(Gp:) Realce de la imagen en el dominio de la frecuencia
Antecedentes.
b) Introducción a la transformada de Fourier y al dominio de la frecuencia.
c) Filtros de suavizamiento en el dominio de la frecuencia.
d) Filtros de realce en el dominio de la frecuencia.
e) Notas para la implementación.
Filtros de suavizamiento en el dominio de la frecuencia
Como se ha indicado con anterioridad los bordes y otras transiciones abruptas en los niveles de gris (como el ruido) de una imagen contribuyen significativamente a los componentes de altas frecuencias de su transformada de Fourier. Por lo tanto el suavizamiento (emborronamiento) en el dominio de la frecuencia se lleva a cabo eliminando los componentes de altas frecuencias de la transformada dada. El modelo básico es:
F(u,v) es la transformada de Fourier de la imagen, y H(u,v) es el filtro paso-bajas.
Filtro paso-bajas ideal
El filtro paso-bajas más simple es aquel que “corta” todas aquellas componentes de alta frecuencia de la transformada de Fourier que están por arriba de una distancia D0 del origen (centro) de la transformada. A este tipo de filtro se le llama filtro ideal paso-bajas y está definido por la siguiente función de transferencia:
Donde D0 especifica una cantidad no negativa, y D(u,v) es la distancia del punto (u,v) al centro de la transformada.
Filtro paso-bajas ideal
Si la imagen en cuestión es de tamaño M x N, sabemos que su transformada es del mismo tamaño, y su centro está en (u,v)=(M/2,N/2) debido a que la transformada ha sido centrada. En este caso la distancia de cualquier punto (u,v) al centro (origen) de la transformada de Fourier está dada por:
Filtro paso-bajas ideal
El filtro ideal indica que todas las frecuencia dentro del círculo de radio D0 pasan sin atenuación, mientras todas las frecuencias fuera del círculo se eliminan por completo. Como estamos considerando filtros simétricos y circulares, este filtro se define con la función de transferencia de (c) rotada 360° respecto al origen.
Filtro paso-bajas ideal
En un filtro ideal al punto de transición entre H(u,v)=1 y H(u,v)=0 se le llama frecuencia de corte (D0). Este tipo de cortes no pueden llevarse a cabo en la vida real con componentes electrónicos.
Una manera de establecer la localización de la frecuencia de corte es establecer círculos que comprendan cantidades específicas de potencia total de la imagen PT .
Filtro paso-bajas ideal
Esta cantidad se obtiene sumando los componentes del espectro de potencia en cada punto (u,v) para u=0, 1, 2, …, M-1 y v=0, 1, 2, …, N-1, esto es:
Si la transformada está centrada, un círculo de radio r con el origen en el centro de la transformada, éste encierra un porcentaje ? del espectro de potencia, donde:
Filtro paso-bajas ideal
El espectro de Fourier de esta imagen muestra círculos superimpuestos que corresponden a radios de: 5, 15, 30, 80 y 230 pixeles. Esto círculos encierran un porcentaje ? de 92.0, 94.5, 96.4, 98.0 y 99.5%, respectivamente.
Filtro paso-bajas ideal
Al aplicar los círculos definidos en la figura anterior:
Imagen original.
Demasiado borrosa, esto indica que la mayoría de la información de la imagen se encuentra contenida en el 8% del espectro de potencia.
Del (c) al (e): Se ve un efecto de anillo que e vuelve más fino en textura conforme se eliminan frecuencias altas. Este efecto anillo es típico de filtros ideales.
f) Esta imagen es muy parecida a la original, poca info. contenida 0.5%
Filtro paso-bajas ideal
El emborronamiento y el efecto de anillo del filtro ideal se pueden explicar con referencia al teorema de convolución. La transformada de Fourier de la imagen original f(x,y) y la imagen emborronada g(x,y) se relacionan en el espacio de la frecuencia con la ecuación:
El teorema de convolución nos dice que el proceso correspondiente en el dominio espacial es:
donde h(x,y) es la transformada de Fourier inversa de H(u,v)
Filtro paso-bajas ideal
La clave para entender el emborronamiento como un proceso de convolución en el dominio espacial recae en la naturaleza de h(x,y). Por ejemplo, el filtro ideal de radio 5 que causó tanto emborronamiento visto en el ejemplo anterior se muestra en la siguiente figura:
Filtro paso-bajas ideal
Filtro H(u,v)
Mismo filtro en el espacio de la imagen h(x,y). El componente central es el responsable del filtrado, los componentes radiales son responsables del efecto de anillo del filtro ideal.
Imagen de 5 puntos en el dominio espacial (son como funciones impulso).
Convolución de b) con c) (dominio espacial) tiene el efecto como si copiaramos 5 veces el filtro h(x,y). Esto muestra el efecto del emborronamiento de los 5 puntos usando h(x,y). También aquí se nota el efecto anillo, con interferencia entre ellos.
Filtro paso-bajas Butterworth
La función de transferencia de un filtro paso-bajas Butterworth de orden n, y con una frecuencia de corte a una distancia D0 del origen, está definido como:
donde D(u,v) es la función de distancia definida con anterioridad.
Filtro paso-bajas Butterworth
A diferencia del filtro ideal, el filtro Butterworth no tienen una discontinudad abrupta que establezca una frecuencia de corte clara entre frecuencias que pasan y frecuencias que se filtran. Para filtros con funciones de transferencia suaves se acostrumbra poner la frecuencia de corte en puntos donde H(u,v) está por debajo de cierta fracción de su valor máximo. En el caso de la ecuación anterior H(u,v)=0.5 (50% por debajo de su valor máximo 1) cuando D(u,v)=D0 .
Filtro paso-bajas Butterworth
En este ejemplo se aplica un filtro Butterworth con n=2 y D0 igual a un radio de 5, como el mostrado en la figura del ejemplo anterior con esta misma imagen. A diferencia de ese ejemplo, con el filtro Butterworth tenemos una transición de emborronamiento más suave en función del incremento de la frecuencia de corte. Además el efecto de anillo no es visible en ninguna de las imágenes procesadas, este hecho es atribuído a esta transición suave entre frecuencias bajas y altas.
Filtro paso-bajas Butterworth
Un filtro Butterworth de orden 1 no tiene anillos. Los anillos no son generalmente perceptibles en filtros de orden 2, pero pueden convertirse en factores significativos en filtros de ordenes mayores. La siguiente figura muestra un ejemplo de filtros Butterworth en el dominio espacial con ordenes de 1, 2, 5 y 20 utilizando una frecuencia de corte de 5 pixeles.
Un filtro Butterworth de orden 2 es generalmente un buen compromiso entre un filtrado paso-bajos efectivo y una característica de anillos aceptable.
(Gp:) 4. Realce de la imagen en el dominio de la frecuencia
Antecedentes.
b) Introducción a la transformada de Fourier y al dominio de la frecuencia.
c) Filtros de suavizamiento en el dominio de la frecuencia.
d) Filtros de realce en el dominio de la frecuencia.
e) Notas para la implementación.
Filtros de realce en el dominio de la frecuencia
A diferencia de los filtros paso-bajos aplicados en el dominio de la frecuencia vistos en la sección anterior para el emborronamiento de la imagen, el realce de la imagen (proceso inverso al emborronamiento) puede llevarse a cabo en el dominio de la frecuencia utilizando friltros paso-altas, los cuales atenúan los componentes de frecuencias bajas sin alterar la información de las frecuencias altas de la transformada de Fourier.
Filtros de realce en el dominio de la frecuencia
Debido a que la función de los filtros de realce realizan el proceso inverso a los de emborronamiento, la función de transferencia de los filtros paso-altas se obtiene de la relación:
donde Hlp(u,v) es la función de transferencia correspondiente al filtro paso-bajas. Esto es, mientras un filtro paso-bajas atenúa frecuencias, el filtro paso-altas las deja pasar y viceversa.
Filtros de realce en el dominio de la frecuencia
Representación de los filtros paso-altas ideal (arriba) y Butterworth (abajo).
El filtro Butterworth representa una transición de frecuencias mucho más suave que el filtro ideal.
Filtros de realce en el dominio de la frecuencia
Aquí se ilustra cómo se ven los filtros paso-altas ideal y Butterworth en el dominio espacial.
Recuerde que la representación espacial de un filtro en el dominio de la frecuencia se obtiene 1) multiplicando H(u,v) por
(-1)u+v, 2) calculando la TDF inversa y 3) multiplicando la parte real de este resultado por (-1)x+y.
Filtro ideal paso-altas
Un filtro en 2-D ideal paso-altas se define como:
donde D0 es la distancia de corte medida desde el origen de la transformada, y D(u,v) está dada por la misma métrica definida anteriormente. Este filtro es el opuesto del filtro ideal paso-bajas en el sentido de que pone en cero todas las frecuencias dentro del círculo de radio D0 y deja pasar todas las frecuencias que están fuera del círculo. Como en el caso anterior, este filtro tampoco es realizable de manera física.
Filtro ideal paso-altas
Ejemplo de aplicación del filtro ideal paso-altas para D0 = 15, 30 y 80 pixeles. En a) se ve el efecto de anillo tan severo que distorsionan y engruesan los bordes de los objetos. Los bordes en los círculos de arriba no se ven bien porque son de intensidad muy cercana al fondo. En b) mejora la suituación aunque la distorsión de los bordes sigue siendo evidente. Finalmente c) está más cercano a cómo deberían verse los filtros paso-altas. Los bordes están más limpios, menos distorsionados, y los pequeños objetos se han filtrado adecuadamente.
Filtro pasa-altas Butterworth
La función de transferencia del filtro paso-altas Butterworth de orden n y con frecuencia de corte localizada en D0 desde el origen está dado por:
donde D(u,v) es la métrica definida con anterioridad. Para el caso de filtros paso-altas Butterworth podemos esperar que se comporten de manera más suave que los filtros ideales. (refiérase a 4 páginas anteriores a ésta para ver la gráfica de esta función).
Filtro pasa-altas Butterworth
Ejemplo de aplicación del filtro Butterworth paso-altas de orden n=2, para D0 = 15, 30 y 80 pixeles. Los bordes están menos distorsionados hasta para las frecuencias de corte menores. Como los centros de ambos filtros (ideal y Butterworth, refiérase a 4 páginas anterior a ésta) son casi iguales, esperamos que su desempeño en filtrar objetos pequeños sea comparable. La transición de valores de frecuencias altas es mucho más suave que en el filtro ideal.