Dinámica caótica en mercados financieros

El objetivo del trabajo es introducir la problemática de la modelización y predicción en la ciencia económica, analizando en este caso el comportamiento de variables del mercado financiero en el marco de la teoría del caos.

Este primer ensayo se limitará a describir los motivos por los cuales los fenómenos financieros son loables de ser analizados mediante el herramental de la matemática del caos, pero sobre todo aplicar una metodología simplificada utilizada en algunos ensayos para llevar a cabo un primer testeo de comportamiento caótico en una serie temporal. No se indagará en este resumen acerca del funcionamiento matemático de los testeos, sino que se aborda un análisis conceptual y su consistencia teórica en el marco de la teoría del caos.

El procedimiento que se utilizará es el siguiente:

• 1. Aplicación de un filtro ARIMA o GARCH a una serie mediante la metodología Box y Jenkings

• 2. Testeo de no linealidad en los residuos mediante el test BDS

• 3. Si se observa dinámica no lineal, se procede a testear la existencia de comportamiento caótico mediante el test NEGM.

Respecto a las variables estudiadas, el presente trabajo se limitará a explorar la existencia de comportamiento caótico en precios de acciones cotizantes en el Mercado de Valores de Buenos Aires.

Ciencia, Física, Matemática y Economía

El objetivo de la ciencia ha sido explicar y predecir. La ciencia en sí misma, no es más que una forma de pensar, distinta al pensamiento religioso, metafísico, o mitológico. En este afán por explicar el mundo y sus fenómenos, la ciencia no renuncia al determinismo, ya sea total o parcial, llegando incluso a pensarse que sin determinismo no existe la ciencia tal como la entendemos.

El avance sustancial de la ciencias duras, principalmente de la física como ciencia madre, ha incentivado que sus métodos sean aplicados en diversas disciplinas, con el objetivo de intentar aportar formas potenciales de explicación de los fenómenos más allá de las asociaciones, clasificaciones e interpretaciones de los hechos, observables o teórico-observables, que comúnmente son utilizados como medios de análisis en las ciencias sociales.

La ciencia económica no ha sido ajena a la motivación de aplicar herramental físico al análisis de los fenómenos económicos e, incluso, podría llegar a afirmarse que constituye el caso más paradigmático.

Modelos económicos y/o econométricos

Las características fundamentales que pueden registrarse en la modelización econométrica de series temporales son las siguientes:

• Normalidad

• Linealidad

• Determinismo subyacente

La evolución de los modelos econométricos puede sintetizarse en los siguientes:

• Modelos de regresión: corresponden al plano (paradigma) explicativo de la ciencia económica

• Modelos autorregresivos: corresponde al plano (paradigma) predictivo de la ciencia económica (ensayo sobre el realismo de los supuestos – Freedman)

• Modelos ARIMA: Varianza homocedástica

• Modelos GARCH: Varianza heterocedástica

• Movimiento Browniano: independencia y normalidad de la distribución

Este último punto, el movimiento browniano, merece especial atención en virtud de ser un ejemplo paradigmático de cómo modelos originados en las ciencias físicas son aplicados en la ciencia económica. Por ello, ocuparemos el siguiente apartado en hacer un poco de historia y entender conceptualmente en qué consiste el movimiento browniano.

Movimiento Browniano (Siglo XIX)

El movimiento browniano es uno de los pilares de la teoría cinética y es característico de los sistemas coloidales, los cuales son un estadio posterior a las denominadas soluciones verdaderas[1]En la solución coloidal las partículas no están disueltas a nivel molecular: hay racimos, llamados micelas (ej: granos de polen).

En todos los sistemas, siempre las moléculas del solvente chocan con las del soluto. En una solución verdadera el movimiento es totalmente desordenado e imposible de visualizar porque es a nivel molecular. Pero si la disolución es distinta, generando racimos (micelas) es posible realizar observaciones.

El experimento realizado por Brown consistió en observar en forma frontal granos de polen en agua con luz (iluminación) trasversal: observó que la solución estaba en reposo pero las moléculas se movían.

Hasta ese momento no se habían hecho observaciones que pudieran demostrar el movimiento continuo de las moléculas. La primera prueba experimental de la realidad de los átomos fue la prueba de la teoría atómica proporcionada por los estudios cuantitativos del movimiento browniano.

Básicamente, se observó que el polen suspendido en agua presenta un movimiento irregular continuo. En tanto, este movimiento solo se da en moléculas de determinado tamaño (como fue dicho, no en todas las soluciones, como por ejemplo en soluciones verdaderas).

Einstein: Teoría del movimiento browniano

En un gas, las moléculas están en movimiento todo el tiempo: si hay micelas en el medio también van a recibir choques generados por dichas moléculas; que se muevan va a depender de su tamaño.

Respecto a ello, Einstein planteó la siguiente hipótesis: las partículas que están suspendidas en un líquido o un gas comparten los movimientos térmicos del medio y, en promedio, la energía cinética de cada partícula es 3/2KT, de acuerdo con el principio de equipartición de la energía.

La teoría cinética predice cual es la energía cinética media de las partículas en el fluido. Las partículas suspendidas reciben la misma energía cinética media que las moléculas del fluido.

Las partículas suspendidas generalmente son más grandes que las partículas del fluido, siendo continuamente bombardeadas por las moléculas de este último. Cuando las partículas son más pequeñas (micelas más chicas), o si el fluido es poco concentrado, los choques son muy azarosos. Es decir, si las moléculas son muy grandes o la concentración es alta, el movimiento no es tan azaroso. Esto implica que el movimiento browniano se da en un estadio intermedio:

• Ni cuando las moléculas son chicas o el fluido es poco concentrado. En este caso el movimiento es muy grande y por lo tanto demasiado azaroso.

• Ni cuando la concentración del fluido tiende a infinito. En este caso las micelas no se mueven, dado que chocan la misma cantidad de moléculas un lado que del otro.

Finalmente se pueden derivar ecuaciones exactas para esa variación de densidad. Fue Norbert Wiener en 1923 quien dio la primera definición matemática rigurosa del movimiento. Él y Paul Lévy elaboraron el modelo que supone una partícula que en cada instante se desplaza de manera independiente de su pasado: es como si la partícula «olvidara» de dónde viene y decidiese continuamente, y mediante un procedimiento al azar, hacia dónde ir. O sea que este movimiento, a pesar de ser continuo, cambia en todo punto de dirección y de velocidad. Tiene trayectoria continua, pero no tiene tangente en ningún punto. Las dos propiedades básicas que Wiener supuso son:

• Todas las trayectorias deben ser continuas.

• Una vez que fue observada la posición de la partícula en el instante t=0 (posición por tanto conocida), su posición (aleatoria) en un instante posterior t´ debe estar regido por la ley de Gauss, cuyos parámetros dependen del tiempo t transcurrido.

No obstante, cabe destacar que fue Luis Bachelier quien descubrió el movimiento browniano en el mercado financiero, pero años antes que fuera descubierto en el movimiento de las partículas y décadas antes que de la teoría matemática propuesta por Wiener.

Caben algunos comentarios conclusivos:

• El movimiento browniano determinó, en primera instancia, la existencia de movimiento.

• En segunda instancia, se cualificó el movimiento: irregular continuo

• En tercera instancia, se modelizó y cuantificó el movimiento. Es decir, se derivaron ecuaciones.

• En tanto, el fenómeno se da en un conjunto acotado (nivel de densidad)

En este sentido, sería loable trazar un paralelismo conceptual y no sólo matemático entre la física y la economía. Esto es, proponer no solamente utilizar las ecuaciones de los modelos físicos, sino también intentar aportar características de análisis cualitativo. Por ejemplo, se podría se podría analizar que los precios de los activos presentan movimiento browniano en mercados de capitales solamente con una determinada concentración. En este caso, habría que definir que se entendería por concentración en un mercado de capitales: tamaño, profundidad, cantidad de acciones cotizantes, etc.

En este sentido, se toma como eje metodológico a la premisa propuesta por Mandelbrot, la cual se basa en la idea que las reglas de las variaciones de los precios no son las mismas en todos los mercados, y por lo tanto un único modelo estadístico no puede describir a todos ellos sin tener que introducir complejizaciones: "es mejor ser aproximadamente correcto que estar certeramente equivocado".

Si bien este trabajo es meramente introductorio, la pregunta subyacente sobre la cual se basa nuestra investigación es si es posible predecir en economía mediante un modelo matemático.

En este sentido, en este trabajo introductorio, se aborda el estudio de la teoría del caos, desde una doble perspectiva:

• Su factibilidad conceptual de ser aplicada al ámbito de las finanzas

• Su aplicación empírica, es decir, qué herramental matemático puede utilizarse para realizar testeos preliminares en series temporales

Teoría del Caos

"el desorden se vuelve creador, la simetría se quiebra, los defectos pueden ser fértiles, los desequilibrios son permanentes, y las causas y los efectos se relacionan de forma compleja".

Básicamente, los sistemas caóticos son sistemas deterministas pero que se comportan como si no lo fueran. Esto es, se observa un comportamiento aparentemente aleatorio pero que es generado mediante un modelo determinista, siendo el comportamiento de la variable, "caótico".

Características de los modelos caóticos

En el apartado siguiente se desarrollan ejemplos sencillos para observar las principales características de los modelos caóticos: no-linealidad, sensibilidad a las condiciones iniciales y atractores.

Sensibilidad a las Condiciones Iniciales, no linealidad, comportamiento acotado y ciclos límite

La idea de sensibilidad a las condiciones iniciales puede observarse rápidamente mediante construyendo una serie cuadrática, la cual surge de fijar un número inicial (condición inicial) y multiplicarlo por sí mismo: X t+1 = Xt ^2

Si el valor inicial se fija en 0.9999, al cabo de 10 iteraciones, el resultado obtenido es 0.90266379. Si el valor inicial se fija en 0.999 (un 0.1% más bajo), al cabo de 10 iteraciones el resultado asciende a 0.358971478 (un 60.2% más bajo).

Si el mismo ejercicio se aplica a una función lineal, la discrepancia en un 0.1% en la condición inicial se traduce en una discrepancia de un 1% al cabo de 10 iteraciones. En este caso, el proceso es poco sensible a cambios en las condiciones iniciales.

Luego, la combinación de estructuras no lineales y sensibilidad a las condiciones iniciales es uno de los caminos a observar comportamientos caóticos.

Para dar una aproximación a qué se entiende por comportamiento caótico, se utiliza la ecuación logística X t+1 = K * Xt * (1-Xt) y se observa su evolución dentro de 100 interaciones para distintos valores del parámetro "K" con un valor inicial de X de 0.6[2]

Como se observa, si se fija el valor del parámetro K en 1.01 la serie rápidamente converge a cero. Si se fija en 2, casi instantáneamente converge a al valor 0.5. Si se fija en 2.7 luego de un par de iteraciones, se estabiliza en el valor 0.63. La convergencia asintótica hacia un punto estable indica que se esta frente a un atractor. Es decir, en los casos anteriores, los valores 0, 0.5 y 0.63 constituyen atractores, dado que atraen el movimiento de la función X(t).

Para K = 3.3 presenta un comportamiento distinto: la serie se estabiliza en valores alternados: aproximadamente 0.48 y 0.82 (convergencia a un ciclo límite).

En los casos con valores de K = 3.7 y K = 4 se llega a un estado caótico, con infinitos valores de X que oscilan en forma imprevisible entre 1 y 0. En tanto, claramente se cumple con dos características: comportamiento aperíodico pero acotado.

En síntesis, se genera un proceso aparentemente aleatorio pero generado por una ley determinista, con determinadas condiciones. Pero lo más importante es ver cómo pueden generarse comportamientos caóticos desde la simplicidad de la ecuación logística presentada. Esto es, buscar la complejidad subyacente dentro de la sencillez aparente.

Aplicación de la Teoría del Caos en el Mercado de Capitales

En este apartado indagaremos acerca de cuál es el motivo por el cual se decide en este trabajo introductorio analizar el mercado de capitales y no otras variables económicas, tales como el producto bruto, el consumo privado, el ahorro, etc.

En primera instancia, los grandes agregados macroeconómicos como los mencionados parecerían ser los más relacionados a sus fundamentals, y por lo tanto su evolución no presentaría comportamientos tan irregulares como es el caso de variables estrechamente relacionadas a la conducta humana y expectativas.

Entre son los motivos que se pueden enumerar que hacen plausible la aplicación de la teoría del caos en los mercados financieros, pueden mencionarse los siguientes:

• Inmensidad de variables intervinientes. Modelos amplios, en contraposición a los modelos amplios pero simplificados tradicionalmente utilizados en economía y a los modelos microscópicos como los estudiados por la física cuántica.

• Cambios bruscos (en cantidad y en velocidad), asemejables a los cambios climáticos, disciplina donde la aplicación de la teoría del caos ha sido exitosa. Por ejemplo, caída sustancial en índices bursátiles en pocas horas. Mercados que pasan de la euforia a las depresiones.

• Sensibilidad a las condiciones iniciales. Diferencia en condiciones iniciales. Por ejemplo: barrera psicológica en los índices bursátiles (Merval por arriba o por debajo de los 2.000 puntos). El comportamiento cambia según se este en uno u otro lugar: el modelo cambia. Lo mismo sobre el precio de una acción: si esta depreciada o sobrevaluada (fundamentalismo) y/o si la acción ha perforado algún canal, triángulo o tendencia (chartismo). En suma, el punto del cual parte puede ser determinante.

• Irracionalidad y no determinismo puro:

• Venta masiva de una acción por un vago rumor de mercado.

• Salida despavorida de un activo aún cuando sus fudamentals se mantienen intactos.

• Influencia de operadores ocasionales sin conocimiento del mercado, donde su demanda puede considerarse aleatoria.

Es justamente en este último punto donde gira la idea conceptual de nuestra investigación. Completando o especificando nuestra pregunta-guía: ¿ Es posible predecir en economía mediante modelos matemáticos …….. en variables que pueden tener estrecha vinculación con el comportamiento humano?

En relación a esta idea, ya han surgido teorías alternativas contrapuestas a las defensoras de la racionalidad, como ser las teorías del comportamiento, que sostienen que los inversores y los operadores se mueven según el contexto y el sesgo propio que cada uno trae, lo cual significa que el analista basa las recomendaciones de inversión según sus prejuicios, creencias, estados de ánimos y otras cuestiones. En síntesis, "el juego psicológico y emocional está presente todo el tiempo a la hora de decidir dónde invertir".

Frente a este escenario, es loable observar comportamientos totalmente aleatorios en determinados ciclos, combinados con cierto determinismo, pero solamente en el largo plazo. En tanto, es totalmente factible que las decisiones de consumo de un individuo estén en el corto plazo influidas más por la emoción que por el ingreso disponible y la tasa de interés, aunque difícilmente el consumo a nivel agregado tenga esta estructura y, por el contrario, sí tenga más relación con sus Fundamentals.

Es por ello que se ha observado factible la aplicación de la teoría del caos al análisis de los mercados financieros en esta primera instancia, para luego pasar a otras variables del ámbito económico.

Reseña de la literatura

Según Fernández Díaz, el funcionamiento de los mercados de capitales configura un ejemplo típico en el que la aparente aleatoriedad en las series temporales puede deberse al comportamiento caótico de un sistema no-lineal, pero determinista, que permite llevar a cabo predicciones a corto plazo más precisas que las que podrían realizarse con modelos estocásticos lineales.

Hipótesis clásicas sobre el mercado de capitales:

• Hipótesis de Mercado Eficiente: establece que los precios de las acciones reflejan la información tanto en aquellos hechos que han ocurrido como sobre aquellos que el mercado espera que ocurran en el futuro.

• Hipótesis del Random Walk: los rendimientos sucesivos son independientes y están idénticamente distribuidos a largo del tiempo. En síntesis, son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, asumiéndose por lo general que siguen una distribución normal.

Cuando se generan fenómenos que contradicen la hipótesis del mercado eficiente, se ha recurrido a una hipótesis ad-hoc, la cual consiste en establecer que en tales casos se han generado "anomalías". Para citar algunos casos:

• Efecto tamaño: empresas pequeñas proporcionan rendimientos superiores que empresas grandes

• Efecto enero: rendimientos anómales durante el mes de enero en el mercado para firmas pequeñas en comparación con el resto del mercado.

• Efecto sobrerreacción: las cotizaciones reaccionan en exceso a la nueva información que llega al mercado

• Efecto cambio de mes: las acciones generan rendimientos positivos el último día de cada mes y durante la primera quincena del siguiente.

Fernández Díaz resume que para el estudio de series temporales referidas a mercados de capitales concretos se ha utilizado el análisis R/S, que permite comprobar si una serie sigue o no un movimiento browniano y calificarla como persistente o antipersistente. Sostiene que la aplicación de dicho análisis pone de relieve la existencia de estructuras fractales y ciclos no periódicos, comprobándose asimismo que se comportan como sistemas no-lineales, y que la hipótesis de mercado eficiente resulta discutible.

Por su parte, Mandelbrot, en el artículo "Stable Paretion Random Functions and the Multiplicative Variation of Income" de 1969, señala que los precios de los activos tienen características bien definidas:

• Sufren grandes saltos que además tienden a agruparse

• Como consecuencia de lo anterior, las desviaciones típicas parecen no estabilizarse; por el contrario, tienden a incrementarse.

• Tales desviaciones parecen invariantes a escala, por lo cual deben de seguir una distribución de tipo hiperbólico, al menos en las colas.

Las consecuencias de lo anterior es que los precios de los activos financieros no se distribuyen de acuerdo a una distribución normal y que por lo tanto no se pueden modelar de acuerdo a un movimiento browniano tal y como señala la Hipótesis del Mercado Eficiente.

Frente a ello, Edgard Peters y Haridas proponen la sustitución de la Hipótesis del Mercado Eficiente por la Hipótesis del Mercado Fractal. Spronk y Trinidad Segovia sintetizan las características de ésta última:

• Ineficiencia: La interrelación a través de estructuras no lineales entre los precios de los activos financieros elimina completamente la Hipótesis del Random Walk y por lo tanto el mercado no es eficiente.

• El equilibrio del mercado: No existe un solo equilibrio en el mercado (como supone la Hipótesis del Mercado Eficiente) sino tantos como horizontes temporales tengan los operadores. En el corto plazo se asume que el mercado tiene una estructura fractal, mientras que en el largo plazo esta se convierte en caótica.

• Memoria y ciclos en el mercado: Los sistemas caóticos son deterministas y retroalimentados, por lo que el mercado tiene memoria de los hechos pasados.

• Aleatoriedad Local y Determinismo Global: La diferencia fundamental que se suscita entre ambas teorías es que bajo la Hipótesis del Mercado Eficiente no es posible desarrollar predicciones sobre la cual va a ser el comportamiento futuro de los precios, puesto que los mismos se comportan de forma aleatoria. Pero si se asume por el contrario que el mercado no es eficiente y que el sistema subyacente es caótico, existen algunas posibilidades de predicción.

En síntesis, frente a la no correlación empírica de la hipótesis del mercado eficiente surge del mercado fractal, estrechamente emparentada al comportamiento caótico se las series, cuya principal consecuencia, según algunos autores, es la capacidad de predicción en el corto plazo. No obstante, debe destacarse que la capacidad de predicción estaría limitada al muy corto plazo, dado que una de las conclusiones fundamentales de la teoría del caos es, justamente, la aceptación conceptual de incapacidad de predicción, aún en un modelo cuasi-determinista.

En suma, la evidencia empírica devenida de los análisis realizados mediante la hipótesis del mercado eficiente ha sido tan contradictoria como aquella devenida del análisis mediante la hipótesis del mercado fractal.

En el apartado siguiente se presentará una metodología preliminar para testear si existe evidencia a favor del comportamiento caótico de una serie temporal. Luego, para culminar, se harán algunos cometarios respecto a dicha metodología.

Testo de Comportamiento Caótico

Para testear si existe evidencia de comportamiento caótico en una serie temporal, se sigue el siguiente procedimiento:

En primera instancia se filtra o quita toda la estructura lineal que presente dicha serie. Luego se evalúa, si la parte remanente, arroja evidencia de responder a un modelo no lineal, aunque no se estima dicho modelo.

Si se observa comportamiento no lineal, se procede a analizar si la serie remanente presenta sensibilidad a las condiciones iniciales.

Para testear la sensibilidad a las condiciones iniciales, se estima el coeficiente de Liapunov[3]de la serie. Si el mismo da un valor positivo, es una evidencia a favor de existencia de dinámica caótica subyacente.

Las herramientas a utilizar para concretar el procedimiento descripto son las siguientes:

• 4. Aplicación de un filtro ARIMA o GARCH a una serie mediante la metodología Box y Jenkings

• 5. Testeo de no linealidad en los residuos mediante el test BDS. Aquí se testea si los residuos del modelo ARIMA-GARCH aplicado, en principio "ruido blanco", presentan algún tipo de estructura no lineal.

• 6. Si se observa dinámica no lineal, se procede a testear la existencia de comportamiento caótico, testeando la existencia de de sensibilidad a las condiciones iniciales estimando el exponente de Liapunov mediante el test NEGM.

Testeo en el Mercado de Capitales: Bolsa de Valores de Buenos Aires

Las series temporales analizadas tienen las siguientes características:

• Cotización diaria de acciones transadas en la bolsa de valores de Buenos Aires, al precio de cierre.

• Muestras: inician hacia el año 1997 y finalizan en la actualidad. Circa 2.500 observaciones.

• Son no estacionarias

Trabajando en diferencias primeras se logran series estacionarias. Las series diferenciadas presentan heteroscedasticidad, por lo cual se han estimado modelos GARCH. En casi la totalidad de los casos, surge de la aplicación del test BDS que los residuos resultantes de aplicar filtros ARIMA y GARCH presentarían no linealidad. Es decir, rechazan la hipótesis nula de serie lineal e idénticamente distribuida contrastada mediante dicho test. En general, el test NEGM arroja coeficiente de Lyapunov negativos, con lo cual se estaría rechazando la hipótesis de comportamiento caótico.

Comentarios

En primera instancia, cabe destacar que el método utilizado, al igual que muchos otros a lo largo de la literatura, combinan el uso del herramental de la econometría clásica de series de tiempo con la matemática del caos (sensibilidad a las condiciones iniciales, atractores, acotamiento, etc). Luego, se estaría generando una forma de desdoblamiento metodológico, dado que el sólo hecho de aplicar filtros lineales clásicos presuponen normalidad y determinismo subyacente, características ajenas a la dinámica caótica. El motivo por el cual se aplican filtros lineales en el primer paso es que, de no hacerlo, en las series económicas y financieras se generan sesgos en relación a las dimensiones seleccionadas para realizar los testeos.

No obstante, el preconcepto fundamental es que el análisis de fenómenos en el marco o paradigma de la teoría del caos implica que se aborda un estudio sin conocimiento alguno de los parámetros del modelo.

En síntesis, el desafío es que, si se pretende testar o modelizar el comportamiento de series financieras en el marco de la dinámica caótica, sería necesario hacerlo mediante herramientas propias de la matemática del caos, sin la aplicación del análisis tradicional de series temporales. En síntesis, intentar buscar un paralelismo entre la teoría conceptual y el análisis metodológico.

Bibliografía

Mandelbrot, Benoit (1997), Fractals and Scaling in Finance. Ed. Springer.

Ellner, Nychka and Gallant (1992), LENNS, a program to estimate the dominant Lyapunov exponent of noisy nonlinear systems from time series data. Institute of Statistics Mimeo Series # 2235, Statistics Department, North Carolina State University.

Belaire-Franch, Contreras-Bayarri (2001), The BDS Test: A Practitioner´s Guide. Departamento de Análisis Económico, Universidad de Valencia.

Fernández Díaz, Andrés, Dinámica Caótica en Economía. Universidad Complutense de Madrid. Mc Graw Hill.

San Miguel, Jesús Miguel, Movimiento Browniano y Geometría Fractal: El IBEX35. XIII Jornadas de ASEPUMA. Universidad de Sevilla.

Samentband, Moisés José, Entre el orden y el caos: la complejidad. Fondo de Cultura Económica.

Spronk, J., Trinidad Segovia, J. E. (2005), Más de medio siglo en busca de una teoría sobre los mercados de capitales. Estudios de Economía Aplicada, vol. 3, número 001, Asociación de Economía Aplicada, Madrid, España.

Jorge, Ariel Nicolás, Dinámica no lineal y caos en el mercado cambiario: Un análisis empírico para Argentina. Seminario de Integración y Aplicación, FCE-UBA. 2004.

Balocco, Maradona, Señal de Caos en series financieras. El spectrum de Lyapunov en el análisis de "sensibilidad a condiciones iniciales". FCE- UN de Cuyo, Mendoza, Argentina.

Autor:

Actuario Juan Ramón Garnica Hervas (UBA)

Adriana Caniggia (UBA)

Esteban O. Thomasz (UBA)

Paula Garófalo(UBA)

Enviado por:

Ing.+Lic. Yunior Andrés Castillo S.

"NO A LA CULTURA DEL SECRETO, SI A LA LIBERTAD DE INFORMACION"?

www.monografias.com/usuario/perfiles/ing_lic_yunior_andra_s_castillo_s/monografias

Santiago de los Caballeros,

República Dominicana,

2015.

"DIOS, JUAN PABLO DUARTE Y JUAN BOSCH – POR SIEMPRE"?

[1] Las soluciones verdaderas son soluciones donde el soluto esta disuelto a nivel molecular. Por ejemplo, soluci?n de az?car o sal en agua.

[2] Se utilizan los ejemplos presentados por Mois?s Jos? Sametban, en ?Entre el Orden y el Caos: La Complejidad?, p?ginas 111-118.

[3] El exponente de Liapunov cuantifica el crecimiento de errores infinitesimales en el valor inicial s(to), dando una medida de la separaci?n de dos trayectorias pr?ximas. El exponente de Liapunov positivo supone una condici?n necesaria para la existencia de caos.