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Ejercicio nº 1.-
a)
Dibuja el recinto formado por los puntos que cumplen
las siguientes condiciones:
b) Indica si los puntos (0, 0), (2, 1) y (1, 2)
forman parte de las soluciones del sistema anterior.
Solución:
Tomamos un punto cualquiera; por ejemplo el (1, 0), para
comprobar cuáles son los puntos que cumplen las
desigualdades propuestas.
El recinto buscado es:
b) A la vista de la gráfica anterior, tenemos que
(0, 0) y (2, 1) no son soluciones del sistema, pero (1, 2)
sí lo es.
Ejercicio nº 2.- Maximiza la
función z = x ? y, sujeta a las
siguientes restricciones:
Solución:
y hallamos la región que cumple las condiciones
del problema, teniendo en cuenta que x ? 0 e y
? 0.
? Representamos la dirección de las rectas
z = x ? y, dibujando la que pasa por
el origen de coordenadas: x ? y = 0
el máximo, que vale: z = 8 ? 4 =
12
Ejercicio nº 3.- En una granja
de pollos se da una dieta "para engordar" con una
composición mínima de 15 unidades de una sustancia
A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado
solo se encuentran dos clases de compuestos: el tipo I con una
composición de una unidad de A y cinco de
B, y el tipo II con una composición de cinco
unidades de A y una de B. El precio del tipo I
es de 10 euros y el del tipo II es de 30 euros. Se pregunta:
¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo
para cubrir las necesidades con un coste
mínimo?
Solución: Llamamos x a
las unidades que se compran de tipo I e y a las que se
compran de tipo II.
Resumamos los datos en una tabla:
Las restricciones son:
La función que nos da el coste es z =
10x ? 30y = 10(x ? 3y).
Debemos hacer mínima esta función, sujeta
a las restricciones anteriores.
Dibujamos el recinto correspondiente a las
restricciones, y la recta 10(x ? 3y) = 0 ? x ?
3y = 0, que nos da la dirección de las rectas z =
10(x ? 3y).
Por tanto, hay que comprar 2,5 de tipo I y 2,5 de tipo
II.
El precio en este caso será de z =
10(2,5 ? 3?2,5) = 100 euros.
Ejercicio nº 4.- Disponemos de
210 000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos
de acciones. Las del tipo A que rinden el 10% y las de
tipo B que rinde el 8%. Decidimos invertir un
máximo de 130 000 euros en las de tipo A y, como
mínimo, 6 000 euros en las de tipo B.
además, queremos que la inversión en las del tipo
A sea menor o igual que el doble de la inversión
en B. ¿Cuál tiene que ser la
distribución de la inversión para obtener
máximo interés anual?
Solución: Llamamos x al
dinero que invertimos en acciones de tipo A e y
al que invertimos en las de tipo B.
Resumimos los datos en una tabla:
Las restricciones son:
La función que nos da el rendimiento total
es:
Debemos maximizar esta función, sujeta a las
restricciones anteriores.
Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones
(la unidad es 10 000)
El máximo se alcanza en el punto (13,
8).
Por tanto, debemos invertir 130 000 euros en acciones
del tipo A y 80 000 euros en las de tipo B. En
este caso, el beneficio anual será de
Ejercicio nº 5.- a) Representa
el recinto que cumple estas restricciones:
b) Da tres puntos que sean solución del
sistema anterior. Solución:
Tomamos un punto cualquiera, por ejemplo el (0, 0), para
comprobar cuáles son los puntos que cumplen las
desigualdades propuestas.
El recinto buscado es:
b) Por ejemplo: (1, 1), (2, 2) y (2, 0).
Ejercicio nº 6.- Halla el
mínimo de la función z = 3x ? 2y con las
siguientes restricciones:
Solución:
y hallamos la región que cumple las condiciones
del problema, teniendo en cuenta que x ? 0 e y
? 0.
Los vértices de dicha región son los
puntos:
Representamos la dirección de las rectas
z = 3x ? 2y, dibujando lo que pase por el origen de
coordenadas: 3x ? 2y = 0 ? Observamos que la recta 3x ? 2y = 0 y
la recta 3x ? 2y = 2 son paralelas. Por tanto,
Este mínimo vale:
z = 3 ??0 ? 2 ??1 = 2
Ejercicio nº 7.- Cierto
fabricante produce dos artículos, A y B,
para lo que requiere la utilización de dos secciones de
producción: sección de montaje y sección de
pintura. El artículo A requiere una hora
de trabajo en la sección de montaje y dos en la de
pintura; y el artículo B, tres horas en la
sección de montaje y una hora en la de pintura. La
sección de montaje solo puede estar en funcionamiento
nueve horas diarias, mientras que la de pintura solo ocho horas
cada día. El beneficio que se obtiene produciendo el
artículo B es de 40 euros y el de A es
de 20 euros. Calcula la producción diaria de los
artículos A y B que maximiza el
beneficio.
Solución: Llamamos x a
la producción diaria de artículos A e
y a la de artículos B. Resumimos los
datos en una tabla:
Las restricciones son:
La función que nos da el beneficio es z
= 20x ? 40y = 20(x ? 2y). Debemos obtener el
máximo de esta función, sujeta a las restricciones
anteriores.
Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones
y la recta 20(x ? 2y) = 0 ? x ? 2y = 0, que nos
da la dirección de las rectas z = 20x ?
40y.
es decir,
en (3, 2).
Por tanto, deben producirse 3 unidades de A y 2
de B. En este caso, el beneficio será de
z = 20 ??3 ? 40 ??2 =140 euros.
Ejercicio nº 8.- Un quiosco
vende bolígrafos a 20 céntimos de euro y cuadernos
a 30 céntimos de euro. Llevamos 120 céntimos de
euro y pretendemos comprar los mismos cuadernos que
bolígrafos, por lo menos. ¿Cuál será
el número máximo de piezas que podemos
comprar?
Solución: Llamamos x al
número de bolígrafos e y al número
de cuadernos.
Tenemos que:
Las restricciones son:
Dibujamos el recinto correspondiente. Las posibles
soluciones son los puntos que aparecen
señalados:
Debemos hacer máximo el número de piezas,
es decir, debemos maximizar z = x ? y.
Vemos que hay tres puntos que hacen máxima esta suma: (0,
4), (1, 3) y (2, 2). El número máximo de piezas que
podemos comprar es 4.
Ejercicio nº 9.- a) Representa
gráficamente el conjunto de soluciones del siguiente
sistema de inecuaciones:
b) Di
si los puntos (0, 1), (0, 0) y (0, 3) son soluciones del sistema
anterior.
Solución:
Tomamos un punto cualquiera; por ejemplo el (0, 0), para
comprobar cuáles son los puntos que cumplen las
desigualdades propuestas.
El recinto buscado es:
b) A la vista de la gráfica anterior, tenemos que
(0, 1) sí es solución del sistema, (0, 0)
también lo es, pero (0, 3) no.
Ejercicio nº 10.- Maximiza la
función z = 150x ? 100y, sujeta a las siguientes
restricciones:
Solución:
y hallamos la región que cumple las condiciones
del problema, teniendo en cuenta que x ? 0 e y
? 0.
Los vértices de dicha región son los
puntos:
(0, 0); (0, 200); (240, 0) y (210, 60) ? Representamos
la dirección de las rectas z = 150x ? 100y,
dibujando la que pasa por el origen de coordenadas: 150x ? 100y =
0
? El máximo se encuentra en el vértice
(210, 60), en el que z = 150 ??210 ? 100 ??60 = = 37
500.
Ejercicio nº 11.- Un orfebre
fabrica dos tipos de joyas. Las del tipo A precisan 1 g
de oro y 1,5 g de plata, vendiéndolas a 40 euros cada una.
Para la fabricación de las de tipo B emplea 1,5 g
de oro y 1 g de plata, y las vende a 50 euros. El orfebre tiene
solo en el taller 750 g de cada uno de los metales.
Calcula cuántas joyas ha de fabricar de cada clase para
obtener un beneficio máximo.
Solución: Llamamos x al
número de joyas del tipo A e y al
número de joyas del tipo B. Resumimos los datos
en una tabla:
Las restricciones son:
La función que nos da los ingresos es z
= 40x ? 50y = 10(4x ? 5y).
Debemos hacer máxima esta función, sujeta
a las restricciones anteriores.
Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones
y la recta 10(4x ? 5y) = 0 ? 4x ? 5y = 0, que nos da la
dirección de las rectas z = 10(4x ?
5y).
es decir, en (300, 300).
Por tanto, ha de fabricar 300 joyas del tipo A
y 300 del tipo B para obtener el máximo
beneficio. Los ingresos en este caso serían z =
40 ??300 ? 50 ??300 = 27 000 euros.
Ejercicio nº 12.- En una
pequeña empresa se fabrican diariamente solo dos tipos de
aparatos, A y B. Como máximo pueden
fabricarse 3 aparatos de cada tipo y, obligatoriamente, al menos
un artículo del tipo B. Indica todas las
posibilidades de fabricación si se quieren obtener unas
ventas superiores a 60 euros, teniendo en cuenta que los precios
de los artículos A y B son de 30 y 10
euros, respectivamente.
Solución: Llamamos x al
número de aparatos de tipo A e y al
número de aparatos de tipo B que podemos
fabricar.
Las restricciones son:
Representamos el conjunto de restricciones:
Observamos que la única solución posible
es fabricar 2 aparatos de tipo A y 1 de tipo B.
La venta es entonces de 2 ??30 ? 1 ??10 = 70 euros.
Ejercicio nº 13.- a) Construye
el recinto de soluciones del siguiente sistema:
b) Los puntos (20, 10), (20, 0) y (20, 20),
¿forman parte de las soluciones del sistema anterior?
Solución:
Tomamos un punto cualquiera, por ejemplo el (0, 0), para
comprobar cuáles son los puntos que cumplen las
desigualdades propuestas.
El recinto buscado es:
b) A la vista de la gráfica anterior, tenemos que
los tres puntos son soluciones del sistema.
Ejercicio nº 14.- a) Dibuja el
recinto definido por:
b) Halla los vértices del recinto
anterior. c) Halla el máximo de la función
z = 4y ??x, sujeta a las restricciones
propuestas en a). ¿En qué punto del recinto alcanza
dicho máximo?
Solución:
y hallamos la región que cumple las condiciones
del problema.
? Los vértices del recinto son los
puntos:
? Representamos la dirección de las rectas
z = 4y ??x, dibujando la que pasa por el origen
de coordenadas: 4y ??x = 0
Ejercicio nº 15.- Unos grandes
almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la
temporada anterior. Para ello, lanzan dos ofertas, A y
B: La oferta A consiste en un lote de una
camisa y un pantalón, que se venden a 30 euros; la oferta
B consiste en un lote de tres camisas y un
pantalón, que se vende a 50 euros. No se desea ofrecer
menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la
B. ¿Cuántos lotes han de vender de
cada tipo para maximizar la ganancia?
Solución: Llamamos x al
número de lotes de A e y al
número de lotes de B.
Resumimos los datos en una tabla:
Las restricciones son:
Maximizar las ganancias equivale a maximizar los
ingresos. La función que nos da los ingresos es z
= 30x ? 50y = 10(3x ? 5y). Debemos obtener el máximo de
esta función sujeta a las restricciones
anteriores.
Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones
y la recta 30x ? 50y = 10(3x ? 5y) = 0 ? 3x ? 5y = 0, que nos da
la dirección de las rectas z = 30x ?
50y.
es decir, en (50, 50).
Por tanto, se deben hacer 50 lotes de la oferta
A y 50 de la B. Los ingresos en este caso
serían de z = 30 ??50 ? 50 ??50 = 4 000
euros.
Ejercicio nº 16.- Se desea
obtener tres elementos químicos a partir de las sustancias
A y B. Un kilo de A contiene 8 gramos
del primer elemento, 1 gramo del segundo y 2 del tercero; un kilo
de B tiene 4 gramos del primer elemento, 1 gramo del
segundo y 2 del tercero. Se desea obtener al menos 16 gramos del
primer elemento y las cantidades del segundo y del tercero han de
ser como mucho 5 y 20 gramos, respectivamente; y la cantidad de
A es como mucho el doble que la de B. Calcula los
kilos de A y los de B que han de tomarse para
que el coste sea mínimo si un kilo de A vale 2
euros y uno de B 10 euros. ¿Puede
eliminarse alguna restricción?
Solución: Llamamos x a
los kilos de A e y a los de
B.
Resumimos los datos en una tabla:
Las restricciones son:
La función que nos da el coste es z = 2x
? 10y = 2(x ? 5y). Debemos minimizar esta
función, sujeta a las restricciones anteriores.
Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones
y la recta 2(x ? 5y) = 0 ? x ? 5y = 0, que nos
da la dirección de las rectas z = 2x ?
10y.
es decir, en (1,6; 0,8).
Por tanto, han de comprarse 1,6 kilos de A y
0,8 de B. El coste en este caso será de
z = 2 ??1,6 ? 10 ??0,8 = 11,2 euros.
Ejercicio nº 17.- Una
fábrica produce neveras utilitarias y de lujo. La
fábrica esta dividida en dos secciones: montaje y acabado.
Los requerimientos de trabajo vienen dados por la siguiente
tabla:
El máximo número de horas de trabajo
disponibles diariamente es de 120 en montaje y 180 en acabado,
debido a las limitaciones de operarios. Si el beneficio es
de 300 euros por cada nevera utilitaria y de 400 euros por cada
nevera de lujo, ¿cuántas deben fabricarse
diariamente de cada una para obtener el máximo
beneficio?
Solución:
Resumimos los datos en una tabla:
Las restricciones son:
La función que nos da el beneficio es z
= 300x ? 400y = 100(3x ? 4y). Debemos obtener el máximo de
esta función, sujeta a las restricciones
anteriores.
Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones
y la recta 100(3x ? 4y) = 0 ? 3x ? 4y = 0, que nos da la
dirección de las rectas z = 300x ?
400y:
es decir, en (20, 20).
Por tanto, deben fabricarse 20 neveras de cada uno de
los dos tipos. El beneficio será z = 300 ??20 ?
400 ??20 = 14 000 euros.
Ejercicio nº 18.- La casa
X fabrica helados A y B, hasta un
máximo diario de 1 000 kilos. La fabricación de un
kilo de A cuesta 1,8 euros y uno de B, 1,5
euros. Calcula cuántos kilos de A y B
deben fabricarse, sabiendo que la casa dispone de 2 700 euros
/día y que un kilo de A deja un margen igual al
90% del que deja un kilo de B.
Solución: Llamamos x a
los kilos de A e y a los de B. Sea
m el margen de B; entonces el de A es
0,9m.
Resumimos los datos en una tabla:
Las restricciones son:
El margen total es z = 0,9mx ? mx =
m(0,9x ? y). Esta es la función que
debemos maximizar, sujeta a las restricciones
anteriores.
Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones
y la recta m(0,9x ? y) = 0 ? 0,9x ? y
= 0, que nos da la dirección de las rectas z =
m(0,9x ? y).
Observamos que 1,8x ? 1,5y ? 2 700 no impone ninguna
restricción nueva. El máximo se alcanza en el punto
M (0, 1 000).
Por tanto, deben fabricarse 1 000 kilos de helado de
tipo B y nada de tipo A.
Autor:
Pablo Turmero