Cifras significativas

1. Dígitos distintos de cero son siempre significativos. 45 tiene dos cifras significativas y 45,2 tres.

2. Con el cero hay que distinguir los siguientes casos:

i. Ceros colocados a la izquierda de otros dígitos no son significativos: 0,065 tiene dos cifras significativas.

ii. Ceros colocados entre otros dígitos son siempre significativos: 50005 tiene 5 cifras significativas.

iii. Ceros colocados después de otros dígitos pero después de la coma decimal son significativos: 7,90 tiene tres cifras significativas

iv. Para ceros al final de un número que no contiene decimales la situación es ambigua. Por ejemplo, para el número 9300 no es claro si los ceros son significativos o no. El número de cifras significativas en 9300 es al menos dos pero podrían ser tres o cuatro. Para evitar ambigüedades, es conveniente usar la notación científica para especificar los ceros que son significativos:

3. Para un número de varios dígitos, subraye desde el primer dígito distinto de cero (empezando por la izquierda) hasta el último dígito distinto de cero a la derecha del número. Indique explícitamente que todos los ceros que están entre esos dos dígitos extremos quedaron subrayados (en caso de que esté usando notación científica no tome en cuenta el factor exponencial).

La cantidad de cifras significativas son el número de dígitos subrayados (6 en este caso).

Cifras significativas en cálculos

1. El resultado de un cálculo entre varios términos debe expresarse  con  el mismo número de cifras significativas del término con menos cifras  significativas. (Para redondear un número hasta cierto punto, simplemente se eliminan los dígitos posteriores al punto de redondeo, si el primero de ellos es menor a cinco. Si el primer dígito posterior al punto de redondeo es mayor o igual a cinco, se aumenta en uno el dígito que le precede).

OJO: números enteros multiplicativos o números que son definiciones y no resultados de medidas tienen un número infinito de cifras significativas.

Ejemplos:

a) La cantidad de mililitros en 2 frascos que contienen 125 [ml] cada uno es 2*125= 250 [ml]

b) La masa de un átomo de 12C es por definición 12 [uma]. Ese 12 tiene un número infinito de cifras significativas: así, masa de un átomo de 13C es 12 [uma] *1,0836 = 13,003 [uma]

2. En cálculos en que hay sumas y restas, el número de cifras decimales (no cifras significativas) en la respuesta es igual al menor presente en los números que se están sumando o restando.

3. Cuando se realiza un cálculo de varios pasos mantenga al menos un dígito más que los significativos en las respuestas intermedias y sólo corrija la respuesta final.

En la medición científica se pueden conocer dos tipos de números exactos e inexactos.

Los números exactos, son aquellos que presentan valores enteros o definidos. Por ejemplo: cuando usamos la unidad metro encontramos que tiene exactamente 100 cm, de igual manera en un kilómetro hay 1000 m, en una semana hay 7 días, en una hora hay 60 minutos, etcétera. En todos ellos hay una cantidad exacta.

Los números inexactos son el resultado de las mediciones. Sus valores presentan alguna incertidumbre, debido a errores en el proceso de medición.

Los errores de acuerdo a las causas que los originan se clasifican en: sistemáticos y accidentales o aleatorios.

Cuando se realiza una medición hay errores que afectan a la medida. Si se mide la longitud de una varilla metálica con una regla, se obtiene una cierta cantidad, pero si la longitud de la varilla cambia por efecto de la temperatura, cuándo se mida nuevamente se obtendrá una cantidad diferente, lo que introduce a un error. A este tipo de errores se les denomina errores accidentales o aleatorios y son el resultado de la suma de diversas perturbaciones cambiantes que se combinan de tal manera que cada vez que se mide se obtienen valores distintos.

Los errores sistemáticos e pueden corregir o evitar. Cuando se presentan hacen que los valores en las mediciones sean mas altos o más bajos.

Los errores sistemáticos se originan a causa de:

• Defecto en los instrumentos de medición o falta de calibración de los mismos.

• La forma inapropiada de observar al hacer la medición.

La causa de otros errores está en la forma como se mida o en defectos de los instrumentos de medición, estos errores se llaman errores sistemáticos. Ejemplo, si en la escala que se utilizó para construir una determinada serie de lápices, se cometió un error de una división más grande que las otras, este error afecta todas las mediciones que se lleven a cabo con este instrumento y toda esa serie de lápices saldrá con error.

Errores por imperfección humana

Otro factor que puede impedir llegar al verdadero valor de una magnitud en una medición es la imperfección humana.

La medición es una actividad que trae consigo errores inherentes a la condición humana. Entonces, podemos decir que los errores en la medición abundan y son considerados normales. Sabemos que difícilmente podemos llegar a conocer el valor real de una magnitud, y uno de los motivos que se pueden impedir en determinado momento lograrlo son precisamente los errores en la medición.

Los errores accidentales en la medición se dan en muchas ocasiones por deficiencias en la persona que hace la medición. Por falta de talento para realizarla, por el cansancio que puede tener al llevarla a cabo, por la falta concentración debida a preocupaciones u otros distractores, o por defectos físicos como mala vista, etc. Pero se pueden contrarrestar al hacer muchas mediciones y calcular un promedio.

En cuanto a la manera de estimar el valor de un error, éstos pueden ser: error absoluto y error relativo.

El error absoluto es la diferencia entre el valor verdadero de una magnitud y el valor medido. Por ejemplo: si el valor de una longitud medida es de 30 cm, pero su valor verdadero es de 29.8 cm, el error absoluto es igual a: 30 cm menos 29.8 cm = 0.2 cm.

El valor relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor verdadero. Error relativo = error absoluto/ valor verdadero.

La influencia de algunos factores puede provocar errores e incertidumbre en las mediciones.

Error de paralaje

Es el error humano. Generalmente se comete por no colocar en posición adecuada el ojo humano.

Error por limitaciones instrumentales o por el aparato de medida

Los instrumentos tienen sus limitaciones propias. Algunas son obvias, como el caso de las reglas de madera barata, donde uno puede ver que las divisiones no están espaciadas uniformemente.

Los instrumentos varían en forma notable en calidad; algunos son hechos con mejor diseño y mano de obra que otros. Lógicamente existirán unos más precisos y exactos que otros.

Por ejemplo, las platinas de algunos microscopios se mueven rotando un tornillo calibrado; cada vuelta completa corresponde a un cierto movimiento de la platina.

La exactitud de la medida hecha en tales instrumentos depende de la uniformidad de la rosca del tornillo.

De manera indudable en ocasiones un científico tiene que asegurarse, en primera instancia, de la calidad de los instrumentos que necesita, para ver si le dan la exactitud necesaria en la tarea que tiene en sus manos.

Error por Influencias Extrañas

Impurezas

Después de investigar las propiedades de una sustancia, un químico puede descubrir que sus conclusiones son totalmente inválidas, por la presencia de algunas impurezas en la muestra que está analizando.

Las corrientes de aire

En ocasiones un experimento nos da el resultado esperado debido a que lo que se está midiendo por algún otro factor que está presente. Por ejemplo, la lectura de una balanza no sólo depende del peso en el platillo, sino también de alguna corriente de aire que haya en el lugar.

La temperatura

Si usamos una regla de acero para medir la longitud de un cuerpo, podemos dudar de la exactitud de la lectura, ya que la longitud de la regla puede haber cambiado si la temperatura en el momento de hacer la medida no es la misma que la temperatura que había cuando se grabó la regla.

Humedad

Es otro factor que altera los resultados, ya que ciertos materiales absorben la humedad del medio ambiente, como la madera, por lo tanto, una regla de madera se afectaría.

Incertidumbre

Al hacer el análisis de los posibles errores, se puede apreciar que en el campo experimental se trabaja con ciertos rangos de incertidumbre, que se pueden superar con algunos mecanismos técnicos. Es el error que se obtiene al hacer una lectura en un instrumento por sus unidades métricas. Ejemplo si se utiliza una regla con divisiones hasta de 1 mm al medir se pudo cometer el error de más o menos 1 mm, el cual se llama error absoluto, pero como las longitudes no son iguales la proporción de la incertidumbre es diferente por cada lectura de medición que se haga.

Medidas de un borrador

Largo = 13.2 cm + 1 mm

Ancho = 4.6 cm + 1 mm

Altura = 1.8 cm + 1 mm

Para medir mejor la incertidumbre se calcula el valor relativo y consiste en dividir el error absoluto entre la longitud tomando los datos del ejemplo anterior

Para calcular el porcentaje de incertidumbre se multiplica el error relativo por 100 entre 1

Cabe aclarar que la medición que equivale a contar, no tiene
error por lo que al numerar no existe error fortuito o accidental, es decir,
el que se debe al descuido o impericia del observador, a la imperfección
del instrumento o a la incorrecta aplicación del método.

Ejercicios de notación científica

• 1. Expresa en notación científica:

a) 25.300 d) 9.800.000.000.000

b) 0,000000089 e) 1.254,96

c) 4.376,5 f) 96.300.000

• 2. Escribe con todas sus cifras los siguientes números escritos en notación científica:

a) 2,51 · 106 d) 1,15 · 104

b) 9,32 · 10-8 e) 3,76 ·1012

c) 1,01 · 10-3 f) 9,3 · 105

• 3. Realiza las siguientes operaciones en notación científica:

• a) (3,73 · 10-1) · (1,2 · 102)

• b) (1,365 · 1022) : (6,5 · 1015)

• c) 13.200 · 5,4 · 105

• d) (1,431 · 103) : (5,4 · 105)

• 4. Calcula el término que falta en cada caso:

• a) (2,5 · 106) · ¿? = 8,4 · 105

• b) (3,6 · 1012) : ¿? = 2 ·1012

• 5. Sabiendo que cada persona tiene en la cabeza una media de aproximadamente, 1,5 · 106

cabellos y que en el mundo hay, aproximadamente, 5 · 109 personas, ¿cuántos pelos hay en la Tierra?

• 6. La siguiente tabla de información sobre nuestro sistema solar:

a) ¿Cuál es el planeta de radio menor?

b) ¿Cuál es el planeta que está casi 10 veces más lejano al Sol que la Tierra?

c) Calcula la distancia que hay entre Venus y la Tierra? Expresa el resultado en Km.

d) Imagina que se descubriese un nuevo planeta llamado Vallecus a 25.880.800.000.000 m. del Sol. Expresa esta distancia en notación científica.

¿Cuántas veces estaría más lejos del Sol que la Tierra?

• 7. La distancia entre La Tierra y el Sol es 1,5 · 108 km, la distancia entre La Tierra y Júpiter es 9,3 · 108 km y Neptuno está situado a 4.500.000.000 km. del Sol.

• a) Expresa en notación científica la distancia del Sol a Neptuno.

• b) Calcula la distancia a la que está situado Júpiter respecto del Sol.

• c) Calcula cuántas veces es mayor la distancia del Sol a Neptuno que la que hay a La Tierra.

Definiciones

Precisión es el grado de concordancia entre dos o más mediciones de un dato experimental usando el mismo método. Representa el grado de confiabilidad de una medición, en cuanto a que el resultado se halle libre de errores accidentales.

Exactitud es el grado de concordancia entre un número y aquel que representa el valor verdadero de la cantidad medida o calculada.

 La notación científica es un recurso
matemático empleado para simplificar cálculos y representar en
forma concisa números muy grandes o muy pequeños. Para hacerlo
se usan potencias de diez.

Básicamente, la notación científica consiste en representar un número entero o decimal como potencia de diez.

En el sistema decimal, cualquier número real puede expresarse mediante la denominada notación científica.

Para expresar un número en notación científica identificamos la coma decimal (si la hay) y la desplazamos hacia la izquierda si el número a convertir es mayor que 10, en cambio, si el número es menor que 1 (empieza con cero coma) la desplazamos hacia la derecha tantos lugares como sea necesario para que (en ambos casos) el único dígito que quede a la izquierda de la coma esté entre 1 y 9 y que todos los otros  dígitos aparezcan a la derecha de la coma decimal.

Es más fácil entender con ejemplos:

732,5051  = 7,325051 • 102  (movimos la coma decimal 2 lugares hacia la izquierda)

-0,005612  =  -5,612 • 10-3  (movimos la coma decimal 3 lugares hacia la derecha).

Nótese que la cantidad de lugares que movimos la coma (ya sea a izquierda o derecha) nos indica el exponente que tendrá la base 10 (si la coma la movemos dos lugares el exponente es 2, si lo hacemos por 3 lugares, el exponente es 3, y así sucesivamente.

 Otro ejemplo, representar en notación científica:
7.856,1

1. Se desplaza la coma decimal hacia la izquierda, de tal manera que antes de ella sólo quede un dígito entero diferente de cero (entre 1 y 9), en este caso el 7.

7,8561

La coma se desplazó 3 lugares.

2. El número de cifras desplazada indica el exponente de la potencia de diez; como las cifras desplazadas son 3, la potencia es de 103.

3. El signo del exponente es positivo si la coma decimal se desplaza a la izquierda, y es negativo si se desplaza a la derecha. Recuerda que el signo positivo en el caso de los exponentes no se anota; se sobreentiende.

Por lo tanto, la notación científica de la cantidad 7.856,1 es:

7,8561 • 103

Operaciones con números en notación científica

Multiplicar

Para multiplicar se multiplican las expresiones decimales  de las notaciones científicas y se aplica producto de potencias para las potencias de base 10.

Ejemplo:

Veamos el procedimiento en la solución de un problema:

Un tren viaja a una velocidad de 26,83 m/s, ¿qué distancia recorrerá en 1.300 s?

1. Convierte las cantidades a notación científica.

26,83 m/s  = 2,683 • 101  m/s

1.300 s  = 1,3 • 103  s

2. La fórmula para calcular la distancia indica una multiplicación: distancia (d)  = velocidad (V)  x tiempo (t).

d = Vt

Reemplazamos los valores por los que tenemos en notación científica

3. Se realiza la multiplicación de los valores numéricos de la notación exponencial,

(2,683 m/s) x 1,3 s  =  3,4879 m.

4. Ahora multiplicamos las potencias de base 10. Cuando se realiza una multiplicación de potencias que tienen igual base (en este caso ambas son base 10) se suman los exponentes.

5. Del procedimiento anterior se obtiene:

3,4879  •  104

Por lo tanto, la distancia que recorrería el ferrocarril sería de

3,4879  • 104  m

La cifra 3,4879 •  10 elevado a 4 es igual a 34.879 metros.

 Dividir

Se dividen las expresiones decimales de las notaciones científicas y se aplica división de potencias para las potencias de 10. Si es necesario, se ajusta luego el resultado como nueva notación científica.

Hagamos una división:

Suma y resta 

Si tenemos una suma o resta (o ambas) con expresiones en notación
científica, como en este ejemplo: 

Ver: PSU: Matemática, Pregunta 06

Potenciación

Si tenemos alguna notación científica elevada a un exponente, como por ejemplo

(3 • 106)2

¿qué hacemos?

Primero elevamos (potenciamos) el 3, que está al cuadrado (32) y en seguida multiplicamos los exponentes pues la potencia es (106)2, para quedar todo:

9 • 1012

Ejercicios cifras significativas y notación científica

Decir cuantas cifras significativas tiene cada número

• 7,65___________

• 658.3__________

• 523___________

• 0.924__________

• 0.000235_______

• 0.02876________

• 5.3600_________

• 8.2035_________

Representar el número con el exponencial indicado:

Dado el número colocar el respectivo exponencial

478

0.000478×10

47800×10

0.002498

24.98×10

0.2498×10

5.146

0.5146×10

5146×10

Enviado por:

Ing.+Lic. Yunior Andrés Castillo S.

"NO A LA CULTURA DEL SECRETO, SI A LA LIBERTAD DE INFORMACION"®

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Santiago de los Caballeros,

República Dominicana,

2015.

"DIOS, JUAN PABLO DUARTE Y JUAN BOSCH – POR SIEMPRE"®