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Ecuación diofántica m(n) = a(n) + b(n) con n simple impar

Enviado por Juan Pérez Mollá



  1. Resumen
  2. Consideraciones previas
  3. Caso b par
  4. Caso a par
  5. Caso m par
  6. Conclusión

Resumen

Se analizan mediante álgebra y aritmética ordinarias, las condiciones que deberían cumplir las soluciones enteras y positivas de la ecuación

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Se muestra que en las fracciones

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que son números enteros con independencia de que se cumpla la ecuación dada en enteros positivos, si se sustituyen de acuerdo con dicha ecuación, los numeradores por las potencias

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respectivamente, en los casos posibles b par, a par y m par, las soluciones m, a, b, que resultan, no cumplen la condición necesaria de ser números primos entre sí dos a dos en los casos b par, a par y que para m par n no puede ser mayor que 2 con m, a, b, enteros positivos.

Consideraciones previas

Los enteros positivos m, a, b, si satisfacen la ecuación

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para n primo mayor que 2, cumplen las condiciones siguientes.

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Dos de los números solución deben ser impares y par el tercero.

Basta considerar el caso en que m, a, b, son primos entre sí dos a dos, pues si dos de la terna solución poseen un factor común, tendrá que ser también factor del tercer número si son solución de la ecuación dada y se podrá prescindir de dicho factor. Por otro lado, solo los supuestos b par, a par, m par, que corresponden respectivamente a m ( a , m ( b y a + b pares, son los únicos casos a considerar.

Como m es el mayor de la terna solución, si suponemos que a > b se podrá establecer,

a + b > m > a > b > m - a.

Siendo n simple, m, a, b, verificarán las congruencias módulo n,

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relación que confirma las desigualdades anteriores y muestra que las soluciones posibles de la ecuación (1) están formadas por números m, a, b, mayores que n.

Se determinarán las condiciones que deben satisfacer los números de la terna solución y los números

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que deberían ser enteros si la ecuación (1) tiene solución en enteros positivos m, a, b, primos entre sí dos a dos.

Basta considerar el caso de n simple impar, pues el supuesto de exponente par se reduce al caso de n =4 que no produce soluciones enteras, según se demuestra por el método del descenso de reducción al absurdo.

Se demuestran en primer lugar las proposiciones siguientes.

Proposición 1.

Si m – a es múltiplo del simple n > 2 la ecuación (1) no tiene solución en enteros positivos primos entre sí dos a dos.

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En esta relación el segundo miembro es un entero y la suma debe ser un número entero o un número racional N/D.

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Ahora bien, el primer miembro de esta relación no puede se múltiplo de nn porque deberían ser m o a múltiplos de n, y los números solución no serían primos entre sí dos a dos como se requiere. Si en particular se supone que m – a = n se obtiene,

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que implica la divisibilidad de a por n y la terna solución no sería de primos entre sí dos a dos. La suma de (3) es por lo tanto un entero, sin ser n divisor de a, ya que a y b son primos entre sí, y la relación (3) muestra la divisibilidad de

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y por último,

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Resultará así que en el supuesto en que m - a fuese múltiplo del simple n impar, y en particular igual a n, la solución de la ecuación (1) estaría formada por una terna de números que no serían primos entre sí dos a dos, como se exige y la proposición es cierta.

La demostración de esta proposición es aplicable al caso en que m – b es múltiplo de n y por tanto cierta la siguiente proposición.

Proposición 2

Si m – b es múltiplo del simple n > 2 la ecuación (1) no tiene solución en enteros positivos primos entre sí dos a dos.

Proposición 3

Si a + b es múltiplo de n simple impar, la ecuación (1) no tiene solución en enteros positivos .

Sea a + b = f n, por la (2) será m = g n y se tendrá,

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Dado que n no puede dividir a b porque la terna solución debe ser de primos entres sí dos a dos, en esta expresión la máxima potencia de n que divide al segundo miembro es n2; ahora bien, si se cumple la ecuación (1) el primer miembro deberá ser,

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es decir, múltiplo de nn y los dos miembros de (4) no pueden ser iguales si n es simple impar; por lo tanto si a + b es múltiplo de n la ecuación (1) no posee soluciones enteras positivas a, b, m, para n primo mayor que 2.

A continuación se exponen los supuestos b par, a par, m par,

Caso b par

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y como m y a son impares, la suma de (5) es impar porque es suma de un número impar, n, de sumandos impares, por consiguiente si se cumple (1) será

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y la potencia 2f dividirá a d.

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Por lo tanto si b es par y n es simple impar no se cumple la ecuación (1) con m, a, b, enteros primos entre sí dos a dos.

Caso a par

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y las potencias de 2 en la descomposición de a n y (m - b) en factores simples serán idénticas, y podremos proceder de manera análoga, "mutatis mutandis", al caso b par, llegando a la conclusión de que la ecuación (1) no tiene soluciones enteras de primos entre sí dos a dos, para el caso a par si n es simple impar..

Caso m par

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número impar, porque es la suma de un número n, impar, de (n + 1)/2 sumandos impares que producen un número par, y de (n -1)/2 sumandos impares afectados del signo menos, que dan un número impar negativo, y por tanto la suma se reduce a un número impar, diferencia entre un número par y un impar.

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Conclusión

Se demuestra con métodos de la aritmética ordinaria que la ecuación m n = a n + b n para n primo impar carece de soluciones m, a, b, enteras y positivas.

(*) Trabajo que sustituye a otro del autor sobre el mismo tema publicado en monografías.com el 20 de julio de 2012.

 

 

Autor:

Juan Pérez Mollá

 


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