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Interpolación lineal y polinomios de Newton

Enviado por Pablo Turmero





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Interpolación Lineal La Interpolación lineal es la forma más simple de interpolación; pues esta consiste en conectar dos puntos con una línea recta.

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El método se observa de la siguiente manera: Usando triángulos semejantes:

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Partiendo de: Despejando: Obtenemos:

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En general: La notación f(X) indica que se trata de un polinomio de interpolación de primer orden Además de representar la pendiente de la línea que conecta los dos puntos, el término [f(X1) - f(X0)] / (X1 – X0) es una aproximación de diferencias divididas finitas a la primera derivada

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Ejemplo? 1:?? ??? Calcúlese el logaritmo natural de 2 (ln 2) usando interpolación lineal. Primero, llévese a cabo los cálculos interpolando entre ln 1 = 0 y ln 6 = 1.7917595. Después repítase el procedimiento, pero usando un intervalo más pequeño desde: ln 1 = 0 a ln 4 = 1.3862944. Nótese que el valor real de ln2 = 0. 69314718

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SubSolución:   Evaluando la fórmula de interpolación lineal (3) de X = 1 a X = 6 da:     La cual representa un error porcentual de e% = 48.3 %. Usando el intervalo más pequeño desde X = 1 a X = 4 da:     Utilizando el intervalo más pequeño se reduce el error relativo porcentual a e% = 33.3%.

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¿Cuándo falla el método de interpolación lineal? Cuando la derivada es horizontal en un punto. Además, el valor de la segunda derivada es muy grande.

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Ejemplo? 2:?? ??? Estime el logaritmo base 10 de 5 (log 5): Primero, llévese a cabo los cálculos interpolando entre log 4 = 0.60206 y log 6 = 0.7781513. Después repítase el procedimiento, pero usando un intervalo más pequeño desde: log 4.5= 0.6532125 a log 5.5 = 07403627. Nótese que el valor real de log 5 = 0. 6989700043

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Solución:   Evaluando la fórmula de interpolación lineal de X = 4 a X = 6 da:    La cual representa un error porcentual de e% = 1.268 %. Usando el intervalo más pequeño desde X = 4.5 a X = 5.5 da:   Utilizando el intervalo más pequeño se reduce el error relativo porcentual a e% = 0.31223%.

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Polinomios de Interpolación de Newton La estrategia de este método consiste en mejorar la estimación introduciendo curvatura a la línea de unión de puntos. Para generalizar, se utiliza el polinomio de grado n para diferencias divididas de newton como: fn (x) = b0 + b1 ( x – x0) + b2 ( x– x0 ) ( x – x1 ) + ... + bn ( x - x0 ) ( x – x1 ) ( x – x2 )… ( x - xn-1).

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Donde los coeficientes se obtienen utilizando los (n+1) puntos requeridos de la siguiente forma:

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Donde las evaluaciones de la función colocadas entre paréntesis son diferencias divididas finitas. Por ejemplo: 1. f [ xi, xj] = f(xi) - f(xj) xi – xj 2. f [ xi, xj , xk] = f [xi, xj ] - f [ xj, xk ] xi - xk

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En general, la n-ésima diferencia dividida finita es: f[xn, xn-1, xn-2, x1, x0] = f[xn, xn-1, xn-2, x1] - f[xn-1, xn-2,x1,x0] xn – x0

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SubPara concluir la secuencia anterior se llega a:

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Ejemplo 1: Usando la siguiente tabla de datos, calcúlese ln 2 con un polinomio de interpolación de Newton con diferencias divididas de tercer orden.

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Solución: Primero debemos recordar que el polinomio con n = 3, es:

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Las primeras diferencias divididas del problema son:

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Las segundas diferencias divididas son:

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La tercera diferencia dividida es:

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Los resultados para f(x1, x0), f(x2, x1, x0) y f(x3, x2, x1, x0) representan los coeficientes b1, b2 y b3 Junto con b0 = f (x0) = 0.0, la ecuación da: f3 (x) = 0 + 0.46209813 (x - 1) - 0.0518731 (x - 1) (x - 4) + 0.0078655415 (x - 1) (x - 4) (x - 6) Con la ecuación anterior se puede evaluar para x=2, f3(2) = 0.62876869, lo que representa un error del ea % = 9.3%.

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Ejemplo 2: Usando la siguiente tabla de datos, calcúlese log 5 con un polinomio de interpolación de Newton de tercer grado:

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Solución: Nuevamente debemos recordar que el polinomio con n = 3, es:

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Las primeras diferencias divididas del problema son: A continuación se facilitará la tabla con las diferencias divididas

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Las segundas diferencias divididas son:

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La tercera diferencia dividida es:

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Los resultados para f(x1, x0), f(x2, x1, x0) y f(x3, x2, x1, x0) representan los coeficientes b1, b2 y b3 Junto con b0 = f (x0) = 0.0, la ecuación da: f3 (x) = 0.60602 + 0.094385 (x - 4) - 0.0048232(x – 4) (x – 4.5) -0.001446065 (x - 4) (x –4.5) (x – 5.5) Con la ecuación anterior se puede evaluar para x=5, f3(5) = 0.6983549163, lo que representa un error del ea % = 0.087999%.

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