Normalizacion cuadrática de bandas espectrales

Introducción

El propósito de este artículo
es describir un procedimiento de cálculo que permita
obtener de forma aproximada suficientemente aceptable la
expresión cuantitativa de una banda de absorción
simétrica de un espectro de absorción a partir de
una expresión generalizada simple (banda
normalizada) mediante el uso de sencillas reglas de
transformación que, en definitiva, permiten la
expresión matemática aproximada de una banda, o
superposición de varias, con un número reducido de
parámetros.

Características de la
banda normalizada

Como banda normalizada de referencia se
define la curva compuesta de tres intervalos de sendas funciones
y1, y2, y3 de las que se indican su expresión y el
intervalo de la variable independiente x en las que se
utilizan

y1 = 2(x+1)2 -1< x <0,5

y2 = -2 x2 + 1 -0,5< x <
0,5

y3 = 2(x – 1) 2 0,5< x <
1

La figura 1 muestra las
características de la banda normalizada así
definida.

Figura 1.- Características de la banda
normalizada

La siguiente tabla muestra el
encabezamiento de una hoja de cálculo dispuesta para
obtener la expresión de la banda normalizada determinada
por las expresiones y1, y2 e y3 con su correspondiente
acotamiento. En la columna A se introducen como datos de entrada
los valores de la abcisa x (entre -1 y +1). Las columnas de C
,D,F, G describen las funciones componentes de la banda con su
correspondiente acotación. Por último las columnas
I,J corresponden a las coordenadas x,y de la banda normalizada
obtenida.

Tabla 1.- Encabezamiento de una hoja de
cálculo dispuesta para la obtención de la
función de una banda normalizada

La figura 2 muestra la gráfica de la
banda normalizada obtenida por el procedimiento de cálculo
anteriormente descrito con el desarrollo del cálculo
mediante las funciones incorporadas a la hoja de cálculo
de la tabla 1

Figura 2.- Gráfica de la banda
normalizada propuesta

Normalización de una
banda

Se describe a continuación el
proceso de obtención de una banda normalizada asociada a
una determinada banda simétrica a estudiar . Sea una banda
simétrica con las siguientes magnitudes
características:

Los valores numéricos de la banda
normalizada correspondientes a los parámetros de la banda
a ensayar anteriormente descritos son los siguientes

La siguiente figura ilustra
gráficamente la correspondencia entre banda origen y su
correspondiente banda normalizada asociada

Figura 3.- Descripción
gráfica de la relación entre los parámetros
de una banda y la de su correspondiente banda
normalizada.

Obtención de una banda
teórica a partir de una banda
normalizada

Si el procedimiento de obtención de
una banda normalizada a partir de datos significativos obtenidos
de una banda real se invierte es posible obtener a partir de esta
una banda teórica que describe aproximadamente

el comportamiento global de la banda
experimental. Si llamamos x,y las coordenadas de la banda
normalizada, las coordenadas X,Y de la banda teórica se
obtendrán a partir de aquellas por las siguientes
expresiones

X=Xm+Abs(Xm-X1/2) x /0,5 Y= Ym ·
y

ecuaciones que nos permiten obtener las
coordenadas de la banda teórica X,Y a partir de la banda
normalizada y los parámetros del espectro experimental Xm,
X ½, Ym. La siguiente tabla muestra el encabezamiento de
una hoja de cálculo dispuesta para la obtención de
una aproximación a una banda real obtenida a partir de la
expresión de una banda normalizada mediante las reglas de
transformación descritas. Las dos primeras filas se
dedican a entradas de los parámetros significativos de la
banda real. A partir de la fila 4 se introduce el proceso de
cálculo de las tres partes de la banda normalizada en las
columnas A-G. Las columnas I-J expresan los valores propuestos de
aproximación teórica a la banda real.

Tabla 2.- encabezamiento de una hoja de cálculo preparada
para la obtención de una propuesta de banda teórica
aproximada a partir de los parámetros Xm, X1!2 e Ym de una
banda real

Estudio de superposición
de bandas próximas

Aplicaremos el proceso de cálculo
descrito al estudio de la variación de la forma de un
espectro formado por la superposición de dos bandas
simples de la misma amplitud y diferente intensidad al modificar
la separación de sus máximos. Las
características de las dos bandas componentes son las
siguientes:

Banda 1: banda fija con parámetros
Xm=3, X1/2= 3,5, Ym=2

Banda 2: Banda de intensidad Ym=1, de la
misma amplitud que la anterior y con valor de Xm creciente de 1 a
4 y de X1/2 de 1,5 a 4,5 respectivamente.

La siguiente figura muestra las
gráficas de las composiciones de bandas obtenidas para los
parámetros característicos de las bandas
componentes Xm, X1/2 e Ym que se indican

Figura4.- Superposición de dos
bandas de la misma amplitud y diferente intensidad en diferentes
grados de separación

Haz de bandas con punto
isosbéstico

Otro caso interesante de
superposición de bandas próximas lo constituye el
formado por un haz de espectros con un punto isosbéstico.
Se explica la existencia del punto de concurrencia de la
absorbancia a una determinada longitud de onda (punto
isosbéstico) si la contribución al espectro total
se debe exclusivamente a 2 especies complementarias de un mismo
sistema cada una de ellas con su correspondiente banda asociada.
En el caso de que las dos bandas constituyentes sean bandas
simples simétricas la aplicación del proceso de
cálculo descrito permitirá describir el conjunto de
bandas del sistema en función de los parámetros de
las bandas componentes y de la proporción relativa de las
dos especies complementarias.

Sean

C1,C2 concentraciones de cada una de las
especies 1 y 2

A1, A2 absorbancias de cada especie a la
concentración del sistema (C1+C2)

A absorbancia de la mezcla de
concentraciones C1 y C2 de cada componente

F1 = C1/(C1+C2) fracción molar del
componente 1

La absorbancia A de una determinada mezcla
complementaria de las especies 1 y 2 vendrá dada por la
expresión

A= A1· C1/C1+C2) +
A2·C2/(C1+C2)

o bien, teniendo en cuenta la
definición de F1

A = A1·F1 + A2(1-F1)

Esta expresión nos permite obtener
el valor de la absorbancia de una mezcla de componentes 1 y 2 de
fracción molar F1 del componente 1 a partir de los valores
de las absorbancias para cada longitud de onda de las bandas
componentes 1 y 2 consideradas aisladamente.

La siguiente figura muestra el resultado
del proceso de cálculo de un sistema isosbéstico
determinado por la composición de dos bandas de las
siguientes magnitudes características.Cada una de las
gráficas corresponde a un valor de la fracción
molar de la especie responsble de la banda 1 indicada en el
margen (f1)

Figura 5.- Descripción teórica de un sistema de
espectros con punto isosbéstico

Autor:

Antonio Quirante
Candel