OBSERVACIÓN: Un sistema puede: tener solución
única, no tener soluciones o tener infinitas soluciones. En caso de
tener una solución única la misma se representacomo un par ordenado
de la forma (x ; y).
Para determinar analíticamente, si un sistema tiene solución
única, no tiene soluciones, o tiene infinitas soluciones si b1(0 y
b2(0 se puede despejar la y en cada una de las ecuaciones y representarla
en la forma:
Sistemas equivalentes, son aquellos que tienen la misma
solución.
Métodos analíticos para la resolución
de sistemas de ecuaciones lineales con dos variables.
1. Método de sustitución, consiste en
despejar una variable en alguna de las dos ecuaciones y sustituir en la
otra ecuación, esto conduce a una ecuación lineal que se
resuelve y luego se halla el valor de la variable en la ecuación
despejada.
Ejemplo:
2. Método de adición y sustracción
(también denominado método de reducción o
método de Gauss), consiste en multiplicar ambas ecuaciones
por un número diferente de forma que los coeficientes de alguna
de las dos variables sean opuestos, se suman ambas ecuaciones y se llega
a una ecuación lineal que se resuelve, la otra variable se puede
hallar de la misma forma o sustituyendo el valor de la variable obtenida
en alguna de las dos ecuaciones dadas.
Ejemplo:
3. Método de igualación, consiste en despejar
una de las variables en ambas ecuaciones e igualar entre sí las expresiones
de las variables despejadas para resolver la ecuación de una sola variable
resultante y el valor obtenido sustituirlo en cualquiera de las ecuaciones
originales para determinar el de la segunda variable.
Ejemplo:
Interpretación geométrica de las soluciones de
un sistema de ecuaciones con dos variables:Si el sistema tiene solución única entonces
podemos decir que las rectas se intersecan en un punto.Si el sistema no tiene solución entonces podemos
decir que las rectas son paralelas.Si el sistema tiene infinitas soluciones entonces las
rectas coinciden.Sistema de dos ecuaciones lineales con tres variables,
Pasos para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales
con tres variables:
1. Se toman dos parejas de ecuaciones en las que
se elimina la misma variable, para obtener dos nuevas ecuaciones con solo
dos variables.2. Se resuelve el sistema formado por estas dos
ecuaciones.3. Se sustituyen los valores encontrados en una
de las ecuaciones originales y se halla el valor de la otra variable.
Ejemplo: Halla el conjunto solución del siguiente sistema
de ecuaciones:
Resolución:
Trabajar primero con las ecuaciones (I) y (II) para eliminar, por ejemplo,
la variable z.
Multiplicando la ecuación (I) por 2 y adicionándole la
ecuación (II):
Sistemas cuadráticos (sistema formado por una ecuación
lineal y una cuadrática):
Un sistema de ecuaciones se considera cuadrático cuando el mayor
grado de al menos, una de las variables es 2.
Pasos para resolver un sistema formado por una ecuación
lineal y una cuadrática:
1. Se despeja una variable en la ecuación
lineal.2. Se sustituye la variable despejada en la ecuación
cuadrática.3. Se resuelve la ecuación de segundo grado
obtenida.4. Se calculan los valores de la otra variable.
Ejemplo: Resuelve el siguiente sistema
ACTIVIDADES A DESARROLLAR EN TORNO AL TEMA
Ejercicio: Dada la función real f que a cada número
asocia el triple más uno:
a) Escriba su expresión algebraica.
b) Calcule f (1) y f (¾).
d) Analice las propiedades de inyectividad y monotonía.
Ejercicio 1: En la figura aparece representada la
función lineal f, que corta a los ejes de coordenadas en A y B.
Ejercicio 2: Haz el esbozo gráfico de la función
f(x) = -| x | + 3,5 e indica sus propiedades.
Ejercicio 3: ¿Para qué valores de x((, la función
( es no negativa? Si f(x) =|x + 1| – 4.
a) Determina sus ceros
b) Represéntela gráficamente.
Ejercicio 4: La ecuación del espacio recorrido por un
móvil es S= 5 +3t + 2t2 donde s se expresa en metros y t en
segundos.
a) ¿Qué longitud ha recorrido el móvil al cabo
de 5 segundos de iniciar el movimiento?
b) ¿Cuál es la longitud recorrida durante el quinto segundo?
c) ¿Cuánto tiempo ha transcurrido cuando ha recorrido
157 metros desde el inicio?
Ejercicio 5: Se lanza un proyectil.
La altura alcanzada y (en Km) y los kilómetros recorridos x
están relacionados por la ecuación
Calcula la máxima altura alcanzada por el proyectil.
Ejercicio 6: Dadas las funciones
a) Represéntalas en un mismo sistema de ejes.
b) Indica el comportamiento creciente o decreciente de cada
una.
Ejercicio 7: Un ciclista parte del kilómetro
10 de una carretera a una velocidad constante de 20 kilómetros hora.
a) Halla la expresión algebraica de la función
que relaciona el punto kilométrico de la carretera con el tiempo transcurrido
desde el inicio.
b) Representa la función.
Ejercicio 8:
Ejercicio 9: Para cada una de las funciones siguientes; halle
su dominio de definición; su conjunto imagen; sus ceros; determine
los intervalos de monotonía; determine pariedad; analice si es inyectiva
y en caso afirmativo halle su inversa; haga su esbozo gráfico.
Ejercicio 10: Lanzamos un proyectil. La altura alcanzada y (en
km) y los kilómetros recorridos x están relacionados por la
ecuación y= -2×2 + 4x; a 1 km del lugar de lanzamiento se encuentra
una montaña cuya ladera oeste sigue la recta de ecuación
y = 6x – 6. Halla el punto de la montaña donde se producirá
el impacto.
Ejercicio 11: Analiza la intersección de la
recta y = -x + 2 y la parábola y = x2.
Ejercicio 12: Selecciona la respuesta correcta marcando con
una x en la línea dada.
El valor numérico de a en la ecuación de la función
f definida en el conjunto de los números reales por f(x) = ax2-2x+a
siendo f(2)=3 es:
Ejercicio 13: Clasifica las siguientes proposiciones
en verdaderas o falsas. Escribe V o F en la línea dada. Justifica las
que sean falsas.
Ejercicio 14: Selecciona la respuesta correcta marcando con
una x en la línea dada.
Ejercicio 15: Haz el esbozo gráfico de la función
g(x) = | x + 6| – 3 e indica sus propiedades.
Ejercicio 16: En los juegos de Sydney, un nadador
de la delegación de Cuba, deja caer la toalla desde el trampolín
de 10 m de altura. ¿Cuántos segundos tardará en llegar
a la zona de la piscina?
ESFUÉRZATE POR RESOLVER CON INDEPENDENCIA LAS
TAREAS QUE SE LE PLANTEAN
¡LE DESEAMOS ÉXITOS!
François Viète (1540 – 1603), conocido en multitud de
textos en español por su nombre latinizado Francisco Vieta fue un matemático
y jurista francés. Se lo considera uno de los principales precursores
del álgebra. Fue el primero en emplear letras para simbolizar las incógnitas
y constantes en las ecuaciones. François Viète también
fue conocido en su época como súbdito del rey fiel y competente.
Fue consejero privado de los reyes de Francia Enrique III y de Enrique IV.
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716). Leibniz fue el primero que
utilizó el término función en el siglo XVII. Para él
y para los matemáticos del siglo XVIII, el concepto de relación
funcional en sentido matemático estaba más o menos identificado
con el de una fórmula algebraica sencilla que expresara la naturaleza
exacta de esta dependencia. Leibniz también introdujo los términos
constante, variable y parámetros y la notación de derivada anteriormente
citada.
Diofanto de Alejandría matemático griego que vivió
probablemente en el siglo III. Su legado matemático se considera como
un precedente del álgebra. En su publicación Aritmética
de gran originalidad, por primera vez en la historia de las matemáticas
griegas, se trataron de una forma rigurosa no sólo las ecuaciones de
primer grado, sino también las de segundo. Introdujo un simbolismo
algebraico muy elemental al designar la incógnita con un signo que
es la primera sílaba de la palabra griega arithmos, que significa número.
Los problemas de álgebra que propuso prepararon el terreno de lo que
siglos más tarde sería "la teoría de ecuaciones".
A pesar de lo rudimentario de su notación simbólica y de lo
poco elegantes que eran los métodos que usaba, se le puede considerar
como uno de los precursores del álgebra moderna.
Johann Widman (1460 – 1498); matemático alemán que floreció
a fines del siglo XV, pues en el año 1486 recibió el diploma
de Magister artium en la Universidad de Leipzig. Su nombre figura en la historia
de la Matemática por su obra de Aritmética comercial: Behend
und hünsch rechung auf alten kauffmannschaften, Leipzig, 1489, en
la que aparecerán por primera vez los signos "+" y "-"
de la adición y sustracción, utilizados al principio para indicar
excesos y deficiencias.
Albert Girard (1595 – 1632) matemático nacido en Francia. Fue
el introductor de numerosos símbolos matemáticos, dígase
el primero en usar las abreviaciones "sen", "cos", "tan"
para las funciones trigonométricas en un tratado, así como en
introducir por primera vez en su Invention Nouvelle en Algebre el
uso de los paréntesis; explica el método de descomposición
de un polinomio en factores, enuncia el teorema fundamental del álgebra
(establece que cualquier ecuación polinómica, P(x) = anxn +
an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a0 = 0, de grado mayor que 1, con coeficientes
complejos, tiene solución, y esta solución pertenece a los
números complejos).
Nicolás Chuquet, matemático francés, nacido en
París alrededor de 1450 (algunas fuentes dicen que en 1445, y otras
retrasan su venida al mundo hasta 1455), y fallecido en Lyon en 1488 (o en
1500, según otros documentos de la época). Considerado como
el principal matemático francés del siglo XV, fue el autor del
primer tratado de álgebra escrito en dicha nación e introdujo
en la historia de las Matemáticas universales algunas nociones de uso
tan frecuente como las de numerador y denominador de una fracción.
Introdujo en Europa occidental los números negativos; se le reconoce,
además, por ser el primero que colocó el exponente en una posición
elevada con respecto a la línea base en el siglo XV.
"DESEO ÚNICAMENTE TRANQUILIDAD Y REPOSO". Éstas
son las palabras del hombre que desvió la Matemática hacia nuevos
caminos y cambió el curso de la historia científica. René
Descartes (1596-1650) se reconoce como el mayor filósofo francés
de todos los tiempos, padre de la filosofía moderna, e iniciador del
racionalismo.
Yohann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805 – 1859), matemático
y físico alemán de origen francés. En el campo del análisis
matemático perfeccionó la definición y concepto de función,
y en mecánica teórica se centró en el estudio del equilibrio
de sistemas y en el concepto de potencial newtoniano.
Leonhard Paul Euler (1707 – 1783), se le considera el principal matemático
del siglo XVIII y uno de los más grandes de todos los tiempos. Euler
a pesar de sufrir un grave problema de visión realizó contribuciones
muy importantes a la matemática pura y aplicada. Se le conoce por su
tratamiento analítico de las matemáticas y su discusión
de conceptos del cálculo infinitesimal, pero también por su
labor en acústica, mecánica, astronomía y óptica.
En conmemoración suya, Euler ha aparecido en la serie sexta de los
billetes de 10 francos suizos, así como en numerosos sellos postales
tanto suizos como alemanes y rusos. El asteroide (2002) Euler recibió
ese nombre en su honor.
Carl Friedrich Gauss (1777-1855), matemático, físico
y astrónomo alemán conocido por sus muy diversas contribuciones
en estas áreas muy en especial en Matemática. Nacido en el seno
de una familia humilde, desde muy temprana edad Karl Friedrich Gauss dio muestras
de una prodigiosa capacidad para las matemáticas (según la leyenda,
a los tres años interrumpió a su padre cuando estaba ocupado
en la contabilidad de su negocio para indicarle un error de cálculo),
hasta el punto de ser recomendado al duque de Brunswick por sus profesores
de la escuela primaria.
Autor:
Graciela Abad Peña.
Licenciada en Educación, especialidad Matemática y Física/
Doctorada en Ciencias Pedagógicas/ Prof. Auxiliar e Investigador Agregado.
Academia de Ciencias de Cuba/Grupo de Análisis y Prospectiva.
Katia Lisset Fernández Rodríguez.
Licenciada en Educación, especialidad Matemática / Doctorada
en Ciencias Pedagógicas / Prof. Auxiliar e Investigador Auxiliar.
Instituto Central de Ciencias Pedagógicas. Miramar.
Municipio Playa. La Habana. Cuba.
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