Problema 7.3
Para el sistema mostrado ¿qué error podemos esperar para una entrada de 15u(t)
(Gp:) 1/s
(Gp:) 5/(s+1)
(Gp:) 2
(Gp:) s+3
Problema 7.12
Para el sistema encuentre Kp , Kv, y Ka
Encuentre el error en estado estacionario para entrada de 50u(t), 50tu(t), y 50t2u(t)
Diga de que tipo es el sistema
Problema 7.14
Diga que tipo de sistema es este
Problema 7.43
Dado el sistema mostrado haga lo siguiente:
Derive la expresión para el error, E(s) = R(s) – C(s), en términos de R(s) y D(s)
Derive el error en estado estacionario e(inf), si R(s) y D(s) son funciones de salto unitario
Derermine los atributos de G1(s), G2(s) y H(s) necesarios para que el error en estado estacionario
llegue a cero
(Gp:) G1(s)
(Gp:) G2(s)
(Gp:) H(s)
Problema 7.44
Dado el siguiente sistema encuentre la sensitividad de el error en estado estacionario
Debido al parametro a. Asuma que hay una entrada de salto unitario. Grafique la
Sensitividad como función del parametro a.
(Gp:) (s+a)
Problema 7.45
Para el sistema encuentre la sensitividad de el error en estado estacionario para cambios
En K1, y en K2 , cuando K1=100 y K2=0.1. Asuma que las entradas de salto son en la entrada
Y en el distrurbio.
(Gp:) K1
(Gp:) s+1
Reglas para Root locus
Condición angular : hay root locus si los ángulos G(s)H(s) = 180 mas o menos n360
Condición de magnitud: |KG(s)H(s)| = 1
Note que 1 + KG(s)H(s) = 0 se puede escribir de la forma KG(s)H(s) = -1 + j0 = 1ángulo -180+-k360
para valores de k = 1,2,3…………
Root locus comienza en los polos y termina en los ceros X ? 0
Root locus existe a la izquierda de un numero impar de polos y ceros
Root locus es simétrico con respecto al eje real
Regla # 1
Regla # 2
Regla # 3
Regla # 4
Regla # 5
Las asíntotas señalan a los ceros en infinito
todas las asíntotas se intersecan en un punto ,sa y ese punto se encuentra e el eje real
na = número de polos – número de ceros
na = numero de asíntotas o ceros en el infinito
Regla # 6
Para hallar el intercepto con el eje imaginario usamos R-H y hacemos que el sistema sea oscilatorio creando una fila de ceros y buscando la frecuencia de oscilación
La frecuencia de oscilación es el intercepto con el eje imaginario.
Regla # 7
Puntos de ruptura- Es donde el root locus abandona el eje real
A) Pto Ruptura de salida
K es máximo con respecto a S
B) Pto. Ruptura de Entrada
K es mínimo con respecto a S
C) Pto Ruptura de bifurcación
K es un punto de inflexión
Regla # 8
Ángulo de salidad o ángulo de entrada. En el eje el ángulo de salida o entrada de los puntos de ruptura
va a ser igual a 1800 #de polos en el punto de ruptura.
Fuera del eje se usa la condición angular.
Ejemplos de clase
Puntos de ruptura analíticamente:
Root locus es un procedimiento gráfico usado para determinar los polos de un sistema de lazo cerrado.
Gráficamente, el locus es el conjunto de pasos en el plano trazado por los polos de lazo cerrado mientras
se varía la ganancia (K) desde cero hasta infinito.
En términos matemáticos dada una función KG(s) donde K es la ganancia del root locus y la función
de transferencia para lazo cerrado es:
El root locus esta dado por las raíces de 1 +KG(s) = 0 mientras K varía desde cera hasta el infinito.
Mientras los valores de K cambian, las soluciones para la ecuación cambian
La ecuación característica de un sistema está basada en la función de transferencia que sirve de modelo para el sistema. Ella contiene la información necesaria para determinar la respuesta de un sistema dinámico. Solo hay una ecuación característica para un sistema dado
La ganancia del root locus, típicametne llamada K, es la ganancia del
sistema de lazo cerrado. Mientras determinamos el root locus, variamos
la ganancia desde cero hasta el infinito. Notamos que las variaciones
correspondientes en los polos de lazo cerrado determinan el root locus.
Mientras la ganancia se mueve desde cero hasta el infinito, los polos
se mueven desde los forward loop polos hasta los forward loop ceros
o el infinito.
El criterio angular se usa para determinar los ángulos de salida para
las partes del root locus que se encuantran cerca de los polos de lazo
abierto y para saber los ángulos de llegada para las partesd de l root
locus que se encuentran cerca de los ceros de lazo abierto. Cuando
este criterio es utilizado juntamente con el criterio de magnitud, se
puede determinar si un punto en el plano complejo es o no es parte del
root locus
El criterio angular está definido como < KG(s) = -180
Note que se puede usar +180 en vez de -180. El uso de -180 es solo una convención.
Como +180 y -180 son el mismo ángulo, cualquiera produce el mismo resultado. El
criterio angular es el resultado directo de la definición de root locus; es otra
forma para expresar los requisitos del locus. El root locus está definido como el
conjunto de raíces que satisfacen la ecuación característica 1 + KG(s) = 0 o
equivalentemente KG(s) = -1 Tomando la fase de cada lado de la ecuación resulta en
criterio angular.
El criterio de magnitud se usa para determinar las localizaciones de un conjunto
de raíces en el plano complejo para un valor de K dado. Matemáticamente, el
criterio de magnitud es |KG(s)| = 1
El criterio de magnitud es un resultado directo de la definición de root locus;
es otra forma para expresar los requisitos del locus. El root locus se define como
el conjunto de raíces que satisfacen la ecuación característica 1 + KG(s) = 0
o equivalentemente, KG(s) = -1
Tomando la magnitud de cada lado de la ecuación obtenermos el criterio de magnitud
El ángulo de salida es el ángulo al cual en el cual el locus sale de un polo en el
plano complejo. EL ángulo de llegada es el ángulo en el cual el locus llega a un
cero en el plano complejo.
Por convención, ambos tipos de ángulos se miden relativamente a un rayo que comienza
en el origen y se extiende hacia la derecha a través del eje real del plano complejo.
Ambos, ángulo de salida y entrada se encuentran usando el criterio ángular
Los puntos de corte ocurren en el locus donde dos o más loci convergen o divergen.
Los puntos de corte suelen ocurrir en el eje real pero pueden aparecer en cualquier
sitio del plano complejo.
El loci que se acerca/diverge desde un punto de corte lo hace a ángulos que se
encuentran colocados equitativamente con respecto al punto de corte.
Los ángulos a los cuales ellos llegan/salen son una función del número de loci que
se acerga/diverge del punto de corte.
El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz es un método para determinar si un
sistema es on o es estable basado en los coeficientes de la ecuación característica
del sistema. El particularmente de ayda para los sistemas de un orden mayor (grande)
porque no requiere que las expresiones del polinomio sean factorizadas.
La función de transferencia define las relaciones entre las entradas y salidas de
un sistema. La función de transferencia es típicamente escrita en el dominio de
la frecuencia, en vez del dominio del tiempo. La transformada de LaPlace se usa
para representar el dominio del tiempo en el dominio de la frecuencia.
Si x(t) es la entrada a un sistema y y(t) es la salida del sistema, y la transformada
LaPlace de la entrada es X(s) y la transformada de LaPlace de la salida es Y(s),
entonces la función de transferencia entre la entrada y la salida es Y(s)/X(s)
Comenzamos con los polos y ceros del "forward loop". Como el locus representa el
paso de las raíces (específicamente de los polos de lazo cerrado) mientras la ganancia
se varía, comenzamos con la configuración en la cual la ganancia del sistema de lazo
cerrado es igual a cero. Cada locus comienza en el polo de lazo forward y termina
en forward loop cero. Si el sistema tiene más polos que ceros, entonces algunos de
los loci terminan en ceros localizado infinitamente lejos de los polos.
Varias root loci tienen paso en el eje real. La parte del eje real que tiene la
porción del locus es determiado utilizano la siguiente regla:
Si un número impar de polos y ceros existe en un punto que descansa a la derecha del
punto en el cual se descansa en el eje real, entonces es punto corresponde al locus.
Las asíntotas indican a donde los polos van a ir mientras la ganancia se acerca a
infinito. Para sistemas con más polos que ceros, el número de asíntotas es igual
al número de polos menos el número de ceros. En algunos sistemas no hay asíntotas;
cuando el número de polos es igual al número de ceros en cada locus, se termina en un
cero en vez de asintóticamente en el infinito.
Notar que es posible dibujar un root locus para sistemas con más ceros que polos,
pero esos sistemas no representan sistemas físicos. En estos casos uno puede pensar
que algunos de los polos estan colocados en el infinito.
Los puntos de corte existen donde dos o más loci se unen y luego divergen. A pesar
de que los encontramos frecuentemente en el eje real, ellos pueden ocurrir en cualquier
otro sitio del plano complejo.
Cada punto de corte es un punto donde una doble raíz existe para algún valor de K.
Matemáticamente, dado la ecuación de root locus 1 + KG(s) = 0
donde la función de transferencia G(s) consiste de un numerador, A(s), y un denominador
B(s), entonces los puntos de ruptura se pueden determinar de las raíces de:
Si K es real y positivo en un valor de s que satisface la ecuación, entonces el
punto es uno de ruptura.
Siempre habrá un número par de loci alrededor de cualquier punto de ruptura;
para cada locus que entra el locus, deberá haber uno que sale.
El criterio angular determina cuál es la dirección del movimiento de las raíces
mientras se cambia la ganancia desde cero hasta el infinito
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