Método de análisis para problemas no lineales de control óptimo y discreto (página 2)

Partes: 1, 2

Análisis del problema
La convexificación se realiza mediante distribuciones de probabilidad, y a su vez se discretizan por los momentos algebraicos.
mi: Momentos

Análisis del problema
CARACTERIZACIÓN DE MOMENTOS:
Hankel Semidefinida Positiva
Problema de control óptimo con forma lineal para el control con una familia convexa de controles m ? co(?)

Ejemplos trigonométricos 1
Modelo:
(Gp:) x
(Gp:) y
(Gp:) S(x)

L
Se trata de minimizar la energía del sistema y la cantidad que se aleje de la horizontal

Minimización de energía cinética (Corriente en y):
PROBLEMA DE CONTROL NO LINEAL
MÉTODO CLÁSICO (HAMILTON)
Ejemplos trigonométricos 1

Principio del mínimo de Poyntriaguin
RUNGE-KUTTA 4to ORDEN
Ejemplos trigonométricos 1 – Método clásico

t vs X t vs Y
X vs Y
Ejemplos trigonométricos 1 – Método clásico

PROBLEMA DE CONTROL NO LINEAL
RELAJACIÓN CONVEXA
PROGRAMA MATEMÁTICO CONVEXO
Ejemplos trigonométricos 1 – Método clásico

Base trigonométrica
Matriz de TOEPLITZ semidefinida positiva
Ejemplos trigonométricos 1 – Nueva propuesta

t vs X t vs Y
X vs Y
t vs X
t vs Y
COMPARACION CON EL MÈTODO HABITUAL
Estimación del Error
Ejemplos trigonométricos 1 – Nueva propuesta

Minimización de energía cinética (Corriente en x, y):
x
y
L
Ejemplos trigonométricos 2

PRINCIPIO DEL MÍNIMO DE POYNTRIAGUIN
RUNGE-KUTTA 4to ORDEN
x
y
L
Ejemplos trigonométricos 2 – Método clásico

BASE DE LA RELAJACIÓN: {1,eit,e-it}
Ejemplos trigonométricos 2 – Nueva propuesta

t vs X
t vs Y
20 puntos
30 puntos
Ejemplos trigonométricos 2 – Nueva propuesta

Ejemplos trigonométricos 2 – Nueva propuesta

EDOs
NO LINEALES
PROBLEMA DE CONTROL CONVEXO
Ejemplos trigonométricos 3 – Minimizar trayectoria

t vs X
t vs Y
X vs Y
COMPARACIÓN
CON PMP
Ejemplos trigonométricos 3 – Minimizar trayectoria

Ejemplos trigonométricos 3 – Minimizar trayectoria

Ejemplos polinomiales 1 – Seguimiento de trayectoria

t vs X
Control signal
Ejemplos polinomiales 1 – Seguimiento de trayectoria

Ejemplos polinomiales 1 – Seguimiento de trayectoria

Ejemplos polinomiales 2

t vs X
Control signal
Ejemplos polinomiales 2

Ejemplos polinomiales 3 – Sistema multivariable

Ejemplos polinomiales 3 – Sistema multivariable

NO EXISTE MINIMIZADOR!!
Ejemplos polinomiales 4 – Existencia de minimizador

t vs X
t vs Y
Control signal
Ejemplos polinomiales 3 – Sistema multivariable

Casos de aplicación discreto
Planificación de trayectorias.
Punto meta
Posibilidades de movimiento:
Arriba
Abajo
Quieto

Casos de aplicación discreto
Formulación:

Casos de aplicación discreto
Trayectoria
Control

Casos de aplicación discreto

Casos de aplicación discreto
Control de un motor DC.
R: Resistencia eléctrica del motor.
I: Momento de Inercia
L: Inductancia
K: Torque
i: Corriente
w: Velocidad Angular
Solo acepta tres voltajes a la entrada (+1, -1, 0)

Casos de aplicación discreto
Formulación I:

Casos de aplicación discreto
Corriente
Velocidad angular
Control

Casos de aplicación discreto
Formulación II:

Casos de aplicación discreto
Corriente
Velocidad angular
Control

Los resultados con las técnicas de relajación son buenos y poseen una buena exactitud.
El problema transformado es convexo en el control, por lo cual posee solución (Cesari, 1983)
La señal de control se obtiene a partir del momento central en la serie de momentos de la convexificación.
Aplicaciones fuertes en economía.
Próxima meta: Controlar sistemas MIMO (Multiple Input Multiple Output)
Conclusiones y trabajo futuro