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Fluidos en movimiento y ecuación de Bernoulli




Enviado por Pablo Turmero



    El flujo de un fluido puede ser en general muy
    complicado. Consideremos, por ejemplo el humo que asciende de un
    cigarro encendido.A1 principio el humo se eleva con una forma
    regular, pero pronto aparecen turbulencias y el humo empieza a
    ondear de forma irregular. El flujo turbulento es muy
    difícil de estudiar y, por consiguiente, solo estudiaremos
    el flujo en estado estacionario. Consideremos en primer lugar un
    fluido que fluye sin disipación de energía
    mecánica. Dicho fluido se denomina no viscoso. Supondremos
    también que el fluido es incompresible, y por tanto, su
    densidad es constante. Puede verse en el dibujo un fluido que
    circula por un tubo cuya sección recta tiene un
    área variable.

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    Ecuación de continuidad.

    El producto Q = Av es una magnitud denominada
    flujo de volumen Q, gasto o caudal. Las dimensiones de
    Q son las de volumen/tiempo (p.e. litros por minuto) En
    el flujo estacionario de un fluido incompresible, el caudal es el
    mismo en todos los puntos de fluido.

    Ejemplo

    La sangre circula por una arteria aorta de 1,0
    cm
    de radio a 30 cm/s. ¿Cuál es el
    flujo de volumen?

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    La altura y sección del tubo van variando como se
    indica en el dibujo, por tanto, para el
    líquido:

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    Aplicando el teorema trabajo-energía y la
    ecuación de continuidad, se tiene

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    Lo que significa que esta combinación de
    magnitudes calculada en un punto determinado de la tubería
    tiene el mismo valor que en cualquier otro punto. La
    ecuación anterior se conoce como ecuación de
    Bernoulli para el flujo constante y no viscoso de un fluido
    incompresible. Sin embargo, la ecuación de Bernoulli se
    aplica en muchos casos a fluidos compresibles como los
    gases.

    Una aplicación especial de la ecuación de
    Bernoulli es la que se tiene cuando el fluido está en
    reposo.

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    Ejemplo

    Un depósito grande de agua tiene un orificio
    pequeño a una distancia h por debajo de la superficie del
    agua. Hallar la velocidad del agua cuando escapa por el
    orificio.

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    Aplicando la ecuación de Bernoulli a los puntos a
    y b de la figura y como el diámetro del orificio es mucho
    menor que el diámetro del deposito, podemos despreciar la
    velocidad del agua en su parte superior (punto a). Se tiene
    entonces

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    Este resultado se conoce como ley de
    Torricelli.

    En el dibujo siguiente

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    está circulando agua por un tubo horizontal que
    tiene una región 2 de menor diámetro.

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    Véanse la figura siguientes:

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    Cuando el fluido se introduce en la región de
    menor diámetro, al ser menor el área A, la
    velocidad v deberá ser mayor, para que se
    mantenga constante el producto Av.

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    Por consiguiente, se reduce la presión en la
    parte estrecha. Esta ecuación es un resultado importante
    que se aplica en muchos casos en los que se pueda no tener en
    cuenta los cambios de altura. Este resultado se conoce como
    efecto Venturi.

    De la ecuación se infiere que, si no existen
    desniveles, la presión hidrostática en una vena
    líquida ideal es mayor donde la velocidad es menor, es
    decir, en los lugares de mayor sección

    La presión cinemática Pc representa la
    presión que el líquido ejercería en virtud
    de su velocidad, contra una superficie perpendicular a la
    dirección del movimiento.

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    De acuerdo con esto, si en una vena líquida se
    introduce un tubo con su orificio paralelo a las líneas de
    corriente y conectado con un manómetro adecuado, ver
    figura, se registra la presión hidrostática P. En
    cambio, si la boca del tubo enfrenta la corriente, se registra
    aquélla más la cinemática, es decir, la
    hidrodinámica P+Pc.

    Ejemplo

    Por una tubería circula agua a 4m/s bajo
    una presión de 200 kPa. La tubería se
    estrecha hasta la mitad de su diámetro original. Hallar
    (a) la velocidad y (b) la presión del agua en la parte
    más estrecha de la tubería.

    (a) Como el área de la tubería es
    proporcional al cuadrado del diámetro, el área de
    la parte más estrecha es un cuarto del área
    original. Entonces, según la ecuación de
    continuidad Q = vA = constante, la velocidad en la parte
    estrecha debe ser 4 veces la que tiene en la parte ancha
    o sea 16 m/s.

    (b) Para hallar la presión en la parte
    estrecha

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    Puede utilizarse de forma cualitativa el efecto Venturi
    para comprender el empuje ascensional que actúa sobre el
    ala de un avión y la trayectoria curva que sigue una
    pelota lanzada con efecto. El ala de los aviones se proyecta de
    forma que el aire se mueve con más rapidez sobre la parte
    superior de la misma que el que circula por su parte inferior,
    haciendo así que la presión del aire sea menor en
    la parte de arriba del ala que la existente en su parte inferior.
    Esta diferencia de presión da como resultado una fuerza
    neta sobre el ala dirigida hacia arriba.

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    Al hacer que una pelota gire en el momento de lanzarla
    se consigue que el aire que la rodea tienda a seguirla en su giro
    debido al efecto de arrastre. El movimiento del aire originado
    por el arrastre de la bola girando, se suma a la velocidad del
    aire que se mueve por un lado de la pelota, y se resta de ella
    por la otra parte.

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    Así pues, la velocidad del aire es más
    alta en la parte izquierda de la pelota que en la parte derecha
    y, de acuerdo con la ecuación

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    la presión en un lado es menor que en el
    otro.

    Por consiguiente, la trayectoria se curva.

    Aunque la ecuación de Bernoulli resulta muy
    útil para describir cualitativamente muchas de las
    características de un fluido en movimiento, normalmente
    resulta inadecuada cuando se compara cuantitativamente con los
    resultados experimentales. Por supuesto, los gases como el aire
    no son incompresibles, y los líquidos como el agua o la
    sangre poseen viscosidad; lo que invalida la suposición
    hecha de que se conserva la energía mecánica.
    Además, normalmente resulta difícil mantener el
    flujo estacionario sin que se produzca turbulencia.

    Las conclusiones del teorema de Bernoulli son
    válidas aunque el tubo se ramifique; por ejemplo en el
    esquema representado en la figura siguiente la velocidad en la
    sección a es menor que en la b, por lo cual la
    presión hidrostática en la primera es mayor que en
    la segunda.

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    FLUJO VISCOSO

    Los fluidos reales siempre experimentan al moverse
    ciertos efectos debidos a fuerzas de rozamiento o fuerzas
    viscosas. Así, la viscosidad es responsable de las fuerzas
    de fricción que actúan entre las capas del fluido.
    En los líquidos, esta surge de las fuerzas de
    cohesión entre las moléculas de la sustancia. La
    viscosidad en los líquidos disminuye con la temperatura,
    mientras que lo contrario sucede con los gases. Si un fluido no
    tiene viscosidad fluiría por un tubo horizontal sin
    necesidad de aplicar ninguna fuerza, su cantidad de movimiento
    sería constante. En un fluido real, sin embargo, para
    mantener un caudal de fluido estable debe mantenerse una
    diferencia de presiones entre los extremos de la
    tubería.

    De esta manera, cuando el trabajo realizado contra estas
    fuerzas disipativas es comparable al trabajo total realizado
    sobre el fluido o al cambio de su energía mecánica,
    la ecuación de Bernoulli no puede utilizarse. La
    ecuación de Bernoulli es siempre válida para
    fluidos en reposo, ya que en este caso las fuerzas viscosas no
    tienen ningún efecto, pero para los fluidos en movimiento
    se ha de evaluar los efectos de dichas fuerzas. Por ejemplo, la
    ecuación de Bernoulli puede dar una descripción
    adecuada del flujo de la sangre en las arterias mayores de los
    mamíferos, pero no en los conductos sanguíneos
    más estrechos.

    De acuerdo con la ecuación de Bernoulli, si un
    fluido "fluye" estacionariamente por una tubería
    horizontal estrecha y de sección transversal constante, la
    presión no cambia a lo largo de la tubería. En la
    práctica, como señalamos, se observa una
    caída de presión según nos desplazamos en la
    dirección del flujo: se requiere una diferencia de
    presión para conseguir la circulación de un fluido
    a través de un tubo horizontal.

    Es necesaria esta diferencia de presión debido a
    la fuerza de arrastre o de frenado que ejerce el tubo sobre la
    capa de fluido en contacto con él y a la que ejerce cada
    capa de fluido sobre la adyacente que se esta moviendo con
    distinta velocidad. Estas fuerzas de arrastre o de frenado se
    denominan fuerzas viscosas. Como resultado de su presencia, la
    velocidad del fluido tampoco es constante a lo largo del
    diámetro de la tubería siendo mayor cerca de su
    centro y menor cerca de sus bordes, en donde el fluido entra en
    contacto con las paredes de la misma

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    Esta estructura de capas o flujo laminar se presenta en
    los fluidos viscosos a baja velocidad, en este caso puede
    considerase la velocidad media como la mitad de la velocidad
    máxima

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    Cuando la velocidad del fluido aumenta suficientemente,
    el flujo cambia de carácter y se vuelve turbulento,
    apareciendo torbellinos o remolinos irregulares denominados en
    inglés eddys.

    En general, el flujo turbulento es indeseable ya que
    disipa más energía mecánica que el flujo
    laminar. Los aviones y los coches se diseñan de forma que
    el flujo de aire en sus proximidades sea lo más laminar
    posible. Asimismo, en la naturaleza el flujo sanguíneo en
    el sistema circulatorio es normalmente laminar en vez de
    turbulento

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    Ejemplo

    Cuando la sangre fluye procedente de la aorta a
    través de las arterias principales, las arteriolas, los
    capilares y las venas hasta la aurícula derecha, la
    presión (manometrica) desciende desde 100 torr
    aproximadamente a cero. Si el flujo de volumen es de 0,8
    litros/s
    , hallar la resistencia total del sistema
    circulatorio.

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    A continuación definiremos el coeficiente de
    viscosidad de un fluido. En el dibujo se muestra un fluido
    confinado entre dos placas paralelas, cada una de ellas de
    área A y separadas por una distancia y.

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    Mientras se mantiene la placa inferior en reposo, se
    tira de la placa superior con velocidad constante
    v mediante una fuerza F. Es
    necesario ejercer una fuerza F para tirar de la
    placa superior porque el fluido próximo a la placa ejerce
    una fuerza viscosa de arrastre que se opone al movimiento. La
    velocidad del fluido entre las placas es prácticamente
    igual a v en un lugar próximo a la placa
    superior y próxima a cero cerca de la placa inferior y
    varia linealmente con la altura entre las placas.

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    Como el Poise es demasiado grande para muchos
    líquidos se suele utilizar el centipoise cPoise, o el
    mPa.s (mili), que equivale a 1 cPoise. P.e. el agua a
    20ºC tiene una viscosidad de 1cPoise.

    Alguno valores de coeficientes de viscosidad para
    diferentes fluidos.

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    Generalmente, la viscosidad de un líquido aumenta
    cuando disminuye la temperatura. Así pues, en climas
    fríos el aceite a utilizar para lubricar los motores de
    los automóviles deben tener un grado de viscosidad
    más bajo en invierno que en verano.

    Se conoce como Resistencia a la circulación de un
    líquido, como hemos visto, al cociente entre la diferencia
    de presión y el caudal

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    Ley de Poiseuille

    Esta ecuación es conocida como la ley de
    Poiseuille. Muchas aplicaciones interesantes de la física
    de fluidos se basan en el estudio de flujos laminares en tubos
    cilíndricos, tales como tuberías de metal o
    arterias humanas. La Ley de Poiseuille, que fue descubierta
    experimentalmente por un médico, Jean Louis Marie
    Poiseuille (1799-1869), en sus investigaciones sobre el flujo en
    vasos sanguíneos, relaciona el caudal con la viscosidad,
    la caída de presión, el radio y la longitud del
    tubo. Obsérvese la dependencia con la inversa de
    r4 de la resistencia al flujo de fluido. Si se divide
    por la mitad el radio de la tubería, la caída de
    presión para un flujo y viscosidad dados se aumenta en un
    factor de 16; o bien se necesita una presión 16 veces
    mayor para impulsar el fluido a través del tubo con el
    mismo flujo de volumen. Por ello, si se reduce por alguna
    razón el diámetro de los vasos sanguíneos o
    arterias, sucede que disminuye grandemente el flujo de volumen de
    la sangre, o el corazón debe realizar un trabajo mucho
    mayor para mantener el mismo flujo de volumen. Para el agua que
    fluye por una manguera larga de jardín, la caída de
    presión es la que existe desde la fuente de agua hasta el
    extremo abierto de la misma a presión atmosférica.
    Del mismo modo, el flujo es proporcional a la cuarta potencia del
    radio. Si el radio se divide por la mitad, el flujo disminuye en
    un factor de 16.

    La ley de Poiseuille se aplica sólo al flujo
    laminar (no turbulento) de un fluido de viscosidad constante que
    es independiente de la velocidad del fluido. La sangre es un
    fluido complejo formado por partículas sólidas de
    diferentes formas suspendidas en un líquido. Los
    glóbulos rojos de la sangre, por ejemplo, son cuerpos en
    forma de disco que están orientados al azar a velocidades
    bajas pero que se orientan (alinean) a velocidades altas para
    facilitar el flujo. Así pues, la viscosidad de la sangre
    disminuye cuando aumenta la velocidad de flujo, de forma que no
    es estrictamente válida la ley de Poiseuille. Sin embargo,
    dicha ley es una aproximación muy útil a la hora de
    obtener una comprensión cualitativa del flujo
    sanguíneo.

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    Ejemplo

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    FLUJO TURBULENTO

    La ley de Poiseuille se cumple solamente para flujos
    laminares. Sin embargo, frecuentemente el flujo no es laminar,
    sino turbulento, y se parece entonces a la estela de una lancha
    rápida, con torbellinos y remolinos.

    Flujo Laminar

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    Flujo Turbulento

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    Cuando la velocidad de flujo de un fluido resulta
    suficientemente grande, se rompe el flujo laminar y se establece
    la turbulencia. La velocidad crítica por encima de la cual
    el flujo a través de un tubo resulta turbulento, depende
    de la densidad y de la viscosidad del fluido y del radio del
    tubo.

    En la práctica, el flujo turbulento se trata
    mediante diversas reglas empíricas y relaciones obtenidas
    tras muchos estudios experimentales.

    Para poder determinar cuándo el flujo es laminar
    y, por lo tanto, si la ley de Poiseuille puede aplicarse,
    utilizaremos una de estas reglas empíricas.

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    Ejemplo

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    Por lo tanto el flujo es laminar, ya que este valor es
    mucho menor que 2000.

    El número de Reynolds indica también si el
    flujo alrededor de un obstáculo, como la proa de un barco
    o el ala de un avión, es turbulento o laminar. En general,
    el número de Reynolds al que aparece la turbulencia
    depende mucho de la forma del obstáculo.

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    Enviado por:

    Pablo Turmero

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