Residuos Recursivos

Objetivo

Los modelos de regresión lineal se estiman,
habitualmente, aplicando el método de mínimos
cuadrados ordinarios (MCO). Los estimadores así obtenidos
son Estimadores Lineales, Insesgados y Óptimos (ELIO) bajo
los supuestos de Modelos de Regresión Lineal Normal
Clásico (MRLNC).

Tras la estimación de los parámetros del
modelo se procede a la validación del mismo con el fin de
afirmar los resultados obtenidos y poder considerarlos
para la fase posterior de predicción o toma de decisiones.
Esta validación del modelo consiste en la
contrastación o comprobación de las
hipótesis clásicas que se supone que debía
verificar el modelo para ser estimado por MCO y así
garantizar las propiedades anteriormente señaladas para
los estimadores.

En este proceso de validación del modelo es
especialmente importante la comprobación de las
hipótesis que hacen referencia a las propiedades deseables
para la perturbación aleatoria que, según el modelo
de regresión clásico, debe distribuirse en un
vector normal esférico. En particular las hipótesis
que más se analizan son las que especifican el
carácter constante de la varianza (perturbación
homocedástica) y la ausencia de correlación entre
perturbaciones de observaciones distintas (ausencia de
autocorrelación).

La forma habitual de comprobar estas hipótesis
consiste en la aplicación de contrastes en los que, en la
mayor parte de las ocasiones, se utilizan los residuos ( o
errores) mínimo—cuadráticos. Estos residuos
se obtienen como diferencia entre los valores observados para la
variable endógena y los valores estimados, a partir del
modelo, para dicha variable. Sin embargo, como se va a comprobar
posteriormente, estos errores no están exentos de
inconvenientes ya que, a través de ellos, se pretende
comprobar si la perturbación se distribuye en un vector
normal esférico cuando ellos mismos, es decir, el
instrumento utilizado para su comprobación no lo
es.

El principal inconveniente que muestran estos residuos
MCO es que teóricamente si bien su media es igual a cero,
la matriz de varianzas y covarianzas no es escalar,
característica que sí debe verificar la
perturbación aleatoria de un modelo de regresión
clásica. Esta leve diferencia puede originar
problemas a la hora de contrastar las hipótesis
clásicas de homocedasticidad y ausencia de
autocorrelación para la perturbación de un modelo
de regresión.

Es por ello que, en este tema, se presentan un conjunto
de contrastes que, basados en unos residuos
específicos permiten analizar de un modo
más fiable si el modelo de regresión es
clásico o generalizado.

Residuos
recursivos

Los residuos mínimo cuadrático ordinarios
(residuos MCO), además de como diferencia entre los
valores observados y estimados, se pueden expresar
también,

es decir, aunque los residuos MCO tienen esperanza nula,
su matriz de varianzas y covarianzas no es escalar por los que
estos residuos podrían detectar problemas de
heterocedasticidad y/o autocorrelación para una
perturbación que no presentara estos defectos.

Con el fin de corregir esta deficiencia de los
residuos MCO, se utilizan otros residuos, que se obtienen de modo
recursivo o recurrente, y que no presentan estos
inconvenientes.

Esquemáticamente el proceso se pude describir a
partir del siguiente gráfico

Este modo de operar permite obtener unos residuos que,
una vez transformados, presentan características similares
a las de la variable de perturbación del modelo en tanto
que se distribuyen en un vector normal
esférico.

Estos nuevos residuos permiten analizar la
perturbación del modelo de regresión con mayor
objetividad ya que, a diferencia de los residuos MCO, verifican
las hipótesis deseables para dicha perturbación
puesto que su distribución sí es normal
esférica.

Contrastes basados en
residuos recursivos

Los contrastes basados en los residuos recursivos los
podemos clasificar en dos grupos; contrastes gráficos y
contrastes numéricos. Los primeros se utilizan de un modo
general para detectar si existe o no estabilidad en el modelo de
regresión; puesto que se basan en análisis
gráficos son contrastes bastante generales que detectan de
modo vago la presencia de problemas en el
modelo.

Los contrastes numéricos permiten detectar
específicamente si se cumple o no, por separado, las
hipótesis de homocedasticidad e incorrelación de
las perturbaciones.

• Contrastes Gráficos

Los contrastes gráficos fueron desarrollados por
Brown, Durbin y Evans en 1975 y presentan, como aplicación
de los Residuos Recursivos, el modo de detectar la posibilidad de
ruptura estructural a lo largo de las observaciones de un modelo
supuestamente clásico.

En el caso de rechazar la hipótesis nula se
podría realizar un segundo contraste para detectar si la
varianza de la perturbación permanece o no
constante.

a) Contraste de Suma Acumulada (Test
CUSUM)

Este contraste debe su nombre al estadístico
utilizado, que consiste en la acumulación progresiva de
los residuos recursivos que posteriormente se normalizan
dividiéndolos entre la estimación insesgada de la
desviación típica de la perturbación (S). De
este modo se calcula el valor acumulado Wr , que se representa
gráficamente frente al número de valores acumulados
(r).

En caso contrario, es decir cuando los valores de Wr
sobrepasen dichas rectas (marcadas con trazos más gruesos)
se puede considerar falta de estabilidad en el modelo. El
cálculo de estas rectas necesita determinar los valores de
"a" que se encuentran tabulados para distintos niveles de
significación siendo los más usuales,

b) Contraste de Suma Acumulada de Cuadrados (Test
CUSUM2)

Este contraste, análogo al anterior, utiliza en
el numerador la suma acumulada del cuadrado de los residuos
recursivos y en el denominador el valor de la Suma de Cuadrados
de la totalidad de los Residuos Recursivos.

Al igual que en el contraste anterior, se considera que
existe evidencia suficiente para rechazar la hipótesis
nula de homogeneidad del modelo, cuando la representación
gráfica de los valores del estadístico Sr
se sitúan fuera de las bandas (marcadas en trazo
más grueso). Los valores de significación para Co
de se encuentran tabulados en Biometricka, vol. 56, 1969,
pág.4. Con respecto a este contraste existe cierta
evidencia empírica que permite considerarlo más
poderoso que el test de suma acumulada (Test CUSUM).

• Contrastes numéricos

Los residuos recursivos se pueden utilizar
también para la aplicación de cualquier contraste
de heterocedasticidad y autocorrelación ya que se puede
demostrar que, considerando la totalidad de las observaciones de
la muestra, la suma de los cuadrados de los residuos recursivos
coincide con la suma de los cuadrados de los residuos MCO y,
además también se puede calcular esta suma de
cuadrados de un modo recursivo o recurrente,

Entre las aplicación más habituales
destaca un contraste de homocedasticidad similar al de
Golfeld-Quandt (1965) pero basado en los residuos recursivos, y
un contraste de autocorrelación, similar al de
Durbin-Watson, pero que no presenta regiones de
indecisión.

a) Contraste de Homocedasticidad

• Procedimiento de contraste:

• 1. Se ordenan las observaciones muestrales por
  valores crecientes de la variable Zt, supuesta
  causante de heterocedasticidad.

• 2. Se omiten un conjunto de observaciones
  centrales aproximadamente de tamaño k.

• 3. Se estima dos veces el modelo original con
  las primeras y últimas observaciones.

• 4. Se calculan los residuos recursivos de cada
  una de las regresiones anteriores; w1 serán los
  residuos recursivos del primer bloque y w2, los del
  segundo.

• 5. Forma del contraste:

donde m representa el número de residuos
recursivos que se están sumando.

Puesto que el número mínimo de datos que
deben utilizarse para realizar una estimación es igual al
número de parámetros del modelo (k), el
valor máximo de m será (n –
k)/2.

b) Contraste de Autocorrelación. Razón
de Von Neumann Modificada (RVNM)

A partir de los residuos recursivos se define un
contraste similar al de Durbin-Watson pero con la ventaja de que
no presenta región de indecisión o incertidumbre.
En la hipótesis nula se establece la ausencia de
correlación y en la hipótesis alternativa se admite
la presencia de autocorrelación de primer
orden.

Los valores críticos de este estadístico
se encuentran tabulados en Press y Brooks, e indican el
límite máximo (mínimo) para
autocorrelación positiva (negativa) definiendo así
dos regiones de rechazo y una única región de
aceptación.

Aplicación de
residuos recursivos desde el programa Eviews

El programa EViews facilita la obtención de los
residuos recursivos a partir de la estimación por MCO del
modelo; para ello, y una vez obtenido el resultado de la
estimación se seleccionan las opciones VIEW/ Stability
Test/ Recursive Estimates (OLS only) tal y como se muestra a
continuación:

A partir de esta opción se abre un cuadro de
diálogo que permite seleccionar entre distintas
aplicaciones de Residuos Recursivos

La opción Recursive Residuals facilita un
gráfico en el que aparecen dibujados los valores
numéricos de los residuos recursivos; no obstante estos
valores, se pueden obtener numéricamente, en forma de
serie, seleccionando la última de las opciones Save
Results as Series.

Los contrastes gráficos de estabilidad del modelo
se pueden obtener en la segunda y tercera de las opciones,
CUSUM Test y CUSM of Squares Test,
respectivamente

Con la opción Recursive Coefficients se
obtiene una representación gráfica de las
estimaciones recursivas de los parámetros del modelo; es
decir se presentan los valores que corresponderían a los
parámetros si el tamaño de la muestra es, k+1,
k+2, … hasta n.

Bibliografía

• GREENE, W.H. "Análisis Econométrico"
  Ed. Prentice Hall (1998)

• JOHNSTON, J. y DINARDO, J. "Métodos de
  Econometría" Ed. Vicens Vives (2001)

• PENA, J.B et al. "Cien ejercicios de
  Econometría" Ed. Pirámide (1999)

Enviado por:

Pablo Turmero