Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, llamado incógnita o variable, y que se cumple para determinado valor numérico de dicha incógnita.
Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas con incógnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe).
Como procedimiento general para resolver ecuaciones enteras de primer grado se deben seguir los siguientes pasos:
1. Se reducen los términos semejantes, cuando es posible.
2. Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los que contengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de ella en el derecho.
3. Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible.
4. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita (inverso multiplicativo), y se simplifica.
Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita
Para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, aplicamos el criterio del operador inverso (inverso aditivo o inverso multiplicativo), como veremos en el siguiente ejemplo:
Resolver la ecuación 2x – 3 = 53
Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=), entonces para llevar el –3 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de –3 es +3, porque la operación inversa de la resta es la suma).
Entonces hacemos:
2x – 3 + 3 = 53 + 3
En el primer miembro –3 se elimina con +3 y tendremos:
2x = 53 + 3
2x = 56
Ahora tenemos el número 2 que está multiplicando a la variable o incógnita x, entonces lo pasaremos al otro lado de la igualdad dividiendo. Para hacerlo, aplicamos el inverso multiplicativo de 2 (que es ½) a ambos lados de la ecuación:
2x • ½ = 56 • ½
Simplificamos y tendremos ahora:
x = 56 / 2
x = 28
Entonces el valor de la incógnita o variable "x" es 28.
Problema de aplicación.
Una de las aplicaciones más importantes de las ecuaciones es la de resolver problemas de la vida cotidiana. Por ejemplo:
El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 4 años más que el segundo y este 3 más que el menor. Si entre todos tiene la edad del padre que tiene 40 años ¿qué edad tiene cada hermano?
Para resolver estos problemas debemos elegir algún valor desconocido para llamarle "x". En este caso llamemos:
x = edad del hermano menor.
A partir de ello expresar los datos del problema y plantear una igualdad (ecuación) con ellos: Será:
x + 3 : edad del hermano mediano
x+3 + 4 = x + 7 edad del hermano mayor
Ecuación: suma de las edades de los hermanos x + x + 3 + x + 7 = 40,
Resolviendo la ecuación se obtiene x = 10, luego las edades de los tres hermanos son 10 , 13 y 17 años.
Ecuaciones de segundo grado
Sabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y letras. Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra, llamada incógnita, que suele ser la x.
Resolver la ecuación consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por la incógnita, haga que sea cierta la igualdad.
Ese valor es la solución de la ecuación.
Ejemplo: Resolver la ecuación x – 1 = 0
El número que hace que esa ecuación sea cierta es el 1, ya que 1 – 1 = 0, por lo tanto, 1 es la solución de la ecuación.
Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es una ecuación de segundo grado (llamadas también ecuaciones cuadráticas), que se caracterizan porque pueden tener dos soluciones (aunque también una sola, e incluso ninguna).
Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la siguiente forma:
ax2 + bx + c = 0
Donde a, b y c son unos parámetros que habrá que sustituir por los números reales que corresponda en cada caso particular.
Solución de ecuaciones cuadráticas
Hemos visto que una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c = 0, donde a,b,y c son números reales. Pero este tipo de ecuación puede presentarse de diferentes formas:
Ejemplos:
9×2 + 6x + 10 = 0 a = 9, b = 6, c = 10
3×2 – 9x + 0 = 0 a = 3, b = –9, c = 0 (el cero, la c, no se escribe, no está)
–6×2 + 0x + 10 = 0 a = -6, b = 0, c = 10 (el cero equis, la b, no se escribe)
Para resolver la ecuación cuadrática de la forma ax2 + bx + c = 0 (o cualquiera de las formas mostradas), puede usarse cualquiera de los siguientes métodos: Solución por factorización
En toda ecuación cuadrática uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios.
Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno.
Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos a cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos, o ambos, es igual a cero.
Ejemplos
1) Resolver
(x + 3)(2x – 1) = 9
Lo primero es igualar la ecuación a cero.
Para hacerlo, multiplicamos los binomios:
Ahora, pasamos el 9, con signo contrario, al primer miembro para igualar a cero:
Ahora podemos factorizar esta ecuación:
(2x – 3)(x + 4) = 0
Ahora podemos igualar a cero cada término del producto para resolver las incógnitas:
Si
2x – 3 = 0
2x = 3
Si
x + 4 = 0
x = -4
Esta misma ecuación pudo haberse presentado de varias formas:
(x + 3)(2x – 1) = 9
2×2 + 5x – 12 = 0
2×2 + 5x = 12
2×2 - 12 = – 5x
En todos los casos la solución por factorización es la misma:
Solución por completación de cuadrados
Se llama método de la completación de cuadrados porque se puede completar un cuadrado geométricamente, y porque en la ecuación cuadrática se pueden realizar operaciones algebraicas que la transforman en una ecuación del tipo:
(ax + b)2 = n
en la cual el primer miembro de la ecuación (ax + b)2, es el cuadrado de la suma de un binomio.
Partiendo de una ecuación del tipo
x2 +bx+c=0por ejemplo, la ecuación
x2 + 8x = 48, que también puede escribirse x2 + 8x – 48 = 0
Al primer miembro de la ecuación (x2 + 8x) le falta un término para completar el cuadrado de la suma de un binomio del tipo(ax + b)2
Que es lo mismo que
(ax + b) (ax + b)
Que es lo mismo que
(ax)2 + 2axb + b2
En nuestro ejemplo
x2 + 8x = 48, el 8 representa al doble del segundo número del binomio, por lo tanto, ese número debe ser obligadamente 8 dividido por 2 (8/2), que es igual a 4, y como en el cuadrado de la suma de un binomio ( a2 + 2ab + b2) el tercer término corresponde al cuadrado del segundo término (42 = 16) amplificamos ambos miembros de la ecuación por 16, así tenemos
x2 + 8x + 16 = 48 + 16
x2 + 8x + 16 = 64
la cual, factorizando, podemos escribir como sigue:
(x + 4) (x + 4) = 64
Que es igual a
(x + 4)2 = 64
Extraemos raíz cuadrada de ambos miembros y tenemos
Nos queda
x + 4 = 8
Entonces
x = 8 – 4
x = 4
Se dice que "se completó un cuadrado" porque para el primer miembro de la ecuación se logró obtener la expresión (x + 4)2, que es el cuadrado perfecto de un binomio.
Autor:
Giancarlos Monago