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Las leyes de Kepler a partir de la conservación de momento angular



    Las leyes de Kepler a partir de la conservación de momento angularMonografias.com

    La torca Monografias.comproducida por una fuerza central Monografias.comestá dada por la expresión:

    Monografias.com(1)

    En donde: Monografias.comes un vector de posición

    Dado que geométricamente se satisface: Monografias.comII Monografias.com

    1a Ley de Kepler. "Los planetas se mueven siguiendo trayectorias cerradas (elípticas) que están contenidas en un plano ( con el sol en uno de sus focos)"

    Considerando la siguiente figura:

    Monografias.com

    En donde:

    Monografias.comCorresponde a la fuerza gravitacional entre el sol y la tierra.

    Monografias.comCorresponde a la distancia entre el centro del sol y la tierra.

    Monografias.comCorresponde a la velocidad tangencial de la tierra en su trayectoria elíptica.

    Dado que Monografias.comes radial a la trayectoria de la Tierra alrededor del sol, entonces de la expresión (1) se establece:

    SiMonografias.comentonces Monografias.com

    (Dado que se satisface: Monografias.com)

    Por lo tanto la trayectoria cerrada que describe la tierra alrededor del sol corresponde a un plano.

    2a Ley de Kepler. "Durante intervalos iguales de tiempo, una línea que une al sol al planeta (por ejemplo la Tierra) barre áreas iguales en cualquier parte de su trayectoria"

    Monografias.com

    La magnitud del momento angular en el punto A, esta dado por:

    Monografias.com

    La magnitud del momento angular en el punto B, esta dado por:

    Monografias.com

    Dado que las Orbitas son estables entonces:

    Monografias.com

    Es decir:

    Monografias.com(2)

    Para la superficie SA se obtiene:

    Monografias.com

    El área del triangulo ADC es equivalente a SA que esta dada por:

    Monografias.com

    En donde: Monografias.comsustituyendo este resultado la relación anterior de SA, resulta:

    Monografias.com(3)

    Ahora:

    D F = D A sen ( (4)

    Dado que: ( + (A = 180o, es decir: ( = 180o – (A, entonces se satisface:

    sen ( = sen (A

    Sustituyendo la expresión anterior en la relación (4), resulta:

    D F = D A sen (A

    Sustituyendo la relación anterior en la ecuación (4), se obtiene:

    Monografias.com(5)

    Considerando que: Monografias.com

    Sustituyendo la relación anterior en la ecuación (5), resulta:

    Monografias.com(6)

    Dado que:

    Monografias.com

    Sustituyendo la relación anterior en la expresión (6), resulta:

    Monografias.com(7)

    En forma análoga si el cuerpo se encuentra en el punto B y se mueve en dirección al punto E, resulta:

    Monografias.com(8)

    De las condiciones expresadas en las ecuaciones (2), (7) y (8) se infiere:

    Monografias.com

    Por lo tanto:

    SA = SB

    3a Ley de Kepler. " El cuadrado del periodo de un planeta es proporcional al cubo de su distancia media al sol"

    Para una velocidad angular constante (, la aceleración centrípeta ac a lo largo de su trayectoria cerrada, esta dada por:

    Monografias.com(9)

    Dado que:

    Monografias.com

    En donde:

    T: corresponde al periodo.

    Sustituyendo la relación anterior en la ecuación (9), se obtiene:

    Monografias.com(10)

    Por consideraciones de estabilidad dinámica se estable:

    Monografias.com(11)

    En donde:

    Fg: corresponde a la fuerza gravitacional (central) que actúa entre el sol y el planeta.

    Fc: corresponde a la fuerza centrípeta (central) ejercida por la trayectoria del planeta.

    Dado que:

    Monografias.com(12)

    En donde:

    mT: corresponde a la masa terrestre.

    MS: corresponde a la masa del sol.

    G: corresponde a la constante de gravitación universal.

    R: corresponde a la distancia del sol y la tierra.

    Ahora:

    Monografias.com(13)

    Sustituyendo (12) y (13) en (11), resulta:

    Monografias.com

    Es decir:

    Monografias.com

    Por lo tanto:

    Monografias.com

    En donde, ( es una constante de proporcionalidad.

    BIBLIOGRAFÍA.

    -Alonso M y Finn E Física Vol. I Mecánica Edit. Addison- Wesley Iberoamericana (1970)

    – McGill D. y King W Mecánica para ingeniería y sus aplicaciones II Dinámica Edit Grupo editorial Iberoamericana (19991)

    -Resnick R., Holliday D., Física vol. 1, CECSA, 1993

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