Suma algebraica de términos en progresiones aritméticas

Pienso que las Progresiones Aritméticas causan en los estudiantes la grata impresión que causaron en mí cuando las estudié por primera vez. Las regularidades de tales sucesiones saltan a la vista, permitiendo alcanzar conclusiones rápidas y acertadas; por lo que se incrementa la atención durante las clases y se despierta un gran interés por redescubrir patrones convertibles en reglas útiles para la resolución de ejercicios y problemas relacionados.

Los docentes orientamos el redescubrimiento de patrones y reglas comúnmente conocidas a través de las fuentes de consulta que están a nuestro alcance, pensando que en ellas se encuentra agotado todo lo relacionado con el tema. Al revisar los libros y páginas de internet, que se citan al final del trabajo, no se encontraron diferencias significativas en su tratamiento en un lapso de unos cuarenta (40) años. Sin embargo, al analizar las fuentes con detenimiento, encontramos que es posible descubrir nuevos patrones y profundizar en el conocimiento de las Progresiones Aritméticas; lo que significa mejoras y ampliación de los contenidos enseñables en Educación Media.

Con esa premisa procedí a estudiarlas bajo la óptica de las funciones, obteniendo logros como los que se exponen en este artículo y que forman parte de las conclusiones referentes a operaciones de suma algebraica de términos en Progresiones Aritméticas. Fue necesaria la introducción de algunos conceptos tales como: colimador o semilla, seguidilla, longitud y grado de la suma, sumas balanceadas, etc.; la fórmula general, o del término n-ésimo, es la clave de todo el estudio realizado; es lo que ha permitido ver más allá de lo que permite la fórmula tradicionalmente utilizada.

Al final se inserta un aparte relacionado a la resolución de problemas mediante el planteamiento de sistemas de ecuaciones simultáneas, por lo fácil que resulta si8 se siguen los pasos y procedimientos expuestos.

Espero que lo presentado en esta oportunidad sea de provecho a estudiantes y educadores en general.

Atte,

Prof. Gustavo Yanes Yanes.

Los Teques, Venezuela, Marzo de 2.015.

Nociones preliminares.

Definición de Progresión Aritmética (PA).

Para efectos del presente trabajo utilizaremos la siguiente definición:

Se denomina Progresión Aritmética a toda sucesión numérica, cuya fórmula general, o del término enésimo, sea de la forma

Elementos de una Progresión Aritmética

En toda progresión aritmética diferenciaremos los siguientes elementos:

• Términos: son los elementos de la progresión aritmética denotados por una letra minúscula y un subíndice. Por ejemplo a1; a2; a3; etc.

• Fórmula general, o del término enésimo: ecuación de la forma an = dn + c, que define la progresión.

• Número de orden u ordinal: subíndice de cada uno de los términos; indica la secuencia, u orden, de éstos últimos.

• Colimador, o semilla: número real, equivalente a la c de la fórmula del término enésimo.

• Diferencia o razón: es la diferencia progresiva entre cualquier par de términos consecutivos de la progresión y equivale a la d de la fórmula general.

Una PA está bien determinada si se conocen a) la ecuación del término enésimo; b) un término y la diferencia; c) dos términos; d) un término y el colimador. Está claro que el conocimiento del término implica conocer su número de orden y su valor; si no se conoce alguno de estos datos se dirá que el término es desconocido.

Determinación de la fórmula general a partir de un término conocido y la diferencia.

Sea aj el término conocido y d la diferencia, también conocida.

Ejemplo: el noveno término de una progresión aritmética de razón 3 es 28. Determinar la fórmula general.

Determinación de la fórmula general a partir de dos términos
conocidos.

Sea el término aj y a partir de este construyamos los términos:

De donde se puede concluir que dos términos diferentes cualesquiera, ak y aj, están relacionados mediante la ecuación

ak = aj + (k-j)d.

Debe tenerse cuidado al escribir la diferencia de los subíndices: el sustraendo es el subíndice del término que aparece en el segundo miembro de la ecuación.

Podemos despejar d:

y proceder según lo indicado anteriormente.

Ejemplo: determinar la fórmula general de la PA cuyo tercer término es 7 y el octavo es 47.

La diferencia es:

Tomamos la diferencia calculada y cualquiera de los términos; por ejemplo a8:

Determinación de la fórmula general a partir de un término conocido y el colimador c.

En este caso sólo basta despejar la diferencia en la fórmula del término enésimo, de donde se obtiene:

Y luego estructurar la fórmula conocidos la diferencia y el colimador.

Ejemplo: Determinar la fórmula general de la PA cuyo cuarto término es 47 y su colimador es 3.

Calculamos d.

Sumas y restas combinadas de términos en una progresión aritmética

Definición: Se denomina suma algebraica de términos en una PA, a las sumas y restas combinadas de los valores de los términos que intervienen en la operación.

Procedimientos para la suma algebraica de términos de una PA.

Se definen dos procedimientos para las sumas algebraicas:

• Por extensión: Cuando la suma se realiza previo cono-cimiento, o cálculo, de los valores de todos y cada uno de los términos intervinientes. Por razones obvias este procedimiento no será analizado en este trabajo.

• Por comprensión: Cuando la suma se realiza a través de una fórmula, o ecuación, que no requiere del conocimiento del valor de cada término.

Suma por Repetición

Cuando se trate de la suma de un mismo término se dirá que la suma es de términos por repetición y se notará Ran a la suma de R veces el término an. El valor de la suma será el producto usual de R por el valor de an. A R se le denominará repetidor o coeficiente del término an y podrá ser cualquier valor real.

Ecuación de la suma algebraica a partir de la fórmula general.

Al observar la fórmula an = dn + c podemos deducir que la suma algebraica de términos de una progresión aritmética, a partir de la fórmula del término enésimo, se reduce a la suma algebraica de las diferencias y colimadores que corresponden a cada uno de los términos que intervienen en la operación, incluso si algunos de ellos se repiten o si sólo se toma una parte de ellos.

Es fácil observar que existe un patrón utilizable para cualquier suma algebraica. La cantidad de veces que interviene la diferencia d en la suma total es igual a la suma algebraica de los productos de los repetidores en cada término por sus respectivos subíndices; análogamente, la cantidad de veces que interviene el colimador c es igual a la suma algebraica de los repetidores de los términos intervinientes.

Definamos, para la suma algebraica de términos en una PA, los siguientes elementos

• Longitud (L) que es igual a la suma algebraica de los repetidores de los términos intervinientes.

• Grado (G) que es igual a la suma algebraica de los productos de los repetidores de cada término por sus respectivos subíndices.

Utilizando para la suma de longitud L y grado G la notación SL, G podemos estructurar la siguiente ecuación:

SL, G = Gd + Lc

Ejemplo:

Ejemplo:

Observación: Puede darse el caso de que se anulen la longitud L; el grado G; o ambos.

Por lo que son válidas las ecuaciones:

Ecuación de la suma algebraica conocido un término y la diferencia.

Sea la PA de diferencia d y término conocido ar.

Teorema: La suma de términos una PA, de longitud L, grado G, con diferencia d y término conocido ar es:

Demostración: de la ecuación del término enésimo se tiene ar = dr +c; sustituyendo en la ecuación anterior, aplicando la propiedad distributiva y operando conveniente-mente se tiene:

Ejemplo: En una PA de razón 3, el primer término
es 7. Calcular la suma:

Ejemplo: En una PA de razón 5, el cuarto término
es 2. Calcular la suma:

Sumas Balanceadas

Definición: Se denominan sumas balanceadas de términos de una PA a todas las sumas con la misma longitud e igual grado.

Teorema: La sumas balanceadas son equivalentes.

Demostración:

Como las sumas dadas son dos sumas cualesquiera, queda demostrado
el teorema.

Definición: La ecuación que expresa la igualdad entre dos sumas balanceadas se denomina: ecuación balanceada.

Obsérvese que una ecuación balanceada expresa una relación igualdad que se cumple en todas las progresiones aritméticas independientemente de su definición.

Lo anterior permite calcular rápidamente una suma cuando es posible expresarla como una suma por repetición de un término conocido.

Ejemplo:

Suma de términos consecutivos

Definición: Denominaremos seguidilla a todo subconjunto finito de términos consecutivos de una PA.

Definición: Al término de menor subíndice de una seguidilla lo llamaremos término menor y lo notaremos Tm; al de mayor subíndice lo denominaremos término mayor y se notará TM

Definición: A la suma de todos los términos de una seguidilla se le denomina: suma de términos consecutivos en una PA.

Deducción de la fórmula.

En función del término menor se tiene:

En función del término mayor se tiene:

Sumando miembro a miembro:

Donde cada uno de los segundos miembros tendrá L términos o sumandos

Sumando miembro a miembro y término a término se tiene.

La fórmula anterior se puede deducir de otra manera:

Supongamos que deseamos calcular la suma de todos los términos de la seguidilla de

Sumando los términos equidistantes de los extremos, dos a dos, a partir de los últimos mencionados se obtienen las siguientes sumas parciales:

Como podrá observarse, los términos consecutivos a sumar están escritos entre cada par de paréntesis en el numerador; es decir aparece dos veces la suma original. Sólo que los términos entre aj y ak están ordenados en sentido creciente en los primeros paréntesis y en sentido decreciente en los segundos.

Si sumamos los términos en el numerador dos a dos tomando uno de cada paréntesis y asociándolos en forma análoga a la descrita anteriormente, tendremos:

Ejemplo: En una PA el octavo término es 20 y el vigésimo término es 84. Determinar la suma de todos los términos desde el octavo hasta el vigésimo, ambos inclusive.

Suma de términos consecutivos a paso fijo

Definición: Diremos que los términos de una progresión aritmética son consecutivos a paso fijo si ordenados en forma creciente respecto a los subíndices, a partir del término menor, el subíndice de cualquier otro término es igual al subíndice del término anterior más un número entero p > 1. El paso p, se indica con su valor.

Sumas a paso fijo con indicación la cantidad de sumandos.

La ecuación para sumar n términos consecutivos con paso p a partir de se deduce de la fórmula de la suma antes estudiada.

Ejemplo: En una PA de diferencia 3 cuyo noveno término es 17, calcular la suma de:

A) Seis términos consecutivos, con paso 2, a partir del noveno término.

B) Ocho términos consecutivos, con paso 3, a partir del décimo segundo término.

A) Aplicando la fórmula:

A partir del término a9, los términos de la PA son: 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38, 41, 44, 47, 50, 53, 56, 59 , 62, 65, 68, 71, 74, 77, 80, 83, 86, 89 …… Los subrayados son los seis términos a sumar.

B) Calculamos el décimo segundo término:

En este caso, los términos a sumar son: 26, 35, 44, 53, 62, 71, 80 y 89.

Suma de términos, a paso fijo, en una seguidilla dada

Sean los términos consecutivos entre aj y ak k > j. Se pide sumar desde el término menor todos los términos posibles con paso p.

Se utiliza fórmula anterior; pero debe determinarse con anterioridad la longitud de la suma, que en la ecuación corresponde a la n. Para ello basta tomar la parte entera del cociente de la división de la longitud de la seguidilla (k-j+1) entre el paso p.

La ecuación para determinar n es:

Ejemplo:

Suma de términos consecutivos con signos alternos

Cuando los términos menor y mayor están afectados por el mismo signo.

Dos sumas algebraicas de términos sucesivos de una PA, con signos alternos que comienzan y terminan con el mismo signo.

En estas condiciones las sumas tienen longitud L = ±1 dependiendo si comienzan y terminan con signo positivo o con signo negativo.

Separamos el primer sumando y asociamos el resto por pares consecutivos. Cada par tendrá longitud nula y grado G = ±1 dependiendo del signo que preceda los términos menor y mayor de la suma original. La cantidad de pares que pueden formarse es (k-j)/2, siendo este un número entero positivo debido a que, por las condiciones de la suma k y j, son enteros positivos de la misma paridad. Para calcular el grado de la suma basta agregar el del primer término. Luego, el valor absoluto grado de la suma:

Ejemplo:

El resultado anterior puede comprobarse de la siguiente forma:

Sumamos los términos con subíndices pares, que resultan ser [(100-50)/2] +1 = 26 términos y se resta de la suma de los (100-50)/2 = 25 términos con subíndices impares.

Previamente debemos calcular los primeros y últimos términos con subíndices pares e impares, respectivamente.

Ejemplo: En una PA a22 = 10 y a42 = 60. Determinar la suma de todos los términos entre a22 y a42 si se sabe que los signos se alternan, comenzando positivo.

En este caso debemos determinar también la diferencia d y el colimador c.

Aplicando las ecuaciones correspondientes:

Cuando los términos menor y mayor están afectados por signos diferentes.

Dos sumas algebraicas de términos sucesivos con signos alternos que comienzan y terminan con diferente signo.

En estas condiciones las sumas tienen longitud L = 0 independientemente si comienzan con signo positivo o con signo negativo.

Sólo basta calcular el grado G para aplicar la ecuación correspondiente.

Obsérvese que si asociamos los términos desde aj hasta ak-1 tendremos unas sumas y restas combinadas del caso anterior el valor absoluto del grado G es:

Y el signo es el mismo del término menor de la suma original. Para calcular el grado de ésta última, sólo falta sumar el grado del término mayor.

Si la suma termina con signo negativo tendremos que su grado G es:

Si por lo contrario, termina con signo positivo, el grado G es:

Como se puede observar, estas dos ecuaciones dan resultados opuestos. El signo que corresponde a cada grado es el mismo del término mayor, puesto que k>j. Por otra parte, las paridades de los subíndices de los términos extremos son diferentes. Lo que nos permite escribir:

Donde el signo es el mismo que precede al término mayor TM.

Calculado el grado, sólo queda aplicar la fórmula mencionada.

Ejemplo: En la PA definida por an = 3n -5. Calcular la suma algebraica de los términos consecutivos entre el cuarto y el vigesimoquinto, afectados por signos alternos, con el primer término positivo.

En este caso j = 4; k=25 y d=3. Como el primer término es positivo, el último será negativo.

Luego:

Por último:

Ejemplo: En una PA definida por an = -2n -4. Calcular la suma de los términos consecutivos entre el séptimo y el vigésimo, afectados por signos alternos, con el primer término negativo.

Los datos son: j = 7, k = 20 y d = -2 con el primer término negativo.

Luego:

Luego:

Ejemplo: En una PA el segundo término es 12 y el decimoséptimo -54. Calcular la suma de los términos consecutivos entre los dados, afectados por signos alternos, con el primer término negativo.

Los datos son: a2 = 12; a17 = -54, j = 2 y k = 17.

Calculamos la diferencia:

Calculamos G.

Finalmente:

Resolución de problemas mediante el planteamiento de sistemas de ecuaciones

En este apartado veremos cómo se determina la ecuación del término enésimo a partir de otras dos dadas. Este procedimiento es importante, ya que basta conocer la ecuación o fórmula del término enésimo, an = dn + c, para resolver cualquier problema de progresiones aritméticas.

Se trata de convertir las dos ecuaciones dadas en un sistema de ecuaciones lineales donde las incógnitas sean la diferencia y el colimador. Nos basaremos en la ecuación de la suma Sl,G = Gd + Lc. Con unos ejemplos se explicará el procedimiento.

Ejemplo: Determinar la ecuación del término enésimo de una PA donde se cumple:

a2+a10= 19 y a6 +a13= -4.

En la primera ecuación tenemos: L = 1+1 = 2 y G = 1(2) +1(10) = 2+10 = 12

De donde a2+a10 es de la forma S2,12. Luego, se puede sustituir por 12d+2c
= 19

En la segunda ecuación tenemos: L = 1 +1 = 2 y G=1(6) + 1(13) = 6 +13 = 19.

Lo que permite sustituirla por 19d + 2c = -4,

Ahora construimos el sistema:

Comprobamos que los resultados satisfacen las ecuaciones originales:

Calculamos el valor de cada uno de los términos intervinientes:

Verificándose las ecuaciones dadas.

Ejemplo: En una PA se tiene: 2a5- 3a1 = 1 y a2+7a3 = -17. Calcular a15 y 4a2 – 5a6+3a1

Determinamos L y G para cada ecuación:

En la primera: L=2-3 = -1 y G = 2(5)-3(1) = 10 – 3 = 7

En la segunda: L= 1 + 7 = 8 y G = 1(2) + 7(3) = 2 + 21 = 23.

Construimos el sistema con las incógnitas d y c. Aplicando la ecuación de la suma

Nos aseguramos de que los resultados satisfagan las ecuaciones originales:

Que resulta ser un procedimiento más fácil que el utilizado para verificar las ecuaciones dadas. Veámoslo:

Fuentes consultadas

• AMELII, R. (2001), Matemática Primero de Diversificado, Edit. Salesiana, Caracas.

• BRETT, E. y W. Sánchez (2002), Actividades de Matemática 1 Cs. C.D., Caracas.

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• DOLCIANI, M.; S. BERMAN y W. WOTTON. (1973), Modern Algebra and Trigonometry-book two, Houghon Mifflin Company, Boston.

• FLEMING, W. y D. Varberg, Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Prentice Hall.

• GALDÓS, L. (2002) Matemáticas de Hoy, Tomo II Aritmética (II), Madrid.

• GID H., J. (2001), Selección de Temas de Matemática 4, Sphinx, Caracas.

• LEHMAN, Ch. (1980), Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica, Limusa, México.

• LIAL, M. y Ch. MILLER (1979), Mathematics with Applications, Scott Foreman and Company, Illinois.

• NAVARRO, E. (1980), Matemática para Cuarto Año – Libro de Práctica, Caracas.

• SUVOROV, I. (1973), Curso de Matemáticas Superiores, Mir, Moscú.

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• http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Progresiones/Progresiones.

• thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0101-01/ed99-0101-01.html?.

Autor

Gustavo Yanes Yanes