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La transformada Z

Enviado por Pablo Turmero



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1 DEFINICIÓN Y RELACIÓN CON LA TRANSFORMADA DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO. Una generalización de la Transformada de Fourier es la transformada Z. Ventajas de la Transformada Z La Transformada de Fourier no converge para todas las secuencias La transformada Z tiene la ventaja de que, en problemas analíticos, el manejo de su notación, expresiones y álgebra es con frecuencia más conveniente El empleo de la transformada Z en señales discretas tiene su equivalente en la transformada de Laplace para señales continuas y cada una de ellas mantiene su relación correspondiente con la transformada de Fourier. El empleo de la transformada Z en señales discretas tiene su equivalente en la transformada de Laplace para señales continuas y cada una de ellas mantiene su relación correspondiente con la transformada de Fourier.

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Transformada de Fourier La transformada de la misma secuencia tambien se define como Segun la variable compleja continua z La correspondencia entre una secuencia y su transformada se denota como: La transformada de Fourier es simplemente con La transformada de Fourier es la transformada Z tomando

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Si tomamos La transformada evaluada en los puntos de dicha circunferencia es la transformada de Fourier .

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2 REGION DE CONVERGENCIA La convergencia de la transformada Z depende solamente de entonces: La región en donde se cumple la desigualdad es la región de convergencia. Los valores sobre la circunferencia definida como están dentro de la región de convergencia. La transformada Z es una función analítica en todos los puntos de la región de convergencia; de aquí que la transformada Z y todas sus derivadas con respecto a son funciones continuas en dicha región.

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3 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z La transformada Z posee propiedades que facilitan la solución de ecuaciones en diferencias lineales usando simplemente manipulaciones algebraicas. SUPERPOSICIÓN Se compone de las características de: 1)Homogeneidad: 2)Aditividad:

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si: la transformada Z es: b) CORRIMIENTO A LA DERECHA (RETRASO) La respuesta del sistema se define por: La transformada de la salida y(k) se define a su vez como:

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Desarrollando: La representación en diagrama de bloques para la propiedad de corrimiento a la derecha se muestra abajo:

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C) PROPIEDAD DE CONVOLUCIÓN Para el siguiente sistema: Su salida se define como una suma de convolución: Quedando: Factorizando: La transformada queda: Factorizando

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D) PROPIEDAD DE “SUMACIÓN” Sean las secuencias y si entre ellas es posible establecer la relación: para queda con

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E) PROPIEDAD DE MULTIPLICACIÓN POR Sean las secuencias y Si entre ellas se establece la siguiente relación: entonces la transformada se determina como sigue: para

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F) PROPIEDAD DE DERIVACIÓN para Derivando Multiplicando por -z ,

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G) TEOREMA DEL VALOR INICIAL Es posible determinar el término inicial, , de una secuencia , a partir de la transformada correspondiente. Si entonces H) TEOREMA DEL VALOR FINAL Para f(k) donde sea analítica para

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