Conceptos y criterios economicos y el valor del dinero a traves del tiempo (página 2)

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rápida, o como capital de trabajo. Otro problema era la diversidad de estilos de presentación permitidos por
la norma APB-19
Estados de Flujos de Efectivo-General
Según FAS-95, emitido en el año 1995 el Estado de Flujos de Efectivo específica el importe de efectivo neto
provisto o usado por la empresa durante el ejercicio por sus actividades:
a. De Operación
b. De Inversión
c. De Financiamiento
Este estado financiero nuevo indica el efecto neto de esos movimientos sobre el efectivo y las otras partidas
equivalentes al efectivo de la empresa. En este estado se incluye una conciliación de los saldos al final del
ejercicio y sus equivalentes.
Los equivalentes al efectivo son inversiones a corto plazo, de alta liquidez, que:
a. Son fácilmente cambiables por sumas de efectivo ciertas, y
b. Están tan cerca del vencimiento que es insignificante al riesgo de cambios en su valor debido a cambios
en las tasas de interés.
A lo expuesto podemos agregar que la empresa debe revelar la política que emplea para determinar cuales
partidas clasifican como equivalentes al efectivo. Cualquier cambio de esta política se trata como un cambio
de principio de contabilidad y se efectúa modificando retroactivamente los estados financieros de ejercicios
anteriores que se presentan para la comparación.
Flujos de efectivo brutos netos
Como regla general, el FAS-95 requiere la revelación de los flujos brutos en el Estado de Flujos de Efectivo.
Se supone que los importes brutos de las entradas y salidas tienen mayor relevancia que los importes
netos.
Sin embargo, en ciertos casos puede ser suficiente revelar el importe neto de algunos activos y pasivos y no
los importes brutos. Según el FAS-95, pueden revelarse los cambios netos para el ejercicio cuando no se
necesita conocer los cambios brutos para entender las actividades de operación de inversión y de
financiamiento de la empresa.
Para los activos y pasivos de rotación rápida, de importe elevado y de vencimiento a corto plazo pueden
revelarse los cambios netos obtenidos durante el ejercicio. Como ejemplo están las cobranzas y pagos
correspondientes a:
– Inversiones, en documentos que no son equivalentes al efectivo.
– Préstamos por cobrar, y
– Deuda, siempre y cuando el plazo original del vencimiento del activo del pasivo no exceda los tres meses.
Flujos de efectivo en moneda extranjera
La empresa que convierte cuentas expresadas en moneda extranjera, o que tiene operaciones en el
extranjero, revela en su Estado de Flujos de Efectivo y en su moneda, el importe equivalente a los flujos de
efectivo extranjeros utilizando las tasas de cambio, en efecto, al ocurrir los flujos.
En lugar de las tasas que realmente estaban en efecto al ocurrir los flujos se puede utilizar el promedio,
adecuadamente ponderado, de las distintas tasas vigentes durante el ejercicio, si es que ello produce
esencialmente los mismos resultados. El efectivo de las variaciones en las tasas cambiarias sobre los
saldos tenidos en moneda extranjera se revela en el Estado de Flujos de Efectivo como un componente
separado dentro de la conciliación para el ejercicio del cambio en el efectivo y sus equivalentes.
3. Bases de preparación
Las bases para preparar El estado de Flujo de Efectivo la constituyen:
– Dos Estados de Situación o Balances Generales (o sea, un balance comparativo) referidos al inicio y al fin
del período al que corresponde el Estado de Flujo de Efectivo.
– Un Estado de Resultados correspondiente al mismo período.
– Notas complementarias a las partidas contenidas en dichos estados financieros.
El proceso de la preparación consiste fundamentalmente en analizar las variaciones resultantes del balance
comparativo para identificar los incrementos y disminuciones en cada una de las partidas del Balance de
Situación culminando con el incremento o disminución neto en efectivo.
Para este análisis es importante identificar el flujo de efectivo generado por o destinado a las actividades de
operación, que consiste esencialmente en traducir la utilidad neta reflejada en el Estado de Resultados, a
flujo de efectivo, separando las partidas incluidas en dicho resultado que no implicaron recepción o
desembolso del efectivo.
Asimismo, es importante analizar los incrementos o disminuciones en cada una de las demás partidas
comprendidas en el Balance General para determinar el flujo de efectivo proveniente o destinado a las

actividades de financiamiento y a la inversión, tomando en cuenta que los movimientos contables que sólo
presenten traspasos y no impliquen movimiento de fondos se deben compensar para efectos de la
preparación de este estado.
Metodología para elaborar el estado de flujo de efectivo
Para una mejor comprensión dividimos la metodología en cinco métodos que describimos a continuación:
Paso 1. Determinar el incremento o decremento en el efectivo
El primer paso consiste en cuantificar el cambio que tuvo el saldo de la cuenta de efectivo de un período
con respecto a otro. Lo anterior puede hacerse simplemente mediante una sustracción de dichos saldos,
dejando indicado si éste fue incremento o decremento.
Ejemplo: 352,000.00 – 335,000.00 = B/17,000.00
Paso 2. Determinar el incremento o decremento en cada una de las cuenta del Estado de Situación
Financiera
Este paso es similar al del punto anterior aplicado a todas las partidas del Estado de Situación Financiera.
Esta paso consiste en identificar el impacto en el flujo de efectivo de cada uno de los incrementos o
decrementos de las diferencias partidas del Estado de Situación. Este análisis es realizado tomando como
referencia el Estado de Resultados y las notas complementarias a los estados financieros.
Flujo de efectivo proveniente de la actividad de operación
– Efectivo recibido de clientes
Ventas netas
+Decremento en cuentas por cobrar
– Incremento en cuentas por cobrar
Explicación: Para calcular el efectivo recibido de clientes se toma en cuenta el monto de las ventas netas
más cualquier decremento en las cuentas por cobrar, pues esto significaría que adicionalmente a las ventas,
se cobró una parte de dichas cuentas. En caso de que las cuentas por cobrar se incrementaran, esta
cantidad se deduciría de las ventas puesto que significaría que no todas las ventas se habrían cobrado en
efectivo.
a. Efectivo recibido de clientes
Compañía XXX
Ventas Netas
– Incremento en cuentas por cobrar
Efectivo recibido de clientes
b. Efectivo pagado por compras de mercancías
Costo de ventas
+ Incremento en inventario o
– Decremento en inventario y
+ Decremento en cuentas por pagar o
– Incremento en cuentas por pagar
Explicación: Para calcular el efectivo pagado por compras de mercancías, al costo de ventas se le suma
cualquier incremento en el inventario pues significaría que adquirió más mercancía de la que alcanzó a
vender. En el caso contrario se le restaría. Adicionalmente, a dicha cantidad se le sumaría cualquier
decremento en las cuentas por pagar proveedores, pues significa que aparte de lo que compró, pagó una
porción de las cuentas por pagar que tenía pendientes con sus proveedores. En caso contrario, se haría el
cálculo inverso.
Ejemplo:
En Compañía XXX, S.A.
Costo de ventas
+Incremento en inventarios
+ Decremento en cuentas por pagar
Efectivo pagado por compras de mercancías
c. Efectivo pagado por gastos
Gastos
– Gastos no desembolsables y
+ Incremento en anticipos de gastos o
– Decremento en anticipos de gastos y
+ Decremento en cuentas por pagar o
– Incremento en cuentas por pagar
Explicación: Para calcular el efectivo pagado por gastos, a dicha cantidad se le restan los gastos no
desembolsables (depreciación, cuentas incobrables), se le suma cualquier incremento en los anticipos de

gastos pues significa que pagó más gastos de aquellos en los que incurrió. En caso contrario se le resta.
Adicionalmente, a dicha cantidad se le suma cualquier decremento en los gastos acumulados por pagar,
pues significa que aparte de lo que gastó, pagó una porción de los gastos acumulados que tenía
pendientes. En caso contrario, se hará el cálculo inverso.
Ejemplo:
En Compañía XXX
Gastos de operación
– Gastos no desembolsables
– Incremento en sueldos y salarios
por pagar
Efectivo pagado por gastos
Nota: un procedimiento similar se seguirá si existen otros tipos de gastos, tales como gastos por intereses e
impuestos.
2. Flujo de efectivo proveniente de o destinado a las actividades de inversión
a. Efectivo pagado por compras de activo fijo
Para calcular este monto es preciso analizar el cambio que sufrió esta partida a la luz del estado de
Resultados y de cualquier otra información complementaria al respecto.
Ejemplo:
En Compañía XXX, S.A.
El incremento neto en el activo fijo fue de B/15,000.00. Sin embargo, de acuerdo con la información
complementaria, se vendió en B/2,000.00 un activo con un costo de B/5,000.00 y una depreciación
acumulada de B/4,000.00, obteniendo una ganancia de B/1,000.00 en la operación. Lo anterior nos permite
deducir que la compra de activo fijo fue de B/20,000.00
Esto se puede comprobar al reconstruir las cuentas de mayor involucradas.
Ejemplo:
Activo fijo:
Saldo inicial
Adquisiciones
Ventas
Saldo final
Depreciación acumulada
Saldo inicial
Gasto depreciación
Cancelación por baja
Saldo final
b. Efectivo recibido por ventas de activo fijo
Para calcular este monto es preciso analizar el cambio que sufrió esta partida a la luz del estado de
resultados y de cualquier otra información complementaria al respecto.
En Compañía XXX, S.A.
De acuerdo con la información complementaria, se vendió en B/2,000.00 un activo con un costo de
B/5,000.00 y una depreciación acumulada de B/4,000.00 obteniendo una ganancia de B/1,000.00 en la
operación. Por lo tanto la entrada de efectivo por este concepto fue de B/2,000.00.
Como apoyo, se pueden analizar las cuentas de activo fijo y de la depreciación acumulada mostradas en la
parte anterior.
c. Compraventa de inversiones temporales
Para determinar el flujo de efectivo generado por o aplicado en la cuenta de inversiones temporales se
tendrá que analizar la cuenta de mayor correspondiente a esta partida. Como ejemplo presentamos el
siguiente:
Saldo inicial B/120,000.00
Total de cargos 38,000.00
Total de abonos 18,000.00
Saldo final 140,000.00
Del análisis de dicha cuenta se puede concluir lo siguiente:
Se compraron inversiones temporales por B/38,000.00
Comentario: A menos que se haya incurrido en una pérdida al vender los B/18,000.00 de inversiones, se
puede deducir que a cambio de dicha venta se recibieron B/18,000.00 en efectivo. De haberse incurrido una
pérdida en la venta de dichas inversiones, digamos B/3,000.00, entonces la cantidad de efectivo que se
hubiera recibido sería tan sólo de B/15,000.00

En Compañía XXX, S.A.
No existe esta partida
Flujo de efectivo proveniente de o destinado a las actividades de financiamiento
a. Efectivo obtenido de o destinado a pago de préstamos
Para calcular este monto es preciso analizar el cambio que sufren partidas tales como pasivos bancarios a
corto y a largo plazo y a la luz de cualquier otra información complementaria al respecto.
b. Efectivo recibido por aportaciones de accionistas o destinado a reembolsos de capital
Para calcular este monto es preciso analizar el cambio que sufre la partida de capital social a la luz de
cualquier otra información complementaria al respecto.
c. Efectivo destinado a pago de dividendos
Para calcular este monto es preciso analizar el cambio que sufre la partida de utilidades retenidas a la luz
de cualquier otra información complementaria al respecto.
En compañía XXX, S.A.
El Estado de Resultados de esta compañía presenta una utilidad de B/11,000.00. Sin embargo, en el Estado
de Situación Financiera se observa que esta cuenta solamente se incrementa en B/8,000.00, lo que permite
pensar que el diferencial de B/3,000.00 se debe a una repartición de dividendos, lo que queda confirmado
en la información complementaria.
Lo anterior se puede visualizar claramente de la forma siguiente:
Utilidades retenidas
Saldo inicial B/51,000.00
Unidad del período 11,000.00
Dividendos pagados (3,000.00)
Saldo final 59,000.00
Paso 4. Clasificar los incrementos y decrementos en el flujo de efectivo
Las diferentes entradas y salidas de efectivo que fueron cuantificadas en el punto anterior se deberán
agrupar en las tres categorías siguientes:
– Efectivo generado por o destinado a operaciones
– Efectivo generado por o destinado a actividades de inversión.
– Efectivo generado por o destinado a actividades de financiamiento.
Paso 5. Integrar con dicha información el Estado de Flujo de Efectivo
Este paso consiste en elaborar un Estado de Flujo de efectivo con el formato y el contenido definido
previamente.
Ejemplo:
Compañia XXX, S.A. Estado de resultados para el mes de marzo de 199x
Ingresos de operación
– Costo de mercancía vendida
Inventario 1/3/1998
+ Compras
Total disponible
– Inventario 31/3/98
Costo de lo vendido
Margen de utilidad en Ventas
– Gastos de operación:
De venta:
Sueldos y salarios
Depreciación
Gasto por cuentas incobrables
De administración:
Arrendamientos
4. Análisis de partidas en el flujo de efectivo
A continuación presentamos un resumen de como se analizan algunas partidas ordinarias en los modelos
del Estado de Flujo de Efectivo.
Activo circulante
Las inversiones adicionales en planta y equipo, o en promociones de venta de línea de productos, van
acompañados invariablemente por inversiones adicionales en el efectivo, las cuentas por cobrar y los
inventarios necesarios para respaldar estas nuevas actividades.

En el modelo de flujo de efectivo todas las inversiones en el momento cero son iguales, con independencia
de cómo se contabilice en el modelo de contabilidad por acumulaciones. Es decir, los desembolsos iniciales
se registran en el esquema de los flujos de efectivo relevantes al momento cero.
Al final de la vida útil del proyecto, los desembolsos originales para máquinas quizá no se recuperen o
puede ser que sólo se recuperen en forma parcial por el importe de los valores finales de realización.
En comparación, por lo general todas las inversiones originales en cuentas por cobrar e inventarios se
recuperan cuando se termina el proyecto. Por consiguiente, normalmente todas las inversiones en el
momento cero se consideran como flujos de salida al momento cero, y sus valores finales de realización, si
es que existen, se consideran como flujos de entrada final de la vida útil del proyecto.
Como un ejemplo supongamos que una compañía compra un equipo nuevo para fabricar un producto
nuevo. La inversión requerida necesitará también de capital de trabajo adicional bajo la forma de efectivo,
cuentas por cobrar e inventarios.
Valor en libros y depreciación
En los enfoques de efectivo descontado a los flujos de efectivo provenientes de operaciones (antes del
impuesto sobre la renta), no se toman en cuenta el valor en libros y la depreciación. Debido a que
fundamentalmente el enfoque se basa en los flujos de entrada y salida de efectivo y no en los conceptos de
acumulación de los ingresos y gastos, no se deben realizar ajustes a los flujos de efectivo por la asignación
periódica del costo del activo llamado gasto por depreciación (que no es un flujo de efectivo).
En el enfoque de flujo de efectivo descontado normalmente el costo inicial de una activo se considera como
un flujo de salida de depreciación de los flujos de entrada de efectivo de operación. Es decir deducir la
depreciación de los flujos de entrada de efectivo de operación.
El deducir la depreciación periódica sería un doble conteo de un costo que ya se ha tomado en cuenta como
un flujo de salida de suma total. (Para el estudio de cómo el valor en libros y la depreciación afectan los
flujos de efectivo después de impuestos provenientes de operaciones), a diferencia de los flujos de efectivo
antes de impuestos provenientes de operaciones.
Valores de realización actuales e inversión requerida
En una decisión de reposición ¿Cómo deben afectar los cálculos al valor de realización actual? Por ejemplo,
suponga que el valor de realización actual del equipo antiguo es B/5,000 y que se puede obtener un nuevo
equipo por B/40,000. Hay varias formas correctas para analizar estas partidas y todas ellas tendrán el
mismo efecto sobre la decisión. Por lo general, la forma más fácil de medir la inversión requerida es por
ejemplo, cancelando el valor de realización actual de los activos antiguos (5,000) contra el costo bruto de
los nuevos activos (40,000) y mostrando el flujo de salida de efectivo neto en 35,000.00
Valores de realización futuros
El valor de realización a la fecha de terminación de un proyecto, es un aumento en el flujo de entrada de
efectivo en el año de la venta. Pocas veces resultan cruciales los errores en el pronóstico del valor de
realización, debido a que su valor actual por lo general es pequeño, en particular por importes a recibirse en
el futuro distante.
5. Bibliografía
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RAMIREZ Padilla, David.
Contabilidad Administrativa. México, McGraw-Hill, Interamericana, 1994.
RODRIGUEZ, Leonardo.
Planificación, organización y dirección de la pequeña empresa. South-Western Publishing 1996
Derivación de factores de interés
B.3.1 Factor de monto compuesto con pago simple
B.3.2 Factor de valor presente con pago simple
B.3.3 Factor de monto compuesto con serie de pagos iguales
B.3.4 Factor de fondo de amortización con serie de pagos iguales
B.3.5 Factor de recuperación de capital con serie de pagos iguales
B.3.6 Serie geométrica
A continuación se derivan algunos factores de interés aplicables a situaciones comunes, tales como interés
compuesto con pago simple y con serie de pagos iguales. Para su aplicación posterior en las alternativas de
inversión, debemos tener en cuenta los siguientes cinco puntos:
1. El fin de un período es a su vez el comienzo del período próximo.
2. P se produce al comienzo de un período, en un tiempo considerado presente.
3. F ocurre al final del enésimo período a partir de un tiempo considerado presente (siendo n el número total
de períodos).
4. Definimos A como un pago simple dentro de una serie de pagos iguales realizados al final de cada
período en consideración. Cuando P y A intervienen, el primer A de la serie se produce un período después
de P. Cuando F y A intervienen, el último A de la serie ocurre al mismo tiempo que F. Si la serie de pagos
iguales se suceden al comienzo de cada período en consideración, se denomina Ab.
5. En el planteo de las distintas alternativas, las cantidades P, F, A y Ab deben emplearse de modo tal, que
reúnan las condiciones para poder conformar los modelos correspondientes a los factores usados.
En la Tabla B. 2 se muestra un resumen de las ecuaciones financieras que brindan las relaciones entre P, F
y A (Jelen y Black, 1983).
Tabla B.2 Ecuaciones financieras

Dado F, Encontrar A
A = F × FFA, i, n
A = F × FFP, i, n× FPA, i, n

B.3.1 Factor de monto compuesto con pago simple
Si una suma P se invierte a la tasa i. ¿Cuánto dinero se acumula entre capital e interés al fin del período n
?, o ¿Cuál es el valor equivalente al final del período n de la suma P invertida al iniciarse la operación?. El
diagrama de flujo de dinero para esta situación financiera se muestra en la Figura B.2. Al aplicar interés
compuesto a la inversión descripta en la Figura B.2., que no provee de ingresos durante los períodos
intermedios, el interés ganado es como se muestra en la Tabla B.1. Allí el interés ganado se adiciona a la
suma inicial al final de cada período de interés (capitalización anual). En la Tabla B.3, se muestra la
deducción en términos generales.
Tabla B.3 Deducción del factor de monto compuesto con pago simple
Figura B.2 Suma presente simple y suma futura simple
El factor resultante (1+i)n se conoce como factor de monto compuesto con pago simple y se designa como
FPF; la relación es:
F = P × (1+i)n ………. (B.2)
F = P × FPF ………. (B.3)
Ejemplo B.4 Factor de monto compuesto con pago simple
Encontrar el monto compuesto de US$ 1 000 en 4 años al 8% de interés compuesto anualmente.
Solución: De la Ecuación B.3,
F = 1 000 × (1 + 0,08)4 = 1 000 × 1,3605 = US$ 1 360,5
Otro modo de interpretar la Ecuación B.3 es que, el monto F en el punto ubicado en un tiempo futuro, es
equivalente al valor conocido P en el tiempo presente, para la tasa de interés dada i. La cantidad F de US$
1 360,5 es equivalente al final de los cuatro años a la cantidad inicial P de US$ 1 000, si la tasa de interés
es del 8% anual.
B.3.2 Factor de valor presente con pago simple
Despejando P de la Ecuación B.2, obtenemos:

El factor resultante (1+i)-n se conoce como factor de valor presente con pago simple y se designa FFP:
P = F × FFP ……… (B.5)
Ejemplo B.5 Factor de valor presente con pago simple
¿Cuánto debe invertirse ya (en tiempo presente) al 8% anual compuesto, de modo que puedan recibirse
US$ 1 360,5 dentro de 4 años? o ¿cúal es el valor presente equivalente de US$ 1 360,5 de aquí al final de 4
años?
Solución: De la Ecuación B.5,
P = 1 360,5 × (1/1,3605) = 1 360,5 × 0,73503 = US$ 1 000
Nótese que ambos factores son recíprocos. En los métodos de valor presente y tasa interna de retorno,
utilizados para evaluar la rentabilidad de proyectos (Capítulo 7), el factor de valor presente se aplica para
comparar los flujos de caja con la inversión inicial.
B.3.3 Factor de monto compuesto con serie de pagos iguales

A manera de introducción, se definirá el concepto de anualidad, que consiste en una serie de pagos iguales,
que se realizan a intervalos regulares de tiempo, ya sea anuales o en períodos distintos. Este esquema
surge en situaciones como: acumulación de un capital determinado (recepción de cierta suma global
después de un cierto número de pagos periódicos, como ocurre en algunos planes de seguros de vida), o
cancelación de una deuda. La Figura B.3 es representativa del primer caso, dado que se busca el valor
futuro, a partir de una serie de pagos iguales, producidos al final de sucesivos períodos de interés.
Figura B.3 Monto futuro simple con serie de pagos iguales
La suma de los montos compuestos de los diversos pagos puede calcularse por medio del uso del factor de
monto compuesto con serie de pagos iguales. El modo de calcular el factor es utilizando el factor de monto
compuesto con pago simple para transformar a cada A a su valor futuro:
F = A + A × (1 + i) + A × (1 + i)2 + A × (1 + i)3 + … + A × (1+i)n-1 ………. (B.6)
Esta es una serie geométrica de razón (1+i)
F = A × [1 + (1 + i) + (1 + i)2 + (1 + i)3 + … + (1 + i)n-1] ………. (B.7)
La suma de una serie geométrica es igual a:

En este caso:
El factor resultante [(1+i)n – 1]/i se conoce como factor de monto compuesto con serie de pagos iguales y se
designa como FAF:
F = A × FAF ………. (B.11)
Ejemplo B.6 Factor de monto compuesto con serie de pagos iguales
Encontrar la cantidad compuesta por una serie de 5 pagos de US$ 500 hecha a fin de cada año al 8%
anual.
Solución: El cálculo se ilustra en la Tabla B.4.
De la Ecuación B.11:
F = 500 × [(1,08)5 – 1]/0,08 = 500 × 5,8664
F = US$ 2 933,2
Es decir, el monto de US$ 2 933,2 al final de los cinco períodos es equivalente a cinco pagos anuales de
US$ 500, cuando la tasa de interés es del 8% por período.
Tabla B.4 Ejemplo del factor de monto compuesto con serie de pagos iguales
Fin de
Factor de monto compuesto con pagos a Monto compuesto al fin de
Monto total
compuesto
año
1
fin de año
500 × (1,08)4
5 años
680,2

B.3.4 Factor de fondo de amortización con serie de pagos iguales
Despejando A de la expresión (B.10) resulta:

El factor resultante i/[(1+i)n – 1] se conoce como factor de fondo de amortización con serie de pagos iguales.
A = F × FFA
Ejemplo B.7 Factor de fondo de amortización con serie de pagos iguales.
Si se desea acumular US$ 2 933,2 efectuando una serie de 5 pagos anuales, al 8% de interés anual, cuál
es el monto requerido de cada pago?
Solución: De la Ecuación B.12 será:

La derivación de este factor y el ejemplo muestran que el factor de monto compuesto con serie de pagos
iguales y el factor de fondo de amortización con serie de pagos iguales son recíprocos.
B.3.5 Factor de recuperación de capital con serie de pagos iguales
Se efectúa un depósito de monto P en un tiempo presente a una tasa anual i. El depositante desea extraer
el capital más el interés ganado en una serie de montos iguales a fin de año sobre los próximos n años.
Cuando se realiza la última extracción no quedan fondos en el depósito. Además, puede expresarse como
cuál es el pago uniforme a final de cada período que es equivalente al monto invertido al iniciarse el primer
año. El diagrama de flujo de dinero se muestra en la Figura B.4. Para determinar este factor, lo
expresaremos como el producto de dos factores ya conocidos, el factor de monto compuesto con pago
simple (FPFi,n) y el factor de fondo de amortización con serie de pagos iguales (FFAi,n).
A = P × FPA= P × FPF × FFA ………. (B.13)

Figura B.4 Monto presente simple y serie de pagos iguales
El factor resultante i × (1+i)n/[(1+i)n – 1] se conoce como factor de recuperación de capital con serie de pagos
iguales y se designa por (FPAi,n). Se utiliza para calcular los pagos iguales requeridos para amortizar un
monto presente de un préstamo, donde el interés se calcula sobre saldos. Este tipo de arreglo financiero es
la base de la mayoría de los préstamos y constituye la forma más común de amortización de una deuda.

B.3.6 Serie geométrica

En muchos casos, los pagos anuales no se producen en una serie de pagos iguales. En algunos países es
común encontrar la serie geométrica de pagos, o sea, aquélla donde cada término es igual al anterior
multiplicado por un factor:
2
3
n-1
× S ……… (B. 16)
una cuota indexada mensualmente, con un interés del 5% mensual. En este caso la cuota inicial es de S.
Para poder trabajar con esta serie por medio de las fórmulas conocidas, comencemos por llevar a valor
presente cada una de las cuotas:

Extraye

la expresión entre paréntesis es la suma de una serie geométrica de razón a/(1+i)
Trabajando con esta expresión obtenemos:
Si en lugar de trabajar con valor presente, queremos encontrar las cuotas anuales equivalentes a la serie:
De este modo, tanto sea con P o con A podemos trabajar sencillamente con las ecuaciones conocidas.
B.4 Tasas de interés nominal y efectiva
B.4.1 Tasa compuesta discreta de interés
B.4.2 Tasa compuesta continua de interés
B.4.3 Comparación de tasas de interés

Por simplicidad, la discusión del interés ha implicado períodos de interés de un año. Sin embargo, los
convenios pueden especificar que el interés sea pagado más frecuentemente, por ejemplo, cada mitad de
año, cada trimestre o cada mes. Tales convenios resultan en períodos de interés de seis meses, tres meses
o un doceavo de año, y la forma de componer el interés es el doble, cuatro veces o 12 veces en un año,
respectivamente.
Las tasas de interés asociadas con esta forma más frecuente de componer, se cotizan normalmente sobre
una base anual de acuerdo con la siguiente convención. Cuando la tasa efectiva de interés es del 4,8%
compuesta cada 6 meses, el interés anual o nominal se cotiza como el "9,6% anual compuesto
semianualmente". Para una tasa efectiva de interés del 2,4% compuesto a fin de cada período de 3 meses,
el interés nominal se cotiza como "9,6% anual compuesto trimestralmente". Luego, la tasa nominal de
interés se expresa sobre una base anual y está determinada multiplicando la tasa de interés real o efectiva
por el número de períodos de interés por año.

B.4.1 Tasa compuesta discreta de interés
El efecto de componer más frecuentemente es que la tasa efectiva de interés es mayor que la tasa nominal
de interés. Por ejemplo, considérese una tasa de interés nominal del 9,6% compuesto semianualmente. El
valor de un dólar al fin de un año cuando un dólar se compone al 4,8% por cada período de 6 meses es:
F = US$ 1 × (1,048) × (1,048) = US$ 1 × (1.048)2 = US$ 1,0983
El interés efectivo ganado sobre el dólar por un año es igual a US$ 0,0983. En consecuencia, la tasa
efectiva de interés es de 9,83%. Una expresión para la tasa efectiva anual de interés puede derivarse a
partir del razonamiento anterior. Sea:
i = tasa nominal de interés (anual).
ief = tasa efectiva de interés (por período).
c = número de períodos de interés por año.
ief = tasa efectiva anual de interés = (1 + i/c)c – 1 ………. (B.22)
Ejemplo B.8 Tasa efectiva de interés
Calcular el valor de US$ 1 000 durante 4 años a una tasa nominal de interés del 10% compuesta
cuatrimestralmente.
Solución: De la Ecuación B.22,
ief= (1+0,10/3)3 – 1
ief = 10,33%
Utilizando la Ecuación B.3
F = P × FPF10,33%, 4años = 1 000 × (1 + 0,1033)
F = US$ 1 482
B.4.2 Tasa compuesta continua de interés
En el límite, el interés puede considerarse compuesto por un infinito número de veces por año o sea
continuamente. Bajo estas condiciones, la tasa continua anual efectiva para el interés compuesto continuo
está definido como:

Reacomodando el lado derecho de la igualdad de manera tal de incluir i en el exponente:
(1+i/c)c = (1+i/c)i × c/i ………. (B.24)
El valor del símbolo matemático e es el valor de (1 + 1/n)n como n tiende a infinito, entonces:

Por substitución,

En consecuencia, cuando el interés es compuesto continuamente,
ief = tasa anual continua efectiva de interés = ei – 1 ………. (B.27)
B.4.3 Comparación de tasas de interés
Las tasas de interés efectivas que corresponden a una tasa nominal del 9,6% compuesto anualmente,
semianualmente, trimestralmente, mensualmente, semanalmente, diariamente y continuamente, se
muestran en la Tabla B.5.
Tabla B.5 Comparación de tasas de interés
Frecuencia de
Número de periodos
Tasa efectiva de interés por Tasa efectivo anual de
por año (c)
1
2
4
12
52
365
composición
Anualmente
Semianualmente
Trimestralmente
Mensualmente
Semanalmente
Diariamente
Continuamente
período (iP)
9,6%
4,8%
2,4%
0,8%
0,1846%
0,0263%
ip
interés (ief)
9,60% (*)
9,83%
9,95%
10,03%
10,06%
10,074%
10,076%
Nota:

* La tasa efectiva anual de interés siempre iguala a la tasa nominal cuando el interés es compuesto
anualmente.
Puesto que la tasa efectiva de interés representa el interés real ganado es esta tasa la que deberá usarse
para comparar los beneficios de varias tasas nominales de interés.

ECUACIONES DE VALOR O ECUACIONES DE EQUIVALENCIA
Importancia fundamental reviste el tema de las ecuaciones de valor para comprender el concepto del valor
del dinero en el tiempo, los factores de las matemáticas financieras, los sistemas de amortización de deudas
y los criterios para evaluar proyectos de inversión y alternativas operacionales.
5.1. CONCEPTO DE ECUACIÓN DE VALOR
Un conjunto de obligaciones, que pueden ser deudas y pagos o ingresos y egresos, con vencimientos en
ciertas fechas pueden ser convertidas en otros conjuntos de obligaciones equivalentes pero, con
vencimientos en fechas diferentes. Un conjunto de obligaciones equivalente en una fecha también lo será
en cualquier otra fecha.
5.1.1. Ilustración del concepto de Ecuación de Valor:
Ejemplo
Una obligación de $1.000 debe ser cancelada dentro de un año, si tasa es del 2% periódica mensual,
determine el valor a cancelar o valor futuro al cabo de los 12 meses. El diagrama de caja, de acuerdo a lo
enunciado, seria el siguiente:
Si se quiere hallar el valor de F, simplemente se aplica la formula: F = P * (1+i)N F = 1.000 * (1+.02)12
=1.268.24 El anterior resultado se calculó trasladando el valor de P = 1.000 que esta en 0 a N = 12, donde
esta el valor futuro F. Esta simple operación indica que no se puede comparar cantidades de dinero que
estén en diferentes fechas, para que la comparación se pueda realizar las cantidades de dinero deberán
estar en la misma fecha.
Nota: La comparación de cantidades de dinero equivale a sumar o restar.
El ejercicio también puede resolverse trasladando el valor futuro F que esta en N = 12, a la fecha actual 0,
donde esta el valor presente P = 1.000, de la siguiente forma:
P = F * (1+i)-N
1.000=F*(1+.02)-12
F=1.268.24
El resultado de F es el mismo que se había determinado, cuando la comparación se efectuó en N = 12.
También podemos determinar el valor de F, comparando (sumando o restando) las cantidades en cualquier
fecha, pero siempre y cuando estén en la misma fecha. Por ejemplo elijamos la fecha de comparación en 6,
para hacer el cálculo entonces debemos trasladar P= 1.000 de la fecha 0 a la fecha 6 y F de la fecha N =12
a la fecha 6.

El resultado, de nuevo arroja un valor de $1.268,24, independiente de la fecha que se halla elegido como
fecha de comparación.
El pago de 1.268.24, contiene amortización a capital de 1.000 e intereses por la suma de 268.24.
El ejercicio anterior resume lo que se conoce como Ecuación de Valor.
La metodología en el establecimiento de la ecuación, es la siguiente:

o Determinar la tasa de interés periódica: Tanto la entidad de crédito como los acreedores deben pactar la
tasa de interés a la cual se efectuara la operación. Si se evalúan proyectos de inversión, los inversionistas
debe definir la tasa mínima atractiva de retorno.
o Determinar la fecha de comparación o fecha focal: En el ejemplo en referencia, se ha determinado que
se puede establecer cualquier fecha de comparación y la que se escoja siempre será valida. No hay
restricción para la selección de la fecha focal, pero si se requiere que sea solamente una, necesariamente
no tiene que coincidir con la fecha de pago y la fecha de comparación es necesario establecerla como
requisito indispensable por el concepto del valor del dinero a través del tiempo.
o Establecer la ecuación de valor: Tanto las deudas y pagos, ingresos y egresos se trasladan a la fecha
focal establecida previamente, comparándolos.
Ejemplo.
Regresemos al ejemplo anterior de la deuda de $1.000 y supongamos que al final del sexto mes deseamos
efectuar un abono de $500 y el saldo pagadero al final del mes 12. El diagrama de flujo de caja ahora es el
siguiente:
Una forma de solucionar el ejercicio y sin necesidad de acudir al concepto de ecuación de valor, podría ser
trasladar la deuda inicial de $1.000 al final del sexto mes y restar el abono de $500 (esta resta es posible
por encontrarse ambas cantidades en la misma fecha), el saldo adeudado ahora trasladarlo al final del mes
doce, de la siguiente manera, y este será el valor del pago a efectuar y que cancela totalmente la deuda.
Veamos ahora la solución utilizando el concepto de Ecuación de Valor:
De acuerdo a la metodología indicada, debemos definir la tasa de interés que para nuestro ejemplo es del
2%, luego escoger la fecha focal, que como se menciono puede ser cualquiera. Elaboraremos el ejercicio
con diferentes fechas focales, para comprobar que el resultado es el mismo, independientemente de la
fecha seleccionada.
Fecha focal =0:
1.000=500*(1+.02)-6+A*(1+.02)-12
Fecha focal =3:
1.000*(1+.02)33=500*(1+.02)-3+A*(1.02)-9
Fecha focal =9:
1.000*(1+.02)9=500*(1.02)3+A*(1+.02)-3
Fecha focal = 15:
1.000*(1.02)15=500*(1+.02)9+A*(1+.02)3
Como se puede comprobar, el valor del pago al final del mes doce es de $705.16, independientemente de la
fecha focal seleccionada. Hay que resaltar que la ecuación planteada en los casos anteriores corresponde
exactamente a la misma ecuación, realmente lo que hemos realizado ha sido afectar ambos lados de la
ecuación por un factor que es el resultado de elevar el binomio (1+i) por una potencia que es la diferencia
entre las fechas focales. Por ejemplo, la ecuación cuando se resolvió el valor de A con fecha focal 15, es la
ecuación planteada con fecha focal 9, multiplicada ambos lados por factor (1+.02)6. 6 la potencia del
binomio es la diferencia entre las fechas focales. Una deuda o préstamo puede ser cancelado de múltiples

formas. La forma como se cancela o amortiza un crédito no afecta la tasa de interés, la tasa será la misma,
lo que se afecta será el monto de los intereses. Los intereses serán altos cuando se amortiza el capital mas
lentamente, el monto de los intereses bajos cuando se amortiza el capital mas rápidamente, pero todos los
sistemas de amortización serán equivalentes cuando prevalezcan las condiciones de la tasa.

SERIE UNIFORME ANTICIPADA: FORMA GENERAL
La característica de la serie uniforme anticipada es la ocurrencia de los pagos al principio de cada intervalo
de pago. El primer pago ocurre al principio de cada intervalo de pago, el segundo pago ocurre al principio
del segundo pago y así sucesivamente hasta el último pago que ocurre al principio del ultimo intervalo de
pago.Veamos la forma general de esta serie en un diagrama de flujo de caja:
En esta forma general hay que destacar algunos detalles útiles para la comprensión de esta serie: El valor
presente esta en 0, exactamente donde ocurre el primer pago. El valor futuro esta en N, un periodo después
de efectuar el último pago. El plazo o termino de la serie abarca desde el principio del primer intervalo de
pago, hasta el final del ultimo intervalo de pago. La tasa de interés periódica i, siempre debe corresponde a
la tasa de interés periódica vencida y en ningún evento se debe considerar la tasa de interés periódica
anticipada, la serie anticipada se refiere a la ocurrencia de los pagos y no a la periodicidad de ocurrencia de
la tasa. La equivalencia entre el valor presente y el valor futuro de la serie uniforme anticipada, como en
todos los sistemas de amortización equivalentes de pago, también se da.

6.11 VALOR PRESENTE DE LA SERIE UNIFORME ANTICIPADA
El valor presente de la serie uniforme anticipada es un pago único presente de valor P, el cual esta en 0,
exactamente donde ocurre el primer pago y el cual es equivalente a N cuotas de valor R cada una y
efectuadas al principio de cada intervalo de pago. Para hallar el valor presente, se debe entonces establecer
una ecuación de valor como lo hemos venido realizado. Seleccionemos como fecha de comparación el
periodo –1 y observemos como la serie se asemeja a una serie vencida u ordinaria.

A la ecuación de valor presente de la serie anticipada, también podríamos llegar, convirtiendo la serie
anticipada en serie ordinaria, simplemente multiplicando el valor del pago de la serie anticipada por el factor
(1+i), así los pagos tendrían el valor de R?(1+i) pero estos ocurrirían al final del intervalo de pago, la cual es
la característica de la serie ordinaria. Lo que realmente hemos realizado, es convertir la serie anticipada en
ordinaria, de la siguiente forma:
Para hallar el valor presente de esta serie, multiplicamos el valor del pago R*(1+i) por el factor que convierte
una serie ordinaria en un pago único presente [(1-(1+i)-N÷i].
P=R*(1+I)*[(1-(1+i)-N)÷i]. Esta es la misma ecuación a la cual se había llegado, para hallar el valor presente
de la serie anticipada.
6.12 VALOR FUTURO DE LA SERIE UNIFORME ANTICIPADA
El valor futuro de la serie uniforme anticipada es un pago único de valor F, el cual se encuentra en N
exactamente un periodo después de ocurrir el último y el cual es equivalente a N pagos de valor R cada
uno, efectuados al principio de cada intervalo de pago.
Para hallar el valor futuro de la serie, multiplicamos el valor equivalente del pago vencido R*(1+i), por el
factor que convierte una serie ordinaria en un pago único futuro [((1+i)N-1)÷i].
F= R*(1+i)*[((1+i)N-1)÷i].

SERIE UNIFORME ORDINARIA VERSUS SERIE UNIFORME ANTICIPADA
Realicemos un ejercicio, donde se puedan observar similitudes y diferencias entre ambas series.
Ejemplo.
En el siguiente diagrama de flujo de caja, estimar el valor presente y el valor futuro de la serie de pagos, con
enfoque de serie ordinaria y serie anticipada.
La intención es hallar un pago único presente, P0, y un pago único futuro en el período 12, F12, equivalente
a la serie uniforme de cuotas de valor R.
Hallemos estos pagos únicos con los enfoques de series ordinarias y series anticipadas.
SERIE UNIFORME ORDINARIA
El término de la serie ordinaria está definido entre el período 4 y el período 9 (un período antes del primero
pago y el final del período donde ocurre el último pago).

Con el valor futuro de la serie, el proceso es similar al que se utilizó para el valor presente. La serie de
pagos se traslada con el factor serie uniforme valor futuro hasta cuando ocurre el último pago (periodo 9) y
luego se debe ubicar al final del período 12, con el factor pago único valor futuro (1+i)3.
SERIE UNIFORME ANTICIPADA
Tal como lo hicimos para la serie ordinaria, el término de la serie anticipada está contemplado entre el
periodo 5 y el período 10. El inicio del término coincide con el primer pago y el final de éste ocurre un
período después de haber realizado el último pago.
En forma análoga, determinaremos los valores Po y F12:

Observamos que los valores de Po y F12 son iguales, indiscutible y necesariamente, independiente del
enfoque con el que se trabajen. Lo importante entonces, es definir exactamente el término de la serie y
aplicar los factores correspondientes.
SERIE UNIFORME INFINITA O RENTA PERPETUA
Podemos definir la serie uniforme infinita, como el conjunto de pagos iguales efectuados a intervalos iguales
que tiende a infinito. La anterior definición, esta indicando que en esta serie el número de pagos N tiende a
infinito 8.
La aplicación inmediata de esta serie aparece en los fondos de pensiones, en los cuales se puede
garantizar a perpetuidad el cubrimiento de los pagos con la condición de tener constituido un fondo o bono
pensional.
6.14.1 Valor presente de la Renta Perpetua
El valor presente de la renta perpetua, se puede definir como un pago único ahora de valor P, el cual es
equivalente a infinitas cuotas de valor R cada una. El valor presente es un pago único de valor P que al
multiplicarlo por la tasa de interés periódica i, da como resultado el valor del pago periódico R: P*i= R.
Despejando el valor de P: P= R*[1÷i].
El factor [1÷i] convierte infinitas cuotas de valor R en un pago único presente de valor P equivalente.
Además debe ser igual al factor [(1-(1+i)-n)÷i] que convierte N finitas cuotas o pagos de valor R, en un pago
único presente cuando N tiende a 8.
Ejemplo.
Se desea establecer un fondo (valor del bono pensional) que atienda a perpetuidad la pensión de
$1.000.0000 al final de cada mes. El fondo reconoce una tasa del 19.56% efectiva anual.
En el ejemplo los pagos ocurren cada mes, por lo tanto se debe convertir la tasa efectiva anual en la
periódica mensual de la forma enunciada anteriormente.
Ip= (1+ie)1÷p-1=(1+.1956)1/12-1=1.5% mensual.
Ahora aplicamos la ecuación de valor presente de la serie uniforme infinita:
P= 1.000.000*[1÷0.015]=$66.666.667.
La anterior respuesta significa que un fondo ahora por la suma de $66.666.667, equivale a una serie
garantizada a perpetuidad de $1.000.000 mensuales. Si el caso anterior fuera real, seria ilógico que alguien
trate de poder atender sus necesidades a perpetuidad con pagos iguales del mismo monto. Por lo tanto hay
necesidad de pensar en fondos que atiendan las pensiones con incrementos periódicos, que contrarresten
la perdida del poder adquisitivo.
UNIDAD DE VALOR REAL U.V.R.: SISTEMA DE AMORTIZACIÓN EN SERIE UNIFORME ORDINARIA
Uno de los sistemas actualmente vigentes para amortización de crédito hipotecario en la adquisición de
vivienda en Colombia, es en serie uniforme ordinaria, cuotas iguales, en U.V.R. Veamos esta aplicación de
la serie con un ejercicio practico.
Ejemplo.
Calcular el valor de las cuotas iguales (serie uniforme) en UVR y en pesos por cada millón, de un crédito
hipotecario contratado a 15 años y a una tasa de interés del 14% y suponiendo tasa de inflación del 10%
anual.
El sistema de crédito hipotecario, internamente solo conoce la existencia de U.V.R, por lo tanto, debemos
de convertir el crédito en U.V.R, de acuerdo a la cotización de la unidad en el momento del desembolso.
Para nuestro ejemplo, supongamos que el valor sea de $120 y así podemos estimar el valor presente del
préstamo en unidades UVR (Pu). Luego de establecer el valor de Pu, determinamos el valor de la serie
uniforme en U.V.R, teniendo en cuenta la tasa de interés a la cual se contrato el crédito.

El préstamo del 8.33.33 UVR (equivalentes a $1 millón) se amortizan en 180 cuotas mensuales de 106.40
UVR. Elaboraremos sendas tablas de amortización en UVR y en pesos, para observar el comportamiento
de las cuotas:

En la tabla de amortización en U.V.R, podemos destacar que se trata de una similar a las que ya se han
realizado, con la única diferencia que esta elaborada en unidades de valor real.
Para la elaboración de la tabla en pesos, hemos agregado una nueva columna al final, correspondiente al
calculo del valor de la U.V.R (o tasa de cambio de la unidad frente a los pesos) a partir de la fecha y la
hemos proyectado bajo el supuesto de que la tasa de inflación permanecerá en los niveles del 10% anual
durante toda la vigencia del crédito. Recordemos que la tasa de inflación anual, se comporta en forma
análoga a la tasa efectiva anual y para realizar la proyección, requerimos encontrar la tasa de inflación
periódica mensual.

Ip= (1+ie)1/p-1=(1+.10)1/12-1=.80% periódica mensual.
Para efectuar la estimación del valor de la unidad en los siguientes meses, encontramos los valores futuros
respectivamente para el mes que se quiera calcular:
Si queremos calcular el valor de la unidad para el mes 3, por citar el ejemplo para cualquier mes, hallamos
el valor futuro del valor presente de $120, en tres meses, a una tasa del .80% mensual.
F=P(1+i)N = 120(1+.008)3=$122.89.
Devolvámonos a la tabla en pesos y observemos que el saldo en pesos asciende, pero no nos
preocupemos, que en algún momento descenderá hasta llegar a cero. Nuestra preocupación debe estar
focalizada en las tasas de interés, independientemente de la forma como se amortice la deuda. Si queremos
encontrar la tasa de interés, tenemos que construir el flujo de caja de la decisión de endeudamiento y
calcularla. Sin embargo este procedimiento no se requiere, porque este es un caso de tasas múltiples, en el
cual simplemente calculando la tasa con la formula respectiva la determinaremos:
Tasa efectiva = Tasa de inflación + Tasa en U.V.R + Tasa de inflación x Tasa en UVR =0.10 + 0.14 + 0.10 ?
0.14 = 25.40% Efectiva anual.
Para tomar realmente la decisión de endeudamiento nos debemos de preocupar por la tasa de interés
primordialmente. Si se encuentran tasas más baratas, por ejemplo en pesos, esta debe ser nuestra
decisión. Para sorpresa de muchos, la tasa mas baja ha sido históricamente la del sistema de unidad de
poder adquisitivo constante (UPAC) y actualmente el sistema de unida de valor real (U.V.R). Tomar la
decisión por otros motivos, seria totalmente ilógico.
SERIES GRADIENTES
7.1 CONCEPTOS BÁSICOS
Una serie gradiente es un sistema de amortización equivalente en el cual los pagos varían uniforme o
escalarmente. La variación de las cuotas puede ser dada en pesos o en porcentaje y además esta variación
puede ser creciente o decreciente.
Aclaremos algunos elementos del concepto anterior:
* Sistema de amortización equivalente de pago: Las series gradientes constituyen una serie de pagos o
cuotas con un pago único presente de valor P y un pago único futuro de valor F equivalente. Cuando se
estudio el concepto de ecuación de valor, profundizamos en un ejercicio trivial que consistía en un P= 1.000,
a una tasa del 2% periódica mensual y al cual le planteamos algunos sistemas de amortización equivalentes
de pago durante un periodo de 12 meses. La serie gradiente no es mas que el diseño de otro sistema de
amortización equivalente de pago, en donde las cuotas varíen con cierta uniformidad. Por ejemplo
diseñemos un sistema para el aludido crédito, en el que las cuotas se comporten como se observa en el
diagrama de flujo de caja y con las siguientes características: El pago único presente P= 1.000, el pago
único futuro F= 1.268.24, la equivalencia entre el valor presente y el valor futuro se confirme, la sumatoria
del contenido de capital de las cuotas sea igual al valor del préstamo P, la sumatoria de los contenidos de
los intereses puede ser alto o bajo dependiendo de lo lento o rápido que se amortice capital y naturalmente,
cuando se cancele la ultima cuota el saldo adeudado sea exactamente de 0.
Diagrama de flujo de caja:

Se ha planteado amortizar el crédito con pagos que asciendan en un valor R y que se inicien con un pago
por este mismo valor. Para determinar el valor del plan de pagos propuesto, diseñamos una ecuación de
valor con fecha focal cero (recordemos que puede ser cualquiera y el resultado es idéntico). De nuevo
resplandecen las bondades del concepto de ecuación de valor para solucionar todos los esquemas que se
ocurran y realmente nunca nos podremos alejar de este instrumento.
1.000= R*(1+.02)-1+ 2R*(1+.02)-2+3R*(1+.02)-3+…+12R*(1+.02)-12.
Si deseamos encontrar el valor de los pagos, debemos despejar el valor de R. A estas alturas de la vida,
seria un síntoma de ineficiencia tratarlo de hacer así. Trataremos de diseñar las formulas que permitan su
fácil y rápido despeje.
* Variación uniforme o escalar: En las series gradientes se deben presentar un orden entre las cuotas o
pagos. La variación puede darse entre pagos sucesivos, entre un pago y el siguiente, y si este es el caso se
denomina la serie gradiente como uniforme. La variación puede darse entre grupos de cuotas y la serie
seria escalar, tal es el caso de fondos de pensión en donde la pensión mensual permanece constante
durante el año y al siguiente las cuotas se incrementan por la tasa de inflación y así sucesivamente año tras
año.
* Variación en pesos o en porcentaje: La variación uniforme o escalar de las series gradiente puede ser
dada en pesos. Si este es el caso, la serie de pagos se denomina seria gradiente aritmética o lineal. Pero la
variación puede fijarse en una tasa de porcentaje y entonces se llama geométrica.
* Series gradientes crecientes y decrecientes: La variación de las cuotas, que puede ser aritmética o
geométrica como lo hemos descrito, pueden diseñarse con una pendiente positiva o negativa. Si la
pendiente es positiva las cuotas serán crecientes y de lo contrario decrecientes.
SERIES GRADIENTES UNIFORMES ARITMÉTICAS
7.2.1 Crecientes:
7.2.1.1 Forma general y conceptos básicos:

P: Valor presente de la serie. Pago único presente equivalente a la serie gradiente de N cuotas que se
incrementan en un valor G en pesos entre pagos sucesivos.
N: Numero de pagos o cuotas que amortizan el valor presente.
A1: Valor de la primera cuota y se encuentra al final del primer intervalo de pago, un periodo después de ocurrir el
valor de P.
Ak: Valor de cualquier cuota entre la primera y la ultima.
AN: Valor de la ultima cuota que cancela totalmente el préstamo de valor P.
G: Valor del gradiente lineal, es una suma de dinero expresada en pesos y corresponde a la diferencia entre dos
cuotas sucesivas. F: Valor futuro de la serie. Pago único futuro equivalente a la serie gradiente y se encuentra
exactamente donde ocurre el último pago.
7.2.1.2. Valor futuro de la serie gradiente aritmética creciente:
El valor futuro F de esta serie, esta constituido por un pago único futuro que se encuentra en N, donde ocurre el
último pago y es equivalente a la serie gradiente que ascienden en un valor expresados en pesos de valor G,
entre las cuotas sucesivas. Expresemos la serie gradiente, como la sucesión de series uniformes de la siguiente
forma:

Para establecer el valor futuro, elaboramos una ecuación de valor con fecha focal en N. Esta ecuación
corresponde a la suma de los valores futuros de las series uniformes:

NOTA: [1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+…+ (1+i)N-1] = Suma de los términos de una progresión geométrica, en donde a
(primer término) = 1, r (razón) = (1+i) y de N términos.
SUMA = [(1+i)N-1]÷i = Factor de valor futuro serie uniforme.
7.2.1.3. Valor presente de la serie gradiente aritmética creciente:
En las series gradientes, como en todos los sistemas de amortización equivalentes, debe existir la equivalencia
entre el valor presente y el valor futuro la cual se denota así: F= P?(1+i)N. Anteriormente encontramos el valor
futuro, por lo tanto para encontrar el pago único presente equivalente al valor futuro, multiplicamos ambos lados
de la ecuación del valor futuro por el binomio: (1+i)-N.
7.2.1.4. Ilustración de la serie gradiente aritmética uniforme creciente:
Cuando mencionamos la serie uniforme ordinaria, ilustramos este concepto con un ejercicio. Ahora, retomaremos
el mismo ejercicio para estudiar el comportamiento de la serie gradiente que estamos analizando.
Recordemos el enunciado: un crédito para vivienda contratado a 15 años y a una tasa del 24% nominal anual,
mes vencido. Calcular el valor de las cuotas por cada millón de préstamo.
* 1. Hallar el valor de las cuotas mensuales si el gradiente es igual a cero. En este caso, nos estamos refiriendo a
la serie uniforme y en consecuencia el valor de la cuota mensual es de R = $20.582.74.
* 2. Hallar el valor de las cuotas mensuales, si el valor del gradiente aritmético es de G= $200 mensual.
Podríamos haber estimado el valor del gradiente, según nuestra conveniencia. Lo relevante, para la claridad
conceptual que deseamos alcanzar, es tener suficientemente comprendido algunas ideas básicas y

fundamentales: Independientemente del valor del gradiente, el sistema de amortización es equivalente. Mientras
el valor del gradiente sea mayor, la pendiente de la función es mayor y las primeras cuotas son menores y
ascenderán hasta que las ultimas se vuelvan más grandes. El monto de los intereses pagados son mas altos, si la
pendiente o el valor del gradiente es mayor y viceversa. En resumen, reiteramos que los sistemas son
equivalentes y nuestra preocupación debe ser superada, independientemente del rumbo que tome el saldo de la
deuda.
Si deseamos encontrar el valor de las cuotas, reemplazamos de la ecuación de valor presente de la serie
gradiente y despejamos el valor del primer pago. Para hallar el valor de las cuotas adicionales agregamos el valor
del gradiente a la sucesión de ellas.
P=1.000.000, i=2%, N=180, G=200.
A1=11.631.66.
A2=A1+G=11.631.66+200=11.831.66.
A3=A1+2G=12031.66.
………
AK=A1+(K-1)G
A100=11.631.66+99*200=31.431.66. ……….
AN=A1+(N-1)G.
A180=11.631.66+179*200=47.431.66.
* 3. Diseñar la tabla de amortización de la serie gradiente:
Lo habíamos tratado de insinuar, pensamos que al observar el saldo adeudado de la tabla se siente
preocupación. Pero racionalmente no debe haber motivo(aunque emocionalmente surge un gradiente muy
pendiente), tenemos que tener la absoluta convicción que este plan es equivalente a cualquiera que diseñemos(
si no se quiere que el saldo adeudado aumente, definitivamente se debe cancelar con cuotas que inicien
relativamente de valor alto).
Siempre que establezcamos un plan de pagos en serie gradiente lineal creciente, la primera cuota es inferior a la
cuota en serie uniforme y la última superior a la cuota en esta serie. Si deseamos que el saldo empiece a
disminuir, debemos de fijar un valor del gradiente, que permita que la primera cuota supere la suma de $20.000,
la cual corresponde al monto de los intereses sobre el valor del préstamo inicial.
A continuación, presentamos el gráfico correspondiente aproximadamente al ejercicio, resaltando varios detalles:
El saldo adeudado inicialmente se incrementa porque el valor de los intereses es superior al valor de la cuota,
pero llegará un momento en el que la cuota será superior al monto de estos intereses y por lo tanto el saldo
iniciara su declinación. Nos debe parecer interesante encontrar el saldo adeudado máximo y en que periodo se
presenta, con este propósito la primera derivada de la función de la ecuación del valor presente con respecto a N

(L’opital) nos daría la solución. Más práctico y elemental, lo generaría la tabla elaborada en una hoja electrónica y
visualmente lo determinaríamos. Nos demoraremos muchos periodos para volver a deber el préstamo inicial, pero
necesariamente cuando se cancele la ultima cuota, el saldo adeudado es igual a cero.
* 4. Encontrar el contenido de interés y amortización a capital comprendidos en el plan de pagos. Demostrar la
equivalencia de la serie gradiente:
La sucesión de las cuotas de la serie gradiente, conforma una progresión aritmética de la siguiente forma: a, (a +
r), (a + 2r), ( a +3r),…..,u. En donde a = primer termino, r = la razón de la progresión, u = ultimo termino y contiene
n términos.
La suma de los términos de la progresión aritmética, se pude simplificar:
?=(( a + u )÷2)*n.
Por definición la suma de capital de las N cuotas tiene que ser P= 1.000.000 y el monto de los intereses la
diferencia entre el valor total de las de las cuotas pagadas y la cantidad destinada a capital.
?Capital(1..180)=P=1.000.000.
?Intereses(1..180)=((A1+A180)÷2)*180-?Capital(1..180).
?Intereses(1..180)=((11.631.66+47.431.66)÷2)*180-1.000.000.
?Intereses(1..180)=4.315.698.80.
Como era de esperarse, la suma de los intereses en serie gradiente supera el monto de los intereses pagados en
serie uniforme ($2.704.887) por todas las razones expuestas, pero solamente desarrollamos un sistema de
amortización, en el cual nos hemos demorado en empezar la amortización a capital, pero totalmente equivalente.
Comprobemos la equivalencia entre las series tanto uniforme como gradiente, hallando el valor futuro de la serie
gradiente y confirmando que este valor coincide con la frontera superior de F=35.320.831
De la ecuación de valor futuro, de la serie gradiente aritmética uniforme:
F = 35.320.831
* 5. Determinar el saldo adeudado inmediatamente después de pagar la cuota número 100. Nuestro deseo
fundamental es poder determinar este saldo con la intención de conocer si todavía seguimos ascendiendo en el
valor adeudado o por el contrario ya estamos descendiendo en el saldo. Para determinar este valor aun
adeudado, se establece la ecuación de valor con fecha focal al final del periodo 100, denominemos este valor
como Pk. Para encontrar el valor de Pk, se determina el valor presente de las cuotas que todavía se deben. Como
ya se cancelaron K cuotas, las que faltan por pagar son N-K, pero teniendo presente que las que se pagaron son
las primeras K cuotas y faltan por pagar las N-K cuotas empezando en la próxima que se debe pagar que es la

K+1 cuota.
A101 = A1 + 100G = 11.631.66 + 100 x 200 = 31.631.66
P100 = 1.490.542.29
El préstamo inicial de $1.000.000, ya asciende a $1.490.542.29. se ha pagado más del 50% del total de cuotas y
se adeuda el 150% del préstamo inicial. Motivo de preocupación?, definitivamente No!. Si queremos que esto no
suceda diseñe su plan con cuotas más altas, por lo menos superiores a $20.000 y calcule el gradiente de la
ecuación de valor presente.
* 6. Hallar el contenido de interés y amortización a capital comprendido entre las cuotas 70 y 120.
Análogamente como lo efectuamos en la serie uniforme:

Estamos interesados en calcular la ? intereses y ? capital entre las cuotas 70 y 120. La tabla, trata de indicar que
de la suma total de estas cuotas, parte corresponde a interés y otra parte a capital.
?capital (70… 120) = P69 – P120
La ? capital se calcula a través de la diferencia entre los saldos después de pagar la cuota 69 y la 120.
? intereses (70…120) = [(A70 + A120) x 51]/2 – ? capital (70 – 120)
La ? intereses los hallamos entre las diferencias de las sumas de todas las cuotas y lo destinado a capital.
? capital = 1.451.684.60 – 1.403.327.60 = 48.357
? intereses = 1.543.344.66 – 48.357 = 1.494.987.66
SERIES GRADIENTES UNIFORMES ARITMÉTICAS
7.2.2. Decrecientes.
7.2.2.1. Forma general y conceptos básicos.
La característica de las series gradientes uniformes aritméticas decrecientes es iniciar amortización a capital
con cuotas altas y terminar con cuotas relativamente bajas. Las cuotas relativamente altas o bajas es con
relación al valor de las cuotas de la serie uniforme.

Esta serie decreciente es otro sistema de amortización, en el cual se tiene que dar la equivalencia entre el
valor presente y el valor futuro y todas las demás características descritas para estos planes equivalentes.
Como se puede intuir, la suma de la amortización a capital es igual a P y el monto de los intereses pagados
es bajo, porque la amortización a capital es rápida.
7.2.2.2. Valor presente y valor futuro de la serie:
Las ecuaciones descritas anteriormente para la serie creciente, son de aplicación también para esta serie.
Únicamente, cambia el sentido de la pendiente o valor del gradiente.
7.2.2.3. Sistema de amortización constante a capital:
Una de las aplicaciones más importante de la serie gradiente decreciente es el sistema de amortización
constante a capital. La característica de este sistema es el mismo contenido de amortización a capital en
todas las cuotas. Ilustremos este sistema con el mismo ejercicio que se ha estudiado y desarrollemos el
plan de pagos: Como todas las cuotas tienen el mismo contenido de amortización a capital, para
determinarlo simplemente dividimos el valor del préstamo P en el número de cuotas, P÷N.
Ahora determinemos los valores de las cuotas:
La primera cuota, como todas las demás, contienen P÷N de amortización capital y los intereses son iguales
a i * P, la tasa de interés periódica por el saldo de la deuda inicial.
A1=i*P+ P÷N.
La segunda cuota contiene P÷N de amortización a capital y los intereses son iguales a la tasa de interés
multiplicado por el saldo adeudado anterior, el saldo después de pagar la primera cuota.

A2= i *P*[(N-1)÷N]+ P÷N
Y así sucesivamente, por ejemplo la cuota 3:
A3= i * P*[(N-2)÷N]+ P÷N
El gradiente es la diferencia entre dos cuotas sucesivas: A1 – A2. En este caso el gradiente es negativo o
decreciente porque las cuotas están disminuyendo exactamente en P÷N y además esta disminución es
uniforme.
G= A1-A2.= i * P+ P÷N-( i * P*[(N-1)÷N]+ P÷N)= i *( P÷N).
En resumen, un sistema de amortización constante a capital es una serie gradiente uniforme aritmética
decreciente, en la cual la primera cuota es igual a A1= i*P+ P÷N y el gradiente decreciente G= i*( P÷N). Las
siguientes cuotas van descendiendo en el valor del gradiente G, así: A2= A1-G, A3= A1-2G y así
sucesivamente.
Retomemos el ejercicio y aclaremos las posibles dudas:
En el ejercicio P= 1.000.000, i= 2%, N= 180. Elaboraremos la tabla de amortización y apliquemos las
ecuaciones de la serie gradiente:
En esta tabla resaltaremos lo que consideramos relevante:
Las cuotas descienden uniformemente en $111.11 el cual es el gradiente G= i*( P÷N), el contenido de
amortización a capital en todas las cuotas es el mismo (P÷N)=(1.000.000/180)=5555.56., el saldo declina
uniformemente hasta llegar a cero, la sumatoria de capital de todas las cuotas es igual a P, naturalmente
también hay la equivalencia entre el valor presente y el valor futuro de los pagos únicos.
7.2.2.4. Crédito hipotecario para vivienda en U.V.R:
Sistema de amortización constante a capital U.V.R.: Actualmente en Colombia hay dos sistemas de
amortización para los cerditos hipotecarios en unidades de valor real. Uno de estos sistemas ya lo
describimos en la serie uniforme y el otro sistema vigente es en amortización constante a capital en U.V.R.
Veamos en este sistema el ejemplo que utilizamos en ese momento para que podamos establecer
comparaciones y sacar las conclusiones pertinentes:
Calcular el valor de las cuotas mensuales en U.V.R. y en pesos por cada millón de pesos, en un crédito
para vivienda contratado a unas tasas del 14% anual en U.V.R. más la tasa de inflación que suponemos
permanece constante durante los 15 años.
Para la determinación del valor de las cuotas, inicialmente debemos de convertir el valor del préstamo en
pesos en U.V.R. . Estimamos el valor de la unidad en la fecha del desembolso en $120.

Luego calculamos el contenido de amortización a capital de cada una de las cuotas:

El contenido de capital es igual para cada una de las
cuotas. Ahora determinamos el valor de las cuotas mensuales en U.V.R, hallando la primera cuota y el valor
del gradiente:
A2 = A1-G = 137,97 – 0,51 = 137,46 U.V.R
A3 = A1-2G = 137,97 – 2*0,51 = 136,95 U.V.R . .
A180= A1-179G = 46,81 U.V.R
En la tabla de amortización se enseña el valor de las cuotas en U.V.R y en pesos y de esta manera poder
efectuar las comparaciones con el sistema en serie uniforme.

TABLA DE AMORTIZACION EN UVR
TABLA DE AMORTIZACION EN PESOS

Lo que se pretende con el sistema de amortización constante a capital es aumentar el principio el valor de
las cuotas y que esta vayan disminuyendo en U.V.R, con la finalidad de que las cuotas y el saldo en pesos
permanezcan sin sobresaltos a consecuencia de la inflación. Debemos ser muy enfáticos y reiterar que
ambos sistemas de amortizar el crédito, en serie uniforme y serie gradiente, son equivalentes.
SERIES GRADIENTES UNIFORMES GEOMÉTRICAS
7.3.1. Crecientes:
7.3.1.1 Forma general y conceptos básicos:
La serie gradiente uniforme geométrica es un sistema de amortización equivalente, donde las cuotas se
incrementan sucesivamente en un porcentaje determinado.

TG= Valor del gradiente geométrico, es la variación en porcentaje entre dos cuotas sucesivas.
7.3.1.2 Valor presente y valor futuro de la serie gradiente uniforme geométrica creciente:
Para hallar el valor presente P de la serie se establece la ecuación de valor ( con fecha focal ahora) y luego
se puede determinar el valor futuro F, a través de la equivalencia entre este valor presente y el valor futuro.
La expresión entre los paréntesis es la suma de los términos de una progresión geométrica

Para calcular el valor futuro F de esta serie gradiente, simplemente multiplicamos ambos lados de la
ecuación por el factor (1+i)N, el cual convierte un pago único presente P en un pago único futuro F
equivalente.
7.3.1.3. Ilustración de la serie gradiente uniforme geométrica creciente:
De nuevo, sigamos trabajando con nuestro ejercicio con el cual se ha ilustrado las series presentadas hasta
ahora. Nuestro propósito es demostrar hasta el empalago las equivalencias de los sistemas de
amortización. El ejercicio consiste en un préstamo de $1.000.000, para ser cancelado en cuotas mensuales
durante 15 años con una tasa de interés del 24% nominal mes vencida.
* 1. Determinemos el valor de las cuotas en varios escenarios.
Cuando TG = 0. Si el crecimiento de las cuotas es nulo, lógicamente las cuotas conforman una serie
uniforme, donde R= 20.582.74 desde la primera hasta la ultima cuota. Si reemplazamos en la ecuación de
P, el valor de TG por cero, la formula resultante corresponde a la ecuación de la serie uniforme.
Cuando TG=1%. Despejando de la ecuación de valor presente, la cuota A1= 12.044.60, A2=
A1(1+.01)=12.165.05, y así sucesivamente las cuotas se incrementan en el valor del TG= 1% hasta la ultima
que es de A180= A1(1+.01)179=71.502.03.
Cuando TG=2% En este caso el valor de TG=i, por lo tanto tenemos que acudir a la respectiva formula.
Despejando el valor de las respectivas cuotas.

A1=5.666.67 y se empieza a incrementar en TG=2% mensual hasta la ultima cuota
A180=A1(1+.02)179=196.226.84.
Los sistemas de series gradiente anteriormente definidos, tienen las siguientes características: Mientras el
gradiente sea mayor, las primeras cuotas se reducen y las últimas son más grandes. Estos sistemas son
equivalentes, al pagar la última cuota el saldo adeudado es cero, la amortización a capital se ha efectuado
totalmente y lo que si es diferente es el monto de los intereses cubiertos, en el sistema donde se paguen
inicialmente cuotas más pequeñas los intereses serán mas altos y si se desea cancelar pocos intereses las
cuotas deben ser lo mas altas posible al inicio del plazo. Entre estos sistemas, además de los que
pudiéramos haber diseñado, los valores presentes y futuros son totalmente equivalentes, lo anterior
mencionado indica que P= 1.000.000 y F=35.320.831 de todos los planes.
* 2. Determinar el contenido de interés y amortización a capital comprendido en la totalidad del plan de
pagos, cuando TG= 5% mensual.
Determinemos el valor de las cuotas con la ecuación de valor presente de la serie:
A1=163.47, A2=171.64, A3=180.23,……….,A180=1014665.56.
Por definición la sumatoria de capital contenido en las 180 cuotas es de P= 1.000.000.
El contenido de interés corresponde a la sumatoria del valor de todas las cuotas menos la amortización a
capital. Las cuotas de la serie constituyen la suma de los términos de una progresión geométrica con a =
primer termino = 163.47, r = razón de la progresión =1.05, n = número de términos de la progresión =180.
? Términos de la progresión = ((a÷(1-r))*[1-rn]
? Intereses(1..180)=((163.47÷(1-1.05))*(1-(1.05)180)-1.000.000=$20.304.691.48.
7.3.2. Decrecientes:
7.3.2.1 Forma general y conceptos básicos:
La característica de esta serie la constituye el iniciar pagando cuotas relativamente altas (mas altas que las
cuotas de la serie uniforme) y van disminuyendo en un porcentaje de valor TG, valor del gradiente
porcentual. El monto de los intereses pagados es proporcionalmente bajo, porque la amortización a capital
se realiza rápido. Las ecuaciones de la serie gradiente creciente se aplican análogamente, la diferencia
radica en el sentido del signo del valor gradiente TG. Cuando el gradiente es creciente TG es positivo y
cuando es decreciente es negativo.

SERIES GRADIENTES ESCALARES ARITMÉTICAS
7.4.1. Crecientes:
7.4.1.1 Forma general y conceptos básicos:
La característica fundamental de la serie gradiente escalar es la variación entre grupos de cuotas. Como lo
dice su nombre la serie se comporta como una escala, en la cual un grupo de cuotas constituyen una serie
uniforme y periódicamente varían en una cantidad en pesos, en el caso de la serie aritmética.
Forma general:
En el diagrama de la forma general, tenemos que definir el valor de las variables:
R1= Valor de las cuotas iguales de la primera escala, las cuotas de valor R1 constituyen una serie uniforme
de E cuotas y así sucesivamente hasta la escala N.
E= Numero de cuotas iguales de la escala. Cada escala debe contener el mismo numero de cuotas.
K= El valor de cada una de las escalas. K= 1……N.
C= Variación en pesos entre cada grupo de cuotas iguales o uniformes.
N= Numero total de escalas del sistema de amortización.
ip= Tasa de interés periódica, es la tasa entre las cuotas periódicas sucesivas.
iE= Tasa de interés escalar. Corresponde a la tasa de interés entre cada una de las escalas.
7.4.1.2 Valor presente y valor futuro de la serie gradiente escalar aritmética creciente:
El valor presente de esta serie es un pago único de valor P en cero, equivalente a la serie escalar de N
cuotas. Para establecer el valor presente se elabora una ecuación de valor con fecha focal en cero y se
asemeja una serie gradiente uniforme en donde:
A1 = Valor futuro de la serie uniforme de E cuotas de valor R1. Valor de la primera cuota
Entonces:

Para hallar el valor futuro, simplemente debemos de multiplicar la ecuación de valor presente por el factor
(1+i)N, teniendo en cuenta que esta serie es un sistema de amortización en donde también se da la
equivalencia entre el valor presente y el valor futuro.
7.4.1.3 Ilustración de la serie gradiente escalar aritmética creciente:
Retomemos el ejercicio marco que hemos desarrollado para ilustrar los conceptos de los sistemas de
amortización (recordémoslo: P= 1.000.000, i= 2% mensual, N=180 cuotas mensuales). Efectivamente
estamos diseñando un sistema equivalente como todos los anteriores, en donde el valor presente
P=1.000.000 ahora, es totalmente equivalente a un pago único futuro F=35.320.831, pero con la condición
que las cuotas permanezcan iguales durante un determinado periodo y luego se incrementen en pesos para
el siguiente periodo hasta que se extinga totalmente el valor del préstamo.
Por ejemplo, probemos con algunos valores, admitiendo cuotas mensuales iguales durante el primer año y
las cuales asuman los siguientes valores de crecimiento en pesos anualmente:
Si el crecimiento entre las cuotas iguales al final de cada año es nulo, naturalmente nos estamos refiriendo
a la serie uniforme de cuotas de valor R=20.582.74. Lo anterior enunciado lo podemos comprobar en la
ecuación del valor presente para esta serie, reemplazando por los siguientes valores:
P=1.000.000. Valor del préstamo o desembolso inicial.
ie=26.82%.=((1+.02)12-1)*100= Tasa de interés anual de la escala, ya que estamos suponiendo crecimientos
anuales.
E = 12. El sistema planteado es de cuotas mensuales iguales durante cada año y que se vayan
incrementando anualmente.
C= 0. Inicialmente suponemos crecimiento nulo para comprobar el correcto funcionamiento de la ecuación y
además verificar que estas series son equivalentes, independientemente de los crecimientos propuestos.
N=15. El número de escalas corresponde a los años, porque se ha planteado con crecimientos anuales.

Supongamos ahora que las cuotas se incrementen en C=$1.000 al final de cada año, pero que
mensualmente y durante el año permanezcan iguales. El único valor de la variable que sufre cambio es el
valor de C y si reemplazamos en la ecuación para despejar el valor de R1, tenemos que:
R1=17.291.81. Valor de las cuotas de la primera escala, o el valor de las cuotas mensuales del primer año.
Las cuotas mensuales del segundo año se incrementan en $1.000 y así sucesivamente año tras año.
R2=18.291.81. Valor de las cuotas de la segunda escala, correspondiente a las cuotas del mes 13 al 24 del
segundo año.
R3=19.291.81. Valor de las cuotas del tercer año o escala.
……….
R15=31.291.81. Valor de las cuotas mensuales del ultimo año, del año 15 en este caso en particular.
7.4.2 Serie gradiente aritmética escalar decreciente:
No nos detendremos en esta serie, porque consideramos que en la serie creciente efectuamos el análisis
suficiente para su debida comprensión. Solo es necesario aclarar, que en la serie decreciente cambia el
sentido del valor del gradiente y que en la ecuación del valor presente el valor de G es negativo.

SERIES GRADIENTES ESCALARES GEOMÉTRICAS
7.5.1 Crecientes.
7.5.1.1 Forma general y conceptos básicos:
Análogamente a la serie escalar aritmética, en la serie escalar geométrica las cuotas permanecen iguales
durante un determinado periodo, pero se incrementan en un porcentaje dado para el siguiente periodo en el
cual vuelven a permanecer iguales y así sucesivamente para el total de periodos o escalas.
La definición de conceptos elaborada para la anterior serie gradiente escalar es pertinente también para
esta, solamente es necesario definir el concepto del gradiente geométrico escalar, TG.
TG= El valor en porcentaje en el cual varían los grupos de cuotas que permanecen iguales durante la
escala. Corresponde al valor del gradiente porcentual.
7.5.1.2. Valor presente y valor futuro de la serie gradiente escalar geométrica.

Tal como lo hemos venido efectuando, inicialmente calculamos el valor de la serie estableciendo una
ecuación de valor y una vez que la obtengamos, calculamos el valor futuro, invocando la equivalencia entre
el valor presente y valor futuro que se debe dar en los sistemas de amortización equivalentes de pago.
Efectivamente lo que se pretende es elaborar un plan de pagos equivalente, en el cual el valor presente de
los pagos es igual a P y el valor futuro de esos mismos pagos debe ser igual a F. (La equivalencia entre el
valor presente y el valor futuro del esquema de pagos únicos). De acuerdo a lo anterior, definamos como
fecha de comparación cero y asemejemos la serie escalar en una serie uniforme (la variación se da entre
cuotas sucesivas), donde el valor de la primera cuota A1 es igual al valor futuro de la serie uniforme de E
cuotas y el valor del gradiente geométrico a TG.
Encontremos pues, el valor presente:
Para construir la ecuación del valor futuro de la serie, multiplicamos ambos lados por el factor (1+i)N tal
como se ha pregonado antecedentemente.
Ahora, retomemos de nuevo el ejercicio el cual nos ha servido para efectuar todas las comprobaciones y
verificar los supuestos de los sistemas de amortización estudiados.(P=1.000.000, N=180, i=2%).
Determinemos el valor de las cuotas, suponiendo varios eventos y enfatizando que estos sistemas son
totalmente equivalentes y por lo tanto con todas las características enunciados para estos, como son:
Equivalencia entre el valor presente y el valor futuro, esto significa que el valor P=1.000.000 es equivalente
al valor futuro F=35.320.831, la sumatoria de capital contenida en las cuotas igual a P=1.000.000, la
sumatoria de los intereses dependiendo de lo lento o rápido en que se efectué la amortización a capital.
* Supongamos que el crecimiento anual de las cuotas mensuales sea nulo, TG=0. El sistema de
amortización planteado es el de una serie uniforme, en el cual cada año las cuotas mensuales sean iguales
y anualmente el crecimiento sea nulo y así permanezcan durante los 15 años.
Reemplacemos en la ecuación de valor presente por los valores siguientes:
P=1.000.000. Valor presente del desembolso.
iE=(1+.02)12-1=26.82%. Tasa de interés escalar que corresponde en este caso a la tasa periódica anual o
tasa efectiva anual.
E=12. El número de cuotas mensuales iguales durante el periodo anual o la escala.
N= 15. El número total de escalas o de años en este caso.
TG= 0%. Quisimos iniciar con el crecimiento de 0%, para confirmar que la ecuación nos permite encontrar
sistemas de amortización equivalentes a la serie uniforme.
Una vez reemplazados en el valor de la ecuación de P las variables y despejado el valor de R1, tenemos
que: R1=20.582.74. Este es el valor de las primeras 12 cuotas y de todas las demás, carecen de
crecimiento. Hemos comprobado el resultado que esperábamos.
* Ahora estimemos que la tasa de inflación anual esperada para los próximos 15 años sea del 10% y
nuestro ferviente deseo es que las cuotas se comporten de acuerdo a dicha tasa, la cual corresponde al
incremento salarial.

Las variables son idénticas al caso anterior, solamente el gradiente porcentual o geométrico toma el valor
del TG=10% anual. Es importante resaltar, que la tasa de inflación es similar a un gradiente geométrico, de
aquí se desprende la utilidad de este modelo. El deseo es elaborar un plan de pagos que conserve el poder
adquisitivo constante a través del periodo de pago y siempre equivalga en términos reales al mismo valor
respecto al salario.
Reemplazando y despejando obtenemos los valores de las cuotas, que cancelan totalmente la deuda:
R1= 14.226.56. Valor de las primeras doce cuotas mensuales iguales, correspondiente al primer año o
primera escala.
R2= 15.649.21. Valor de las siguientes doce cuotas, las del segundo año, y se han incrementado en el 10%
respecto al primer año.
Las cuotas se incrementaran en el 10% anual, periodo tras periodo y así hasta el último año:
R15= 54.025.32. Valor de las cuotas del ultimo año, las cuales cancelan totalmente el crédito.
7.5.2 Serie gradiente escalar geométrica decreciente:
El procedimiento descrito en la serie escalar, es análogo para ambas, creciente o decreciente. Simplemente
cuando la serie es creciente el sentido del gradiente es positivo y cuando es decreciente, este gradiente es
negativo. Esta serie es otro sistema equivalente, con todos los atributos mencionados para estos casos.
CAPITALIZACION DE INTERES
TASA DE CAPITALIZACION
La tasa de capitalización se utiliza en el cálculo del valor, para descontar un ingreso neto. Dicha tasa se
determina a través de la relación entre la renta de un inmueble y el valor de venta del mismo. Para llegar a
la tasa de capitalización, deben tomarse en cuenta tres componentes: la tasa de descuento, la tasa efectiva
de impuesto y la tasa de recuperación de la inversión. Mientras que las primeras tasas inciden tanto en el
valor de un terreno baldío como en el de un terreno edificado, la última, se debe incluir sólo en el caso de
terrenos con construcciones depreciadas.
Tasas de interés e inflación.
¿Se puede obtener la inflación esperada a partir de precios de mercado?
El objetivo de este curso es abrir un espacio de discusión que nos apoye para realizar una exitosa gestión
financiera. Para ello comenzaremos con un concepto fundamental para operar en el mercado nacional.
Concepto 1.
"La tasa de interés nominal es igual a la tasa real más la inflación".
En la figura 1 se puede apreciar que la tasa de interés vigente a 4 años es aproximadamente 5% anual. Sin
embargo, la figura 2 también indica la tasa de interés en Chile para ese mismo día. Ahora, para los mismos
4 años de plazo la tasa es de 2.3% anual.
¿Cuál de las dos figuras representa la tasa de interés vigente para chile?
Los depositantes y los que buscan endeudarse, además de decidir las características básicas de la
operación como los montos, plazos y moneda, son enfrentados la decisión de su reajustabilidad. Es decir,
deben escoger si los intereses se convendrán en términos nominales o reales.
Se dice que una tasa de interés es nominal ($) cuando los montos acordados quedan fijos expresados es
pesos. Por otro lado, se dice que una tasa es real (UF) cuando dichos montos comprometidos quedan
expresados en valores que mantienen el mismo poder adquisitivo.
Chile ha definido una nueva moneda, la Unidad de Fomento o UF, para tener una medida de riqueza que no
dependa de la inflación de los precios, y que conserve, por tanto, constante su capacidad de consumo.
En Chile, hablar de tasas de interés reales, significa expresar los montos en esta particular moneda: la UF.
Por tanto, la figura 1 señala que a 4 años el interés de instrumentos en pesos es de 5% anual.
Análogamente, la figura 2, que representa tasas reales, indica que a 4 años el capital expresado en
unidades de fomento ganará un 2.3% anual.
¿Cómo se determina el valor de la unidad de fomento?
Para esto mensualmente el Instituto Nacional de Estadísticas hace encuestas de los precios de la canasta
familiar, correspondiente a una familia de clase media. Comparando el costo de estos artículos con el del
mes anterior se determina su porcentaje de variación, informándose al mes siguiente. Una vez obtenida la
inflación del mes T, se reajusta el valor de la Unidad de Fomento diariamente para el periodo entre el día 10
del mes T+1 y el día 9 del mes T+2. De este modo, la variación diaria de la unidad de fomento está
reflejando la inflación diaria correspondiente al mes anterior.

¿Cómo se obtiene la tasa de interés real en la mayoría de los países del mundo?.
Determinar la tasa de interés real requiere conocer la inflación. Irving Fisher resumió la relación que debería
existir entre las tasas de interés nominales y reales: Las tasas de interés nominales deben ser iguales a
las tasas de interés reales más la inflación.
¿Y en Chile?: Obteniendo la inflación esperada a través del mercado.
En chile existe una gran cantidad de una gran cantidad de transacciones financieras expresadas en UF, por
lo que no es necesario utilizar la relación de Fisher para determinar la tasa de interés real vigente en el
mercado. Dicho de otro modo, en vez de tener que obtener la tasa de interés real a partir de los valores
para la tasa nominal y para la inflación, esta se puede determinar a partir de los intereses comprometidos en
las operaciones en UF.
Lo anterior no implica que la relación de Fisher no esté vigente, sino más bien que dado que existe
información de mercado para las tasas nominales y reales es posible obtener una estimación para la
inflación esperada a partir de precios transados en el mercado.

TASA NOMINAL: Es aquella que denota un crecimiento en el monto de dinero, sin ajustar la moneda por
inflación.

TEA – TASA EFECTIVA ANUAL
La tasa Anual Equivalente (también llamado tipo de interés efectivo) es la transformación de las condiciones
financieras a su equivalente anual, teniendo en cuenta los gastos y las comisiones. En los préstamos
variables se toma la hipótesis de que las condiciones financieras actuales se mantienen. Sirve para poder
comparar distintos tipos de interés.

EVALUACION DE ALTERNATIVAS DE SOLUCION

MÉTODO DEL VALOR PRESENTE NETO (VPN)
El método del Valor Presente Neto es muy utilizado por dos razones, la primera porque es de muy fácil
aplicación y la segunda porque todos los ingresos y egresos futuros se transforman a pesos de hoy y así
puede verse, fácilmente, si los ingresos son mayores que los egresos. Cuando el VPN es menor que cero
implica que hay una perdida a una cierta tasa de interés o por el contrario si el VPN es mayor que cero se
presenta una ganancia. Cuando el VPN es igual a cero se dice que el proyecto es indiferente.
La condición indispensable para comparar alternativas es que siempre se tome en la comparación igual
número de años, pero si el tiempo de cada uno es diferente, se debe tomar como base el mínimo común
múltiplo de los años de cada alternativa

Relevante
En la aceptación o rechazo de un
proyecto depende directamente de la
tasa de interés que se utilice

Por lo general el VPN disminuye a medida que aumenta la tasa de interés, de acuerdo con la siguiente
gráfica:
En consecuencia para el mismo proyecto puede presentarse que a una cierta tasa de interés, el VPN puede
variar significativamente, hasta el punto de llegar a rechazarlo o aceptarlo según sea el caso.
Al evaluar proyectos con la metodología del VPN se recomienda que se calcule con una tasa de interés
superior a la Tasa de Interés de Oportunidad (TIO), con el fín de tener un margen de seguridad para cubrir
ciertos riesgos, tales como liquidez, efectos inflacionarios o desviaciones que no se tengan previstas.
EJEMPLO 1

A un señor, se le presenta la oportunidad de invertir $800.000 en la compra de un lote, el cual espera
vender, al final de un año en $1.200.000. Si la TIO es del 30%. ¿Es aconsejable el negocio?
SOLUCIÓN
Una forma de analizar este proyecto es situar en una línea de tiempo los ingresos y egresos y trasladarlos
posteriormente al valor presente, utilizando una tasa de interés del 30%.
Si se utiliza el signo negativo para los egresos y el signo positivo para los ingresos se tiene:
VPN = – 800.000 + 1.200.000 (1.3)-1

VPN = 123.07
Como el Valor Presente Neto calculado es mayor que cero, lo más recomendable sería aceptar el proyecto,
pero se debe tener en cuenta que este es solo el análisis matemático y que también existen otros factores
que pueden influir en la decisión como el riesgo inherente al proyecto, el entorno social, político o a la
misma naturaleza que circunda el proyecto, es por ello que la decisión debe tomarse con mucho tacto.
EJEMPLO 2
Se presenta la oportunidad de montar 7una fábrica que requerirá una inversión inicial de $4.00