Evaluación económica de proyectos con riesgo e incertidumbre total

En la actualidad, casi siempre existe el factor inseguridad en el resultado final de una inversión, debido a que en proyectos nuevos no hay experiencia y en otros proyectos que se hayan realizado no hay suficiente número de experiencias para realizar una estadística.

Usualmente se tiene muy poca seguridad de que los resultados prefijados coincidan con los reales. Los elementos económicos de los cuales dependen las acciones pueden variar a partir de valor estimado debido a que siempre hay involucradas causas al azar. No solamente hay problemas con los estimativos de los efectos económicos sino también el valor anticipado, las aventuras que tendrá en el futuro sólo se conocen con un cierto grado de seguridad. Precisamente, la falta de certeza sobre el futuro es lo que hace que los procesos de decisión relacionados con efectos económicos constituyan una de las tareas más desafiantes para los individuos, las industrias, el gobierno y cualquier otra situación que involucre el análisis de proyectos.

Lo mencionado anteriormente no es un reflejo de lo que va a ocurrir en el futuro, puesto que las condiciones del medio en las cuales se realizaron los experimentos anteriores tales como condiciones sociales, políticas, económicas, tributarias, técnicas, entre otras, difieren de las condiciones actuales.

La teoría de las probabilidades como herramientas cuantitativas para manejar el riesgo en los procesos decisivos implica suponer que a los eventos futuros se le pueden adscribir probabilidades de ocurrencia. Las decisiones que se toman bajo esta suposición se conocen como decisiones bajo riesgo.

Puede ser imposible, en ciertas situaciones decisorias, asignar probabilidades a la ocurrencia de eventos futuros. A menudo no se tienen a la disposición datos significativos a partir de los cuales poder calcular unas probabilidades. En otros casos quien debe tomar decisiones puede no estar dispuesto a asignar una probabilidad.

Cuando se tienen a la disposición las probabilidades que puedan asignarse a los eventos futuros, la situación se conoce como toma de decisiones bajo incertidumbre. Esta situación decisoria es más abstracta al compararse con la toma de decisiones bajo certeza y bajo riesgo.

Marco teórico

1.- ANÁLISIS DE INVERSIONES BAJO RIESGO.

A pesar de la eliminación de los supuestos sobre certidumbre total, los enfoques no permiten involucrar la complejidad de la interacción de las muchísimas variables que tienen que ver con la inversión. Para mencionar algunas de ellas, se puede pensar en: ¿Qué tasa de interés será la adecuada para el futuro?, ¿Cuánto valdrá la inversión?, ¿Cuándo comenzará a producir beneficios?, ¿Por cuánto tiempo?, ¿Cuánto tiempo habrá que invertir?, ¿Qué mercado existirá?, ¿Cuál será la inflación en los próximos años?, ¿Cuáles serán los precios de insumos y productos?

1.1- MEDICIÓN ANALÍTICA DE RIESGO.

Para responder a estos interrogantes se han presentado varios enfoques. Hillier propuso un manejo de tipo analítico para tratar el problema a partir del conocimiento de las distribuciones de probabilidad de las diferentes variables involucradas, de tal manera que se pudiera determinar le distribución final de un indicador como el Valor Presente Neto a la Tasa Interna de Rentabilidad.

Una forma de disminuir la incertidumbre es obtener más información, lo cual exige más recursos: humanos, de tiempo, monetarios, entre otros.

El método propuesto por Hillier para manejar este tipo de situaciones hace uso del Teorema del Límite Central de la Estadística, y dice que la distribución del Valor Presente Neto, Costo Anual Equivalente o Tasa Interna de Rentabilidad, es aproximadamente normal, inclusive cuando las distribuciones de las variables que se incluyen, o que determinan el flujo de caja del proyecto, no sean normales. Debe observarse, y así lo dice, que hace caso omiso del problema de la discrepancia entre los criterios y de la posibilidad de múltiples tasas de interés. Realmente esto no presenta una limitación del método, ya que se han propuesto formas de eliminar las discrepancias entre los criterios y la posibilidad de múltiples tasas internas de rentabilidad. Lo que propone Hillier es enfrentar al decididor con las diferentes posibilidades de obtener distintos valores del Valor Presente Neto de una inversión. Mas específicamente, la probabilidad de que el VPN sea menor que cero.

Las situaciones a las que a diario se enfrenta el administrador financiero en cuanto a la toma de decisiones con respecto a la evaluación de proyectos es muy compleja, pero la mayoría de estas decisiones son tomadas en condiciones de certeza, en flujos de caja futuros con probabilidad 1. 

Sin embargo casi siempre existe el factor incertidumbre en el resultado final de una inversión el cual es muy difícil cuantificar matemáticamente, debido a que en proyectos nuevos casi siempre no hay una base de información a priori y en proyectos que ya se han aplicado, no se puede aducir que la experiencia de otros proyectos sean fiel reflejo de lo que va a ocurrir con el proyecto, ya que en asuntos económicos pueden cambiar muchas condiciones sociales, técnicas, tecnológicas y tributarias.

1.2 – DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD.

Toda decisión de invertir implica pronosticar el futuro y este pronóstico puede hacerse en forma optimista denominada "la mejor estimación", en forma realista denominada "la estimación más probable" o en forma pesimista denominada "la peor estimación", estas se pueden presentar cuando la economía esta en prosperidad, normal y en represión.

En la distribución de probabilidad, a cada resultado posible se le asigna una probabilidad y la suma de todas las probabilidades es igual a 1.   

Cuando un proyecto va a ser evaluado en condiciones de riesgo es porque la asignación de probabilidades se ha hecho en forma objetiva, es decir utilizando métodos estadísticos, pero cuando la asignación de probabilidades se hace de forma subjetiva por un experto en esa clase de proyectos, la asignación de probabilidades se hace subjetivamente.

1.3.- VALOR ESPERADO.

Se entiende por valor esperado al medio aritmético probabilístico el cual puede ser calculado con la siguiente fórmula:

1.4- DESVIACIÓN ESTÁNDAR

Cuando hay varios resultados posibles y éstos están muy dispersos se ve claramente que hay inseguridad en el resultado final de un proyecto, mientras más concentrados estén los resultados habrá más confianza en el resultado final y mientras más dispersos estén los resultados más desconfianza habrá en el resultado final.

La desviación estándar es la medida más adecuada para esta clase de dispersiones y según la estadística se puede calcular con la siguiente fórmula:

1.5.- COEFICIENTE DE VARIACIÓN.

Cuando se trata de comparar dos a más proyectos en los cuales sus valores son diferentes, se utiliza el coeficiente de variación para realizar el análisis de proyectos financieros. Éste esta dado por la división de la desviación estándar entre el valor esperado, esto es:

Para escoger el mejor proyecto se toma el que tiene menor coeficiente de variación, ya que este es el que tiene un menor riesgo.

1.6.- INCERTIDUMBRE VS. EVALUACIÓN DE PROYECTOS.

Para medir la incertidumbre que se presenta en la evaluación de proyectos se encuentran diferentes metodologías, las más importantes son:

• El método del valor presente neto esperado.

• El método de la probabilidad de pérdida en la aceptación.

• El método de la tasa incrementada por el riesgo.

1.6.1.- Método del valor presente neto esperado (VPNE).

El método del valor presente neto esperado es el más usado porque permite incorporar en forma directa el riesgo a la incertidumbre y se basa en el siguiente principio:

1.6.2.- Método de la probabilidad de pérdida en la aceptación.

El método de la probabilidad de pérdida en la aceptación consiste en hallar la probabilidad del que el VPNE resulte menor de cero y por lo tanto que haya pérdida. En este método es necesario que se calcule la desviación estándar de todo el proyecto y que se normalicen los resultados para poderle aplicar la curva normal y de esta forma averiguar el área que corresponde a una abcisa menor de cero.

La desviación estándar en este método, depende de las desviaciones de los flujos de caja de cada periodo y puede ser calculada por la siguiente fórmula:

1.6.3.- Método de la tasa incrementada por el riesgo.

El método de la tasa incrementada por el riesgo, también llamado método de la tasa ajustada al riesgo, consiste en evaluar el proyecto con una tasa que debe ser igual a la tasa libre de riesgo más la tasa propia del riesgo.

La tasa libre de riesgo puede ser la tasa que se utilizaría en el proyecto cuando hay certeza y la tasa propia de riesgo es el recargo que debe hacerse por la existencia misma del riesgo, se tiene entonces:

En este caso se habla de riesgo y no de incertidumbre, porque la tasa i2 puede ser calculada objetivamente por métodos estadísticos. Es obvio que al aumentar la tasa resulta más difícil que el proyecto sea aprobado, por tanto la tasa i2 debe ser unos puntos adicionales de porcentaje a fin de tener un margen de seguridad que compense posibles errores de juicio pero conduce a unos criterios fijos e independientes de los cambios en el mercado financiero.

Para el cálculo de la tasa i2 y haciendo la suposición de que las condiciones económicas del país sean estables, se hace una estimación con base en datos históricos, esto significa que se debe averiguar cuál fue la tasa que se presento  en riesgos similares para aplicarla al nuevo proyecto.

Hasta el momento, se ha tratado los fundamentos teóricos de las matemáticas financieras y su aplicación en la evaluación de proyectos organizacionales, teniendo claros estos principios se puede llevar a cabo una valoración mas profunda del mismo y compararlo con otros utilizando las herramientas que sean comunes a los proyectos que van a analizarse y que a su vez pueda medir las ventajas o desventajas de estos.

Las principales herramientas y metodologías que se utilizan para medir la bondad de un proyecto son:

• CAUE: Costo Anual Uniforme Equivalente.

• VPN: Valor Presente Neto.

• VPNI: Valor Presente Neto Incremento.

• TIR: Tasa Interna de Retorno.

• TIRI: Tasa Interna de Retorno Incremental.

• B/C: Relación Beneficio Costo.

• PR: Período de Recuperación.

• CC: Costo Capitalizado.

Todos y cada uno de estos instrumentos de análisis matemático financiero debe conducir a tomar idénticas decisiones económicas, lo única diferencia que se presenta es la metodología por la cual se llega al valor final, por ello es sumamente importante tener las bases matemáticas muy claras para su aplicación.

En ocasiones utilizando una metodología se toma una decisión; pero si se utiliza otra y la decisión es contradictoria, es porque no se ha hecho una correcta utilización de los índices.

En la aplicación de todas las metodologías se deben tener en cuenta los siguientes factores que dan aplicación a su estructura funcional:

• C: Costo inicial o Inversión inicial.

• K: Vida útil en años.

• S: Valor de salvamento.

• CAO: Costo anual de operación.

• CAM: Costo anual de mantenimiento.

• IA: Ingresos anuales.

A continuación se analizarán todas las metodologías desde sus bases teóricas, hasta su aplicación a modelos reales.

1.7.- COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE (CAUE).

  El método del CAUE consiste en convertir
todos los ingresos y egresos, en una serie uniforme de pagos. Obviamente, si
el CAUE es positivo, es porque los ingresos son mayores que los egresos y por
lo tanto, el proyecto puede realizarse; pero, si el CAUE es negativo, es porque
los ingresos son menores que los egresos y en consecuencia el proyecto debe
ser rechazado.

A continuación se presenta la aplicación de la metodología del Costo Anual Uniforme Equivalente en la evaluación de proyectos de inversión.

1.7.1. EJERCICIO I.

Una máquina cuesta $600.000, tiene una vida útil de 5 años y un valor de salvamento de $100.000; el costo anual de operación es de alrededor de $5000 y se estima que producirá unos ingresos anuales del orden de $200.000. Determinar si la compra de la máquina es aconsejable, cuanto se utiliza una tasa de:

a) 25%

b) 15%

SOLUCIÓN

Utilizando las convenciones indicadas durante las clases de ingeniería económica:

C = $600.000

S = $100.000

K = 5 años

CAO = 5.000

a) Utilizando i = 25%, se tiene:

Los $600.000 se reparten en una serie uniforme de pagos, que se efectuarán al final de cada uno de los 5 años que dura el proyecto y cada pago tendrá un valor de:

600.000                        a = 5 al 25%

  Por otra parte, los $100.000 del valor del salvamento se repartirán en 5 pagos que se efectuarían al final de cada año y tendrían un valor de: 

100.000

S – 5 25%

El CAUE puede calcularse así:

CAUE = 100.000+ 200.000 – 600.000 -5.000= $-15.923 — S¬5 25% a¬5 25% 

Se puede apreciar que al evaluar el proyecto usando una tasa del 25% no es aconsejable para la empresa realizar esta inversión.

b) Usando i= 15%, se tiene:

CAUE = 100.000+ 200.000 – 600.000 – 5.000= $38.843 — S¬515% a¬5 15% 

En esta evaluación se puede apreciar que en estas condiciones, el proyecto sí es aconsejable.

Como consecuencia de lo anterior, es importante determinar una tasa correcta para hacer los cálculos; hay quienes opinan que debe usarse la tasa promedio, utilizada en el mercado financiero y hay otros que opinan que debe ser la tasa de interés, a la cual normalmente el dueño del proyecto hace sus inversiones.  Esta última tasa es conocida con el nombre de Tasa de Interés de Oportunidad (TIO).

1.8.- TASA DE INTERÉS DE OPORTUNIDAD (TIO)

Para ser más claro en este aspecto, analizaremos por medio de algunos ejemplos la TIO.

• Suponga que una persona acostumbra a realizar inversiones en CDT, en los cuales le pagan en promedio el 45% efectivo anual de intereses, entonces se dice que la Tasa de Interés de Oportunidad para esta persona equivaldría a ese mismo 45% efectivo anual.

• Otro caso se daría cuando un comerciante compra mercancías y al venderlas obtiene una ganancia neta del 6% en un mes, en consecuencia para este comerciante la TIO es de 6% efectivo mensual.

Ahora se explicará como es aplicable esta tasa en la evaluación
de proyectos de inversión organizacionales. 

1.8.1.- EJERCICIO II.

Un señor realiza mensualmente cursos de capacitación en manejo de computadores, con una duración de un mes.  El cupo para cada curso es de 15 alumnos y el valor de la matrícula es de $10.000 por alumno; el costo del profesor, mantenimiento de equipos y otros costos ascienden a $50.000 por mes, lo cual da la utilidad neta de:

15 X 10.000 – 50.000 = $100.000

Si su inversión en equipos y mobiliario ascienden a $4.000.000, entonces, su tasa de oportunidad será:

En consecuencia, la TIO es una tasa que varía de una persona a otra y más aún, para la misma persona, varía de tiempo en tiempo. 

Cuando un proyecto puede realizarse de diferentes formas, decimos que tiene alternativas que compiten. El siguiente ejemplo analiza el caso en que ingresos y egresos son conocidos.

1.9.- MÉTODO DEL VALOR PRESENTE NETO (VPN). 

El método del Valor Presente Neto es muy utilizado por dos razones, la primera porque es de muy fácil aplicación y la segunda porque todos los ingresos y egresos futuros se transforman a precios de hoy y así puede verse, fácilmente, si los ingresos son mayores que los egresos. Cuando el VPN es menor que cero implica que hay una pérdida a una cierta tasa de interés o por el contrario si el VPN es mayor que cero se presenta una ganancia. Cuando el VPN es igual a cero se dice que el proyecto es indiferente.

La condición indispensable para comparar alternativas es que siempre se tome en la comparación igual número de años, pero si el tiempo de cada uno es diferente, se debe tomar como base el mínimo común múltiplo de los años de cada alternativa

Por lo general el VPN disminuye a medida que aumenta la tasa de interés, de acuerdo con la siguiente gráfica:

En consecuencia para el mismo proyecto puede presentarse que a una cierta tasa de interés, el VPN puede variar significativamente, hasta el punto de llegar a rechazarlo o aceptarlo según sea el caso.

Al evaluar proyectos con la metodología del VPN se recomienda
que se calcule con una tasa de interés superior a la Tasa de Interés
de Oportunidad (TIO), con el fin de tener un margen de seguridad para cubrir
ciertos riesgos, tales como liquidez, efectos inflacionarios o desviaciones
que no se tengan previstas.

1.9.1. EJERCICIO III.

A un señor, se le presenta la oportunidad de invertir $800.000 en la compra de un lote, el cual espera vender, al final de un año en $1.200.000. Si la TIO es del 30%. ¿Es aconsejable el negocio?

SOLUCIÓN

Una forma de analizar este proyecto es situar en una línea de tiempo los ingresos y egresos y trasladarlos posteriormente al valor presente, utilizando una tasa de interés del 30%.

Si se utiliza el signo negativo para los egresos y el signo positivo para los ingresos se tiene:

VPN = – 800.000 + 1.200.000 (1.3)-1 VPN = 123.07

Como el Valor Presente Neto calculado es mayor que cero, lo más recomendable sería aceptar el proyecto, pero se debe tener en cuenta que este es solo el análisis matemático y que también existen otros factores que pueden influir en la decisión como el riesgo inherente al proyecto, el entorno social, político o a la misma naturaleza que circunda el proyecto, es por ello que la decisión debe tomarse con mucho tacto.

1.9.2.- EJERCICIO IV.

Se presenta la oportunidad de montar una fábrica que requerirá una inversión inicial de $4.000.000 y luego inversiones adicionales de $1.000.000 mensuales desde el final del tercer mes, hasta el final del noveno mes. Se esperan obtener utilidades mensuales a partir del doceavo mes en forma indefinida, de 

A) $2.000.000

B) $1.000.000  

Si se supone una tasa de interés de 6% efectivo mensual, ¿Se debe realizar el proyecto?

SOLUCIÓN

En primera instancia se dibuja la línea de tiempo para visualizar los egresos y los egresos.

A) Se calcula el VPN para ingresos de $2.000.000.

VPN = -4.000.000 – 1.000.000 a7¬6% (1.06)-2 + 2.000.000/0.06 *(1.06)-11

VPN = -4.000.000 – 4.968.300 + 17.559.284

VPN = 8.591.284

En este caso el proyecto debe aceptarse ya que el VNP es mayor que cero.

B) Se calcula el VNP para ingresos de $1.000.000

VPN = -4.000.000 – 1.000.000 a7¬6% (1.06)-2 + 1.000.000/0.06 *(1.06)-11

VPN = -188.508

En esta situación el proyecto debe ser rechazado.

1.10.- MÉTODO DEL VALOR PRESENTE NETO INCREMENTAL (VPNI).

El Valor Presente Neto Incremental es muy utilizado cuando hay dos o más alternativas de proyectos mutuamente excluyentes y en las cuales solo se conocen los gastos. En estos casos se justifican los incrementos en la inversión si estos son menores que el Valor Presente de la diferencia de los gastos posteriores.

Para calcular el VPNI se deben realizar los siguientes pasos:

• Se deben colocar las alternativas en orden ascendente de inversión.

• Se sacan las diferencias entre la primera alternativa y la siguiente.

• Si el VPNI es menor que cero, entonces la primera alternativa es la mejor, de lo contrario, la segunda será la escogida.

• La mejor de las dos se compara con la siguiente hasta terminar con todas las alternativas.

• Se deben tomar como base de análisis el mismo periodo de tiempo.

Para analizar este tipo de metodología se presenta el siguiente ejercicio práctico.

1.10.1.- EJERCICIO V.

Dadas las alternativas de inversión A, B y C, seleccionar la más conveniente suponiendo una tasa del 20%.

SOLUCIÓN

Aquí se debe aplicar rigurosamente el supuesto de que todos los ingresos se representan con signo positivo y los egresos como negativos.

1

• A) Primero se compara la alternativa A con la B

B) La línea de tiempo de los dos proyectos seria:

C) El VPNI se obtiene:

Como el VPNI es menor que cero, entonces la mejor alternativa es la A.

2. 

A) Al comprobar que la alternativa A es mejor, se compara ahora con la alternativa C.

B) La línea de tiempo para los dos proyectos A y C seria:

B) El VPNI se calcula como en el caso anterior.

Como el Valor Presente Neto Incremental es menor que cero, se puede concluir que la mejor alternativa de inversión es la A, entonces debe seleccionarse esta entre las tres.

Toma de decisiones bajo incertidumbre

• MATRIZ DE BENEFICIOS.

Una matriz de beneficios es una manera formal de mostrar la interacción de las alternativas decisorias con los estados de la naturaleza. Los estados de la naturaleza no necesitan ser eventos naturales como sol y lluvia. La expresión se emplea para describir una amplia gama de eventos futuros y sobre los cuales no tiene ningún control quien toma las decisiones. La matriz de beneficios asigna un valor cualitativo o cuantitativo a cada posible estado futuro, para cada una de las alternativas bajo análisis.

Como un ejemplo de la estructuración de una matriz de beneficios, considérese la siguiente situación. Una empresa de ingeniería y construcción tiene la oportunidad de presentar propuestas para dos contratos. El primer contrato involucra el diseño y construcción de una planta para convertir basura sólida en vapor para proveer calefacción a una ciudad. El segundo contrato involucra el diseño y construcción de un sistema de distribución de vapor dentro de la ciudad. La empresa puede obtener uno, cualquiera de los dos contratos X ó Y ó ambos contratos, es decir X y Y, se tienen, en consecuencia, tres posibles resultados o "estados de la naturaleza".

Al analizar las oportunidades que ofrecen estos dos contratos, la empresa identifica cinco alternativas. La Alternativa A1 supone que la firma sirva como director de proyectos pero subcontratando todo el trabajo a realizar. La Alternativa A2 implica que la empresa subcontrate el diseño pero que haga ella misma los trabajos de construcción. La Alternativa A3 supone que la firma subcontrate la construcción pero haga ella misma el diseño. La Alternativa A4 implica que la empresa realice el diseño y la construcción. La Alternativa A5 supone que la empresa cotice conjuntamente con otra organización que tiene capacidad suficiente para realizar un proyecto innovativo de este tipo.

El siguiente paso una vez que se hayan identificado los estados de la naturaleza y las alternativas, supone determinar el valor de los beneficios. Deben determinarse, en este ejemplo 15 valores de pago o beneficio al hacer una lista de los desembolsos y los ingresos que se anticipan durante el tiempo y que se identifican con cada alternativa para cada estado de la naturaleza, se encuentra el valor presente de la utilidad. Supóngase que estos valores presentes se expresan en miles de dólares como aparecen en la Tabla 1.

Tabla 1.- MATRIZ DE PAGO PARA UTILIDADES EN MILES DE DÓLARES.

Se puede ver de la matriz de pagos que la empresa podría incurrir en una pérdida real de $4 millones si se escoge la Alternativa A1 y se otorga el contrato X. Si se le otorga el contrato Y, la utilidad presente sería de $1 millón. La utilidad presente sería de $2 millones si le fueran otorgados los dos contratos. Entonces cada línea de la matriz de pago representa los resultados esperados por cada estado de la naturaleza (columna) para esta alternativa en particular (línea).

Antes de proceder, debe examinarse la matriz de beneficios acerca de las situaciones de dominio. Si entre dos alternativas siempre es preferible una independientemente de lo que ocurra en el futuro, la alternativa preferida domina y la otra puede descartarse.

Así en la Tabla 1 puede descartarse la alternativa A1 porque está dominada por otras. En consecuencia, la matriz de beneficios puede traducirse a la forma que aparece en la Tabla 2.

Tabla 2.- MATRIZ DE PAGO REDUCIDA EN MILES DE DÓLARES.

Las que se presentan en las secciones siguientes pueden emplearse para ayudar a seleccionar una de las cuatro alternativas.

• REGLAS QUE AYUDAN A SELECCIONAR UNA ALTERNATIVA.

2.2.1 Regla de Laplace.

Si la empresa estuviera dispuesta a asignar probabilidades a los estados de la naturaleza de la Tabla 2, la situación decisoria se clasificaría como de toma de decisiones bajo riesgo. En ausencia de estas probabilidades, uno podría razonar que cada estado posible de la naturaleza tiene tanta probabilidad de ocurrir como cualquiera de los otros. La racionalización de esta suposición es que no hay base establecida para que un estado de la naturaleza sea mas probable que cualquiera de los otros. Esto se conoce con el nombre de principio de Laplace o el principio de la razón insuficiente basado en la filosofía de que la naturaleza se supone indiferente

Bajo el principio de Laplace, la probabilidad de ocurrencia de cada estado de la naturaleza se supone igual a 1/n, donde n es el número de estados posibles futuros. Para seleccionar la mejor alternativa se calcularía el promedio aritmético para cada una. Para la matriz de beneficios de la Tabla 2 esto se logra como se muestra en la tabla 3. la Alternativa A4 resulta con una utilidad máxima de $ 2.333.000 y sería la seleccionada al utilizar este procedimiento.

Tabla 3. CALCULO DEL PAGO PROMEDIO EN MILLONES DE DOLARES.

2.2.2.- Regla del maximin y maximax

Se tienen dos reglas de decisión bastante simples para enfrentar decisiones bajo incertidumbre. La primera sobre los resultados de la naturaleza. El uso de esta regla se justificaría si se juzgara que la naturaleza haría lo peor. La segunda es la regla del maximax basada en una visión extremadamente optimista de los resultados de la naturaleza. El uso de esta regla se justificaría si se juzgara a la naturaleza como haciendo lo mejor.

Debido al pesimismo involucrado en la regla maximin, con su empleo se escogería la alternativa que garantiza el mejor de los peores resultados posibles. Si Pij se usa para representar el pago (beneficio) de la alternativa i en el estado j de la naturaleza, entonces el cálculo requerido es:

Considerando la situación decisoria descrita por la matriz de beneficios que aparece en la tabla 2. El empleo de la regla maximin requiere que se seleccione el valor mínimo en cada línea. Luego se identifica el valor máximo entre estos y que esté asociado con la alternativa que lo produciría. Este procedimiento se ilustra en la Tabla 4. La selección de la Alternativa A2 o de la A5 garantiza a la empresa un pago de por lo menos $1.000.000, independientemente del resultado de la naturaleza.

Tabla 4. PAGO EN MILES DE DOLARES. PARA LA REGLA MAXIMIN

El optimismo de la regla máximas está en contraste total con el pesimismo de la regla maximin. Su empleo escogería la alternativa que garantice el mejor de los resultados posibles. Lo mismo que antes si Pij representa el pago para la alternativa i en el estado j de la naturaleza, entonces el cálculo requerido es:

Considérese la situación decisoria de la Tabla 2. El empleo de la regla máximas requiere que se seleccione el valor máximo en cada línea. Entonces, se identifica el valor máximo entre ellos y que esté asociado con la alternativa que lo produciría. Este procedimiento se ilustra en la Tabla 5. Lo indicado es la selección de la Alternativa 3. Entonces, quien toma las decisiones puede recibir un pago de $6.000.000 si la naturaleza es benévola.

Tabla 5. PAGO EN MILES DE DOLARES PARA LA REGLA MAXIMAX

Una persona que debe tomar decisiones y escoja la regla maximin considera únicamente la peor ocurrencia posible para cada alternativa y selecciona aquella que prometa el mejor de los peores resultados posibles.

2.2.3.- Regla de Hurwicz.

Debido a la naturaleza extrema de las reglas decisorias presentadas en la sección anterior, son rechazadas por muchas de las personas que deben tomar decisiones. La mayoría de los seres humanos poseen un grado de optimismo o de pesimismo que se encuentra en algún punto intermedio de los dos extremos. Un tercer enfoque para la toma de decisiones bajo incertidumbre involucra un índice relativo de optimismo o pesimismo. Se llama la regla de Hurwicz.

En la regla de Hurwicz se involucra una negociación o compromiso entre optimismo y pesimismo al permitir quien toma las decisiones seleccione un índice de optimismo a tal que 0( a (1. Cuando a = 0, quien toma las decisiones es pesimista acerca de los resultados de la naturaleza mientras que un valor a = 1 indica optimismo sobre los mismos hechos. Una vez que se ha seleccionado a , la regla de Hurwicz requiere el cálculo de:

donde P ij es el pago para la alternativa i y el estado j de la naturaleza.

Como un ejemplo de la regla de Hurwicz, considérese la matriz de beneficios que aparece en la Tabla 2 con a = 0,2. Los cálculos requeridos se muestran en la Tabla 6 y la empresa seleccionaría la Alternativa A2.

Tabla 6.

En consecuencia, la regla maximin y la regla máximas son casos especiales de la regla de Hurwicz..

La filosofía que está detrás de la regla de Hurwicz es que mucha gente centra su atención en los resultados o en las consecuencias mas extremas para llegar a una decisión. Para el empleo de esta regla quien toma la decisión debe pesar los extremos de una manera tal que refleja la importancia relativa que se le asigne a cada uno.

2.2.4.- Regla mínimax de la pena o el pesar.

Si quien toma decisiones selecciona una alternativa y se presenta un estado de la naturaleza tal que se hubiera podido estar en mejores condiciones al haber seleccionado otra alternativa, se "siente pena" por la selección original. El pesar o la pena es la diferencia entre el pago que se hubiera logrado con un conocimiento perfecto de la naturaleza y el pago que se recibe en realidad con la alternativa seleccionada. La regla minimax de la pena o el pesar se basa sobre la premisa de que quien toma decisiones desea evitar cualquier pena o pesar o, al menos minimizar la pena máxima con respecto a una decisión.