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Interpolación y ajustes de funciones

Enviado por Pablo Turmero





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Un problema de Aproximación Evolución de la temperatura diurna (Gp:) 4 (Gp:) 8 (Gp:) 20 (Gp:) 6 (Gp:) 8 (Gp:) 10 (Gp:) 12 (Gp:) 14 (Gp:) 16 (Gp:) 18 (Gp:) 20 (Gp:) 22 (Gp:) 6 (Gp:) 10 (Gp:) 12 (Gp:) 14 (Gp:) 16 (Gp:) 18 (Gp:) 22 (Gp:) Hora (Gp:) Grados

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Interpolacion Interpolación Polinomial Polinomios Osculadores: Interpolación de Hermite Interpolación Racional: Aproximaciones de Pade Interpolación segmentaria: Splines Otros

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Ajuste Polinomios de Taylor Mínimos Cuadrados Minimización de normas Aproximación Racional Series de Fourier Curvas de Bezier B-Splines

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Splines

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Interpolación Polinómica Segmentaria Limitaciones de la interpolación polinómica Grado del polinomio Carácter de la función a interpolar Alternativa propuesta: Splines. Numéricamente estable Matrices dispersas Agradable a la vista

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Interpolación Polinomica Segmentaria: Splines Interpolación Segmentaria Interpolación Segmentaria Lineal Interpolación Segmentaria Cúbica Condiciones Naturales Condiciones sobre la derivada

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Interpolación Segmentaria Lineal: Función de Runge -1 0 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Spline lineal -1 0 1 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Polinomio grado 4

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Perfil para un diseño Polinomio interpolador

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Aplicaciones Ingeniería y Diseño (CAD/CAM, CNC’s) Geología Aeronáutica y automoción Economía Procesamiento de señales e imágenes (Reconocimiento de patrones, recuperación de imágenes) Robótica Medicina (Aparatos auditivos, mapas cerebrales) Meteorología (Mapas climáticos, detección de inundaciones,...) Mundo Virtual Distribuido Multiusuario

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Interpolación Polinómica Segmentaria

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Splines Lineales Polinomio de Lagrange Polinomio de Newton

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Splines Lineales ¿Cómo calculamos Splines lineales con Matlab?

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Interpolación Segmentaria Lineal: Función de Runge -1 0 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Spline lineal -1 0 1 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Polinomio grado 4

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Splines Cúbicos Spline cúbico 4n incógnitas Condiciones de interpolación n+1 ecuaciones Condiciones de conexión 3(n-1) ecuaciones

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(Gp:) h (Gp:) a (Gp:) a (Gp:) h (Gp:) a (Gp:) a (Gp:) k (Gp:) k (Gp:) k (Gp:) k (Gp:) k (Gp:) k (Gp:) + (Gp:) - (Gp:) - (Gp:) = (Gp:) - (Gp:) - (Gp:) - (Gp:) 1 (Gp:) 1 (Gp:) 1 (Gp:) 3 (Gp:) 3 (Gp:) ( (Gp:) ) (Gp:) ( (Gp:) ) (Gp:) h (Gp:) c (Gp:) h (Gp:) h (Gp:) c (Gp:) h (Gp:) c (Gp:) k (Gp:) k (Gp:) k (Gp:) k (Gp:) k (Gp:) k (Gp:) k (Gp:) - (Gp:) - (Gp:) - (Gp:) + (Gp:) + (Gp:) + (Gp:) + (Gp:) 1 (Gp:) 1 (Gp:) 1 (Gp:) 1 (Gp:) 2 (Gp:) ( (Gp:) ) (Gp:) = n-1 ecuaciones y n+1 incógnitas

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Ejemplo de la temperatura 5 10 15 20 6 8 10 12 14 16 18 20 22 Hora Grados Spline cúbico 5 10 15 20 6 8 10 12 14 16 18 20 22 Hora Grados Polinomio interpolador

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Condiciones sobre la derivada

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Splines Cúbicos ¿Cómo calculamos Splines cúbicos con Matlab?

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Interpolación segmentaria con MATLAB Interpolación segmentaria cúbica ps = spline(x,y) % Devuelve el Spline, no los coeficientes [x,s] = unmkpp(ps) % Devuelve los coeficientes ps = mkpp(x,s) syy = spline(x,y,xx) = ppval(ps,xx) Interpolación segmentaria lineal lyy = interp1(x,y,xx)

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(Gp:) -1 (Gp:) 0 (Gp:) 1 (Gp:) 0 (Gp:) 0.5 (Gp:) 1 (Gp:) Spline Natural (Gp:) -1 (Gp:) 0 (Gp:) 1 (Gp:) 0 (Gp:) 0.5 (Gp:) 1 (Gp:) Spline Derivada (Gp:) -1 (Gp:) 0 (Gp:) 1 (Gp:) 0 (Gp:) 0.5 (Gp:) 1 (Gp:) Interpolación Lineal (Gp:) -1 (Gp:) 0 (Gp:) 1 (Gp:) 0 (Gp:) 0.5 (Gp:) 1 (Gp:) Spline de MATLAB

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