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La ley de los grandes números

Enviado por Pablo Turmero



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1 Suma de variables aleatorias discretas Supongamos que X e Y son dos variables aleatorias discretas e independientes con funciones de distribución p1(x) y p2(y) respectivamente. Sea Z = X + Y, ¿cómo será la función de distribución de Z, p3(z)? Puesto que el evento Z = z es la unión del par de eventos disjuntos: (X = k) e (Y = z - k), tendremos: Decimos que p3(x) es la convolución de p1(x) y p2(x): p3(x) = p1(x) * p2(x)
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2 Convolución La convolución es una operación conmutativa y asociativa. Visto lo visto, es "fácil" demostrar por inducción cómo será la suma de n variables aleatorias independientes: teniendo en cuenta que:
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3 Veamos un ejemplo: Supongamos que lanzamos un dado dos veces. Sea el resultado del primer lanzamiento la variable aleatoria X1 y del segundo, la variable aleatoria X2 , ambas con la misma distribución de probabilidad que llamaremos m(x). Calculemos la función de distribución de probabilidad para S2 = X1 + X2. (....)
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4 Si quisiéramos calcular S3 = X1 + X2 + X3 , tendríamos: (...) Este es el resultado gráfico para la suma S10 de 10 dados.
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5 Y estos son los resultados gráficos para las sumas S20 y S30 de 20 y 30 dados, respectivamente. Observemos que, a medida que aumenta el número de dados, tenemos una curva que se aproxima más y más a una campana de Gauss, a una normal. Veremos por qué más adelante, cuando hablemos del teorema central del límite.
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6 Suma de variables aleatorias continuas Si X e Y son dos variables aleatorias continuas e independientes con funciones densidad de probabilidad f(x) y g(x) respectivamente, la variable aleatoria Z = X + Y, tendrá como densidad de probabilidad la convolución de f y g:
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7 Suma de dos variables aleatorias uniformes independientes Dos distribuciones uniformes U(0,1). Obtenemos la densidad de probabilidad de la suma de las dos variables por convolución de sus densidades.
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8 Observa que, como X e Y varían entre 0 y 1, su suma Z variará entre 0 y 2.
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9 Convolución de dos densidades de probabilidad uniformes U(0,1).
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10 Suma de dos variables aleatorias exponenciales independientes Dos densidades de probabilidad exponenciales Exp(?). Obtenemos la densidad de probabilidad de la suma de las dos variables por convolución de sus densidades.
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