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La transformada Z (página 2)




Enviado por Pablo Turmero



Partes: 1, 2

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4 TRANSFORMADAS COMUNES:
1) Impulso unitario (delta de Kronecker).
Definiendo la secuencia impulso unitario para , su transformada se determina de la siguiente forma:
2) Retraso

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3) Escalón unitario
Definido por
La transformada es:
para
4) Serie geométrica

Multiplicando y dividiendo por a

Si se tiene una serie divergente y
Si se tiene una magnitud unitaria y
Si se tiene una serie convergente a cero y

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5) Rampa discreta unitaria
Multiplicando la ecuación anterior por y considerando , se obtiene :
Para una secuencia geométrica se tiene:
Derivando con respecto a z:

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4 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS SISTEMAS DISCRETOS LINEALES.
Dicha representación emplea tres elementos básicos:
1) Unidad de retraso.
2) Unidad multiplicadora.
3) Unidad de suma.

UNIDAD DE RETRASO
La relación característica para esta unidad es
Obtención de un retraso de dos unidades de tiempo discreto

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2) UNIDAD MULTIPLICADORA
La relación característica para esta unidad es

3) UNIDAD DE SUMA
La relación característica para esta unidad es

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5 OBTENCIÓN DE LA RESPUESTA DE UN SISTEMA DISCRETO MEDIANTE TRANSFORMADA Z: LA ANTITRANSFORMADA Z.
5.1 MÉTODO DE EXPANSIÓN EN FRACCIONES PARCIALES.
Considérese una función
Factorizando
Cuando todos los polos de en la ecuación son diferentes

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El cálculo de los coeficientes es como sigue:
La secuencia resulta:
Con polos múltiples queda
La expansión de F(z), en este caso, tiene la forma:

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TABLAPARES DE TRANSFORMADAS Z PARA RAÍCES MÚLTIPLES

para

6 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE SISTEMAS DISCRETOS
El concepto de función de transferencia ; la cual se define como la relación de la transformada Z de la salida, , de un sistema entre la transformada Z de su entrada,

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La expresión general aplicable a la función de transferencia es:
Algunos sistemas tipicos:
1. Sistema en cascada

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2. Sistema inverso
La convolución en este caso resulta:

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3. Sistema realimentado
7 ESTABILIDAD DE SISTEMAS DISCRETOS
Un sistema discreto es estable cuando produce una salida acotada al aplicársele una entrada acotada
Los sistemas discretos estables se caracterizan porque todos sus polos se ubican en el plano complejo z , dentro de un círculo centrado en el origen de radio unitario

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7.1 POLOS DE H(z) Y RESPUESTA TRANSITORIA
La localización de los polos de H(z) en el plano z permite caracterizar efectivamente las propiedades de la respuesta para un sistema discreto lineal.
A.- Polo real en .
La respuesta característica es de la forma
Donde A y F son constantes obtenidas de la expansión en fracciones parciales y:

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Casos:
1- . Sistema inestable.La respuesta a impulso es una oscilación creciente en magnitud.
2- . Sistema inestable.La respuesta es una oscilación parecida a un senoide con magnitud constante.
3-. Sistema estable. El resultado es una oscilación parecida a una senoide decreciente en magnitud.

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7.2. POLOS DOMINANTES
Son los que tienen una influencia de mayor importancia sobre la respuesta transitoria.Son los polos que están más cerca del circulo unitario. Ej p1 y p2.
8.8 RESPUESTA SENOIDAL PERMANENTE DE SISTEMAS LINEALES (FILTROS DIGITALES)
Se asume que la entrada a un sistema es una señal senoidal pura.

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Si consideramos que todos los polos son distintos
Se tiene
1.-
2.-

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Por ser complejas
y
De ahi:
Antitransformando:
Finalmente

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Suprime la frecuencia
Amplifica la frecuencia
8.1 PERIODICIDAD DE
Factor de angulo fase
Una característica particular en los sistemas discretos, es que los factores de ganancia y ángulo son periódicos en relación con la frecuencia.

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8.2 INTRODUCCIÓN A FILTROS DISCRETOS.
La característica de ganancia de un filtro paso bajas ideal se muestra abajo:
2.- Filtro pasa altas:

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3.- Filtro pasa banda:
Filtro paso bajas :el sistema caracterizado por la ecuación en diferencias y función de transferencia
para que la magnitud sea unitaria:
Así pues, la función de transferencia resulta:

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El ancho de banda de un filtro pasa bajas se define como el rango de valores de frecuencia dentro del cual se cumple :

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