Parte A
Dominio del
tiempo
A.1 – Potencia.
En un dipolo a través del cual hay una
caída de potencial v(t) en el sentido de la corriente
i(t), conforme a la convención definida para la ley de
Ohm, la potencia instantánea recibida
es:
p(t) = v(t)·i(t)
Si la tensión y la corriente se expresan
respectivamente en voltios y amperios, la potencia viene dada en
vatios (watts).
El trabajo realizado en un cierto intervalo
será:
La potencia media en ese intervalo será en
consecuencia:
Puede evaluarse esta potencia si son conocidas las
funciones v(t) e i(t), ya sea analítica o
gráficamente.
Si nos referimos al caso particular de tensiones y
corrientes armónicas en el tiempo, o senoidales, tendremos
en general que:
La potencia instantánea está compuesta por
una variación senoidal en el tiempo de una frecuencia
doble a la de la tensión y corriente, y otro
término que depende de los valores máximos de la
tensión y de la corriente y del ángulo de fase
relativo entre ellos, ángulo de fase de la impedancia del
circuito ?Z.
Los intervalos en los cuales la potencia es negativa
corresponden a los instantes en que la tensión y la
corriente tienen signos opuestos. En esos instantes el circuito
devuelve energía a la fuente, energía que fue
almacenada en los elementos pasivos en forma de campos
eléctricos en los capacitores, y magnéticos en los
inductores.
Esto ocurre siempre que haya entre la tensión y
la corriente un desfasaje, es decir si ?Z ( 0.
A partir de la expresión anterior podemos
encontrar la potencia media a lo largo de un número entero
de ciclos. En general esto variaría con el número
de ciclos pero, si consideramos que estamos en régimen
permanente, podemos hacer el cálculo a lo largo de un
ciclo de la potencia (medio ciclo de la
tensión):
A.2 – Potencia en los elementos.
En una resistencia la tensión está en fase
con la corriente, el ángulo de fase entre ellos es nulo y
su coseno es igual a uno. La potencia resulta
entonces:
Lo mismo ocurre en el capacitor.
Sin embargo el hecho que la potencia instantánea
no sea cero nos indica que hay energía en el circuito.
Esta energía que la fuente carga, en el capacitor en forma
de campo eléctrico, y/o en la bobina en forma de campo
magnético, durante medio ciclo de la potencia y que luego
estos devuelven en el medio ciclo siguiente, se denomina
potencia entretenida en el circuito.
Podemos evaluar la potencia entretenida integrando la
potencia instantánea en un medio ciclo (cuarto de ciclo de
la tensión):
A.3 – Potencias activa, reactiva y aparente. Factor de
potencia.
se puede descomponer en la componente en fase y la
componente en cuadratura o reactiva:
Se la denomina aparente porque resulta de multiplicar
directamente la tensión por la corriente sin tener en
cuenta el factor de potencia. Es lo que podemos obtener si el
circuito tiene un voltímetro y un amperímetro, con
los cuales no podríamos calcular la potencia
activa.
Para poder indicar de cual de las tres potencias estamos
hablando se ha definido una unidad especial para cada una. Estas
unidades tienen la misma dimensión porque no hay
diferencia entre las magnitudes que las componen salvo el seno o
el coseno que son adimensionales.
La potencia activa o media, P, está expresada en
vatios [W], la potencia reactiva, Q, en voltamperios
reactivos [VAr], y la potencia aparente, S, en
voltamperios [VA].
A.4 – Ejemplo de cálculo.
Problema: En un circuito se ha determinado que la
tensión de entrada está dada por
v(t)=15·cos(50t+15º) y la corriente que circula es
i(t)=10·sen(50t+60º). Determinar la tres potencias
desarrolladas.
Solución: Primero debemos expresar la
tensión y la corriente usando la misma función, ya
sea seno o coseno, para establecer claramente el ángulo de
fase entre ellas. Por ejemplo:
i(t)=10·sen(50t+60º) =
10·cos(50t+60º-90º)=
10·cos(50t-30º)
Ahora determinamos que la diferencia de fase es de ?Y =
-45º, la corriente atrasa respecto a la tensión, es
decir circuito inductivo.
Las potencias serán, entonces:
Potencia aparente = V·I = (15·10)/2 = 75
voltamperios
hemos tenido en cuenta que la expresión temporal
está dada por los valores máximos y la potencia se
define por los valores eficaces, de allí la
división por dos.
Aquí se asumió como ángulo de fase
el ángulo de fase de la admitancia y consecuentemente la
potencia reactiva resultó con signo negativo. Si se
hubiera considerado el ángulo de fase de la impedancia
este valor sería positivo. En la práctica puede
tomarse cualquiera de los dos; el signo de la potencia activa
será siempre positivo, pero el de la potencia reactiva no
define al circuito como inductivo o capacitivo: es necesario
indicar cuál es el ángulo considerado, de la
impedancia o de la admitancia.
Parte B
Dominio de la
frecuencia
B.1 – Potencia vectorial.
El cálculo simbólico había sido
introducido haciendo ciertas consideraciones y verificando con el
concepto de linealidad. Se aclaró que no es lo mismo la
forma temporal que la fasorial pero que se podía utilizar
ventajosamente obteniendo los mismos resultados.
La potencia implica una función cuadrática
y si queremos aplicar el cálculo simbólico no
podemos extender simplemente el concepto, debemos demostrarlo y
verificarlo.
Partiremos de las expresiones iniciales:
Los términos dentro del paréntesis son
conjugados entre sí por lo que podemos poner
que:
Los tres triángulos son semejantes, la diferencia
está en que las impedancias (y las admitancias) no giran,
son vectores; las tensiones y corrientes giran con velocidad
angular ?, son fasores; y las potencias no son estrictamente
fasores, su frecuencia es el doble que la de las tensiones y
corrientes, y su interpretación gráfica no es la
misma. Por consecuencia no es correcto dibujarlas en un mismo
gráfico.
Conforme a lo visto podemos establecer que el
ángulo de fase de la impedancia, o de la admitancia,
establece el desfasaje entre la tensión y la corriente y
también el ángulo de fase de la potencia. La
diferencia está en que el ángulo de fase de la
impedancia o entre tensión y corriente nos indica si el
circuito tiene parte reactiva inductiva o capacitiva, mientras
que en la potencia, por ser cuadrática aparece el coseno
que es una función par, el signo del ángulo no
tiene significancia.
No se ha establecido un criterio o convención en
este aspecto lo que hace que para algunos quede definido por el
ángulo de la admitancia y que para otros por el
ángulo de la impedancia. El tipo de circuito sólo
puede ser establecido si conocemos el desfasaje entre la
tensión y la corriente, no del factor de
potencia.
Hay otra diferencia muy importante en lo que se refiere
al diagrama fasorial de la potencia respecto al de las tensiones
y corrientes.
La primer componente podríamos representarla como
un fasor que estaría girando con origen, y centro de
rotación, en el valor del eje real que nos indica el
segundo componente.
De tal forma el gráfico nos quedaría
así:
B.2 – Expresiones de la potencia.
B.3 – Corrección del factor de
potencia.
Hemos indicado que el factor de potencia marca el
aprovechamiento del producto de la tensión por la
corriente para obtener potencia sobre el circuito.
En la distribución de energía
eléctrica las pérdidas en los conductores se debe
al paso de la corriente por ellos, Pp = I2R. Ello implica que,
aún cuando la potencia activa utilizada por el consumidor
sea baja, las pérdidas pueden ser elevadas si el factor de
potencia es bajo. Para una misma tensión y potencia activa
la corriente es mayor a medida que el factor de potencia
baja.
El factor de potencia bajo es debido a las componentes
reactivas de las cargas que, lamentablemente, son en su inmensa
mayoría inductivas y no se compensan.
Los generadores, por su parte, están de hecho
limitados por la energía que son capaces de suministrar
las máquinas que los impulsan, sean eléctricas o
no. Pero, fundamentalmente, están diseñados para
una corriente (y también una tensión) máxima
independiente del ángulo de fase, es decir que
están limitados en su potencia aparente y no por la
potencia activa que suministran, que puede ser mucho
menor.
El máximo aprovechamiento del generador y su
sistema de distribución se logrará con un factor de
potencia elevado, idealmente igual a uno.
Normalmente el consumidor paga por la potencia activa,
pero el costo de instalación y mantenimiento está
definido por la potencia aparente, por ello es de interés
que ambas se aproximen todo lo posible. De hecho las empresas
generadoras incentivan esta condición estableciendo multas
por factores de potencia inferiores a cierto valor, y/o cobrando
también la potencia reactiva si esta excede los
límites fijados.
Para corregir un factor de potencia bajo es necesario
compensar la componente reactiva, es decir colocar capacitores,
en el caso normal, en paralelo con las cargas inductivas.
La conexión en paralelo se hace a los efectos de no
alterar las exigencias de alimentación fijadas en la
tensión de suministro. Podría corregirse el factor
de potencia colocando los elementos en serie pero ello
alteraría todas las condiciones de funcionamiento que
podrían implicar el daño al dispositivo.
B.4 – Ejemplo de cálculo.
A partir de este punto tenemos dos opciones: a) colocar
un capacitor por el cual circule una corriente igual y de signo
contrario a la componente reactiva que obtuvimos con el fin de
compensarla; o b) calcular la potencia desarrollada y luego
corregir el término de potencia reactiva.
En este ejemplo hemos llevado el circuito a un factor de
potencia unitario ideal. En los caso prácticos se
establece un factor de, por ejemplo, 0.8 y se corrige para
llevarlo por lo menos a ese valor con los valores comerciales de
los capacitores.
En un caso como este se determina cual es la potencia
reactiva máxima que debo tener y la potencia de
corrección será la necesaria para compensar el
excedente que tengo.
Volvamos al ejemplo, teníamos que:
Realmente tenemos dos posibles soluciones para obtener
el factor de potencia deseado ya que si sobrecompensamos el
circuito podemos obtener una respuesta capacitiva con el mismo
factor de potencia, esto quiere decir que, si la carga es
originalmente inductiva, podemos compensar toda la potencia
reactiva inductiva y, además, agregar potencia reactiva
capacitiva hasta obtener el factor de potencia deseado. En ese
caso la potencia reactiva de corrección será igual
a la actual (si es inductiva) más la total permitida o
deseada. De hecho esta es una solución más cara y
no se utiliza.
En el caso hipotético que se deseara desmejorar,
es decir reducir el coseno ?, tendríamos también
dos posibles soluciones: una agregar inductancia en paralelo y la
otra agregar capacidad.
En todos los caos la solución técnica
más aceptable la determina el análisis
económico del caso y sus posibles soluciones.
B.5 – Teorema de la máxima transferencia de
energía.
Este teorema plantea las condiciones para que dados un
generador de energía con su impedancia interna se
determine cuál es la impedancia de carga que
permitirá extraer el máximo de energía a ese
generador.
Para cumplir con lo deseado debemos maximizar esta
expresión.
El primer análisis lo podemos hacer sobre la
parte reactiva que, pudiendo ser variable, nos señala que
se puede cancelar ese término si la reactancia de la carga
es de igual valor y signo contrario a la reactancia interna. En
otras palabras que X1 = – X2.
Dado este supuesto nos queda que:
Que resolviendo resulta en R1 = R2.
El resumen es que, si podemos variar tanto la reactancia
como la resistencia de la carga, la condición de
máxima transferencia de energía se da cuando la
impedancia de carga es la conjugada de la impedancia interna
Z2 = Z1*.
Siendo las partes resistivas iguales resulta que en el
generador se disipa la misma potencia que en la carga y por ello
el rendimiento es:
El rendimiento obtenido en este caso es aceptable
sólo cuando los niveles de energía son bajos,
cuando extraer menos energía lleva a la necesidad de
agregar nuevas etapas, como ocurre en los circuitos
electrónicos.
Para la distribución de energía se
requiere de máximo rendimiento lo que implica que la
resistencia interna debe ser mínima frente a la
resistencia de carga. Esto además reduce la cantidad de
calor que debe ser disipada en el generador.
Autor:
Pablo Turmero