En este caso si hacemos esto para tener un sistema de segundo orden
por lo cual podemos despreciar el término haciendo cancelación del cero en -4 y el polo en -4.01
para aproximar el sistema a un sistema de segundo orden
Estabilidad de sistemas lineales y estacionarios
Un sistema es estable del tipo BIBO (bounden input bounded output) (entrada acotada salida acotada) si y solo si toda entrada acotada produce una salida acotada
Si la salida es acotada solo para algunas entradas, entonces el sistema es marginalmente estable. Estos sistemas típicamente oscilan y su respuesta se sostiene a una amplitud constante sin decaer ni crecer.
Un sistema asintoticamente estable si todas sus respuestas debidas a condiciones iniciales decaen asintoticamente a cero.
Un sistema es inestable si alguna de sus respuestas crece sin cota
Prueba corta
Hallar el rango de k que hace al sistema estable
X
K
–
12/12pt
Supuesto problema de examen de Raúl Torres
Dado que G(s) es un sistema de segundo orden sin ceros
Según estas características el sistema sabemos que el sistema es tipo 1
Determine G(s)
Identificar el sistema según la tabla que sabemos de memoria
Para un sistema de lazo cerrado esto es un sistema Tipo 1 de la forma:
Para retroalimentación unitaria
(Gp:) G(s)
(Gp:) R(s)
(Gp:) C(s)
Nos dicen que TS = 2 segundos
así que si ??n = 2, entonces
p1 = 4 = 2 ??n
Para este sistema la tabla nos dice que
Así que kv = 10
así que K = 40
Continuación de supuesto problema
Error en régimen permanente
Lazo abierto
(Gp:) G(s)
Definimos: E(s) = R(s) – Y(s)
E(s) es la señal de error
Para un sistema estable tiene dos polos en el semiplano izquierdo
1 para R(s)=1/s
v.f.
Caso General
Mediante el teorema del valor final si ambos límites
existen, entonces
El límite de e(t) para t ? infinito existe si y solo si todos los
polos de E(s) están en el lado izquierdo del plano complejo
con la posible excepción de un polo simple en cero.
Ilustración
sea
solo si Re(-p1)< 0
Análisis en el dominio de la frecuencia
(Gp:) G(s)
(Gp:) H(s)
(Gp:) R(s)
(Gp:) C(s)
E(s) = R(s) – C(s)
los polos del error son dados por la misma función característica que los polos del sistema
Pero sabemos:
En general
donde N = “tipo del sistema” = #polos de G(s) en s = 0
Error en respuesta a un escalón
Si N = 0 (sistema de tipo cero) (cero polos en s= 0)
Para N = 0 y r(t) = u(t) (escalón)
constante
Para Lazo Cerrado
Disturbio y Sensibilidad
Sensibilidad – Caso se afecta al sistema a un cambio en parámetro
Sistema de lazo abierto
(Gp:) G(s)
(Gp:) Y(s)
(Gp:) R(s)
(Gp:) D(s)
R(s)
(Gp:) G(s)
(Gp:) Y(s)
(Gp:) D(s)
(Gp:) Filtro
(Gp:) Sistema de lazo abierto
(Gp:) Efecto del disturbio en la
señal Y(s)
Para un disturbio en la entrada
Para un disturbio a la salida
G(s)
D(s)
Y(s)
R(s)
No hay notas aqui
Para Sistema de lazo cerrado
Con Disturbios a la entrada
(Gp:) G(s)
(Gp:) H(s)
(Gp:) R(s)
(Gp:) C(s)
(Gp:) D(s)
(Gp:) La ventaja es que el sistema de lazo cerrado filtra los ruidos a la entrada
(Gp:) G(s)
(Gp:) H(s)
(Gp:) R(s)
(Gp:) C(s)
(Gp:) D(s)
(Gp:) Para |G(s)H(s)| >> 1
(Gp:) Para |G(s)H(s)| >> 1
Examen será el 10 de abril de 2003
Disturbios a la salida
Sensibilidad
Sensibilidad de la señal Y(s) a cambios en el parámetro a
(Gp:) Foto transistor
(Gp:) 0.9
(Gp:) 480nm
(Gp:) ?
(Gp:) Que su control acepte cambios en la planta
(Gp:) G(s)
(Gp:) R(s)
(Gp:) Y(s)=G(s)R(s)
G(s)+?G(s)
R(s)
Y(s)+?Y
Implica que los cambios en el parámetro
se reflejan directamente a la salida.
Sistema de lazo cerrado
(Gp:) G(s)
(Gp:) H(s)
(Gp:) R(s)
(Gp:) C(s)
No entiendo esto
Deseamos determinar la estabilidad a partir de la función de transferencia del sistema
Sea T(s) la función de tansferencia del sistema
donde
Sabemos que el sistema será asintóticamente estable si y solo si todas las raíces de D(s) son iguales a cero
tienen parte real negativa (estan en el lado izquierdo del plano complejo
Suponga que ri i= 1,2, ….. ,n son las n raices de D(s) =0, entonces
D(s) = an(s-r1) (s-r2) ……(s-rn)
D(s) = ansn – an(r1 + r2 +….rn)sn-1 + an(r1r2 + r2r3 +….r1r3+ )sn-2 +……+ (an(-1)n(r1r2rn) = 0
Las partes imaginarias se van a juste
Todos los coeficientes dan positivo cuando todas las raices tienen parte real negativa
Dos condiciones necesarias para que todas las raices de D(s) tengan parte real negativa
que todos los coeficientes de D(s) teengan el mismo signo
que nincun coeficiente sea cero
estas condiciones no son suficientes para garantizar estabilidad sin embargo la podemos
usar como prueba preliminar ya que si alguna no se cumple inmediatamente podemos concluir que el
sistema es inestable. pero si ambas se cumplen no podemos concluir nada con respecto a estabilidad
Contra ejemplo
q(s) satisface la prueba preliminar sin embargo q(s) = (s+2)(s2 – s +4)
donde los polos tienen parte real positiva
Los cambios de signo en la columna izquierda del arreglo R-H indican la cantida
de raices con parte real positiva (en el lado derecho del plano complejo)
Criterio de Routh y Hurwitz
Provee una condición necesaria y suficiente para evaluar la estabilidad de sistemas
Lineales y estacionarios a partir de su polinomio característico. El método está basado en un arreglo de números formado a partir de los coeficientes del polinomio característico.
Tres posibilidades:
Caso1: No hay cambios de signo, No hay fila de ceros, El sistema es estable
Caso2: Hay ceros en la primera columna pero la fila no es totalmente de ceros. Se sustituye el cero por un epsilon y se asume positivo. Luego se busca el limite cuando epsilon tiende a cero por la derecha y se ve que signo tiene epsilon
Caso3: Fila de ceros. Se diferencia la ecuación auxiliar. La ecuación auxiliar es un factor de la ecuación característica
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