Funciones lógicas
Función EQU (EQU)
Operación: equivalencia lógica.
Salida: A · B + A' · B'
A B A · B + A' · B'
=======================
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Simplificación de funciones
REPRESENTACION DE FUNCIONES
Expresión algebraica
Una función puede representarse mediante su formulación algebraica, que consiste en una combinación de variables relacionadas por las tres operaciones lógicas básicas.
Ejemplo:
f( A, B, C ) = A · B · C + A' · B · C + A' · B · C'
Simplificación de funciones
Tabla de verdad
Otra forma de representar una función lógica consiste en utilizar una tabla en la que figuren todas las combinaciones posibles de las variables de entrada y el valor correspondiente de la función para cada una de dichas combinaciones.
Ejemplo:
f( A, B, C ) = A · B · C + A' · B · C + A' · B · C'
Simplificación de funciones
A B C f
=============
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
Simplificación de funciones
Transformación
A menudo resulta interesante obtener la función algebraica equivalente de una tabla de verdad. Para ello existe un procedimiento que consiste en escribir la ecuación de la función como suma de los términos cuyas combinaciones en la tabla de verdad tengan asignados el valor 1.
Simplificación de funciones
Cada término consistirá en un producto de todas las variables de las que depende la función, escritas en su forma natural o complementada, según que en la combinación correspondiente a dicho término en la tabla aparezcan con un 1 o con un 0 respectivamente.
Simplificación de funciones
Ejemplo: obtener un expresión algebraica de la siguiente tabla de verdad.
A B C f
=========
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 0
f( A, B, C ) = A' · B' · C' + A' · B · C + A · B · C'
Simplificación de funciones
FORMAS CANONICAS
Una suma de productos de todas las variables.
Un producto de sumas de todas las variables.
Toda función booleana puede transformarse en una forma canónica, y esta transformación es única.
Simplificación de funciones
Teorema de transformabilidad
Si n es el número de variables, existen 2^n términos canónicos, y el número posible de funciones canónicas es igual al de variaciones con repetición de dos elementos, 0 y 1, tomados de 2^n en 2^n, es decir:
Nº funciones posibles = 2^2^n
Simplificación de funciones
Expresión en minterms
Suele utilizarse la siguiente notación para referirse a los productos que aparecen en la primera forma canónica: cada producto se denomina mi, siendo i el valor decimal de la combinación binaria que se obtiene al sustituir por 1 las variables que, en el producto, aparecen en forma natural, y por 0 las que lo hacen en forma complementada.
Simplificación de funciones
Estos términos reciben el nombre de minterms, que es contracción de minimum term, y que indica que los productos de conjuntos constituyen los conjuntos mínimos que se pueden formar operando con las variables.
Ejemplo: utilizando la función del ejemplo anterior m3 representa
A' · B · C = 011
Simplificación de funciones
Expresión en maxterms
Análogamente se representan por Mi las sumas canónicas de la segunda forma, teniendo el índice i el mismo significado que en la definición de minterms.
Estos términos Mi reciben la denominación de maxterms.
Simplificación de funciones
Nombre que ahora corresponde a la contracción de maximum term, y que indica que las sumas de conjuntos constituyen los conjuntos máximos que pueden formarse operando con las variables.
Ejemplo: utilizando la función del ejemplo anterior M5 representa
A + B' + C = 101
Simplificación de funciones
Transformación entre minterms y maxterms
Si se representa ahora por f( i ) el valor que adopta la función al sustituir las variables por 1 o 0, según el valor indicado por la combinación binaria correspondiente a i, las dos expresiones generales anteriores pueden escribirse así:
f( A, B, C,… ) = Suma [0, 2^n – 1] f( i ) · mi = Producto [0, 2^n – 1] ( f( 2^n – 1 – i ) + Mi )
Simplificación de funciones
Por tanto, si en la primera forma canónica aparece en término mi, el término M^2n – 1 – i de la segunda forma canónica no aparecerá, y para pasar de la primera a la segunda forma canónica bastará con escribir los términos cuyo índice sea el complementario a 2^n – 1 de los productos canónicos que no aparecen en la primera forma.
Simplificación de funciones
Ejemplo: pasar a la segunda forma canónica la función
f( A, B, C ) = m1 + m2 + m7
m1 + m2 + m7 = A' · B' · C + A' · B · C' + A · B · C
Simplificación de funciones
Los productos no utilizados en la primera forma canónica son:
m0 + m3 + m4 + m5 + m6 = A' · B' · C' + A' · B · C + A · B' · C' + A · B' · C + A · B · C'
Simplificación de funciones
mi = M2^n – 1 – i
=======================================
A' . B' . C' = A + B + C
A' . B . C = A + B' + C'
A . B' . C' = A' + B + C
A . B' . C = A' + B + C'
A . B . C' = A' + B' + C
f(A,B,C) = M1 · M2 · M3 · M4 · M7
= (A'+B'+C) · (A'+B+C') ·
(A'+B+C) · (A+B'+C') · (A+B+C)
Simplificación de funciones
Obtención de las formas canónicas a partir de las tablas de verdad
La parte izquierda de la tabla representa todos los productos canónicos posibles, en los que las variables figuran en su forma natural o complementada según que en la combinación correspondiente de la tabla aparezca, para esa variable, un 1 o un 0, respectivamente.
En la parte derecha de la tabla aparecen los coeficientes f( i ), es decir, el valor que adopta la función al sustituir las variables por 1 o 0 según la regla anterior.
Simplificación de funciones
La función, en su primera forma canónica, será la suma de los productos canónicos cuyos coeficientes sean 1, es decir, la suma de términos cuyo valor resultante en la tabla de verdad sea un 1.
La segunda forma canónica de una función puede obtenerse también de la tabla de verdad buscando las combinaciones para las que el valor de f es igual a 0, y escribiendo el término correspondiente como suma de variables que figurarán en su forma directa si en la tabla hay un 0, o en su forma complementada si en la tabla hay un 1.
Simplificación de funciones
Ejemplo: dada la función booleana n determinada por la siguiente tabla de verdad.
A B C f
=============
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
1ª forma canónica: f(A,B,C) = A'·B'·C' + A'·B·C' + A'·B·C + A·B·C = m0 + m2 + m3 + m7
2ª forma canónica: f(A,B,C) = (A+B+C') · (A'+B+C) · (A'+B+C') · (A'+B'+C) = M1·M2·M3·M6
Simplificación de funciones
SIMPLIFICACION DE FUNCIONES
Significado
La teoría de la conmutación tiene dos objetivos fundamentales:
Obtener los circuitos lógicos que representan a las diferentes funciones booleanas.
Obtener, de entre los muchos circuitos lógicos que pueden representar a una función dada, el circuito de coste mínimo.
Simplificación de funciones
El problema de hallar la forma mínima de una expresión booleana, entendiendo por mínima las más económica posible, no está resuelto de una forma general y sistematizada.
Existen varios procedimientos sistemáticos, pero que no llegan a proporcionar de forma categórica la simplificación máxima para las diferentes funciones booleanas que se pueden presentar en la práctica. De entre ellos se describirá el procedimiento basado en los mapas de Karnaugh, que probablemente es el más simple y conocido.
Simplificación de funciones
Orden de un circuito lógico
La solución simplificada de una función booleana no es única, pudiéndose obtener varias funciones distintas con igual grado de minimización, es decir, con el mismo coste. Cualquiera de esas funciones es válida y la elección de una u otra dependerá del usuario y de la consideración del orden de un circuito lógico.
Se define el orden como el número máximo de veces que una variable booleana debe atravesar circuitos lógicos en serie antes de alcanzar la salida.
Simplificación de funciones
Normalmente, se elige siempre un orden inferior por las siguientes razones:
Las señales se atenúan y deforman cada vez que se realiza con ellas una operación lógica.
Los retardos en la señal que cada nivel produce.
Simplificación de funciones
Método del mapa de Karnaugh
Un mapa de Karnaugh para funciones de n variables consiste en un conjunto de 2^n cuadrados, cada uno de los cuales se encuentra asociado a un minterm o a un maxterm, y dispuestos de tal forma que para pasar de un minterm a otro a lo largo de una de las dos direcciones posibles, horizontal o vertical, únicamente es preciso cambiar una variable.
Simplificación de funciones
Mapa de Karnaugh para dos variables:
B' B
=============
A' m0 m1
A' · B' A' · B
=============
A m2 m3
A · B' A · B
=============
Simplificación de funciones
Mapa de Karnaugh para tres variables:
B' B' B B
======================================
A' m0 m1 m3 m2
A' · B' · C' A' · B' · C A' · B · C A' · B · C'
======================================
A m4 m5 m7 m6
A · B' · C' A · B' · C A · B · C A · B · C'
======================================
C' C C C'
Simplificación de funciones
Mapa de Karnaugh para cuatro variables:
C' C' C C
======================================
A' m0 m1 m3 m2 B'
A'·B'·C'·D' A'·B'·C'·D A'·B'·C·D A'·B'·C·D'
======================================
A' m4 m5 m7 m6 B
A'·B·C'·D' A'·B·C'·D A'·B·C·D A'·B·C·D'
======================================
A m12 m13 m15 m14 B
A·B·C'·D' A·B·C'·D A·B·C·D A·B·C·D'
======================================
A m8 m9 m11 m10 B'
A·B'·C'·D' A·B'·C'·D A·B'·C·D A·B'·C·D'
======================================
D' D D D'
Simplificación de funciones
Para agrupar la función en términos más simplificados, se agrupan las casillas que contienen un 1 mediante potencias en base 2, es decir, 2, 4, 8, … y se expresar mediante una suma de productos, ya que, el caso más usual es que venga expresada en minterms.
Simplificación de funciones
En el caso de que la función booleana esté expresada en maxterms, el método de Karnaugh se aplica de la misma forma que en el caso de minterms, la única diferencia estriba en que los unos que deben ponerse en las casillas son los correspondientes a los maxterms existentes en la función.
Simplificación de funciones
Redundancias
A menudo, en el diseño de sistemas digitales sucede que ciertas combinaciones de las variables, es decir, ciertos minterms, son prohibidos por alguna razón.
Estas combinaciones prohibidas reciben el nombre de redundancias y pueden utilizarse para simplificar funciones booleanas.
Simplificación de funciones
Para minimizar una función booleana que presente redundancias, pueden utilizarse los mapas de Karnaugh del mismo modo que en la subsección precedente, y puesto que los minterms correspondientes a las combinaciones prohibidas nunca se van a producir, los cuadros correspondientes en el mapa de Karnaugh pueden hacerse ceros o unos, en función de lo que interese al diseñador.
Cada minterm que sea redundante se indicará con una cruz en la casilla correspondiente del mapa de Karnaugh, y a continuación se pondrán unos o ceros en lugar de las cruces, según convenga en la simplificación.
Simplificación de funciones
Criterios de valoración
Simplificar la función con las reglas dadas de modo que se obtenga la expresión que contenga menos sumandos (si está expresada en forma de minterms) o menos productos (si está expresada en forma de maxterms).
Si se obtienen varias funciones equivalentes desde el punto de vista considerado anteriormente, se tomará como más simple la expresión que contenga menos variables.
Simplificación de funciones
Se hallará la forma dual para ver si es más simple.
Se estudiará, en caso de tener varias expresiones equivalentes (es decir, con el mismo número de términos y variables), cuál es la de menor orden.
Si se tuviese que decidir finalmente entre varias funciones posibles con el mismo número de términos, de variables e igual orden, se elegirá la más económica, es decir, la que necesite menor número de diodos y transistores evaluando los circuitos AND, OR y NOT necesarios.
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