Monografías Plus      Agregar a favoritos      Ayuda      Português      Ingles     

Utilidades Trigonométricas - Peculiaridades de los Triángulos Isósceles




  1. Prólogo
  2. Cálculo del lado desigual
  3. Ecuación Vectorial de la circunferencia
  4. Coordenadas del ángulo doble y del ángulo mitad (Extensión del Teorema de Pitágoras)
  5. Proceso de giro y vértices de polígonos
  6. Multiplicador y Divisor de Ángulos
  7. Cálculo de la apotema (distancia "B")
  8. Relación entre la apotema "B", y la distancia "ds"

Prólogo

Las Magnitudes Trigonométricas, cuándo se estudian referidas a circunferencias de radio igual a la unidad, se aprende que están todas están relacionadas a Triángulos Rectángulos, cuyos lados son el Seno y el Coseno del Angulo, junto a un tercer lado que es la unidad:

Monografias.com

En esta obra, entre otras cosas, se estudia la posición geométrica de los Senos y los Cosenos del ángulo mitad, que están posicionados en Circunferencias de Radio "R=1", además en este texto, se han generalizado los cálculos para Circunferencias de Radio "R".

También se ofrecen resultados para que, partiendo de las coordenadas de un ángulo dado, se deduzcan las coordenadas del ángulo obtenido de multiplicar el ángulo inicial, "n" veces, mediante un cálculo iterativo.

La teoría contenida en este texto, es adecuada para aprovechar la rapidez de cálculo de los ordenadores, ya que estos tienen la capacidad agilizar los cálculos que se exponen. De todas formas, también se proponen métodos para simplificar los cálculos, utilizando las propiedades de las simetrías que se dan en la circunferencia.

Utilizando estos conceptos, se plantea el cálculo de vértices de polígonos regulares.

Espero que este artículo les sea de utilidad

Daniel Revilla Sánchez

Cálculo del lado desigual

Monografias.com

Comenzaremos calculando el lado desigual (distancia "ds"), que define la amplitud del triángulo isósceles (tumbado en esta figura):

Monografias.com

Para lo cual realizamos la siguiente construcción:

Monografias.com

Nota: Si hacemos R=1, entonces y=Sen () y x=Cos (), pero trabajaremos con el caso general, dónde los lados iguales del triángulo isósceles miden "R"

Tumbando el triángulo de la derecha, de la figura anterior tenemos:

Monografias.com

Como el ángulo es igual en las dos figuras anteriores, por semejanza de triángulos, podemos establecer la siguiente regla de tres:

Monografias.com

Con lo que obtenemos:

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

De esta forma hemos obtenido el lado "ds" desigual, en función de "R" y "x"

Ecuación Vectorial de la circunferencia

Si consideramos todos los triángulos Isósceles de radio "R = Constante" tumbados, con uno de los lados "R" en la horizontal, el vértice "P" que está fuera de la horizontal, describe una circunferencia de radio "R", y si "R" es variable, cada punto "P" de dicha circunferencia pertenecerá al plano Euclídeo

Monografias.com

Partiendo de una de las expresiones anteriores, podemos obtener "x" en función de "R" y de "ds":

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Si consideramos a "R" como constante, la distancia "ds", puede considerarse como un vector, que junto con el vector "R1 que pasa por en centro de la circunferencia, determinan cada punto "P" de la misma, (la suma de los vectores "R1" y "ds", dan como resultado el vector "R2")

Monografias.com

La última ecuación, es la Ecuación Vectorial de la Circunferencia, dónde si se fija "R" a un valor constante, y se mantiene "ds" como variable obtendremos todas las coordenadas "x" de la circunferencia, siempre que "ds" sea: "ds = 2•R"

Además, en cualquier momento encontraremos la coordenada +/- "y", haciendo:

Monografias.com

Coordenadas del ángulo doble y del ángulo mitad (Extensión del Teorema de Pitágoras)

Partimos de la siguiente situación:

Monografias.com

Si nos fijamos en la zona delimitada por "O", y por los tres puntos "P", vemos que la proyección sobre la horizontal del punto "P3" junto con "O", delimitan la cota "x", y la distancia del punto "O", a "P1", delimita la cota "R". Si desplazamos paralelamente la recta "O - P1", por la recta "O - P3", obtenemos la distancia del punto "P3", al punto O", que mide "R"

Luego la distancia desde "O" al punto "T", mide "x+R" o "R+x".

Trazando perpendiculares desde el punto "P2" perteneciente a la circunferencia de la figura anterior, a las rectas "O - P1" y "O - P3", obtenemos la siguiente construcción:

Monografias.com

Si extraemos el triángulo "O" "P2" "t", tenemos un triángulo de amplitud angular de "??":

Monografias.com

Donde "x05" e "y05", son las coordenadas del punto "P2", que pertenecen al ángulo mitad. Si hacemos una simetría respecto a la mitad de "/2", tenemos:

Monografias.com

Si hacemos ahora una simetría respecto a la recta "O - t":

Monografias.com

Tenemos:

Monografias.com

Haciendo una simetría respecto a la recta "P1 - P3":

Monografias.com

Obtenemos la siguiente figura:

Monografias.com

Vemos que obtenemos la misma figura de la que hemos partido, situando en este caso las coordenadas del ángulo medio "x05" e "y05":

Monografias.com

Si tomamos la mitad de la figura, tendremos un triángulo limitado por la recta O - O" y si proyectamos el punto O" sobre la recta "O - P1", obtenemos el punto "n":

Monografias.com

Aplicando el teorema de Pitágoras Tenemos:

Monografias.com

Sustituyendo los valores de la ecuación anterior, tenemos el teorema de Pitágoras extendido:

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Como:

Monografias.com

Entonces:

Monografias.com

Vemos que Monografias.com, entonces:

Monografias.com

Luego:

Monografias.com

Si hacemos "R=1", "x05" representará el Coseno del ángulo mitad, Siempre que "x", sea el Coseno del ángulo inicial

En la formula anterior, podemos obtener "x" en función de la Coordenada "x05":

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Si hacemos "R=1", "x" representará el Coseno del ángulo, Siempre que "x05" represente al Coseno del ángulo mitad

Recordemos una figura anterior:

Monografias.com

Tomando la mitad de la figura:

Monografias.com

Sabiendo que la distáncia entre "s" y "P1" es "R-x", si aplicamos el teorema de Pitágoras, al triángulo "P1", "P3" y "s", podemos escribir:

Monografias.com

Sustituyendo valores, tenemos:

Monografias.com

Monografias.com

Como Monografias.com, entonces:

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Si hacemos "R=1", tendremos que "y05" es el seno del ángulo mitad, siempre que "x" sea el coseno del ángulo total

Tomando una de las fórmulas anteriores, podemos poner "x" en función de "y05":

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Proceso de giro y vértices de polígonos

Este es un proceso iterativo para conseguir las coordenadas del ángulo doble, triple, etc.

Para el número de lados N = 0:

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Con un lado, N = 1:

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Con dos lados, N = 2:

Monografias.com

Definimos como bisagra al punto "M1" que se utilizará para duplicar por simetría al punto "0", con lo que obtendremos el punto "2". El punto "M1" se ha obtenido como intersección de las rectas "O", "1" y su perpendicular "0","2"

Para Obtener las coordenadas del punto "M1", hacemos la siguiente semejanza de triángulos:

Monografias.com

Como los dos ángulos son iguales, podemos establecer la siguiente regla de tres:

Triángulo Izquierdo Triángulo derecho

R =================> x1

x1 =================> xm1

Luego:

Monografias.com

Es decir:

Monografias.com

Para las Coordenadas en y:

Monografias.com

Luego:

Monografias.com

Encontramos el punto "2", haciendo simetría del punto"0", respecto a "M1":

Monografias.com

En el eje x:

Monografias.com

Sabiendo que Monografias.com

Entonces:

Monografias.com

Monografias.com

Anteriormente vimos que Monografias.comluego:

Monografias.com

Y como sabemos que:

Monografias.com

Tenemos que:

Monografias.com

Con lo que hemos obtenido la coordenada en "x" del segundo vértice, respecto a la del primero

En el eje y:

Monografias.com

También sabemos que:

Monografias.comy como Monografias.com

Monografias.com, luego Monografias.com

Y como hemos visto anteriormente, Monografias.com, entonces:

Monografias.comCon lo que hemos obtenido la coordenada en "y" del segundo vértice, respecto a la del primero

Con tres lados, N = 3

Monografias.com

Definimos como bisagra al punto "M2" que se utilizará para duplicar por simetría al punto "1", con lo que obtendremos el punto "3". El punto "M2" se ha obtenido como intersección de las rectas "O - 2" y su perpendicular "1 - 3"

Para Obtener las coordenadas del punto "M2", hacemos la siguiente semejanza de triángulos:

Monografias.com

Como los dos ángulos son iguales, podemos establecer la siguiente regla de tres:

Monografias.com

Luego:

Monografias.com

Hemos visto anteriormente que para "N=2":

Monografias.com

Sustituyendo en "xm2":

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Con lo que hemos obtenido el punto "bisagra", en "x"

Calculamos de igual forma el punto "bisagra" en "y", según la figura anterior:

Monografias.com

Luego:

Monografias.com

Hemos visto que para "N = 2":

Monografias.com

Luego sustituyendo encontramos la Coordenada "y", del punto "bisagra" "M2":

Monografias.com

Usando como bisagra el punto "M2" podemos encontrar las coordenadas del punto "3", como simétrico del punto "1":

Monografias.com

En el eje "x":

Monografias.com

Sabiendo que Monografias.com, Entonces:

Monografias.com, es decir, Monografias.com

Y como sabemos que:

Monografias.com

Tenemos:

Monografias.com

Operando queda:

Monografias.com

En el eje "y":

Monografias.com

Sabiendo que Monografias.com, entonces:

Monografias.com, es decir Monografias.com

Y como sabemos que:

Monografias.com

Tenemos que:

Monografias.com

Si recopilamos los resultados y las operaciones realizadas hasta el momento, tenemos:

Para Monografias.com:

Monografias.com; Monografias.comPunto Cero

Para Monografias.com

Monografias.com; Monografias.com; Punto 1

Para Monografias.com:

Necesitamos una bisagra, que obtenemos haciendo:

Monografias.com

Monografias.com

El giro lo hacemos mediante:

Monografias.com

Monografias.com

Operando obtenemos el punto 2:

Monografias.com

Monografias.com

Para Monografias.com, la bisagra es:

Monografias.com

Monografias.com

Operando tenemos:

Monografias.com

Monografias.com

El giro lo hacemos mediante:

Monografias.com

Monografias.com

Operando tenemos:

Monografias.com

Monografias.com

Para N = 4 la bisagra es:

Monografias.com

Monografias.com

Operando tenemos:

Monografias.com

Monografias.com

El giro lo hacemos mediante:

Monografias.com

Monografias.com

Operando tenemos:

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Llegados a este punto podemos generalizar el cálculo para cualquier ángulo de forma iterativa, con el fin de estandarizar la solución, para ello, de los cálculos que hemos realizado, deducimos las operaciones típicas del problema, que son las siguientes:

Bisagra:

Monografias.com

Monografias.com

Giro:

Monografias.com

Monografias.com

Nota: No es posible hallar el término "n" sin iteración, ya que tiene una estructura anidada, y el resultado de simplificar, es un polinomio que aumenta con el número "n" de vértices.

Si el número de lados del polígono (o de vértices) es par, y es divisible entre 2 (media circunferencia) ó 4 (90º) ó 8 (45º), sólo tendremos que hallar la mitad, la cuarta o la octava parte, con el método explicado y hallar el resto de coordenadas por simetría.

Monografias.com

En el ejemplo de la figura anterior, se ha comenzado por x1=R·Cos (22.5), e y1=R·Sen (22.5), y sólo se han calculado dos lados

En el caso de que el número de lados del polígono, sea impar, haremos una simetría de media circunferencia con los resultados obtenidos:

Monografias.com

En este ejemplo, se ha comenzado por x1=R·Cos (72) e y1=Sen (72), y solo se han calculado dos lados

Multiplicador y Divisor de Ángulos

Podemos utilizar los resultados del punto anterior para multiplicar ángulos:

Monografias.com

Por ejemplo, conociendo "x1" e "y1", podemos calcular "x3" e "y3":

Monografias.com

Monografias.com

También podemos dividir ángulos, despejando de las expresiones anteriores, el ángulo correspondiente al punto 1. Como ejemplo, conociendo "x3" e "y3", podemos obtener "x1" e "y1". Operando en las expresiones anteriores:

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

De esta forma, podemos obtener la coordenada de "x1", resolviendo esta ecuación de tercer grado, de igual forma, para "y1", conocido "x1" e "y3:

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

De esta forma hemos obtenido las coordenadas de la tercera parte del ángulo inicial

Cálculo de la apotema (distancia "B")

La distancia "B" de un polígono regular coincide con su apotema, veamos cómo se calcula

Monografias.com

Según la figura anterior, la apotema (distancia "B"), coincide con la coordenada "x05" del ángulo mitad, Luego:

Monografias.com

Nota: El área del triángulo tumbado, puede calcularse de dos formas diferentes:

Monografias.com

Simplificando, obtenemos:

Monografias.com

Monografias.com

O: Monografias.com

Relación entre la apotema "B", y la distancia "ds"

Partiendo de la definición de la distancia "ds", y despejando "x", tenemos:

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Así, hemos obtenido x en función de "ds"

Despejando "x" en la fórmula de la apotema "B", tenemos:

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Sustituyendo la "x" en función de "ds" en ésta última fórmula:

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Con lo que hemos conseguido expresar la apotema "B", en función de "ds".

Despejando "ds" en la formula anterior:

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

De esta forma se ha obtenido "ds" en función de la apotema "B"

 

 

 

Autor:

Daniel Revilla Sánchez


Comentarios


Trabajos relacionados

  • Distribución Normal

    Distribución Normal. Función de densidad. La distribución binomial. Esta distribución es frecuentemente utilizada en l...

  • Estructura y funcionamiento del Programa Raíces

    Carlos alberto PérezEl programa esta compuesto por la función principal raices y 9 subfunciones: Raices (principal; Cuad...

  • El poder del Solver

    Ejemplo de cómo usar "SOLVER". En estos tiempos donde se habla de la tecnología, información, sociedad del conocimient...

Ver mas trabajos de Matematicas

 
 

Nota al lector: es posible que esta página no contenga todos los componentes del trabajo original (pies de página, avanzadas formulas matemáticas, esquemas o tablas complejas, etc.). Recuerde que para ver el trabajo en su versión original completa, puede descargarlo desde el menú superior.


Todos los documentos disponibles en este sitio expresan los puntos de vista de sus respectivos autores y no de Monografias.com. El objetivo de Monografias.com es poner el conocimiento a disposición de toda su comunidad. Queda bajo la responsabilidad de cada lector el eventual uso que se le de a esta información. Asimismo, es obligatoria la cita del autor del contenido y de Monografias.com como fuentes de información.

Iniciar sesión

Ingrese el e-mail y contraseña con el que está registrado en Monografias.com

   
 

Regístrese gratis

¿Olvidó su contraseña?

Ayuda