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Mecánica: dinámica de rotación




Enviado por Pablo Turmero



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    Equilibrio Traslacional Suma de las fuerzas vale cero El objeto
    viaja a V = cte o se encuentra en reposo

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    Equilibrio Rotacional Suma de los torque vale cero El objeto se
    mueve girando sobre algún eje con vel. ang. = cte, o no se
    encuentra girando

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    Tipos de Equilibrio E. Estable E. Inestable E. Marginal

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    Si el cuerpo no está en equilibrio Suma de las fuerzas
    vale m*a M es la masa del objeto, y a es la aceleración
    resultante. Suma de los torques vale I*a I es el momento de
    Inercia del objeto, y a es la aceleración angular
    resultante. Además T = r x F

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    Momento de Inercia de un cuerpo Es una magnitud que da cuenta
    como es la distribución de masas de un cuerpo o un sistema
    de partículas alrededor de uno de sus puntos. Es
    análogo a la masa de un cuerpo. Representa la inercia de
    un objeto a rotar.

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    Para un sistema de partículas se define como la suma de
    los productos entre las masas de las partículas que
    componen un sistema, y el cuadrado de la distancia r de cada
    partícula a al eje de giro escogido.
    Matemáticamente se expresa como:

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    Note que si: I = ? mi * ri ² Entonces si se tiene
    sólo una partícula: I = m*r² El momento de
    inercia depende de la distancia entre el objeto y el eje de giro.
    m

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    Ejercicio ejemplo: Se tiene tres partículas de masas
    iguales m= 0,5 (Kg), cada una tres metros de la otra respecto del
    origen de un plano cartesiano (ver figura). a) Calcular el
    momento de inercia de la esfera 1 respecto del eje Y. b) Calcular
    el momento de inercia del sistema respecto del eje Y.

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    Momento de Inercia para un sólido rígido. Se
    determina sumando los momentos de inercia de todas las
    partículas que forman el cuerpo. Algunos valores para
    cuerpos rígidos típicos.

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    Ejercicio Calcule el momento de inercia para: a) Una barra de
    largo 50 cm y masa 5 Kg que gira sobre un eje que: i) pasa por su
    centro ii) pasa pos su extremo b) Un cilindro de radio 10 cm y
    alto 20 cm, cuya masa es de 800 grs. si gira sobre n eje central:
    i) // a su altura ii) // a su diámetro c) Una esfera que
    gira sobre su diámetro, de masa 2,5 Kg y diámetro
    25 cm. d) Un cascaron esférico de masa 1000 grs y radio 50
    cm que gira sobre su diámetro.

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    Momento angular El momento angular (cantidad vectorial) es
    conocido como la “Cantidad de movimiento que lleva un
    cuerpo cuando está girando”. Análogo a
    cantidad de movimiento lineal. Matemáticamente es: L = I *
    ? donde I es el momento de inercia y ? es la vel. ang.

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    Momento angular y Torque si diferenciamos esta última
    ecuación: ?L = I * ?? Y luego dividimos por ?t, tenemos
    que: ?L/ ?t = I * a Entonces llegamos a: Torque = ?L / ?t

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    Ejercicio Calcule el momento angular de los objetos del ejercicio
    anterior si cada uno lleva vel. ang = 4 rd/seg

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    Momento Angular y Lineal Como T = r x F y: T = ?L / ?t ?L = r x F
    * ?t pero F = m * ?v / ?t ?L = r x m * ?v Ahora, m * ?v = ?p
    entonces: ?L = r x ?p Sin diferencias: L = r x p es la
    relación entre las cantidades de movimiento lineal y
    angular para un cuerpo que gira respecto de un eje.

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    Ejercicio Se tiene una esfera de masa 3,5 Kg que gira en torno a
    un eje a 50 cm. Cada vuelta demora 7 seg. Calcule la cantidad de
    movimiento lineal de la esfera Calcule el momento de inercia de
    la esfera Calcule la cantidad de movimiento angular de la
    esfera

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    Cambio en el Momento de Inercia Como vimos antes, I = ?
    mi*ri² entonces depende de la distancia a la cual gira el
    cuerpo. Si trabajamos con un sólido rígido
    también dependerá de la distancia a la cual gira el
    sólido. Podemos cambiar el momento de inercia, o calcular
    el momento de inercia si cambia el eje de giro.

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    Teorema de los Ejes Paralelos(o teorema de Steiner) Dice que si
    un cuerpo de masa M que posee momento de inercia Icm respecto de
    su centro de masa y gira en torno a un eje a una distancia d del
    centro de masa del sólido rígido, entonces su nuevo
    momento de Inercia I´ calculado respecto de el nuevo eje de
    giro es: I´ = Icm + M*d²

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    Ejemplo Se sabe que para una barra de masa M y largo L que gira
    en torno a aun eje que pasa por su centro de masa y paralelo al
    diámetro, su I = ML² 12 Si consideramos que la barra
    ahora gira en torno a uno de sus extremos, la distancia entre el
    nuevo eje de giro y su centro de masa es d=L/2

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    Ejemplo Entonces I´ = Icm + M*d² como d=L/2 y Icm =
    ML² 12 I´ = ML² + ML² 12 4 Sacando factor
    común: I´ = ML² + 3ML² => I´ =
    4ML² => I´ = ML² 12 12 3 Que es el valor dado
    por tabla

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    Ejercicio Calcule el valor del momento de inercia de una
    superficie plana de ancho w y largo l si gira en torno a un eje
    paralelo al lado w, y cuya masa es M. Calcule el momento de
    inercia de un cilindro de radio R que gira en torno a un eje
    paralelo a su altura h, y cuya masa es M. Calcule el momento de
    inercia de una esfera de radio R y masa M que gira en torno a un
    eje tangente a su superficie. Calcule el momento de inercia de un
    cascarón esférico de radio R y masa M que gira en
    torno a un eje tangente a su superficie.

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    El péndulo simple También llamado péndulo
    matemático. Es una situación ideal, en la que un
    cuerpo de forma esférica, y cuya masa es m, pende de un
    hilo ideal (de masa despreciable – m = 0 – e
    inextensible) cuyo largo es L, en las cercanías de la
    superficie terrestre (g = acel. grav.)

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    El péndulo simple consideremos que giramos el
    péndulo un ángulo a menor a 10°, y lo soltamos
    provocando un movimiento de rotación. El periodo del
    movimiento T se define como el tiempo que demora un cuerpo en
    completar una oscilación, y esta se da cuando el objeto se
    encuentra en la misma posición y viajando con la misma
    velocidad. a

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    El péndulo simple Si a es pequeño, se cumple que:
    Note que el periodo de oscilación es independiente de la
    masa que cuelga. a

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    Experimento: Medición de g Con el péndulo simple,
    es posible encontrar cuanto vale la aceleración de
    gravedad en las cercanías de la superficie terrestre en
    esta zona (Viña del Mar). De la ecuación anterior,
    podemos despejar g: Para determinar el valor de g es necesario
    montar un péndulo simple y tomar medidas del largo y del
    periodo de oscilación, luego reemplazar en la
    ecuación de arriba y encontrar g.

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    Experimento: Medición de g Procedimiento: Para un
    ángulo fijo, y largos L distintos del hilo, tome 10
    mediciones de el tiempo t que demora en completar n oscilaciones.
    t/n es el periodo T de cada oscilación. Construya una
    tabla t, n, T, L Calcule el valor de g para cada toma de datos,
    según la expresión encontrada. Encuentre el valor
    promedio de g que obtuvo.

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    Ejemplo.

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    Cálculo de Error Porcentual Si para una variable dada se
    experimenta tomando datos y encontrando experimentalmente un
    valor promedio, existe un porcentaje de error, típico de
    cualquier medición, que puede obtenerse a partir del valor
    teórico estándar. Según la
    ecuación:

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    Ejemplo. Para el valor de g obtenido es 9,657 (m/s²) El
    valor teórico de g es 9,81 (m/s²) el porcentaje de
    error es: Un error del orden del 3% se considera aceptable.

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