Los gradientes

• Introducción
• Fórmula
  del valor final del gradiente
  aritmético
• Gradiente
  aritmetico infinito
• Fórmula
  del valor presente del gradiente
  geométrico
• Fórmula
  del valor final del gradiente
  geométrico

Introducción

Debido a la inflación, se observa que casi todos
los renglones de la economía van aumentando de precios, por
esta razón, es necesario elaborar modelos matemáticos
que ajustándose a los índices de inflación puedan
compensar los efectos erosionantes en el dinero, a través
del tiempo, entre los modelos matemáticos que pueden suplir
esta necesidad están los gradientes.

DEFINICION

Un gradiente es una serie de pagos que cumple con las
siguientes condiciones:

• 1. Todos los pagos cumplen con una ley de
  formación

• 2. Los pagos se efectúan a iguales
  intervalos de tiempo

• 3. Todos los pagos se trasladan al principio o
  al final a la misma tasa de interés.

• 4. El número de pagos es igual al
  número de períodos.

La ley de formación, de la que habla la primera
condición, puede ser de varias clases, sin embargo, las
más utilizadas son: la que corresponde al gradiente lineal o
aritmético y la que corresponde al gradiente
geométrico.

Las anualidades, vienen a ser un caso particular de los
gradientes, en el cual, el crecimiento es cero, lo que hace que
todos los pagos sean de igual valor, por tal motivo el manejo de
los gradientes es similar al manejo de las
anualidades.

Las otras tres leyes son las mismas de las
anualidades.

GRADIENTE ARITMETICO

En el gradiente aritmético cada pago es igual al
anterior, más una constante L; si esta constante es
positiva, el gradiente será creciente; si la constante es
negativa, el gradiente será decreciente. Obviamente, si L =
0 todos los pagos son iguales y la serie se convierte en una
anualidad.

Como en un gradiente todos los pagos son de diferente
valor, será necesario distinguir un pago de otro y por eso
al primer pago lo representaremos por R1; el segundo pago por R2
y así sucesivamente, el último pago lo representaremos
por Rn.

De acuerdo a la definición de gradiente lineal se
tendrá:

R2=R1+L

R3=R2+L = R1+2L

R4=R3+L = R1+3L

. . . .

. . . .

Rn=Rn-1+L = R1+(n-1)L

De los anterior se deduce que la fórmula del
último término será:

Rn=R1+(n-1)L

Ejemplo 1

Hacer la gráfica de un gradiente aritmético de
6 pagos con primera cuota de $100 y a) crecimiento de $25 y b)
decreciente en $25.

Solución

a)-

b)-

Obsérvese en la figura b) que, en el período
5, el pago es cero y que, en el período 6, el valor del pago
viene a ser – $25, lo cual se representa colocándolo como
positivo pero al otro lado de la línea de tiempo.

FORMULA
DEL VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE ARITMETICO

En igual forma como se hizo con las anualidades,
planteamos la ecuación de valor, trasladando cada uno de los
pagos a la fecha focal, usando la tasa efectiva i;
entonces:

VP=R(1+i)-1+(R+L)(1+i)-2+(R+2L)(1+i)-3+……+[(R+(n-1)L](1+i)-n

Si eliminamos los paréntesis donde se encuentra R y
escribimos primero los términos que contienen R y,
después, los términos que contienen L,
tenemos

VP=R(1+i)-1+R(1+i)-2+R(1+i)-3+……+R(1+i)-n +
L(1+i)-2 + 2L(1+i)-3 +….+ (n-1)L(1+i)-n

Se observa que los términos que contienen R son los
mismos de la ecuación de valor de una anualidad ordinaria en
valor presente, y si además, factorizamos L de los
términos restantes se tiene:

VP=Ran( i +
L[(1+i)-2+2(1+i)-3+3(1+i)-4+……(n-1)(1+i)-n]
(*)

Supongamos que W es igual a la serie que está
dentro del paréntesis angular, en consecuencia:

W=(1+i)-2+2(1+i)-3+3(1+i)-4+……(n-1)(1+i)-n

Si multiplicamos la ecuación anterior por (1 + i)
tenemos:

W(1+i)=(1+i)-1+2(1+i)-2+3(1+i)-3+……(n-1)(1+i)-(n+1)

Si substraemos W(1+i) – W resulta:

W(1+i) –
W=(1+i)-1+(1+i)-2+(1+i)-3+…+(1+i)-(n+1)
-(n-1)(1+i)-n

Simplificando:

W
i=(1+i)-1+(1+i)-2+(1+i)-3+…+(1+i)-(n+1)
+(1+i)-n+n(1+i)-n

W i= an( i -n(1+i)-n

Si reemplazamos W en (*) tenemos:

En la fórmula anterior figura R sin indicar
cuál de todas las cuotas es pero, en la deducción de la
fórmula hemos trabajado con base en que R es el primer pago.
En consecuencia cuando en cualquier fórmula aparezca R sin
indicar cuál es, deberá asumirse que se trata de la
primera cuota.

Ejemplo 2

Hallar el valor presente con interés al 5% de la
siguiente serie:

Solución:

En la gráfica se observan varias cosas:

• a) El gradiente tiene un crecimiento de $200;
  entonces L = 200

• b) El primer pago es $800; entonces R =
  800

• c) El número de pagos es 6; entonces
  n=6

Reemplazando en la fórmula se tiene:

Ejemplo 3

Hallar el valor presente de la siguiente serie con tasa
del 5%

GRAFICO

Solución:

Primera forma: podemos considerar que el gradiente se
inicia en el período 2; entonces su primer pago será de
$800 (el que está en 3); los otros pagos de $800 ubicados en
1 y 2 forman una anualidad:

X=$7342

Segunda forma: podemos suponer que el gradiente empieza
en el punto 3; así, su primer pago será de $1.000, y
tendrá 5 períodos.

X=$7342

Fórmula del valor final del
gradiente aritmético

Para hallar el valor final, basta tomar el valor
presente y multiplicarlo por (1+i)n , así:

VF=VP(1+i)n

Haciendo las operaciones respectivas y simplificando se
concluye que:

Observación: nuevamente hacemos énfasis en que
R representa a la primera cuota del gradiente:

Ejemplo 4

Hallar el monto de la siguiente gráfica; suponga
una tasa del 15%

Observación: los 2 últimos valores son
negativos

Solución: n = 8, L = -100, R = 500

AMORTIZACION CON CUOTA CRECIENTE

Debido a las altas tasas de inflación, en muchos
países se ha impuesto la moda de utilizar una cuota
creciente en los sistemas de amortización, lo que ha
impulsado el desarrollo de nuevas técnicas.

Actualmente, los sistemas de amortización más
utilizados son los que usan una cuota creciente.

Ejemplo 5

Amortizar la suma de $100.000, en 4 pagos, suponiendo
una tasa del 8% y;

• a. Crecimiento lineal de la cuota de $
  12.000

• b. Decrecimiento lineal de la cuota de
  $12.000

Solución:

a.

De donde se obtiene que R1 = $13.344.56

Las demás cuotas se pueden calcular con la
fórmula del último término del gradiente lineal o
aritmético Rn = R1 + (n-1)L

R2 = 13344.56 + 12000=25344.56

R3 = 13344.56 + 2 x 12000=37344.56

R4 = 13344.56 + 3 x 12000=49344.56

Con los datos anteriores podemos elaborar la tabla en la
misma forma como se trabajó con anualidades.

De donde se obtiene que R1= $47039.50

Gradiente aritmetico
infinito

Igual que en las anualidades, solo tiene sentido el
valor presente de un gradiente infinito. Su principal
aplicación es el cálculo del costo del capital, tema
que se discutirá en un capítulo posterior.

El planteamiento de la ecuación de valor
será:

Pero

También

Además

Aplicando la regla de L'opital tenemos:

Final se
tiene:

Ejemplo 6.

Calcular el valor presente de una serie infinita de
pagos que crecen en $10, si el primer pago vale $200 y la tasa es
del 3%.

Solución:

Esto significa que si colocamos $17.777.78 al 3%
efectivo, podremos pagar $200 al final del primer período,
$210 al final del segundo período, $220 al final del tercer
período t así sucesivamente.

GRADIENTE GEOMETRICO

Un gradiente geométrico es una serie de pagos, en
la cual cada pago es igual al anterior, multiplicado por una
constante que representaremos por 1 + G. Si G es positivo el
gradiente será creciente. Si G es negativo el gradiente
será decreciente y, si G = 0 el gradiente se convierte en
una anualidad.

En un gradiente geométrico, el primer pago
será: R1

El segundo pago R2=R1(1+G)

El tercer pago R3=R2(1+G)=R1(1+G)2

………………………..

………………………..

El último pago Rn=Rn-1(1+G)=R1(1+G)n-1

Entonces:

Fórmula del valor presente
del gradiente geométrico

El planteo de la ecuación de valor
será:

VP=R(1+i)-1+R(1+G)(1+i)-2+R(1+g)(1+i)-3+……+(1+G)n-1(1+i)-n

Si multiplicamos la ecuación anterior, por
(1+G)(1+i)-1 , tenemos:

VP(1+G)(1+i)-1=R(1+G)(1+i)-2+R(1+G)2(1+i)-3+R(1+G)3(1+i)-4
+…+R(1+G)n(1+i)-n-1

Sustrayendo la primera ecuación de la segunda,
tenemos:

VP(1+G)(1+i)-1-VP=R(1+G)n(1+i)-n-1-R(1+i)-1

Factorizando, se tiene:

VP[(1+G)(1+i)-1-1]=R(1+i)-1[(1+G)n(1+i)-n-1]=R[(1+G)n(1+i)-n-1]/(1+i)

Y finalmente se llega a:

Cuando G = i, se presenta una indeterminada, que puede
ser removida usando la regla de L'opital y derivando con respecto
a i:

Por tanto podemos concluir VP es

Fórmula del valor final del
gradiente geométrico

Si deseamos calcular el valor final, basta multiplicar a
VP por (1+i)n y así tenemos:

También

Ejemplo 7

Hallar el valor presente de 10 pagos anuales, si el
primer pago es de $5.000 y de pago subsiguiente crece un 20%.
Suponga una tasa del 20%.

Solución:

Como
G=i=20% se tiene que:

Ejemplo 8

Hallar el valor presente de 15 pagos que crecen un 25%,
si el primer pago es de $800 y suponiendo una tasa del
20%

Solución

Ejemplo 9.

Elaborar una tabla para amortizar la suma de $100.000 en
4 pagos, suponiendo una tasa efectiva del 8% y:

• a) crecimiento geométrico de la cuota en
  10%

• b) decrecimiento geométrico de la cuota en
  -10%

Solución

De donde R1 = $26.261.47

R2 = $26.261.47 (1+0.1) = $28.887.61

R3 = $26.261.47 (1+0.1)2 = $31.776.38

R4 = $26.261.47 (1+0.1)3 = $34.954.01

• b) 

De donde se obtiene que:

De donde R1 = $34.766.02

R2 = $34.766.02 (1+0.1) = $31.289.42

R3 = $34.766.02 (1+0.1)2 =$28.160.48

R4 = $34.766.02 (1+0.1)3 =$25.344.43

Ejemplo 10.

Cuánto debe crecer linealmente una serie de 8
pagos, efectuados al final de cada período y cuyo primer
pago es de $600 para que, puesta en valor presente, sea
equivalente a una serie de 10 pagos que crecen
geométricamente en un 25% y cuyo primer pago es de $100?
Suponga una tasa del 3% efectivo para el período.

Solución:

Hagamos la suposición que el gradiente lineal es
creciente.

Debemos igualar el valor de las dos series y despejar
L

De donde se obtiene L = -$64.58, lo que significa que el
gradiente es el decreciente como se muestra en la
gráfica.

Ejemplo 11

Se hacen depósitos trimestrales crecientes en un
5%, en una cuenta que paga el 5.25% efectivo trimestral, con el
fin de tener disponibles $500.000 el primero de enero de 1991. Si
el primer depósito se hace el primero de abril de 1988 y el
último el primero de julio de 1990, determinar el valor del
primer depósito.

Solución:

Despejando se obtiene que R=$28784.88 como primera
cuota

GRADIENTE GEOMETRICO INFINITO

Una de las aplicaciones que tiene este tipo de
gradientes está en el análisis sobre emisión de
acciones. Solo tiene sentido el análisis del valor
presente.

Si G >
i entonces la expresión

Es mayor que 1 y la expresión no tendrá limite
cuando n((

Si G < i entonces la expresión

Porque el valor de la cantidad entre el paréntesis
será menor de 1 de lo anterior se deduce que:

Cuando G = 1 la formula del valor presente
es:

Significa que no hay limite cuando G = i

Ejemplo 12

Hallar el valor presente de una serie infinita de pagos
que crecen un 10%, si la tasa de interés es del 20% y el
primer pago es $300.

Significa que, si colocamos $3.000 al 20% podremos hacer
infinito número de retiros crecientes, en un 10%, con un
primer retiro de $300.

Autor:

Briceño, Francisco

Delgado, Erika

López, Roberto

PUERTO ORDAZ, JULIO DE
2006