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Ángulos. Problemas resueltos y propuestos

Enviado por Pablo Turmero





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(Gp:) ? (Gp:) LADO (Gp:) LADO (Gp:) VÉRTICE (Gp:) ? (Gp:) Medida del Angulo convexo (Gp:) Medida del Angulo cóncavo (Gp:) O (Gp:) A (Gp:) B ANGULO.-Es la abertura formado por dos rayos divergentes que tienen un extremo común que se denomina vértice. ELEMENTOS DE UN ANGULO:

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? 0º < ? < 180º 0º < ? < 90º (Gp:) ? CLASIFICACIÓN SEGÚN SU MEDIDA a) ÁNGULO CONVEXO a.1) ÁNGULO AGUDO

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? = 90º (Gp:) ? 90º < ? < 180º (Gp:) ? a.2) ÁNGULO RECTO a.3) ÁNGULO OBTUSO

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? ? ? = 90º ? + ? = 180º (Gp:) ? (Gp:) ? (Gp:) ? (Gp:) ? CLASIFICACIÓN SEGÚN SU SUMA a) ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS b) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

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PROBLEMAS RESUELTOS

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El complemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo “X” es igual al duplo del complemento del ángulo “X”. Calcule la medida del ángulo “X”. 90 - { ( ) - ( ) } = ( ) 180° - X 90° - X 90° - X 2 90° - { 180° - X - 90° + X } = 180° - 2X 90° - 90° = 180° - 2X 2X = 180° X = 90° RESOLUCIÓN Problema Nº 01 La estructura según el enunciado: Desarrollando se obtiene: Luego se reduce a:

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La suma de las medidas de dos ángulos es 80° y el complemento del primer ángulo es el doble de la medida del segundo ángulo. Calcule la diferencia de las medidas de dichos ángulos. Sean los ángulos: ? y ? ? + ? = 80° Dato: ? = 80° - ? (Gp:) ( 1 ) ( 90° - ? ) = 2? (Gp:) ( 2 ) Reemplazando (1) en (2): ( 90° - ? ) = 2 ( 80° - ? ) 90° - ? = 160° -2? ? = 10° (Gp:) ? = 70° ? - ? = 70°-10° = 60° Problema Nº 02 RESOLUCIÓN Dato: Diferencia de las medidas Resolviendo

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La suma de sus complementos de dos ángulos es 130° y la diferencia de sus suplementos de los mismos ángulos es 10°.Calcule la medida dichos ángulos. Sean los ángulos: ? y ? ( 90° - ? ) ( 90° - ? ) = 130° + (Gp:) ? + ? = 50° (Gp:) ( 1 ) ( 180° - ? ) ( 180° - ? ) = 10° - (Gp:) ? - ? = 10° (Gp:) ( 2 ) Resolviendo: (1) y (2) ? + ? = 50° ? - ? = 10° (Gp:) (+) 2? = 60° ? = 30° ? = 20° Problema Nº 03 RESOLUCIÓN Del enunciado: Del enunciado:

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Se tienen ángulos adyacentes AOB y BOC (AOB< BOC), se traza la bisectriz OM del ángulo AOC; si los ángulos BOC y BOM miden 60° y 20° respectivamente. Calcule la medida del ángulo AOB. (Gp:) A (Gp:) B (Gp:) O (Gp:) C (Gp:) M (Gp:) ? (Gp:) ? (Gp:) 60° (Gp:) 20° (Gp:) X De la figura: ? = 60° - 20° Luego: X = 40° - 20° ? = 40° X = 20° Problema Nº 04 RESOLUCIÓN

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La diferencia de las medidas de dos ángulos adyacentes AOB y BOC es 30°. Calcule la medida del ángulo formado por la bisectriz del ángulo AOC con el lado OB. (Gp:) A (Gp:) O (Gp:) B (Gp:) C (Gp:) ? (Gp:) ? (Gp:) X (Gp:) (?- X) ( ? + X) (? - X) = 30º 2X=30º X = 15° Problema Nº 05 RESOLUCIÓN (Gp:) M Construcción de la gráfica según el enunciado Del enunciado: AOB - OBC = 30° - Luego se reemplaza por lo que Se observa en la gráfica

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Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD tal que la m?AOC = m?BOD = 90°. Calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD. (Gp:) A (Gp:) C (Gp:) B (Gp:) D (Gp:) M (Gp:) N (Gp:) ? (Gp:) ? (Gp:) ? (Gp:) ? (Gp:) ? (Gp:) X De la figura: 2? + ? = 90° ? + 2? = 90° (Gp:) ( + ) 2? + 2? + 2? = 180° ? + ? + ? = 90° X = ? + ? + ? X = 90° Problema Nº 06 RESOLUCIÓN Construcción de la gráfica según el enunciado

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Si m // n . Calcule la medida del ángulo “X” (Gp:) 80° (Gp:) 30° (Gp:) ? (Gp:) ? (Gp:) ? (Gp:) ? (Gp:) X (Gp:) m (Gp:) n Problema Nº 07

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2? + 2? = 80° + 30° Por la propiedad Propiedad del cuadrilátero cóncavo (Gp:) ? + ? = 55° (Gp:) (1) (Gp:) 80° = ? + ? + X (Gp:) (2) Reemplazando (1) en (2) 80° = 55° + X X = 25° (Gp:) 80° (Gp:) 30° (Gp:) ? (Gp:) ? (Gp:) ? (Gp:) ? (Gp:) X (Gp:) m (Gp:) n RESOLUCIÓN

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Si m // n . Calcular la medida del ángulo “X” (Gp:) 5? (Gp:) 4? (Gp:) 65° (Gp:) X (Gp:) m (Gp:) n Problema Nº 08

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(Gp:) 5? (Gp:) 4? (Gp:) 65° (Gp:) X (Gp:) m (Gp:) n Por la propiedad: 4? + 5? = 90° ? = 10° Ángulo exterior del triángulo 40° 65° X = 40° + 65° X = 105° RESOLUCIÓN

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(Gp:) Si m // n . Calcule la medida del ángulo ”X” (Gp:) ? (Gp:) 2? (Gp:) x (Gp:) m (Gp:) n (Gp:) ? (Gp:) 2? Problema Nº 01

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3? + 3? = 180° ? + ? = 60° Ángulos entre líneas poligonales X = ? + ? X = 60° RESOLUCIÓN (Gp:) ? (Gp:) 2? (Gp:) x (Gp:) m (Gp:) n (Gp:) ? (Gp:) 2? x Ángulos conjugados internos

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PROBLEMAS PROPUESTOS DE ANGULOS ENTRE PARALELAS

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PROBLEMA 01.- Si L1 // L2 . Calcule la m ? x A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 50° (Gp:) x (Gp:) ? (Gp:) ? (Gp:) ? (Gp:) ? (Gp:) 4x (Gp:) 3x (Gp:) L1 (Gp:) L2

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(Gp:) m (Gp:) n (Gp:) 30° (Gp:) X PROBLEMA 02.- Si m // n . Calcule la m ? x A) 18° B) 20° C) 30° D) 36° E) 48°

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PROBLEMA 03.- Si m // n . Calcule la m ? ? A) 15° B) 22° C) 27° D) 38° E) 45° (Gp:) 3? (Gp:) 3? (Gp:) 3? (Gp:) ? (Gp:) m (Gp:) n

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PROBLEMA 04.- Si m // n . Calcule el valor de “x” A) 10° B) 15° C) 20° D) 25° E) 30° (Gp:) 40° (Gp:) 95° (Gp:) ? (Gp:) ? (Gp:) 2x (Gp:) m (Gp:) n

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PROBLEMA 05.- Calcule la m ? x A) 99° B) 100° C) 105° D) 110° E) 120° (Gp:) 3? (Gp:) 6? (Gp:) x

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(Gp:) ? (Gp:) 4? (Gp:) 4? (Gp:) ? (Gp:) X (Gp:) m (Gp:) n PROBLEMA 06.- Si m // n . Calcule la m ? x A) 22° B) 28° C) 30° D) 36° E) 60°

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A) 24° B) 25° C) 32° D) 35° E) 45° PROBLEMA 07.- Si. Calcule la m ? x (Gp:) 88° (Gp:) 24° (Gp:) x (Gp:) ? (Gp:) ? (Gp:) ? (Gp:) ? (Gp:) m (Gp:) n

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PROBLEMA 08.- Si m // n . Calcule la m ? x (Gp:) 20° (Gp:) 30° (Gp:) X (Gp:) m (Gp:) n A) 50° B) 60° C) 70° D) 80° E) 30°

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PROBLEMA 09.-Si m//n y ?- ? = 80°. Calcule la m?x A) 60° B) 65° C) 70° D) 75° E) 80° (Gp:) ? (Gp:) ? (Gp:) x (Gp:) ? (Gp:) ? (Gp:) m (Gp:) n

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PROBLEMA 10.- Si m // n . Calcule la m ? x A) 20° B) 30° C) 40° D) 50° E) 60° (Gp:) x (Gp:) x (Gp:) x (Gp:) m (Gp:) n

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PROBLEMA 11.- Si m // n . Calcule la m ? ? A) 46° B) 48° C) 50° D) 55° E) 60° (Gp:) 180°-2? (Gp:) ? (Gp:) 2? (Gp:) m (Gp:) n

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PROBLEMA 12.- Si m // n . Calcule la m ? x A) 30° B) 36° C) 40° D) 45° E) 50° (Gp:) ? (Gp:) ? (Gp:) ? (Gp:) ? (Gp:) x (Gp:) 80° (Gp:) m (Gp:) n

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PROBLEMA 13.- Si m // n . Calcule la m ? x A) 30° B) 40° C) 50° D) 60° E) 70° (Gp:) 80° (Gp:) ? (Gp:) ? (Gp:) ? (Gp:) ? (Gp:) m (Gp:) n (Gp:) x

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REPUESTAS DE LOS PROBLEMAS PROPUESTOS 20º 8. 50º 30º 9. 80º 45º 10. 30º 10º 11. 60º 120º 12. 40º 36º 13. 50º 7. 32º

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