Interpolación Lineal
La Interpolación lineal es la forma más simple de interpolación; pues esta consiste en conectar dos puntos con una línea recta.
El método se observa de la siguiente manera:
Usando triángulos
semejantes:
Partiendo de:
Despejando:
Obtenemos:
En general:
La notación f(X) indica que se trata de un polinomio de interpolación de primer orden
Además de representar la pendiente de la línea que conecta los dos puntos, el término [f(X1) – f(X0)] / (X1 – X0) es una aproximación de diferencias divididas finitas a la primera derivada
Ejemplo? 1:??
???
Calcúlese el logaritmo natural de 2 (ln 2) usando interpolación lineal.
Primero, llévese a cabo los cálculos interpolando entre ln 1 = 0 y ln 6 = 1.7917595.
Después repítase el procedimiento, pero usando un intervalo más pequeño desde:
ln 1 = 0 a ln 4 = 1.3862944.
Nótese que el valor real de ln2 = 0. 69314718
SubSolución:
Evaluando la fórmula de interpolación lineal (3) de X = 1 a X = 6 da:
La cual representa un error porcentual de e% = 48.3 %. Usando el intervalo más pequeño desde X = 1 a X = 4 da:
Utilizando el intervalo más pequeño se reduce el error relativo porcentual a e% = 33.3%.
¿Cuándo falla el método de interpolación lineal?
Cuando la derivada es horizontal en un punto. Además, el valor de la segunda derivada es muy grande.
Ejemplo? 2:??
???
Estime el logaritmo base 10 de 5 (log 5):
Primero, llévese a cabo los cálculos interpolando entre log 4 = 0.60206 y log 6 = 0.7781513.
Después repítase el procedimiento, pero usando un intervalo más pequeño desde:
log 4.5= 0.6532125 a log 5.5 = 07403627.
Nótese que el valor real de log 5 = 0. 6989700043
Solución:
Evaluando la fórmula de interpolación lineal de X = 4 a X = 6 da:
La cual representa un error porcentual de e% = 1.268 %. Usando el intervalo más pequeño desde X = 4.5 a X = 5.5 da:
Utilizando el intervalo más pequeño se reduce el error relativo porcentual a e% = 0.31223%.
Polinomios de Interpolación
de Newton
La estrategia de este método consiste en mejorar la estimación introduciendo curvatura a la línea de unión de puntos.
Para generalizar, se utiliza el polinomio de grado n para diferencias divididas de newton como:
fn (x) = b0 + b1 ( x – x0) + b2 ( x– x0 ) ( x – x1 ) + … + bn ( x – x0 ) ( x – x1 ) ( x – x2 )… ( x – xn-1).
Donde los coeficientes se obtienen utilizando los (n+1) puntos requeridos de la siguiente forma:
Donde las evaluaciones de la función colocadas entre paréntesis son diferencias divididas finitas. Por ejemplo:
1. f [ xi, xj] = f(xi) – f(xj)
xi – xj
2.
f [ xi, xj , xk] = f [xi, xj ] – f [ xj, xk ]
xi – xk
En general, la n-ésima diferencia
dividida finita es:
f[xn, xn-1, xn-2, x1, x0] = f[xn, xn-1, xn-2, x1] – f[xn-1, xn-2,x1,x0]
xn – x0
SubPara concluir la secuencia anterior se llega a:
Ejemplo 1:
Usando la siguiente tabla de datos, calcúlese ln 2 con un polinomio de interpolación de Newton con diferencias divididas de tercer orden.
Solución:
Primero debemos recordar que el polinomio con
n = 3, es:
Las primeras diferencias divididas del problema son:
Las segundas diferencias divididas son:
La tercera diferencia dividida es:
Los resultados para f(x1, x0), f(x2, x1, x0) y f(x3, x2, x1, x0) representan los coeficientes b1, b2 y b3 Junto con b0 = f (x0) = 0.0, la ecuación da:
f3 (x) = 0 + 0.46209813 (x – 1) – 0.0518731 (x – 1) (x – 4) + 0.0078655415 (x – 1) (x – 4) (x – 6)
Con la ecuación anterior se puede evaluar para x=2,
f3(2) = 0.62876869, lo que representa un error del
ea % = 9.3%.
Ejemplo 2:
Usando la siguiente tabla de datos, calcúlese log 5 con un polinomio de interpolación de Newton de tercer grado:
Solución:
Nuevamente debemos recordar que el polinomio con n = 3, es:
Las primeras diferencias divididas del problema son:
A continuación se facilitará la tabla con las diferencias divididas
Las segundas diferencias divididas son:
La tercera diferencia dividida es:
Los resultados para f(x1, x0), f(x2, x1, x0) y f(x3, x2, x1, x0) representan los coeficientes b1, b2 y b3 Junto con b0 = f (x0) = 0.0, la ecuación da:
f3 (x) = 0.60602 + 0.094385 (x – 4) – 0.0048232(x – 4) (x – 4.5)
-0.001446065 (x – 4) (x –4.5) (x – 5.5)
Con la ecuación anterior se puede evaluar para x=5,
f3(5) = 0.6983549163, lo que representa un error del
ea % = 0.087999%.