MUESTREO
Teorema del muestreo: se puede reconstruir una señal analógica a partir de sus valores instantáneos (muestras) equies-
paciados. A partir de estos valores existen ? señales que pasan por esos puntos, pero si la señal original es de banda
limitada (?) y las muestras son tomadas los suficientemente cercanas (?), entonces hay una sóla señal que se puede
extrapolar de esas muestras (se determina unívocamente).
MUESTREO IDEAL
(Gp:) s(t) es un tren de impulsos de período Ts (intervalo de muesteo)
(Gp:) -2Ts
(Gp:) -Ts
(Gp:) 0
(Gp:) Ts
(Gp:) 2Ts
(Gp:) 0
(Gp:) 0.5
(Gp:) 1
(Gp:) 1.5
(Gp:) tiempo
(Gp:) p(t)
(Gp:) xs(t) = x(t) · s(t) ?
(Gp:) ?s = 2?/Ts = 2?fs ?
(Gp:) La señal x(t) es multiplicada por la función de muestreo s(t), obteniendo los valores muestra xs(t) ?
(Gp:) x(t)
(Gp:) xs(t)
(Gp:) s(t)
(Gp:) X(?)
(Gp:) S(?)
(Gp:) Xs(?)
(Gp:) Xs(?)
MUESTREO
Teorema del muestreo: se puede reconstruir una señal analógica a partir de sus valores instantáneos (muestras) equies-
paciados. A partir de estos valores existen ? señales que pasan por esos puntos, pero si la señal original es de banda
limitada (?) y las muestras son tomadas los suficientemente cercanas (?), entonces hay una sóla señal que se puede
extrapolar de esas muestras (se determina unívocamente).
si ?s < 2?m existe solapamiento (ALIASING). Si ?s ?? 2?m se puede recuperar X(?) con un LPF ideal de ganancia Ts
MUESTREO IDEAL
(Gp:) s(t) es un tren de impulsos de período Ts (intervalo de muesteo)
(Gp:) -2Ts
(Gp:) -Ts
(Gp:) 0
(Gp:) Ts
(Gp:) 2Ts
(Gp:) 0
(Gp:) 0.5
(Gp:) 1
(Gp:) 1.5
(Gp:) tiempo
(Gp:) p(t)
(Gp:) xs(t) = x(t) · s(t) ?
(Gp:) ?s = 2?/Ts = 2?fs ?
(Gp:) fs = frecuencia de Nyquist
(Gp:) La señal x(t) es multiplicada por la función de muestreo s(t), obteniendo los valores muestra xs(t) ?
(Gp:) x(t)
(Gp:) xs(t)
(Gp:) s(t)
(Gp:) X(?)
(Gp:) S(?)
(Gp:) Xs(?)
(Gp:) Xs(?)
MUESTREO
Teorema del muestreo: se puede reconstruir una señal analógica a partir de sus valores instantáneos (muestras) equies-
paciados. A partir de estos valores existen ? señales que pasan por esos puntos, pero si la señal original es de banda
limitada (?) y las muestras son tomadas los suficientemente cercanas (?), entonces hay una sóla señal que se puede
extrapolar de esas muestras (se determina unívocamente).
si ?s < 2?m existe solapamiento (ALIASING). Si ?s ?? 2?m se puede recuperar X(?) con un LPF ideal de ganancia Ts
MUESTREO IDEAL
Teorema de Nyquist: si una señal de banda limitada es muestreada a una frecuencia de
por lo menos el doble de su máxima componente, ENTONCES es posible recuperarla
unívocamente (a partir de sus puntos muestra) con un filtro pasabajos ideal.
(Gp:) s(t) es un tren de impulsos de período Ts (intervalo de muesteo)
(Gp:) -2Ts
(Gp:) -Ts
(Gp:) 0
(Gp:) Ts
(Gp:) 2Ts
(Gp:) 0
(Gp:) 0.5
(Gp:) 1
(Gp:) 1.5
(Gp:) tiempo
(Gp:) p(t)
(Gp:) xs(t) = x(t) · s(t) ?
(Gp:) ?s = 2?/Ts = 2?fs ?
(Gp:) fs = frecuencia de Nyquist
(Gp:) La señal x(t) es multiplicada por la función de muestreo s(t), obteniendo los valores muestra xs(t) ?
(Gp:) x(t)
(Gp:) xs(t)
(Gp:) s(t)
MUESTREO PRACTICO
Pulsos: en general se emplea la técnica de muestreo y retención (Sample and Hold ? S&H) ? Retenedor Orden Cero
P(f) ‘pesa’al espectro de la señal muestreada y lo distorsiona en las frecuencias superiores ? efecto de apertura. Si el
efecto es muy grande se puede corregir por medio de un filtro ecualizador Heq(f) = 1/P(f) (si 1/t >> W no es necesario).
La onda muestreadora está formada por pulsos que tienen amplitud y duración finitas.
Los mensajes son limitados en tiempo ? no pueden ser limitados en banda.
Los filtros de reconstrucción prácticos difieren de los ideales (banda o zona de transición).
(Gp:) x[t]
(Gp:) ROC
(Gp:) xp[t]
(Gp:) x(t)
(Gp:) xs(t)
(Gp:) s(t)
(Gp:) xp(t)
(Gp:) p(t)
(Gp:) Ts t
(Gp:) 1
(Gp:) X(?)
(Gp:) Xp(?)
(Gp:) Xs(?)
(Gp:) P(?)
(Gp:) Para el ROC:
(Gp:) p(t)
(Gp:) Ts t
(Gp:) 1
(Gp:) 1
(Gp:) ?
(Gp:) ?s /2
(Gp:) -?s /2
(Gp:) Heq(?)
MUESTREO PRACTICO
Pulsos: en general se emplea la técnica de muestreo y retención (Sample and Hold ? S&H) ? Retenedor Orden Cero
Filtros de reconstrucción reales: se recurre al empleo de bandas de seguridad ? incrementar ?s
P(f) ‘pesa’al espectro de la señal muestreada y lo distorsiona en las frecuencias superiores ? efecto de apertura. Si el
efecto es muy grande se puede corregir por medio de un filtro ecualizador Heq(f) = 1/P(f) (si 1/t >> W no es necesario).
La onda muestreadora está formada por pulsos que tienen amplitud y duración finitas.
Los mensajes son limitados en tiempo ? no pueden ser limitados en banda.
Los filtros de reconstrucción prácticos difieren de los ideales (banda o zona de transición).
Señal NO limitada en banda: se debe asegurar que la señal no tenga componentes superiores a ?s/2 ? se aplica un
filtro pasabajos en la entrada ? Filtro anti-aliasing (es el peor inconveniente porque modifica la información).
(Gp:) x[t]
(Gp:) ROC
(Gp:) xp[t]
(Gp:) x(t)
(Gp:) xs(t)
(Gp:) s(t)
(Gp:) xp(t)
(Gp:) p(t)
(Gp:) Ts t
(Gp:) 1
Submuestreo
Sea la señal x(t) = cos(?0t)
muestreada a ?S constante
(?S < 2?0). Se analiza que
sucede a medida que ?0?
(Gp:) Para ?0 > ?S/2 se produce el
traslape y la frecuencia original
original asume la identidad de
una frecuencia inferior (?S – ?0).
(Gp:) Para ?S/2 < ?0 < ?S , a medida
que ?0? la frecuencia de salida
(?S-?0)? ? efecto estroboscópico
(uso: osciloscopio de muestreo,
voltímetro vectorial).
INTERPOLACION
Interpolación ? reconstrucción (aproximada ó exacta) de una función a partir de sus muestras.
(Gp:) 600
(Gp:) 700
(Gp:) 800
(Gp:) 900
(Gp:) 1000
(Gp:) 1100
(Gp:) 1200
(Gp:) 1300
(Gp:) 1400
(Gp:) -1
(Gp:) -0.5
(Gp:) 0
(Gp:) 0.5
(Gp:) 1
(Gp:) Señal muestreada
(Gp:) tiempo
(Gp:) Amplitud
(Gp:) Retenedor de Orden Cero:
retiene el valor de la muestra
hasta la próxima. Es el más
simple.
(Gp:) 600
(Gp:) 700
(Gp:) 800
(Gp:) 900
(Gp:) 1000
(Gp:) 1100
(Gp:) 1200
(Gp:) 1300
(Gp:) 1400
(Gp:) -1
(Gp:) -0.5
(Gp:) 0
(Gp:) 0.5
(Gp:) 1
(Gp:) Interpolación Orden Cero
(Gp:) tiempo
(Gp:) Amplitud
(Gp:) 600
(Gp:) 700
(Gp:) 800
(Gp:) 900
(Gp:) 1000
(Gp:) 1100
(Gp:) 1200
(Gp:) 1300
(Gp:) 1400
(Gp:) -1
(Gp:) -0.5
(Gp:) 0
(Gp:) 0.5
(Gp:) 1
(Gp:) Interpolación Primer Orden
(Gp:) tiempo
(Gp:) Amplitud
(Gp:) Interpolación Lineal: los
puntos adyacentes se conectan
con una línea recta.
Interpolación de mayor Orden:
los puntos se unen mediante
polinomios de grado mayor u
otras funciones matemáticas.
(Gp:) 600
(Gp:) 700
(Gp:) 800
(Gp:) 900
(Gp:) 1000
(Gp:) 1100
(Gp:) 1200
(Gp:) 1300
(Gp:) 1400
(Gp:) -1
(Gp:) -0.5
(Gp:) 0
(Gp:) 0.5
(Gp:) 1
(Gp:) Interpolación Sinc
(Gp:) tiempo
(Gp:) Amplitud
(Gp:) Interpolación Sinc: cada muestra
corresponde al peso de una sinc
centrada en el instante de muestreo,
y los valores intermedios se otienen sumando las contribuciones de cada una de estas funciones.
INTERPOLACION SINC
(Gp:) Xs(?)
(Gp:) Xr(?)
(Gp:) H(?)
(Gp:) Para reconstruir espectralmente la señal se emplea un LPF ideal
? Xr(f) = Xs(f)·H(f) con H(f) = rect [f /( 2fc)] y fc = fs/2
(Gp:) considerando fc = fs/2:
(Gp:) -0.5
(Gp:) 0
(Gp:) 0.5
(Gp:) 1
(Gp:) tiempo
CALCULO DE LA INTERPOLACION SINC
Cantidad de muestras por ciclo de la máxima componente de la señal ? n_muestras
Cantidad de valores a intercalar entre dos valores muestra consecutivos ? n_puntos
Cantidad de muestras a considerar como “historia” (valores pasados y futuros) de la señal ? n_historia
(Gp:) Para la implementación de la expresión deben fijarse parámetros para sustiruir la variable
contínua t por su equivalente discreta:
Comparando con los osciloscopios comerciales, se obtienen valores de: n_muestras = 2.5 ~ 4 y n_historia = 10. Para
n_puntos se considera que en la pantalla del instrumento siempre deben presentarse 500 puntos para cualquier ajuste de
la Base de Tiempo. El TDS320 (fs = 500 Ms/s) tiene una velocidad de barrido máxima de 5 ns/div, por lo que tendría que
muestrear a (5 ns/50 muestras) = 0.1 ns/s (10 Gs/s !) ? deben generarse 20 puntos entre muestras reales.
En el caso del TDS220 (fs = 1 Gs/s), para 5 ns/div se interpolan 10 nuevos valores entre valores adquiridos.
(Gp:) Cada intervalo de muestreo debe dividirse en (n_puntos + 1) intervalos:
(Gp:) Ts = (n_puntos+1)·?t
(Gp:) x
(Gp:) •
(Gp:) •
(Gp:) •
(Gp:) x
(Gp:) •
(Gp:) ?t
(Gp:) Ts
(Gp:) Reemplazando t por k·?t (1 ? k ? n_puntos):
(Gp:) Debe agregarse otro índice para el desplazamiento
dentro del registro de valores adquiridos (j) ?
CAMBIO DE LA FRECUENCIA DE MUESTREO
Ejemplo: si ?s = 4 ?max , el máximo diezmado para no tener solapamiento es M = 2
(Gp:) La señal de tiempo contínuo xc(t) puede representarse por una secuencia x[n] = xc[nTs]. Se quiere cambiar fs obteniendo
una nueva secuencia x’[n] = xc[nTs’]. El método indirecto sería: (complejo!!)
(Gp:) x[n] xc(t) x’[n]
fs fs’
(Gp:) DAC +
Filtro Interp.
(Gp:) ADC
DIEZMADO por un factor entero: se disminuye la frecuencia de muestreo (“muestreándola” cada M valores).
xd[n] = x[nM] = xc[nMTs] ? compresor de frecuencia de muestreo
? xd[n] es la que se obtendría muestreando xc(t) con período Ts’= M·Ts
(Gp:) x[n] xd[n]
Ts Ts’= M·Ts
(Gp:) ?M
(Gp:) Recordando el espectro X(?) de la secuencia x[n] (valores muestra):
(Gp:) análogamente puede escribirse el espectro Xd(?) para xd[n] :
para que no exista solapamiento (?s/M) ? ?max ? la frecuencia de Nyquist original debe ser M veces mayor !!
Si se quiere utilizar un M superior habrá que garantizar
que la señal no tenga un contenido espectral mayor que
?s/M mediante el empleo de un filtro pasabajos digital .
(Gp:) Diezmado con M = 2.
Se verifica que no existe
solapamiento.
(Gp:) x[n]
Ts Ts Ts’= M·T
(Gp:) ?M
(Gp:) LPF
G =1
?c=?/M
(Gp:) Sistema para reducir la frecuencia de muestreo en M
(Gp:) Diezmado con M = 3.
Aparece solapamiento.
(Gp:) Diezmado con M = 3 y
filtrado previo para evitar
el solapamiento.
? La Transformada de Fourier de la salida del expansor es una versión escalada en frecuencia de la T.F. de la entrada.
(Gp:) INTERPOLACION por un factor entero: se aumenta la frecuencia de muestreo (insertando L valores entre muestras).
los valores intermedios se generan mediante una función de reconstrucción ? LPF de ganancia L y ?c = ?/L
(Gp:) El análisis en el dominio de la frecuencia se realiza mediante el cálculo de la Transformada de Fourier (TF), definida por:
(Gp:) ?
(Gp:) x[n] xe[n] xi[n]
Ts Ts’= Ts/L Ts’= Ts/L
(Gp:) ?L
(Gp:) LPF
G =L
?c=?/L
(Gp:) Sistema para incrementar la frecuencia de muestreo en L
(Gp:) xi[n] = x[n/L] = xc[nTs/L] ? expansor de frecuencia demuestreo
(Gp:) La fórmula de interpolación para xi[n] en función de x[n] es:
(Gp:) En algunos casos se pueden utilizar funciones más simples, como la lineal:
Interpolación en el dominio de la frecuencia
CAMBIO DE LA FRECUENCIA DE MUESTREO POR UN FACTOR NO ENTERO
Es una combinación de las técnicas de diezmado e interpolación.
Funciones utilizadas en Matlab®:
DECIMATE: Resample data at a lower rate after lowpass filtering.
INTERP: Resample data at a higher rate using lowpass interpolation
RESAMPLE: Change the sampling rate of a signal.
(Gp:) ?L
(Gp:) LPF
G =L
?c=?/L
(Gp:) ?M
(Gp:) LPF
G =1
?c=?/M
(Gp:) xc[n]
(Gp:) Interpolador
(Gp:) x[n]
(Gp:) xi[n]
(Gp:) Ts
(Gp:) Ts/L
(Gp:) TsM/L
(Gp:) Ts/L
(Gp:) Ts/L
(Gp:) Diezmador
(Gp:) Ts
(Gp:) LPF
G =L
?c=min(?/L, ?/M)
(Gp:) ?L
(Gp:) ?M
(Gp:) x[n]
(Gp:) TsM/L