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Estudio y representación de funciones

Enviado por Pablo Turmero



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Introducción histórica Descartes y Fermat estudiaron en profundidad las curvas y sus ecuaciones, pero las habían tratado como casos individualizados. A partir de ellos, muchos matemáticos a lo largo del siglo XVII se esforzaron en el estudio de las curvas, pero ninguno dio con los elementos que permitían establecer un método general. Newton y Leibniz lo proporcionaron, e introdujeron un tipo de técnicas que permitían estudiar con las mismas herramientas los problemas de física y geometría. Sus avances en el cálculo diferencial e integral posibilitaron un desarrollo de las matemáticas espectacular, cuyo resultado se apreció posteriormente durante los siglos XVIII y XIX. Desde el punto de vista del desarrollo de las matemáticas, les corresponde a estos dos autores la elaboración de un método general y nuevo, que puede aplicarse a muchos tipos de problemas sobre el cálculo algebraico, el infinitesimal y, en general, a toda la geometría analítica. El concepto de función se hizo el eje central de la matemática, sobre todo en el análisis. Su estudio se hizo totalmente indispensable para llevar adelante el desarrollo científico y tecnológico. El nombre de “función” proviene del gran matemático Leibniz, y su estudio más profundo sobre funciones fue estimulado por su interés geométrico de analizar, matemáticamente, los puntos de las curvas donde éstas alcanzan su máximo y su mínimo valor y dar un método general para determinar las rectas tangentes es estos puntos. Estos cálculos se realizan mediante el cálculo de las funciones derivadas y forman parte importante del cálculo diferencial, que se estudia más adelante.

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Introducción histórica Newton y Leibniz, los dos grandes científicos de finales del siglo XVII y principios del XVIII, vivieron en una Europa caracterizada por la revolución del realismo científico y la explosión cultural del Barroco. Newton, en su obra ”Methodus fluxionum et serierum infiniturum”, introduce su nueva concepción de fluxiones y fluentes al abordar dos problemas; el primero consiste en encontrar la velocidad del movimiento en un tiempo dado cualquiera, dada la longitud del espacio descrito. El segundo problema es la inversa del primero. Disponiendo de su método general, determina los máximos y mínimos de relaciones, las tangentes a curvas, el radio de curvatura, los puntos de inflexión y el cambio de concavidad de las curvas, su área y su longitud. Isaac Newton (1642-1727) Gottfried Leibniz (1646-1716)

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Justificación Contexto: Esta unidad se enmarca en el bloque IV (Análisis) de 1º de Bachillerato. Las funciones nacen de la necesidad de resolver problemas prácticos y se sustentan por su capacidad para tratar, explicar, predecir y modelar situaciones reales y dar rigor a los conocimientos científicos. Tienen una fuerte conexión con la realidad, debido a su constante interrelación con otras áreas, especialmente en el ámbito de la ciencia y la técnica. El estudio de las funciones es principalmente estratégico y se manifiesta en tres aspectos: como base conceptual, como instrumento esencial de desarrollo de la Ciencia y la Tecnología y como valor inherente a la propia cultura. El alumnado debe aprender a apreciar la utilidad de las funciones, sobre todo, su capacidad para dar respuesta a la mayoría de las necesidades humanas. Los contenidos de esta lección proporcionan técnicas básicas, tanto para estudios posteriores como para la actividad profesional. No se trata de que los estudiantes posean muchas herramientas matemáticas, sino que las manejen con destreza y oportunidad. Las herramientas tecnológicas, en particular el uso de calculadoras y aplicaciones informáticas, pueden servir de ayuda tanto para la mejor comprensión de conceptos y la resolución de problemas complejos como para el procesamiento de cálculos. Esta unidad será la base para poder adquirir los conceptos que se estudiarán en lecciones posteriores. Además, contribuye mejorando la adquisición de cualidades como la constancia, la autonomía, la adquisición de nuevos saberes y habilidades y la curiosidad por la investigación.

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Objetivos Calcular dominios y recorridos de funciones reales de variable real. Distinguir correspondencias funcionales de las que no lo son. Representar gráficamente funciones polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y algunas transformaciones de dichas funciones. Saber y saber aplicar los conceptos de función par/impar, así como las simetrías correspondientes de sus gráficas. Saber qué es una función creciente/decreciente, monótona en un intervalo y saber aplicar esos conceptos al análisis de funciones elementales. Saber qué son funciones periódicas y distinguir su periodo gráficamente.

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Contenidos Conceptuales: Concepto de función. Dominio e imagen de una función. Gráficas de funciones polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y algunas transformaciones de dichas funciones. Simetrías. Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos. Funciones periódicas. Asíntotas.

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Contenidos Procedimentales: Expresión en forma funcional de reglas y relaciones descritas en lenguaje convencional. Cálculo de dominios y recorridos de funciones. Distinción entre correspondencias que son funciones y las que no lo son. Trazado de gráficas de funciones. Uso de la calculadora para hacer tablas de valores. Análisis de la paridad de funciones y de la simetría de sus gráficas. Cálculo de máximos y de mínimos funcionales. Análisis y representación de funciones periódicas.

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Contenidos Actitudinales: Valoración de la potencia del cálculo de funciones en la resolución de problemas de la vida real. Reconocimiento del papel de las funciones en el estudio de los cambios de un proceso natural, social o técnico de la realidad. Receptividad, curiosidad e interés por el planteamiento, la investigación y la resolución de problemas, mediante las características analíticas de las funciones que describen los fenómenos que estudian. Gusto por la interpretación de problemas de aplicación a casos reales. Gusto por la limpieza y claridad.

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Organización de las sesiones SESIÓN 1: Prueba inicial. Motivación. SESIÓN 2: Definición de función, dominio y recorrido. Ejercicio en clase. Características del comportamiento de las funciones: raíces, monotonía, máximos y mínimos, continuidad, funciones escalonadas, simetrías (par/impar), periodicidad, asíntotas. Funciones polinómicas. Ejemplo. Ejercicios en clase y para casa. Realización de dichos ejercicios en Geogebra.

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Organización de las sesiones SESIÓN 3: Corrección ejercicios de casa. Funciones racionales. Ejemplo. Ejercicio en clase y para casa de investigación. Funciones radicales. Ejemplo. Ejercicio en clase y para casa. Realización de dichos ejercicios en Geogebra. SESIÓN 4: Corrección ejercicios de casa. Funciones a trozos. Ejemplo. Ejercicios en clase y para casa. Realización de dichos ejercicios en Geogebra.

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Organización de las sesiones SESIÓN 5: Corrección ejercicios de casa. Algunas transformaciones de funciones. Simetrías. Valor absoluto. Traslaciones. Dilataciones o contracciones. Ejercicio en clase y para casa. Realización de dichos ejercicios en Geogebra. SESIÓN 6: Corrección ejercicios de casa. Funciones exponenciales. Ejercicios en clase y para casa. Funciones logarítmicas. Ejercicios en clase y para casa. Realización de dichos ejercicios en Geogebra.

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Organización de las sesiones SESIÓN 7: Corrección ejercicios de casa. Funciones trigonométricas. Transformaciones de las funciones trigonométricas. Ejercicios en clase y para casa. Sesión GeoGebra. SESIÓN 8: Corrección ejercicios de casa. Ejercicios en clase de repaso. Resolución de dudas previas al examen.

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Organización de las sesiones SESIÓN 9: Examen. SESIÓN 10: Revisión del examen. Ejercicios de refuerzo para el examen de recuperación. Ejercicios de ampliación para quien quiera subir nota.

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