Folleto aplicado a la investigación de operaciones

Introducción

La docencia de materias que comprenden conceptos de cierta complejidad es un proceso largo y difícil, ya que no sólo se trata de transmitir conocimiento, sino que ha de contar además con bastante trabajo y esfuerzo por parte del estudiante. El presente Folleto surgió con la intención de desarrollar una herramienta que sirva como material de apoyo para la docencia. En concreto, la herramienta desarrollada trata de ser de utilidad tanto para el profesor en forma de material de apoyo a la hora de impartir sus clases como para el alumno a la hora de estudiarse los contenidos de la asignatura. La elaboración de este Folleto sigue la secuencia del programa de la asignatura Investigación de Operaciones I para las carreras universitarias de perfil económico. Para facilitar al estudiante la teoría y práctica de los diversos temas y técnicas, se ha dividido su contenido en capítulos que contienen específicos puntos del análisis cuantitativo a desarrollar. En su elaboración, cada punto particular tiene un orden de prioridad de ideas, hasta culminar la presentación total del material contenido en el capítulo. En cada capítulo o sección se numeran los contenidos, para expresar en forma corta cada concepto o punto particular y para poder tener puntos referenciales al realizar ejercicios prácticos de los contenidos. Cumpliendo con el objetivo que se expone, cada capítulo tiene una parte de teoría y otra de práctica en cada sección que así lo amerite. Esta forma de presentación pretende facilitar la lectura de contenidos y hacer notar la secuencia entre la teoría y la práctica. El desarrollo del material de la asignatura, se hace considerando la Investigación de Operaciones como una ciencia administrativa basada en el enfoque científico, para resolver problemas y proporcionar ayuda para la toma de decisiones. Planear, organizar, dirigir, dotar al personal, controlar, son actividades que el Economista en su ejercicio profesional puede desempeñar, y la Investigación de Operaciones le sirve de ayuda con su método analítico y sistemático. Basado en el enfoque gerencial es que se plantea en el presente manual el estudio de esta ciencia. El capítulo inicial, Elementos de teoría de la decisión representa al estudio de las diversas técnicas y los respectivos modelos que conforman la asignatura. Se hace énfasis en la Matriz de pagos y el Árbol de decisión y en el análisis cuantitativo que es la base del enfoque científico, punto de partida del proceso que determinará la toma de una decisión, se hace referencia a los pasos a seguir en ese análisis, se recuerdan aspectos cualitativos en el proceso de tomar decisiones, y se proporcionan conceptos fundamentales que han de manejarse durante toda la asignatura, porque son parte de cada técnica a estudiar.

El capítulo II abarca la técnica fundamental, la Programación Lineal. Esta es una de las técnicas más empleadas y se aplica en sistemas con relaciones lineales, para usar los recursos escasos de la mejor manera posible. Es uno de los temas más amplios y ocupa el mayor porcentaje del material de la asignatura. Sus diferentes secciones están dedicadas a conocimientos particulares dentro de la técnica tales como: definición de la técnica, elaboración del modelo general, algoritmo de solución, solución gráfica, teoría de dualidad, el problema de transporte. Dado por las dificultades que confrontan los estudiantes por no disponer de una adecuada bibliografía, se ha elaborado este Folleto que contiene un sistema de conceptos, ejemplos resueltos y ejercicios propuestos que esperamos sean del agrado de ustedes, nuestros estudiantes.

CAPITULO I:

Elementos de teoría de la decisión

El problema de la Decisión, motivado por la existencia de ciertos estados de ambigüedad que constan de proposiciones verdaderas (conocidas o desconocidas), es tan antiguo como la vida misma. Podemos afirmar que todos los seres vivientes, aun los más simples, se enfrentan con problemas de decisión. Así, un organismo unicelular asimila partículas de su medio ambiente, unas nutritivas y otras nocivas para él. Conforme aumenta la complejidad del ser vivo, aumenta también la complejidad de sus decisiones y la forma en que éstas se toman. Así, pasamos de una toma de decisiones guiada instintivamente, a procesos de toma de decisiones que deben estar guiados por un pensamiento racional en el ser humano. La Teoría de la Decisión tratará, por tanto, el estudio de los procesos de toma de decisiones desde una perspectiva racional.

1.1. Características y Fases del Proceso de Decisión
Un proceso de decisión presenta las siguientes características principales:

• Existen al menos dos posibles formas de actuar, que llamaremos alternativas o acciones, excluyentes entre sí, de manera que la actuación según una de ellas imposibilita cualquiera de las restantes.
• Mediante un proceso de decisión se elige una alternativa, que es la que se lleva a cabo.
• La elección de una alternativa ha de realizarse de modo que cumpla un fin determinado.

El proceso de decisión consta de las siguientes fases fundamentales:

• Predicción de las consecuencias de cada actuación. Esta predicción deberá basarse en la experiencia y se obtiene por inducción sobre un conjunto de datos. La recopilación de este conjunto de datos y su utilización entran dentro del campo de la Estadística.
• Valoración de las consecuencias de acuerdo con una escala de bondad o deseabilidad. Esta escala de valor dará lugar a un sistema de preferencias.
• Elección de la alternativa mediante un criterio de decisión adecuado. Este punto lleva a su vez asociado el problema de elección del criterio más adecuado para nuestra decisión, cuestión que no siempre es fácil de resolver de un modo totalmente satisfactorio.

 1.1.1 Conceptos Básicos

¿Cuáles son los elementos que intervienen en un proceso de toma de decisiones? Ante que todo está la persona que toma la decisión que se llama: DECISOR que debe tener presente la meta que quiere alcanzar.

Decisiones alternativas: Son alternativas, curso de acción o estrategias de entre las cuales el que toma decisión debe elegir.

Estados de la naturaleza: Son las circunstancias o acciones externas que afectan el resultado de la decisión; pero que están fuera del control del decidor se le denomina también eventos y debe presentarse en términos mutuamente excluyentes.

Resultados: Puede expresarse en términos económicos (ganancia, costos, etc.) o en términos de alguna medida no monetaria como preferencia a escala de valoración.

Ambiente: Dominio que tiene el decidor sobre la posible ocurrencia de los estados de la naturaleza este pude concretarse en tres modalidades fundamentales.

1.1.2 Clasificación de los Procesos de Decisión o Ambiente

Ambiente de incertidumbre: Se presenta cuando el conjunto de los posibles estados de la naturaleza es de carácter aleatorio; pero no se conoce la probabilidad de ocurrencia de cada uno de ellos Ambiente de riesgo: Se presenta cuando el conjunto de los posibles estados de la naturaleza es de carácter aleatorio y se conoce la probabilidad de ocurrencia de cada uno de ellos.

Ambiente de certidumbre o certeza: Se presenta cuando el decidor conoce con precisión el estado de la naturaleza que va a presentarse.

Hay autores que incluyen un cuarto ambiente: Ambiente de conflicto suponiendo que en lugar de estados de la naturaleza hay un oponente, otros lo consideran un caso especial dentro de incertidumbre y riesgo, en algunas bibliografías es abordado bajo el tema.

Teoría de juego. 1.2 Matriz de decisión El análisis de matriz de decisión es aplicable a una amplia variedad de situaciones que involucran la toma de decisiones bajo riesgo y bajo incertidumbre, También es un elemento del campo de estudio llamado teoría estadística de decisiones. Cuando debe hacerse una sola decisión y no una serie de decisiones, se puede usar una matriz de decisión o matriz de pagos. Por ejemplo, la matriz de pagos podría emplearse para decidir Qué cantidad producir de determinado producto teniendo en cuentas las posibles demandas del mismo. No es raro que la matriz de pagos use un formato matricial, en que los renglones son los cursos de acción abiertos al tomador de decisiones y las columnas son los eventos posibles que pueden ocurrir. Los elementos de la matriz son las consecuencias de las combinaciones entre los cursos de acción y los eventos.

La tabla o matriz de pagos proporciona una estructura organizada para analizar situaciones probabilistas en las que se debe seleccionar una sola alternativa de decisión de un conjunto de alternativas. Por ejemplo, una decisión que se presenta con frecuencia en producción requiere seleccionar una sola máquina para compra, de entre varias máquinas posibles. Un gerente de comercialización debe seleccionar un plan para poner el precio de un producto, de entre varios planes. Un auditor debe decidir si contabilizar por completo ciertos registros o sólo tomar una muestra cuando realiza una auditoria. La matriz de pagos es muy útil para respaldar la toma de decisiones en situaciones como estas.

1.2.1 Ejercicio ilustrativo La unidad de producción la Crema perteneciente a la Empresa de Gastronomía elabora al día varios lotes de kake con el objetivo de satisfacer la demanda de cumpleaños. Los lotes de kake se componen por veinte unidades. Las unidades son vendidas a quince pesos y el costo tiene un valor de diez pesos. La mitad de los lotes que no sean vendidos son destinados al Círculo Infantil Volodia sin obtener a cambio remuneración económica, la otra mitad se vende a $11.00 Construya la matriz de pago, en un día se pueden solicitar 5; 6; 7; 8 lotes; pero se desconoce a la hora de la elaboración la cantidad específica de lotes que se van a solicitar en el día, por cada unidad demandada no existente se hace un descuento $0,50 a la unidad productora En este caso:

1.3 Toma de decisión con incertidumbre. Criterios a utilizar En los procesos de decisión bajo incertidumbre, el decisor conoce cuáles son los posibles estados de la naturaleza, aunque no dispone de información alguna sobre cuál de ellos ocurrirá. En particular, esto excluye el conocimiento de la información de tipo probabilística sobre las posibilidades de ocurrencia de cada estado. A continuación se describen las diferentes reglas de decisión en ambiente de incertidumbre, y que serán sucesivamente aplicadas al ejemplo de elaboración de Kake.

• Criterio de Wald (Pesimista, MaxMin o MinMax)

• Criterio Máximas (Optimista, MaxMax o MinMin)

• Criterio de Coeficiente de Optimismo (Hurwicz)

• Criterio de Pérdida de Oportunidad (Savage)

• Criterio de Igual Probabilidad (Laplace)

1.3 Criterio Pesimista (Wald)

Este criterio consiste en considerar que sea cual sea la alternativa tomada, siempre va a pasar lo peor, es decir el estado de la naturaleza que va a ocurrir es el que va a provocar el valor más pequeño si es un caso de máximo y el valor más grande si es un caso de mínimo, se tratará entonces de mejorar la situación tomando lo mejor de lo peor.

Matemáticamente esto se puede escribir de la siguiente manera.

En el ejemplo citado se procedería de la siguiente manera:

1.3.2 Criterio Optimista Este criterio consiste en considerar que sea cual sea la alternativa tomada, siempre va a pasar lo mejor, es decir el estado de la naturaleza que va a ocurrir es el que va a provocar el valor más grande si es un caso de máximo y el valor más pequeño si es un caso de mínimo, se tratará entonces de escoger lo mejor de lo mejor. Matemáticamente esto se puede escribir de la siguiente manera.

En el ejemplo citado se procedería de la siguiente manera:

Criterio de Herwicz

Este criterio parte de combinar ponderaciones de optimismo y pesimismo. Sugiere este autor la consideración de un coeficiente de optimismo denotado por que puede tomar cualquier valor comprendido entre 0 y 1. Puede considerarse que si significa completo optimismo y si es completo pesimismo los valores intermedios entre cero y uno denotan personas con diferentes coeficientes de optimismo.

1.3.4Criterio de Estados Equiprobables (LAPLACE) Este criterio, propuesto por Laplace en 1825, está basado en el principio de la razón insuficiente: como a priori no existe ninguna razón para suponer que un estado se puede presentar antes que los demás, podemos considerar que todos los estados tienen la misma probabilidad de ocurrencia, es decir, la ausencia de conocimiento sobre el estado de la naturaleza equivale a afirmar que todos los estados son equiprobables. Así, para un problema de decisión con n posibles estados de la naturaleza, asignaríamos probabilidad 1/n a cada uno de ellos.  Una vez realizada esta asignación de probabilidades, a la alternativa ai le corresponderá un resultado esperado igual a:

La regla de Laplace selecciona como alternativa óptima aquella que proporciona un mayor resultado esperado:

Nota: En caso de minino Laplace selecciona como alternativa óptima aquella que proporciona el menor resultado.

• Criterio de Pérdida de Oportunidad (Savage)

Savage argumenta que al utilizar los valores xij para realizar la elección, el decisor compara el resultado de una alternativa bajo un estado de la naturaleza con todos los demás resultados, independientemente del estado de la naturaleza bajo el que ocurran. Sin embargo, el estado de la naturaleza no es controlable por el decisor, por lo que el resultado de una alternativa sólo debería ser comparado con los resultados de las demás alternativas bajo el mismo estado de la naturaleza. Con este propósito Savage define el concepto de pérdida relativa o pérdida de oportunidad rij asociada a un resultado xij como la diferencia entre el resultado de la mejor alternativa dado que ej es el verdadero estado de la naturaleza y el resultado de la alternativa ai bajo el estado ej:

Así, si el verdadero estado en que se presenta la naturaleza es ej y el decisor elige la alternativa ai que proporciona el máximo resultado xij, entonces no ha dejado de ganar nada, pero si elige otra alternativa cualquiera ar, entonces obtendría como ganancia xrj y dejaría de ganar xij-xrj.

Savage propone seleccionar la alternativa que proporcione la menor de las mayores pérdidas relativas, es decir, si se define ri como la mayor pérdida que puede obtenerse al seleccionar la alternativa ai, El criterio de Savage resulta ser el siguiente:

Conviene destacar que, como paso previo a la aplicación de este criterio, se debe calcular la matriz de pérdidas relativas, formada por los elementos rij. Cada columna de esta matriz se obtiene calculando la diferencia entre el valor máximo de esa columna y cada uno de los valores que aparecen en ella. 

1.4 Toma de Decisión Bajo Riesgo.

Criterios a utilizar.

Los procesos de decisión en ambiente de riesgo se caracterizan porque puede asociarse una probabilidad de ocurrencia a cada estado de la naturaleza, probabilidades que son conocidas o pueden ser estimadas por el decisor antes del proceso de toma de decisiones. Los diferentes criterios de decisión en ambiente de riesgo se basan en estadísticos asociados a la distribución de probabilidad de los resultados. Algunos de estos criterios se aplican sobre la totalidad de las alternativas, mientras que otros sólo tienen en cuenta un subconjunto de ellas, considerando las restantes peores, por lo no que están presentes en el proceso de toma de decisiones.  Representaremos por la probabilidad de ocurrencia del estado

Los principales criterios de decisión empleados sobre tablas de decisión en ambiente de riesgo son:

• Criterio del Valor Esperado

• Criterio del Nivel de Aspiración

• Criterio del Futuro más Probable

• Criterio de la Pérdida de Oportunidad Esperada

Todos estos criterios serán aplicados al problema de decisión bajo riesgo cuya tabla de resultados figura a continuación:

1.4.1Criterio del Valor Esperado (Bayes) El resultado o valor esperado para la alternativa ai, que notaremos

Viene dado por:

Por lo que el criterio del valor esperado resulta ser:

La alternativa óptima según el criterio del valor esperado sería a2, pues proporciona el máximo de los valores esperados.

• Criterio del Nivel de Aspiración

Se fija por el decisor un valor que significa el nivel de aspiración a obtener, luego se suman para cada alternativa las probabilidades correspondientes a cada pago que sea mayor o igual al nivel de aspiración fijado. Se selecciona la alternativa cuya suma de probabilidad sea la mayor.

Dado un nivel de aspiración prefijado (NA), el resultado para la alternativa ai, que notaremos R(ai), viene dado por:

Por lo que el criterio del Nivel de Aspiración resulta ser:

Partiendo del ejemplo ilustrativo de decisión bajo riesgo, la siguiente tabla muestra el resultado para cada una de las alternativas.

La alternativa óptima según el criterio del Nivel de Aspiración sería pues proporciona el máximo de la suma de las probabilidades correspondientes a los

1.4.3 Criterio del Futuro más Probable (Máxima Probabilidad)

Se selecciona el mejor a partir del estado más probable (n).

Por lo que el criterio del Futuro más Probable resulta ser:

Ejemplo Partiendo del ejemplo ilustrativo de decisión bajo riesgo, la siguiente tabla muestra el resultado para cada una de las alternativas.

La alternativa óptima según el criterio del Futuro más Probable sería pues proporciona el mayor valor para el estado más probable

1.4.4 Criterio de la Pérdida de Oportunidad Esperada Primeramente debe formarse la matriz con pérdida de oportunidad, para ello se escoge la mejor alternativa por evento (columnas) y se forma una nueva matriz restando el valor de esa mejor alternativa a las demás alternativas (elementos de la columna). Luego se aplica el mismo método del valor esperado, multiplicando cada valor por el valor de probabilidad asociado. La matriz de pérdidas quedaría:

La alternativa óptima según el criterio de la pérdida de oportunidad esperada sería pues proporciona la menor pérdida esperada.

1.4.5 Valor de la información perfecta Se llama información perfecta a la información que dice exactamente lo que va a ocurrir esto es cuando se sabe exactamente el estado de la naturaleza que va a presentarse. Si sabemos con exactitud el estado de la naturaleza que ocurrirá es fácil determinar la alternativa que debe elegirse pues, es evidente que en ese caso se elegirá la alternativa que proporcionará el mejor resultado. Consideremos la matriz de decisión del ejemplo expuesto y resuelto anteriormente. Recordemos que al aplicar el criterio del valor esperado se optó por seleccionar la alternativa para la cual el valor esperado era $532.20 a esto llamamos valor esperado del proceso de toma de decisión y lo denotamos por VE.

En el caso de la ganancia esperada de la información perfecta se calcula mediante la siguiente expresión:

Donde:

Es el resultado máximo para el estado de la naturaleza

Es la probabilidad del estado de la naturaleza

Si queremos saber ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar el decisor por obtener la información perfecta?

Entonces tendríamos que restar

En este caso sería es decir no se debe pagar más de 125,80 por saber cual estado de la naturaleza ocurrirá con precisión.

1.5 Propuestas de ejercicios

• 1- Una Pizzería prepara todos los días docenas de pizzas, cada pizza es vendida a cuatro pesos y cuesta su elaboración un peso. La que no se vende en el momento se le dista y se vende a dos pesos la mitad de las unidades.

• a) La pizzería debe decidir cuántas docenas se deben elaborar en un día común.

• b) Analice la alternativa correcta según el criterio de pérdida de oportunidad.

La producción de pizzas sigue la distribución siguiente:

2. La empresa Estructuras Metálicas de Las Tunas se especializa en la fabricación de herrajes metálicos para la fabricación de obras de la Batalla de Ideas. Los lotes que ordenan los clientes son de veinte unidades. Cada unidad es vendida a setenta y cinco pesos en moneda nacional y su costo de producción es de cincuenta pesos, aquellas unidades que no se logran vender por problemas de transportación se venden el 75% al siguiente mes con un precio de sesenta y cinco pesos.

a) construya la matriz de pago. b) La empresa desea conocer que alternativa tomar de acuerdo al criterio de valor esperado y el optimista. La distribución es la siguiente

:

3. El taller Frank País perteneciente a la empresa Sideromecánica produce juntas de ollas para cumplir con lo expuesto por nuestro Comandante. Se producen lotes de 250 unidades, cada unidad es vendida a un peso y cuesta veinte y cinco centavos. Las unidades que no se logran vender ese día se venden al siguiente día con un precio de noventa centavos a Industrias Locales el otro 40% se le entregaran de forma gratuita a los que forman parte de la Seguridad Social .

a) Construya la matriz de pago.

b) El taller desea tomar la decisión correcta de acuerdo al criterio pesimista y el de valor esperado.

La distribución es la siguiente:

4. La Empresa Cárnica de Las Tunas recibe diariamente lotes de mil libras de carne cerdo para el proceso de embutidos. Porcino vende cada libra a seis pesos y el costo por libra de carne es de tres pesos.

Las libras de carne que no se pueden venderse a la Cárnica por problemas de falta de energía eléctrica quedan para que el 60% se le vendan a Gastronomía a un precio de cinco pesos y el resto se destina a los comedores obreros de la Entidad. a) Haga la matriz de pago.

b) Determina las distintas soluciones que tomaría la empresa bajo riesgo e incertidumbre, el coeficiente de optimismo es de 0.60.

La producción de carne de cerdo sigue la siguiente distribución.

5. La Empresa de productos Lácteos recibe pedidos de 1200 bolsas de yogurt para el consumo interno, cada bolsa de yogurt se le vende a la población a $1.20 y el costo de producción es de $0.40 la unidad, las unidades que no se logran vender se reprocesan al día siguiente el 60% y se logran vender a un precio de un $1.00 la unidad, el resto se distribuye gratuitamente al círculo infantil más cercano.

• a) Realice la matriz de pago.

• b) Determine las distintas decisiones que tomaría la empresa bajo riesgo, si el nivel de aspiración es de $5100.

La distribución es la siguiente:

6. La Empresa Duralmet colabora con las obras de la Batalla de Ideas, produce órdenes de 500 ventanales para las distintas Instituciones educacionales, cada ventana tiene un costo de $25.00 y se logran vender a $42.00, aquellas que no son vendidas por problemas de tiempo de entrega se logran vender después un 80% a un precio de $38.00 y el resto se reprocesa.

• a) Realice la matriz de pago.

• b) Determine las distintas decisiones que tomaría la empresa bajo riesgo e incertidumbre, el coeficiente de pesimismo es de 0.30.

La producción de ventanales sigue la distribución siguiente.

7. La Empresa de materiales de la construcción cumple con la entrega de de grabilla para los planes de la vivienda. Los pedidos son de y cada de grabilla se vende a doce pesos y su costo es de siete presos, aquellos que no se venden por problemas de transportación se logra vender un 70% al mes siguiente por un valor de once pesos.

La producción de la cantera sigue la siguiente distribución.

a) Realice la matriz de pago

b) Determine las distintas decisiones que tomaría la empresa bajo riesgo si el nivel de aspiración es de $27000.00.

8. La tienda Caracol desea vender a fines de diciembre arbolitos de navidad, los árboles cuestan tres pesos con cincuenta centavos cada uno y se pueden ordenar solo en lotes de 100. Los árboles deben venderse en ocho pesos cada uno. Los que no se vendan no tienen valor alguno. Las estimaciones sobre las ventas son las siguientes:

• a) Realice la matriz de pago.

• b) Determine las distintas decisiones que tomaría la empresa bajo riesgo e incertidumbre, el coeficiente de pesimismo es de 0.45.

1.6 Árboles de decisión Los árboles de decisión se usan en situaciones de toma de decisiones en las que se debe optimizar una serie de decisiones. Por ejemplo, la administración tendrá tal vez que seleccionar un plan de promoción inicial sabiendo que dentro de 6 meses será necesario un segundo plan. Una compañía de bienes raíces puede tener que decidir cuántos condominios construir en la primera fase de un proyecto sabiendo que se tendrán que tomar decisiones parecidas para la segunda y tercera fases. Con frecuencia se tiene que seleccionar un sistema de computación con base en necesidades anticipadas de equipo adicional para una fecha posterior.

Un concepto fundamental en las situaciones que involucran alternativas de decisión y eventos secuenciales es que deben identificarse todas esas alternativas y eventos y analizar de antemano, si se quiere optimizar la serie de decisiones. Con frecuencia el seleccionar lo que parece ser una decisión óptima en el primer punto de decisión, el poner en práctica esa decisión, el observar el resultado y después repetir el proceso en los puntos de decisión posteriores, no optimiza la serie completa de decisiones.

1.6.1 Componentes y estructura

Todos los árboles de decisión son parecidos a su estructura y tienen las mismas componentes. Para ser más específicos, siempre se requieren las siguientes cuatro componentes:

• 1 Alternativas de decisión en cada punto de decisión.

• 2 Eventos que pueden ocurrir como resultado de cada alternativa de decisión.

• 3 Probabilidades de que ocurran los eventos posibles como resultado de las decisiones.

• 4 Resultados (casi siempre expresados en términos económicos) de las posibles interacciones entre las alternativas de decisión y los eventos.

Los árboles de decisión están formados por:

1.6.2 Ejemplo ilustrativo

Estos datos se organizan mediante la estructura de un diagrama de árbol que ilustra las interacciones posibles entre las decisiones y los eventos. En la figura 4-3 se presenta el esquema de un árbol de decisión muestra. Inicialmente debe hacerse una decisión entre tres alternativas. Éstas se encuentran en el primer punto de decisión como

Por claridad, todos los puntos de decisión se indican por cuadros ? como los que se observan en la figura 4-3.

Los eventos que pueden ocurrir como resultado del primer conjunto de decisiones son Sus probabilidades respectivas están dadas por Nótese que si se selecciona el resultado se conoce con seguridad. Este resultado se muestra al final de la rama como Mientras que los puntos de decisión se muestran como cuadros, los nodos de los eventos se representan por círculos O.

Si ocurren los eventos los resultados se conocen con certidumbre y no se requiere ninguna otra decisión. Estos resultados están dados por respectivamente. Sin embargo, en respuesta a cualquiera de los eventos la administración debe seleccionar otra alternativa en la serie de decisiones.

A partir del evento debe escogerse entre mientras que lleva a una selección entre En este ejemplo, todos los eventos están seguidos por un resultado o por otro punto de decisión, pero existen situaciones en que a los eventos siguen otros eventos.

Los eventos que pueden ocurrir como resultado de la decisión que se tomó en el segundo punto de decisión son Éstos son eventos finales y llevan a los resultados El resultado se obtiene directamente de la decisión

1.6.3 Análisis del Árbol de decisión Se han ilustrado los componentes y la estructura de los árboles de decisión, pero ¿cómo se realiza el análisis? El análisis comienza a la extrema derecha del árbol de decisión y se mueve a través de los nodos de eventos y puntos de decisión hasta que se ha identificado una secuencia óptima de decisiones que comienza en el primer punto de decisión. Se usan las siguientes reglas:

1- En cada nodo de evento se hace un cálculo de valor esperado. 2- En cada punto de decisión se selecciona la alternativa con el valor esperado óptimo.

En la figura 4-4 se ilustra este procedimiento. El árbol de decisión muestra que se ha modificado y ahora da los resultados económicos y las probabilidades de los eventos. Se supondrá que el objetivo es maximizar la serie de decisiones. Comenzando el análisis de derecha a izquierda, primero se encuentran nodos de eventos que requieren cálculos del valor esperado. Se encuentra que al nodo del evento en la intersección de le corresponde un valor esperado de $33 000. Esto es la consecuencia de sumar las multiplicaciones de los resultados posibles al tomar la decisión por sus probabilidades respectivas y representa el valor esperado asociado con la selección de la alternativa de decisión En el nodo de evento para hay un valor esperado de $35 000. Este valor esperado corresponde al hecho de escoger la alternativa de decisión Continuando de derecha a izquierda se encuentran después los segundos puntos de decisión. Éstos requieren la selección de la alternativa de decisión con el mejor valor esperado y el rechazo de las otras opciones. En el punto de decisión para la intersección de se selecciona la alternativa de decisión ya que $38 000 es un valor esperado más alto que $33 000. En este caso $38 000 es también un resultado cierto o seguro. La alternativa de decisión se ignora de aquí en adelante; esto se indica dibujando un par de líneas diagonales // que cortan esa rama del árbol de decisión. En el punto de decisión para la alternativa de decisión que tiene un valor esperado de $35000, es mejor que tiene un valor esperado (cierto) de $15 000.

En consecuencia se elimina para el resto del análisis.

El siguiente paso requiere que se realicen más cálculos del valor esperado. En el nodo de evento para se obtiene un valor esperado de $20 000. En el nodo de evento para se tiene un valor esperado de $33 700. Debe tenerse cuidado en incluir los resultados correctos para los eventos Nótese que sólo se usa el resultado asociado con la alternativa de decisión que se seleccionó previamente. En el caso de éste es $38 000 que se asoció con para es $35 000 que se asoció con Una vez que se elimina una alternativa de decisión, ninguno de sus resultados posibles es relevante y no deben incluirse en el análisis.

Se ha trabajado hacia atrás hasta el primer punto de decisión. La alternativa de decisión ofrece un valor esperado de $20 000. Tiene un valor esperado de $33 700. Ofrece $0 (por ejemplo, la alternativa de no hacer nada). Es obvio que, considerando parejas todas las demás circunstancias, la selección que debe hacerse es por lo tanto se eliminan para las siguientes consideraciones.

Ahora es posible identificar el plan óptimo de acción. Se pone en práctica la alternativa de decisión Si ocurre el evento la administración deberá seguir con Si ocurre se deberá poner en práctica Este plan ofrece un valor esperado de $33 700.

1.6.4 Un árbol de decisión en lugar de una matriz de pagos Puede surgir la idea de que un árbol de decisión se puede usar tanto en situaciones de toma de decisiones secuenciales como sencillas. En otras palabras, que un árbol de decisión se puede emplear en lugar de una matriz de pagos. Sin duda, este es el caso. El árbol de decisión en esta situación tendrá sólo un punto de decisión. Saliendo de ese punto se encontrarían las alternativas de decisión. Partiendo de cada alternativa se encontrarían los eventos. Los valores esperados se determinan para cada alternativa de decisión y con éstos se selecciona la decisión óptima.

El que se use una matriz de pagos o un árbol de decisión para una situación de una sola toma de decisiones es en esencia cuestión de preferencia personal. No obstante, la experiencia del autor es que la matriz de pagos, con su estructura más formal, es más fácil de manejar correctamente por los principiantes en estas aplicaciones.

1.6.5 Ejercicios propuestos 9. Un grupo de especialista en proyecto está evaluando la posibilidad de construcción de una planta, la decisión a tomar debe tener en cuenta dos situaciones:

• A) Se puede construir una planta grande o una pequeña.

• B) Si se opta por construir inicialmente una planta pequeña debe considerarse la posibilidad de ampliar o no la planta si la circunstancia lo justifica.

Lo anterior debe estar en función del comportamiento de la demanda la cual no se conoce con exactitud, se ha decidido clasificarla en alta, media y baja.

Estimándose la probabilidad de ocurrencia en 0.4 ,0.2, 0.4 respectivamente. El grupo de especialista ha elaborado la siguiente información 9.1 Si se construye una planta grande cuyo costo se calcula en 10 mil millones de pesos, esta será adecuada para hacer frente a cualquiera demanda posible y no se considera la posibilidad de ampliación. Los ingresos estimados de acuerdo a los niveles de demanda son de 20 millones de pesos para una demanda alta y 15 millones para una demanda media y 10 millones para una demanda baja.

9.2 Si se decide construir una planta pequeña cuyo costo se calcula en 6 millones de pesos solo se considera la posibilidad de ampliación si la demanda se considera alta o media. Si la demanda es alta se puede seleccionar una ampliación grande con un costo estimado de 5 millones de pesos o una pequeña con un costo de 3 millones de pesos o no ampliar. Si se considera una ampliación grande para un nivel de demanda alta se estima que se podía obtener un ingreso de 19 millones de pesos, si la ampliación fuese pequeña se obtendría 18 millones de pesos y si se opta por no ampliar entonces en 10 millones de pesos. Si la demanda es media sólo se debe considerarse como alternativa una ampliación pequeña o no ampliar. La ampliación genera un ingreso de 15 millones de pesos mientras la decisión de no ampliar genera 10 millones de pesos si la demanda es baja se calcula un ingreso de 10 millones de pesos.

En esta condición el grupo de proyecto debe determinar cual debe ser la mejor decisión a tomar si se quiere maximizar la ganancia.

10. Algunas personas parecen tener toda la suerte del mundo. Debido a su mente sutil y a su encanto devastador, el gran Larry ha recibido tres propuestas de matrimonio durante la semana pasada. Después de decidir que es tiempo de sentar cabeza. Larry necesita ahora escoger a una de sus pretendientes. Como es una persona muy lógica, ha determinado que los atributos emocionales y físicos de las tres mujeres son más o menos los mismos y ha decidido escoger en base a sus recursos financieros. Parece que una de las solicitantes, Jenny, tiene un padre rico que sufre de artritis crónica.

Larry calcula una probabilidad de 0.3 de que el padre muera en los próximos años y les deje una herencia de $ 100000. Si el padre de Jenny vive una larga vida, Larry no recibirá un centavo de él. Susana, otra de las novias, es una contadora ambiciosa en una compañía con reputación. Larry estima una probabilidad de 0.6 de que Susana siga la carrera y una probabilidad de 0.4 de que la deje y se dedique a sus hijos. Si continua con su trabajo, ella podría seguir en la auditoria o cambiar al departamento de impuesto de la firma.

Al quedarse con la auditoría existe una probabilidad de 0.5 de que gane $40000 y una de 0.5 de que gane $ 30000.

Al tomar la opción del departamento de impuestos, hay 0.7 de posibilidades de que sus ingresos sean de $ 40000 y una posibilidad de 0.3 que sean de $ 25000 .Si termina su carrera para dedicarse a sus hijos ganara $ 20000 en un trabajo de tiempo parcial. Mary, la última competidora, sólo puede ofrecer a Larry su dote de $ 25000.

• a) ¿Con quién deberá casarse Larry?

b) ¿Cuál es el riesgo involucrado en la secuencia óptima de decisiones?

CAPITULO II: