- La transformada Wavelet
- La transformada Hilbert
- Diferencia entre las transformadas
- Desarrollo
- Análisis de resultados
- Conclusiones y Recomendaciones
- Referencias
- Anexos
La transformada Wavelet
La transformada Wavelet es una herramienta matemática desarrollada en los mediados de los años 80´s la cual nos permite un análisis de señales más detallado que la transformada de Fourier, la función madre Wavelet debe cumplir ciertos criterios para ser aplicable en el algoritmo los cuales son:
a) Poseer energía infinita.
b) Cumplir el criterio de la constante de admisibilidad.
Esto nos quiere decir que si se denota el complejo conjugado 
de donde ? (t) € L2(R), también debe satisfacer 
con la siguiente propiedad y por ende la siguiente constante:
c) la transformada de Fourier debe ser real y desvanecida para frecuencias negativas en en caso de wavelets compleja.
Tabla 1: Tipos de funciones Madres Wavelet.
Familia | Ortogonalidad | Simetría | Momentos de Desvanecimiento | Datos extras | |||
Haar | Si | Si | 1 | Primera Wavelet en aparecer, usada en transformadas continuas y discretas. | |||
Daubechies | Si | No | Numero deseado | Usada en transformadas continuas y discretas, es la misma que la Haar pero con mayor número de desvanecimientos | |||
Symmlets | Si | Si | 2-45 | Adicionan simetría a la Daubechie. | |||
Sombrero mexicano | Si | Si | 1 | Segunda derivada de la función de Probabilidad Gaussiana. | |||
Coiflets | Si | Si | 2N | Puede ser simétrica o asimétrica dependiendo de su orden. | |||
Biortogonales | No | Si | N | Tiene una función específica para la construcción y reconstrucción de la señal. | |||
Meyer | No | Si | 1 | Solo para transformadas Wavelets continuas. | |||
Morlet | Si | Si | 1 | Una de las primeras Wavelets madres | |||
Anexo 1 Tabla (a) tipos de funciones Wavelet madre y su función característica.
Esta al ser una variación de la transformada de Fourier dispone de las mismas propiedades, adicional a las propiedades que la transformada wavelet madre ofrece.
1.1 Transformada Wavelet Continua. CWT
Esta transformada utiliza una función ventana que encuadra la señala dentro de un intervalo y se focaliza solo en este segmento de la señal.
La CWT propone expresar ua señal x(t) continúa en el tiempo, mediante una expresión de términos o coeficientes proporcionales al producto interno de la señal y diferentes versiones escaladas y trasladadas de una función prototipo ?(t) conocida como wavelet madre, si asumimos que la señal de es potencia entonces definimos que:
Donde a y b son dos nuevas constantes las cuales a controla en acho o soporte efectico la función ?(t) y la variable b la ubicación del dominio de ?(t).
Para que el análisis de una señal en ese dominio así como también para que sea reversible esta debe cumplir la condición de admisibilidad la cual quiere decir que el valor medio de ?(t) sea ceo es decir que
La transformada continua de wavelet (CWT) es una representación tiempo-frecuencia, siendo para valores pequeños de a la CWT obtiene información de x(t) y para valores grandes de a permite un análisis de x(w).
La transformada Wavelet además de un análisis tiempo y frecuencia nos devuelve como resultado una imagen filtrada sin ruido atraves de la transformada inversa de Wavelet la cual nos devuelve un análisis en el tiempo la cual viene definida por:
Así también como en Fourier esta tiene una transformada inversa la cual viene definida por:
Anexo 2 Pasos para determinar la transformada Wavelet Continua.
1.2 La transformada Wavelet Discreta.
Para el análisis de funciones discretas en el tiempo F (n) se utiliza la transformada wavelet discreta que se la explica de la siguiente forma:
Si tenemos una función 
definimos:
Para un uso ya práctico consiste en aplicar a la señal discreta varios filtros dados por las señales wavelet madre componiendo así un diagrama semejante a:
Fig.1 Muestreo de una señal discreta para poder sacar los coeficientes A y D
Para la transformada inversa simplemente sumamos cada muestreo resultante de los filtros pasa altas y pasa bajas.
Ejemplo de aplicación Anexo 3.
La transformada Hilbert
Es expresada como:
Es una operación que desplaza la fase la fase de 
por 
La señal se puede obtener a través de:
Donde la respuesta al impulso es 
La señal con desplazamiento de fase 
corresponde a la desviación:
Propiedades de la transformada de Hilbert
Dado que la convolución de señales reales también es real, la transformada de Hilbert de una señal real también debe ser real.
Dado que 
tiene simetría impar, la transformada Hilbert de una señal par es impar, y viceversa.
Dado que el espectro de magnitud de es unitario, los espectros de magnitud y son idénticos.
Se aplica dos ves la transformada a es resultado será 
Esto sugiere que la transformada inversa de Hilbert de es directamente la transformada de Hilbert pero con signo cambiado.
Anexo 4 Transformadas Hilbert más usadas.
La transformada de Hilbert de una señal escalada 
se describe como:
Si aplicamos la propiedad de escalamiento de la convolución: 
se obtiene:
Este resultado sugiere que la transformada de una función envuelta 
es 
Si 
es una señal limitada en banda y 
es una señal cuyo espectro no sufre alias con el de la transformada del producto 
es igual a:
La señal analítica y envolvente
La señal analítica 
de una señal real se define como:
Las partes real e imaginaria de una señal analítica son transformadas de Hilbert. Por ejemplo:
La señal analítica de también se conoce como envolvente previa de La envolvente compleja de se define, en analógica con los vectores giratorios, a una frecuencia 
dada por:
La envolvente compleja 
también es una señal analítica cuya parte imaginaria e igual a la transformada de Hilbert de su parte real:
Obsérvese que
es la transformada de Hilbert de la componente en fase. Las cantidades 
y 
se denominan componentes en fase y en cuadratura de a la frecuencia de 
En analógica con los vectores giratorios, la señal real también puede describirse en términos de su envolvente compleja a la frecuencia como:
Y en sus componentes de fase y cuadrada como:
Envolventes de una señal real 
Envolvente previa (señal analítica)
Envolvente compleja
Envolvente natural
Diferencia entre las transformadas
Fourier | Hilbert | Wavelet | Z | ||||
Análisis en tiempo discreto. | Si dispone de una transformada especial para este caso. | Según investigaciones no pudimos hallar una transformada Hilbert para tiempo discreto. | No dispone una sino varias dependiendo de la wavelet madre utilizada. | Se puede considerar como la más conocida para el análisis de tiempo discreto se la considera como la Laplace de tiempo discreto | |||
Análisis en tiempo continúo. | Es una de las principales herramientas para el análisis en tiempo continuo. | Es una transformada con gran peso al momento de análisis de tiempo continuo. | Dispone de varias trasformadas dependiendo de su wavelet madre para tiempo continuo. | No dispone de análisis en tiempo continuo ya que es creada solo para el tiempo discreto. | |||
Análisis en la frecuencia. | Es la herramienta más utilizada en el dominio de la frecuencia dado a que esta nos permite un análisis casi completo en la frecuencia. | No presenta muchos beneficios ya que solo desplazamos la señal original por lo que es utilizada en un análisis rápido. | Nos permite un análisis completo ya que aparte de un análisis de frecuencia nos permite un análisis de tiempo en la misma transformada. | En la frecuencia discreta por así llamarla nos permite un análisis al nivel de lo que es Laplace para las de tiempo continuo por lo que es una buena herramienta para estos casos. | |||
Modulaciones de señales. | Corresponde como la transformada más utilizada para as modulaciones a lo largo del mundo por lo que corresponde una gran herramienta. | No presenta una gran ayuda al rato de la modulación ya que el plano de análisis de frecuencias nos debemos valer de otras transformadas para llegar a analizar Hilbert en el dominio de la frecuencia. | Es una modulación relativamente nueva para el envió de señales por lo que no es muy utilizada aun pero en un futuro lo será debido a su gran capacidad de eliminar ruido de señales así como la mejor transmisión de esta. | Se la utiliza principalmente para modulaciones digitales lo cual representa gran ventaja el envió de datos por que se evita la perdida de información así como una mejor transmisión de la misma. | |||
Ventajas. | Algo más conocida que las demás permite un análisis en la frecuencia muy acertado, su transformada matemáticamente hablando no es muy difícil de resolverla así como implementarla por lo que es muy utilizada en señales de transmisión y difusión. | Un análisis rápido y una transformada sencilla para poder obtener datos rápidos de la propiedad de una señal sin cambiar el plano de análisis. | Un análisis profundo de la señal así como también la eliminación de ruido debido a su gran cantidad de filtros utilizados en la transformación y difusión de esta así como también una gran cantidad de modulaciones correspondientes a sus wavelet madres. | Por su naturaleza digital permite una transmisión de datos más rápidas, su implementación en la industria está creciendo ya que la señal analógica o continua está desapareciendo, es más complicada de decodificar por lo que representa seguridad en la transmisión de datos. | |||
Desventajas. | No puede filtrar bien el ruido por lo que la señal que deseamos obtener por lo que puede insertar ruido y causar problema en la modulación. | Es muy simple y no puede ser considerada de peso en el análisis de frecuencia ya que solo desplaza el plano a analizar mas no cambia de plano. | Nueva en comparación a las otras analizadas por lo que aún no tiene mucho peso en la industria. No permite un análisis de frecuencias en un ancho pequeño. | No permite un análisis de tiempo continuo por lo que no es aplicable a señales analógicas. | |||
Aplicaciones. | Geometría, matemática, mecánica cuántica, termodinámica, señales y sistemas, DCPS, Electricidad, Maquinas Eléctricas, Ecuaciones diferenciales, Automatismo, Radio difusión, Control, Biomedicina, Demudación. | Geometría, Matemática, Señales y sistemas, DCPS. | Matemática, geología, Radio Difusión, Maquinas eléctricas, Automatismo, Modulación, Demodulación, Fotografía, Animación, Medicina. | Geometría, matemática, mecánica cuántica, termodinámica, señales y sistemas, Maquinas Eléctricas, Ecuaciones diferenciales, electrónica Digital, Automatismo, Radio difusión, Control, Biomedicina, Demudación. | |||
Desarrollo
Con la ayuda del software Matlab se va realizar la aplicación wavelet a la siguiente imagen.
Fig. 2 Imagen original antes de aplicarse wavelet
Una vez cargada la imagen en el software se la procesa para observar el resultado.
Fig. 3 Imagen cargada y procesada en el software.
Para apreciar de mejor manera el proceso de filtrado se presenta a continuación las siguientes figuras.
Fig. 4 Imagen luego de wavelet, aproximación.
Fig. 5 Detalles Horizontal
Fig. 6 Detalles Vertical
Fig. 7 Detalles Diagonal
Fig. 8a Reconstrucción de Imagen etapa 1
Fig. 8b Reconstrucción de Imagen etapa 2
Fig. 8c Reconstrucción de Imagen etapa 3
Análisis de resultados
Como se pudo observar en las figuras anteriores el proceso de filtrado que realiza wavelet es muy detallado, ya que realiza verticales, horizontales y diagonales, cubriendo así todas las direcciones.
Si nos fijamos en la Figura 2, en la secuencia de imágenes, se aprecia como luego del filtrado la imagen comienza a reconstruirse con menos ruido que cuando estaba en estado original.
Algo que es necesario considerar es que el tiempo que demora el programa en procesar la imagen es directamente proporcional al tamaño de la imagen.
Pasando al ámbito profesional, si aplicamos este proceso en ciertos campos de la ciencia obtendríamos resultados inmediatos y precisos para algún tipo de análisis que requiera de la transformada de wavelet.
Conclusiones y Recomendaciones
Como se puede observar en el informe desarrollado wavelet es una herramienta muy poderosa que sirve para realizar un análisis detallado a señales o sonidos.
En cuanto a imágenes, la transformada wavelet permite realizar un filtrado de ruido existente en las imágenes, permitiendo así lograr una mejor apreciación de ciertos detalles.
Un campo de aplicación de esta herramienta puede ser en la medicina, en un examen de electrocardiograma, podemos realizar el análisis preciso y en tiempo real dando un resultado exacto, ahorrando así, tiempo y dinero
Referencias
-Procesamiento De Señales Analógicas y Digitales-Ashok Ambardar Segunda Edición.
-Sistemas de Comunicación Digitales y Analógicos- Leon Couch Séptima Edición.
-Tutorial Introductorio a la Teoría de Wavelet- Samir Kouro R, Rodrigo Muselem M (Paper)
-Implementación De La Transformada Wavelet Para la Medición De Los Diferentes Tipos de Perturbaciones En Laboratorio de Maquinas Eléctricas.-Tesis de Diego Eduardo Andrade Carrera. Escuela Politécnica Nacional del Ecuador ESPE 2014.
Análisis con Wavelets de alteraciones electrocardiográficas en pacientes Chagasticos Crónicos.-Fernando Riveros Sanabria-Universidad EAFIT departamento de Ciencias Básicas Medellín 2012.
Aplicación de la transformada Wavelet y método del level set para el filtrado y segmentación de imágenes.-Hugo Orlando Gómez Espinoza, Universidad Politécnica Salesiana Sede Cuenca Facultad de Ingenierías, Carrera de Ingeniería Electrónica 2012.
Anexos
Anexo 1
Tabla a tipos de funciones Wavelet madre y su función característica
Imágenes obtenidas de la tesis:
Implementación de la transformada wavelet para la medición de diferentes tipos de perturbaciones en laboratorio de máquinas eléctricas de: Diego Eduardo Andrade Carrera.
Universidad politécnica nacional
Familia | Abreviatura | Función Característica | |
Haar | Haar |
| |
Daubechies | dbN |
| |
Symmlets | symN |
| |
Sombrero mexicano | mexh |
| |
Coiflets | coifN |
| |
Biortogonales | bior |
| |
Meyer | meyer |
| |
Morlet | morl |
| |
Anexo 2
Pasos para determinar una Wavelet continua
1)Escoger la Wavelet madre
2) Seleccionar el valor de la escala a la Wavelet madrey situarla al comienzo de la señal t=0
3) Multiplicar la señal f (t) por a wavelet madre e integrar atraves del espacio de tiempo cubierto por la wavelet madre y multiplicar por la magnitud inversa de la función madre para estabilizar la energía.
4) Repetir este pasó hasta que la función madre cubra toda la función a analizar
Anexo 3
Imágenes obtenidas de la tesis:
Implementación de la transformada wavelet para la medición de diferentes tipos de perturbaciones en laboratorio de máquinas eléctricas de: Diego Eduardo Andrade Carrera.
Universidad politécnica nacional
Graficas de la vibración de un motor de inducción con vibración anormal con un tempo de muestreo de 0.125s Atraves de Signal Processing Toolbox de Matlab
Fig. (a) Ejemplo de aplicación de la transformada Wavelet Discreta.
Fig. (b) Superposición de la imagen original y la reconstruida a partir de la transformada Wavelet Discreta.
Anexo 4
Transformadas Hilbert más usadas.
Imagen obtenida del libro de Ashok Ambardar Tabla 10.1
Capitulo 10 Modulación
Fig. c. Transformada de Hilbert más usadas.
Autor:
Youssef Abarca, Daniel Calle, Mathews Castillo, José Guayllas
Erick Narváez, Ismael Narváez, José Toledo.
UNIVERSIDAD POLITECNICA SALESIANA
SEÑALES Y SISTEMAS G 3