considerarse como subpartes de
“masa negativa”
Cálculos de los centros de gravedad: Teoremas de
Pappus-Guldin Teoremas que relacionan superficies y
volúmenes de sólidos de revolución Un
sólido de revolución es un cuerpo que puede
obtenerse mediante una operación geométrica de
rotación de una superficie plana alrededor de una recta
contenida en su mismo plano. Ejemplo: Un volumen con forma de
toro se puede considerar como la rotación de un
círculo
Cálculos de los centros de gravedad: Primer teorema de
Pappus-Guldin El área de una superficie de
revolución es igual a la longitud de la curva generatriz
multiplicada por la distancia recorrida por el centro de gravedad
de la curva cuando se engendra la superficie
Cálculos de los centros de gravedad: Primer teorema de
Pappus-Guldin El área de una superficie de
revolución es igual a la longitud de la curva generatriz
multiplicada por la distancia recorrida por el centro de gravedad
de la curva cuando se engendra la superficie Conocido el centro
de gravedad de la curva generatriz, se puede calcular el
área de la superficie de revolución
Cálculos de los centros de gravedad: Segundo teorema de
Pappus-Guldin El volumen de un cuerpo de revolución es
igual al área generatriz multiplicada por la distancia
recorrida por el centro de gravedad del área cuando se
engendra el cuerpo
Cálculos de los centros de gravedad: Segundo teorema de
Pappus-Guldin El volumen de un cuerpo de revolución es
igual al área generatriz multiplicada por la distancia
recorrida por el centro de gravedad del área cuando se
engendra el cuerpo Conocido el área de la superficie
generatriz, se puede calcular el volumen del cuerpo de
revolución