Los números complejos (página 2)

Partes: 1, 2

d)(6 + 2i)(1 – 5i) / (7 + 4i)2
e)5(1 – i) + 6(7 + 1/2i)
f) (-3 – i) + (4 – 8i) [(5 + 3i) – (6 + 7i)]
g) (5 + 4i)2 – (1 – 5i)2
h) 5?3?2i???3?2i??1?5i?

3. Verifique la relación |zw| = |z||w| para los números complejos z = 5 + i y
w = 3 – 2i.

4. Verifique la relación:
z
w
z
w
?
para los números complejos z = 1 – 5i y z = 2 + 4i

5. Hallar un número complejo z, tal que:

(7 + 2i)z + (2 + 3i) = 18 + 10i

6. Demuestre que si z es un número complejo tal que z =z , entonces z debe ser real.

7. Demuestre que si z= a+bi, entonces se tiene a = (z +z )/2 y b = (z -z )/2i.

8. Hallar un número complejo cuyo módulo es igual a 5 y su parte real es igual a 3.

9. Hallar un número complejo z tal que su parte real es el doble de la parte imaginaria y que además cumple
z2 = -7 + 24i

2.5 Representación geométrica

Así como los números reales se representan geométricamente por medio de una recta, es posible dar una
representación geométrica de los números complejos usando un sistema de coordenadas cartesianas. En
un sistema de tales coordenadas, se tiene un par de ejes que se cortan perpendicularmente en un punto
llamado el origen. El eje en posición horizontal se llama eje x y el eje en posición vertical, llamado eje y. Si P
es un punto cualquiera, entonces le asociamos las coordenadas x e y, donde x, llamada la abscisa, es la
distancia desde el punto hasta el eje y e y, llamado la ordenada, es la distancia desde el punto hasta el eje
x. De esta manera, denotamos al punto por P(x, y).

Haremos ahora una identificación entre los números complejos y los puntos del plano. A cada número
complejo z = a+bi, se le asocia el punto del plano, P(a, b). De esta forma, se obtiene una representación
geométrica o Diagrama de Argand de z, ver la figura 2.1:

Fig. 2.1 Representación geométrica de un número complejo o Diagrama de Argand.

En esta representación, la componente real de z se copia sobre el eje x, que será llamado eje real y la
componente imaginaria sobre el eje y, que será llamado eje imaginario. El conjunto de todos estos puntos,
será llamado Plano Complejo.

Ejemplo: El complejo z = 4 + 5i se puede representar en el plano complejo, para lo cual ubicamos primero al
punto de coordenadas (4, 5). Una vez hecho esto se tendrá la representación de z, como podemos ver en la
figura 2.2.
Figura 2.2 Representación geométrica del complejo z = 4 + 5i.

Ejemplo: El complejo w = -6+2i lo podemos representar, ubicando al punto de coordenadas P (-6,2) sobre el
plano. En este caso el complejo estará ubicado en el segundo cuadrante. Ver la figura 2.3.
Figura 2.3 Representación geométrica del complejo z =-6 + 2i.

Ejemplo: El complejo z = -2 + 3i lo podemos representar, ubicando al punto de coordenadas P (-2,-3) sobre
el plano. En este caso el complejo estará ubicado en el tercer cuadrante. Ver la figura 2.4.
Figura 2.4 Representación geométrica del complejo z = -2 -3i..

Ejemplo: El complejo w = 2 – 4i lo podemos representar, ubicando al punto de coordenadas P (2, -4) sobre el
plano. En este caso el complejo estará en el cuarto cuadrante. Ver la figura 2.5.
Figura 2.5 Representación geométrica del complejo z = 2 -4i.

Interpretación geométrica del módulo y el conjugado

Sea z = a + bi un número complejo. Entonces nos interesa calcular la longitud del segmento c que une al
origen con el punto correspondiente a z en el plano complejo (ver la figura 2.6).

Figura 2.6 Representación geométrica del módulo y conjugado de un número complejo z.

De acuerdo a la disposición de los ejes y el segmento dado, se ha formado un triángulo rectángulo, con
catetos a y b, e hipotenusa dada por c. Usando el Teorema de Pitágoras, se demuestra que la longitud de
a2 ?b2 y por lo tanto, igual al módulo del complejo z.
este segmento c, es igual a

Esto es:
Figura 2.7 Representación geométrica del módulo de un número complejo z.

Tenemos entonces una interpretación geométrica del módulo de un complejo:

El módulo de un número complejo z es igual a la distancia desde el punto z hasta el origen.

Por otro lado, si z = a + bi es un número complejo, su conjugado viene dado por z = a – bi. Luego el
conjugado en forma geométrica se obtiene al reflejar el punto correspondiente a z, alrededor del eje real
(ver la figura 2.8).

Figura 2.8 Representación geométrica del conjugado de un número complejo z.

Tenemos luego la interpretación geométrica del conjugado de un complejo z:

El conjugado de un número complejo z se obtiene como una imagen especular de z alrededor del eje real.

Suma geométrica de complejos

Podemos sumar dos números complejos en forma geométrica, mediante un algoritmo muy sencillo, llamado
Regla del paralelogramo. Si se tienen dos complejos, digamos z1 y z2, entonces z1 + z2 se halla de la
siguiente forma: a partir del punto representando a z1 se traslada el segmento que une al punto z2 con el
origen. Al final de dicho segmento, se hallará el complejo z1 + z2, ver la figura 2.9.
Figura 2.9 Suma geométrica de dos números complejos z1 y z2.

Vemos entonces que el complejo suma se halla en el extremo de la diagonal del paralelogramo con lados
|z1| y |z2|. Podemos resumir entonces:

La suma de dos números complejos, de manera geométrica, se efectúa usando la Ley del Paralelogramo.

Como la longitud de un lado en un triangulo es siempre menor que la suma de los otros dos lados,
se obtiene la siguiente desigualdad para los módulos:
|z1+ z2|?|z1| + |z2|

Para hallar el opuesto o negativo de un número complejo, en forma geométrica, procedemos de la manera
siguiente: Si z = a + bi, entonces -z = -a – bi y se ubica en el extremo del segmento de dirección opuesta a
la de z (ver la figura 2.10).
Figura 2.10 Representación geométrica del opuesto o negativo de un número complejos z.

Para restar dos números complejos en forma geométrica, digamos z1 – z2, se ubica el primer complejo en el
plano, z1 y a continuación se coloca el segmento del opuesto de z2 en el punto correspondiente a z1. El
complejo resultante z1 – z2 se ubica en el extremo final de z2 (ver la figura 2.11).
Figura 2.11 Resta geométrica de dos números complejos z1 y z2.
2.5 La Forma Polar

Como el lector habrá observado, en la sección anterior no dimos una interpretación geométrica para el
producto de números complejos, ni tampoco para la división. En el caso del producto tenemos la fórmula
para la multiplicación:

(a + bi)·(c + di) = (ac – bd) + (ad – bc)i

El lado derecho de esta expresión, resulta difícil de interpretar usando el sistema de coordenadas
cartesianas. Para resolver este problema, requerimos de otro sistema de coordenadas. Veremos como la
trigonometría nos sirve de herramienta para solucionar este problema. Podemos asignarle a cada número
complejo z = a + bi en el plano, un radio vector, que conecta al punto con el origen. Este radio vector forma
un ángulo con el eje real o de las x, que será denotado por ?. Ver la figura 2.12:

Figura 2.12 Forma Polar de un número complejo z.

Nota: El ángulo ? se mide a partir del eje real x y en sentido contrario a las agujas del reloj. El mismo puede
venir expresado en unidades de grados o radianes. De acuerdo a la disposición de los ejes y el radio vector,
se ha formado un triángulo rectángulo, con catetos a y b, e hipotenusa dada por el radio vector. Usando el
a2 ?b2 , igual al módulo del
Teorema de Pitágoras, se demuestra que la longitud de este radio vector es
complejo z. Esto es:
Figura 2.13 Representación geométrica del radio vector o módulo de un número complejo z.

Usando conocimientos de trigonometría en el triangulo anterior, se demuestran las relaciones:
a = |Z| cos?
b = |Z| sen?
(2.1)
(2.2)
Conocidas como fórmulas de cambio de coordenadas polares a cartesianas. Cualquier ángulo a, tal que sen
a = sen ? y cos a = cos ?, se llama amplitud o argumento para el complejo z. Sabemos por trigonometría,
que dos argumentos cualesquiera de z difieren en 2p. El argumento ?, tal que -p???p, se llama amplitud o
argumento principal de z. Esta claro que si conocemos el argumento principal de z y su módulo, entonces lo
podemos representar geométricamente sin ambigüedad y además podremos obtener sus coordenadas
cartesianas, de acuerdo a las formulas anteriores.

Se tiene entonces la representación de z en Forma Polar:
z = |z|(cos? + i sen?)
(2.3)
Recíprocamente, si se conocen las coordenadas cartesianas de z = a + bi, entonces |z| y ? se calculan de
acuerdo a las relaciones:

|z| =

a2 ?b2
(2.4)
? = arctag
b
a
(2.5)
Llamadas fórmulas de cambio de coordenadas cartesianas a polares.

Ejemplo: Un número complejo en el primer cuadrante. Hallar la forma polar del complejo z = 2 + 2i, y dar su
representación geométrica en el plano.

Solución: En primer lugar, debemos calcular el módulo y el ángulo del complejo, para lo cual usamos las
fórmulas 2.4 y 2.5. Luego:
|z| =
22 ?22 ? 8 ? 2 2
Para calcular el ángulo, podemos usar la calculadora:

? = arctg 2/2 = arctg 1 = 45º

Luego la representación polar de z es:
z=
2 2 (cos45º + i sen45º)
La representación de este número en el plano complejo aparece en la figura 2.14 mostrada a continuación:
Figura 2.14 La gráfica muestra el argumento de un número complejo z en el primer cuadrante.

Ejemplo: Un número complejo en el segundo cuadrante. Hallar la forma
polar de w = -3 + 4i.

Solución: Calculamos el módulo y el ángulo usando las relaciones anteriores:
|w| =
? 25 ? 5
??3?2 ?42
Ahora calculamos el ángulo usando la calculadora, pero teniendo mucho cuidado, pues la calculadora solo
nos da ángulos ? en el intervalo -90º ? ? ? 90º, al usar la tecla arctg. El ángulo dado por la calculadora es:

?’ = arctg 4/(-3) = -53.13º

El argumento principal de w será:

? = 180º + ?’ = 126.87º

La razón para hacer este cambio es que ambos ángulos tienen la misma tangente, ver la figura 2.15:
Figura 2.15 La gráfica muestra el argumento de un número complejo z en el segundo cuadrante.

Luego la forma polar de w es:

w = 5(cos126.87º + i sen126.87º)

Ejemplo: Un número complejo en el tercer cuadrante. Hallar la forma polar de z = -3 -4i.

Solución: Al igual que antes, calculamos su módulo y ángulo asociado:
|z| =
? 25 ? 5
??3?2 ???4?2
Al tratar de buscar el ángulo, usando la calculadora, nuevamente se presenta el mismo inconveniente.
Tenemos entonces:

?’ = arctg(-4)/(-3) = 53.13º

Sabemos que este es un ángulo correspondiente al primer cuadrante, pero como la componente real de z
es negativa, al igual que su componente compleja, cualquier argumento de z debe estar en el tercer
cuadrante. Al ángulo hallado le sumamos 180o para obtener un argumento positivo, luego

? = 180o + ?’ = 233.13º

Por lo tanto, la forma polar de z es

z = 5(cos233.13º + i sen233.13º)

Ver la gráfica 2.16 mostrada a continuación:

12 ???2? ? 5

Figura 2.16 La gráfica muestra el argumento de un número complejo z en el tercer cuadrante.

Ejemplo: Un número complejo en el cuarto cuadrante. Hallar la forma polar de w = 1 -2i.

Solución: En primer lugar, calculamos su módulo y su ángulo:
|w| =
2
Al buscar el ángulo la calculadora nos da un argumento negativo, en el cuarto cuadrante (esta vez no se
presentan problemas de conversión), y para llevarlo a la forma positiva le sumamos 360º. Luego

?’ = arctg(-2)/1 = -63.43º

El argumento buscado es:

? = 360º + ?’ = 296.55º

Por lo tanto, la forma polar de w es:
w=
5 (cos296.55º + i sen296.55º)
Ver la figura 2.17:
Figura 2.17 La gráfica muestra el argumento de un número complejo z en el cuarto cuadrante.

Multiplicación y división en la forma polar

Supóngase que tenemos dos complejos en forma polar y queremos hallar el producto y el cociente de ellos.
Sean z = |z| (cos ? + i sen ?) y w = |w| (cos f +i sen f) Podemos realizar la multiplicación de estos números
complejos en forma polar:

z · w = |z|(cos ? + i sen ?)·|w| (cos f + i sen f)

= |z||w|[(cos ? + i sen ?)·(cos f + i sen f)]

= |z||w|[(cos ?· cos f- sen ?·sen f) + (cos ?·sen f + sen ?·cos f)]

después de usar un par de identidades trigonométricas muy conocidas, tenemos la formula siguiente:
z · w = |z||w| (cos(? + f) + i sen(? + f))
(2.6)
También se puede obtener una formula similar para la división en forma polar. Dicha formula viene dada por
?
z
w
z
w
?cos?? ????isen?? ????
(2.7)
Observación: Podemos dar ahora una interpretación geométrica del producto y la división de números
complejos, basándonos en las fórmulas anteriores. Por lo tanto, podemos resumir:

“Cuando se multiplican dos complejos, el resultado es un número complejo cuyo módulo es igual al producto
de los módulos y cuya amplitud es igual a la suma de las amplitudes”.

“Cuando se dividen dos números complejos, el resultado es un número complejo cuyo módulo es igual al
cociente de los módulos y cuya amplitud es igual a la diferencia de las amplitudes”.

Ejemplo: Sean z = 2(cos95º + i sen95º) y w = 3(cos26º + i sen26º). Entonces podemos calcular su producto,
usando la fórmula 2.6. Luego se tiene:

z · w = 2·3(cos(95º + 26º) + i sen(95º + 26º))

z · w = 6(cos121º + i sen121º)

Si queremos hallar el cociente de z entre w, hacemos:
2
3
?
z
w
(cos(95º – 26º) – i sen(95º – 26º))
2
3
?
z
w
(cos69º + i sen69º)
2.6. Potencias y raíces de números complejos.

La fórmula 2.6 puede ser utilizada para hallar la potencia n-ésima de un número complejo. Supongamos que
z = |z|(cos?+i sen?), y n es un entero positivo, entonces se obtiene:
zn = |z|n(cos(n·?) + i sen(n·?))
(2.8)
Esta relación, que se conoce con el nombre de Fórmula de De Moivre, nos da un algoritmo bastante
eficiente para hallar la potencia n-ésima de cualquier número complejo en forma polar.

Ejemplo: Sea z = 2(cos30º + i sen30º). Calcule la potencia de orden cinco de este número, es decir, z5.

Solución. Usando la relación (2.8):
z5 = 25(cos(5·30º) + i sen(5·30º))

z5= 32(cos150º + i sen150º)

Ejemplo. Calcular z6, donde z = 3 + 4 i.

Solución. En primer lugar, llevamos z a la forma polar. Para hallar el módulo hacemos:
|z| =
32 ?42 =
25 = 5.
Por otro lado, el ángulo viene dado por:

? = arctg 4/3 = 53.13º

Por lo tanto, tenemos a z en forma polar:

z = 5(cos53.13º + i sen53.13º)

Calculamos ahora z6 empleando la relación (2.8):

z6 = 56(cos(6·53.13º) + i sen(6·53.13º))

z6 = 15625(cos318.78º + i sen318.78º)

Finalmente, llevamos este resultado a la forma cartesiana:

z6 = 15625(0.7522 – i 0.6590)

z6 = 11753.12 – 10296.12 i

En este ejemplo se ha cometido un error de redondeo, al usar la calculadora de mano. El valor exacto de
esta operación es z6 = 11753 – 10296i.

Si z es un número complejo tal que para algún n entero positivo se tenga

z = wn

donde w es otro número complejo, entonces se dice que w es una raíz enésima de z. Esto lo denotamos por
w = z1/n = n z . En los números reales, todo número posee una raíz de orden impar y dos raíces de orden
par. En los complejos hay una mayor abundancia de raíces. Concretamente, se tiene la siguiente propiedad.

Propiedad: Todo número complejo tiene exactamente n raíces n-ésimas.

Así, por ejemplo, si z = 1 entonces existen 4 raíces cuartas, pues

14 = i4 = (-i)4 = (-1)4 = 1

de donde 1, -1, i, y -i son las 4 raíces cuartas de la unidad.

A continuación damos una fórmula para hallar las raíces de un número complejo.

Sea z = |z|(cos? + isen?), entonces

? ?cos?
? ?? ?2k? ? ?? ?2k? ??
z1/3 ? 81/3?cos
30º?2k? ?
1 ? 6 1? ?cos?
?? ?
??isen?

??isen? ??
? ? n ? ? n ??
n
1/n
z ? z1/n ? z
(2.9)
Ejemplo: Hallar todas las raíces cúbicas de z = 8(cos30º + isen30º)

Solución: Si usamos la relación (2.9) se tiene:
?
?
?
3 ?
?isen
30 º?2k?
3
con k = 0, 1, 2. Sustituyendo estos valores de k en la expresión de arriba nos da las tres raíces cúbicas:
w1 = 2(cos10º + i sen10º)
w2 = 2(cos130º + i sen130º)
w3 = 2(cos250º + i sen250º)
k=0
k=1
k=2
Si representamos gráficamente estas tres raíces, veremos que se hallan sobre una circunferencia con
centro en el origen y radio 2. Además todas ellas están a la misma distancia de las otras: forman los vértices
de un triángulo equilátero. Ver la figura 2.18.
Figura 2.18 La gráfica muestra las tres raíces cúbicas del complejo z = 8 (cos 30º + i sen 30º).

Ejemplo: Hallar las seis raíces sextas de la unidad.

Solución: Tomamos la representación en forma polar de 1, la cual viene dada por

1 = 1· (cos 0º + i sen 0º)

Luego hallamos las raíces sextas por intermedio de 2.9
? ? 6 ? ? 6 ??
6
? ?0 º?2k?? ?0 º?2k???
Con k = 0, 1, 2, 3, 4 y 5.

Estos valores de k nos dan las seis raíces:
w1 = 1(cos 0º + i sen 0º)

w2 = 1(cos 60º + i sen 60º)
k=0

k=1
w3 = 1(cos 120º + i sen 120º)
k=2

w4 = 1(cos 180º + i sen 180º)

w5 = 1(cos 240º + i sen 240º)

w6 = 1(cos 300º + i sen 300º)
k=3

k=4

k=5
Si las graficamos en el plano complejo, vemos que ellas ocupan los vértices de un hexágono regular inscrito
en una circunferencia de radio 1, como se muestra en la figura 2.20.
Figura 2.20 Muestra las seis raíces sextas de la unidad.

Ejercicios

1. Representar gráficamente en el plano complejo los siguientes números:

a) z = 2(cos60º + i sen60º)
b) z = 1=5(cos45º + i sen45º)
c) z = 16(cos120º + i sen120º)
d) z = 7(cos100º + i sen100º)
e) z = 4(cos400º + i sen400º)
f) z = 6(cos312º + i sen312º)
g) z = (1 +
2 )(cos ( – 60)º + i sen (– 60)º)
2. Expresar los siguientes números complejos en forma polar:

a) z = 3 + 4i
b) z =

c) z =

d) z =
i

i

i
1
2

1
2

1
2
?

?

?
1
2

?1
2

?1
2
e) z = 1 – i
f) z =
3 p3 + i
g) z = (6 + i)(2 – i)
h) z = -7 – 7i
i) z = 5

3. Usando la forma polar, efectúe las siguientes operaciones:

a) (1 + i)( 3 + i)
b)

c)
1?i
3 ?i
4i
2?i
d) (1 + i)4
e) ( 3 + i)7
f) (1 + i)-3
2 ?i?1?i?
g)
5i

4. Calcular las cuatro raíces cuartas del complejo z = 2 + i. Representarlas gráficamente.

5. Calcular las tres raíces cúbicas de los siguientes números complejos:

a) z = 1 – i
b) z = -1 – i
c) z =
3 +i
d) z = 1 –
3 i
e) z = 8

6. Resuelva las ecuaciones en números complejos:

a) z3 + 4 = 5 + i
b) z4 + 2i = 6 + 3i
c) z5 + 16 = 0

7. Dibujar en el plano complejo la región delimitada por:
a) |z| ? 3
b) |z – 5| < 4
c) Re(z) < 1=2
d) Im(z) ? 4

3. La fórmula de Euler

3.1 El Número e

Una de las constantes más usadas en matemáticas es el número e o Número de Euler, cuyo valor
aproximado de 11 cifras decimales es:

e ? 2.71828182846

Esta constante aparece en conexión con los números complejos, mediante la relación maravillosa
ei? ? cos? ?isen?
(3.1)

Donde el lado derecho representa un número complejo en el círculo unitario de ángulo? . Dicha fórmula se
conoce con el nombre de Fórmula de Euler en honor a Leonhard Euler, quien la descubrió cerca de 1740.

Muchos textos de bachillerato y aún universitarios tienen un tratamiento inadecuado, carente de toda
pedagogía y rigor matemático, de la formula de Euler. Para éstos autores el lado izquierdo no posee ningún
i?
convencer al estudiante que la relación (3.1) es una verdad matemática y no un simple acto de fe, debemos
ei? y luego demostrar que dicha relación se
entonces tratar de entender primero qué cosa es la expresión
cumple para todo ángulo? .
x
Comenzaremos entonces por considerar la función exponencial f?x?? e
¿Cómo se define
ex , si x es un número real?
La propiedad que define a la exponencial es una función
f?x?, tal que:
? f
df
dx
i)
(3.2)
ii) f?0??1

De manera análoga, si k es cualesquier constante, entonces:
g?x?? ekx
Es la función
g?x? que satisface:
? g?0??1
ii
? kg
? dg
dx
i
(3.3)
Comenzaremos por suponer que
ex se puede desarrollar en una serie de potencia:
f?x?? ex ? a1 ?2a2x?3a3x2 ?…?nanxn?1 ?…

Este tipo de series se llaman Series Formales de Potencia. La palabra formal nos indica que dicho
desarrollo es sólo una relación entre símbolos y que puede ser, o no, un número real para algunos valores
de x.

Derivando en ambos miembros de la serie de potencias nos queda:
? ex ? a1 ?2a2x?3a3x2 ?…? nanxn?1 ?…
d f?x?
dx
Igualando ambas expresiones y comparando los coeficientes del mismo grado nos da:

? 1
? 3a3

? (n ?1)an?1
a1 ? 2a2
a0
a2
?
an
Usando (3.2) ii) se tiene que f(0) = 1 y por lo tanto a0 = 1. Luego tendremos los valores de los términos
restantes definidos por recurrencia:
1
2
?
?
1
1?2?3
?
1
?n ?1?!
a2
a1 ? 1
? a1
a0
an
n ?1
an?1
a3 ?

?
Luego la serie de potencias de
ex es:
??
???
?
x3
3!
x2
2!
xn
n!
ex ?1? x ?
(3.4)
Por lo que deduce que la serie de potencias de ekx es:
??
?kx?2 ? ?kx?3 ??? ?kx?n
2! 3! n!
ekx ?1? kx?
Por el momento no nos preocupamos por los problemas de la convergencia de estas series de
potencia. Sólo haremos un cálculo formal en una primera etapa, para descubrir relaciones entre las
funciones de manera heurística, como lo hacían los matemáticos en el pasado.

Las series de potencia sen? y cos? , se pueden obtener por medio del Teorema de Taylor del cálculo
diferencial. Tenemos también la posibilidad de calcular estas series, trabajando de manera formal. Sobre las
funciones seno y coseno, apenas conocemos los valores para ? ? 0. Así pues:
sen?0? ? 0
cos?0? ? 1

Luego las series de potencias respectivas serán:

(3.5)
?3.6?

sen? ? a1? ? a2? 2 ??? an? n ??
cos? ? 1?b1? ?b2? 2 ???bn? n ??
Recordemos que la función seno es impar, es decir sen(-?) = – sen? , luego podemos igualar sus series
respectivas y comparar los coeficientes para obtener:
a1
a2
a3
a4
? a1
? ? a2
? a3
? ? a4
?

De aquí se deduce que todos los coeficientes de las potencias pares son cero. Luego (3.5) se puede
escribir:
sen? ? a1 ?a3? 3 ?a5? 5 ???a2n?1? 2n?1 ??
(3.7)
Por otra parte, la función coseno es par, es decir cos? ? cos(??) y por lo tanto los coeficientes de las
potencias impares son todas nulas. Luego se tiene el desarrollo en serie para el coseno:
cos? ?1?b2? 2 ?b4? 4 ???b2n? 2n ??
(3.8)
Para calcular el valor de los coeficientes ai en (3.7), derivamos la serie del seno y la igualamos a la del
coseno pues
d
d?
sen? ? cos? .
De aquí obtenemos que
a1 ?1.
Una segunda derivación de la serie (3.7) produce:
sen? ? ?sen?
d 2
d? 2
Luego:
sen? ? 2?3a3? ?5.4a5? 3 ????2k ?1?2ka2k?1? k?1 ??
d 2
d? 2
? ?a1 ?a3? 3 ???a2k?1? k?1 ??

Igualando los coeficientes de las potencias del mismo orden nos da:

??1? ?
?
i?
ei? ? ? ?1?
??? ??i? ?? ?
??? ? ? cos? ?i sen?

a3

a5
? a1
2?3
? a3
5?4
?

?

?
? a2k?1
?2k ?1??2k
a2k?1 ?

?

Esta sucesión de recurrencia nos da los valores:
1
5!
?1
3!
, a5 ?
a3 ?
k
?k ?1?!
, a2k?1 ?
Luego la serie del seno de
? es:
??
?
? 5
5!
? 3
3!
sen? ?? ?
(3.9)
Haciendo el mismo tipo de análisis para la serie del coseno obtenemos:
??
?
? 4
4!
? 2
2!
cos? ?1?
Volviendo al desarrollo en serie de potencias de ekx, y suponiendo que k = i, x = ?, entonces nos queda:
??
?
??
3

3!
2

2!
?1?i? ?
?i??2 ? ?i??3 ??? ?i??n
2! 3! n!
ei? ?1??i???
Por el momento no vamos a probar la convergencia de esta serie, hacemos ahora un reordenamiento de
esta última serie para obtener:
?
?
?
? ?
? ?
?
?
?
? 5
5!
? 3
3!
? 4
4!
? 2
2!
Al menos heurísticamente hemos probado la Fórmula de Euler. Para dar más rigurosidad a estos resultados
tendríamos que probar la convergencia de ambas series para cualquier ? real, lo cual no está al alcance de
nuestro curso.
La fórmula de Euler permite usar una notación más corta para expresar los números complejos. Si z es
cualquier complejo, se tiene la representación polar:
z ? z ?cos? ?isen??

que podemos escribir como:

z n ? z n e

Sean

z ? z ei?

z1 ? z1 ei?1 y z2 ? z2 e?i?2 dos números complejos, entonces su producto y su cociente serían:

z1 ?z2 ? z1 z2 ei??1??2?
?
ei??1??2?
z1
z2
z1
z2
Si n > 0 es un número entero, la potencia n-ésima de
z ? z ei? está dada por:
n
y la raíz n-ésima será:
i
2
1 1
?? ?nk??
donde k = 0, 1, …, n-1.

3.2 Aplicaciones de la Trigonometría

Partiendo de la fórmula de Euler podemos derivar una gran cantidad de identidades trigonométricas.
Veamos entonces como el seno y el coseno se definen a partir de la función exponencial.

Tenemos la fórmula de Euler:

ei? ?cos? ?isen?

De aquí que:
e?i? ?cos?????isen?????cos? ?isen?

Combinando las expresiones algebraicas obtenemos las conocidas fórmulas que relacionan seno y coseno
con la exponencial:
(3.10)

(3.11)
ei? ?e?i?
2

ei? ?e?i?
2i
cos? ?

sen? ?

sen4? hacemos uso de la identidad 2i sen? ?e ?e
?

Como una primera muestra del poder de los números complejos en el estudio de la trigonometría,
derivamos las identidades para: sen ? ?? y cos ? ?? .

Esto es:
cos ?? ????isen ?? ???? ei????? ? ei?ei?
??cos? ?isen???cos? ?isen??
??cos? cos? ? sen? sen???i?sen? cos? ?cos? sen??

Igualando componentes en ambos lados nos quedan el par de fórmulas:

cos?? ??? ? cos? cos? ? sen? sen?
sen?? ??? ? sen? cos? ?cos? sen?

La ventaja de usar la fórmula de Euler, aparte de su perfección y simplicidad, es que siempre aparecen dos
nuevas fórmulas.
Por ejemplo, supongamos que queremos calcular
sen3? y cos3? , entonces tenemos:
3

? cos3? ?3cos2? isen? ?3cos? i2sen2? ?i3sen3?
? ?cos3? ?3cos? sen2???i?3cos2? sen? ? sen3??

Igualando partes reales e imaginarias nos quedan las fórmulas:

cos 3? ? cos3? ?3cos? sen2?
sen 3? ? 3cos2? sen? ? sen3?

Podemos también derivar fórmulas para las potencias del sen ? (o del cos ?) en función de sen ? y cos ?.
Por ejemplo, si queremos una identidad para
i?
?i?
.
Elevando a la potencia cuarta ambos miembros nos dará:
4
?2 isen??4 ? ?ei?
?e?i?
? ei4? ?4ei3?e?i? ?6ei2?ei2? ?4ei?e?i3? ?ei4?

? ei4? ?e?i4? ?4?ei2? ?e?i2???6
? 2 cos4? ?8cos2? ?6
16sen4?
Por lo tanto:

cos 4? ?4 cos? ?3
8
sen4? ?
3.3 Aplicaciones en la Geometría

Teniendo a los números complejos a la mano podemos pasearnos por algunos teoremas de la geometría y
redescubrir algunas demostraciones, de una manera sencilla y fácil. Dentro de los complejos se esconde un
potencial tremendo de cálculo de ángulos y longitudes en el plano, como veremos en los siguientes
ejemplos. Comenzaremos por uno de los teoremas más importantes de la geometría:

3.3.1 El Teorema de Pitágoras

Sea el triángulo AOB un triángulo rectángulo, el cual ubicamos en el plano complejo, con el vértice O en el
origen, de acuerdo al diagrama:
Fig. 3.1 Diagrama utilizado para probar el Teorema de Pitágoras.

El teorema afirma que se satisface la relación:

c2 ? a2 ?b2

Basándonos en la figura, podemos definir tres números complejos z1 ? a, z2 ? bi, y z3 ? z2 ? z3:
Fig. 3.2 Representación geométrica de los valores a, b y c para probar el Teorema de Pitágoras.
Calculemos el módulo al cuadrado de
z3 :
2

??bi ?a???bi ?a?? b2 ?abi ? abi ? a2

? ??b
? c ?bc e ?e

Entonces obtenemos la relación entre los lados:

c2 ? a2 ?b2

3.3.2. La Ley de los Cosenos
Consideremos un triangulo de lados a, b, c y supóngase que se conoce uno de sus ángulos, digamos ? :
Fig. 3.3 Diagrama utilizado para probar la Ley de los cosenos.

La ley de los cosenos establece entonces:

a2 ? c2 ?b2 ?2ab cos?

Ubicamos entonces el triángulo dentro del plano complejo:
Fig. 3.4 Ubicación de un triángulo en el plano complejo.
z1 ? b, z2 ? cei?, z3 ? z2 ? z1, de esta manera podemos
Luego consideremos los números complejos:
establecer la relación entre los módulos:
2
2
? z2 ? z1
a2 ? z3
de donde:
?
2 i? ?i? 2
a2 ??z2 ? z1??z2 ? z1???cei? ?b??ce?i? ?b
y, usando la relación:
ei? ? e?i?
2
cos? ?

obtenemos la fórmula del coseno:

a2 ? c2 ?2bccos? ?b2

Otro resultado muy usado en geometría es el inverso del Teorema de Pitágoras, el cual establece que todo
triángulo con lados a, b, c que cumplen la relación:

c2 ? a2 ?b2

es un triángulo rectángulo.

Esto se deduce fácilmente de la ley de los cosenos. En efecto si se tiene la relación:
(3.13)
a2 ? c2 ?b2

en un triángulo como el mostrado a continuación.
Fig. 3.5 Diagrama utilizado para probar el inverso del Teorema de Pitágoras.

Entonces usando la ley de los cosenos tendremos:
a2 ? c2 ?b2 ?2ab cos?
(3.14)
Igualando (3.13) y (3.14) obtenemos la relación:

c2 ?b2 ? c2 ?b2 ?2ab cos?

de donde se concluye que cos? ? 0 y por lo tanto? ? 90?. Es decir, el triángulo es rectángulo.

3.3.3 Teorema del Triángulo Inscrito en un Semicírculo

Un famoso teorema de geometría, dice que todo triángulo inscrito en un semicírculo debe ser rectángulo.
Probaremos este resultado usando números complejos. Supongamos que tenemos un semicírculo de radio
a y un triángulo ?ABC inscrito en él (ver la figura)

z2 ? z3 ? z2 ? z1
? a2 1?ei? ?e?i? ?1?? a 1?e ?
?e?i? ?1

Fig. 3.6 Diagrama utilizado para probar el Teorema del triángulo inscrito en un semicírculo.

De acuerdo a la observación sobre la ley de los cosenos, debemos probar que:

2 2 2
Para probar esto, tomaremos tres números complejos:
z1 ? a, z2 ? aei?, z3 ? ?a, y tomamos el ángulo
? de manera tal que el radio vector de z1 intersecte al círculo en el punto A.
Fig. 3.7 Diagrama utilizado para probar el Teorema del triángulo inscrito en un semicírculo, en el plano
complejo.
Es claro que
BA ? z2 ? z3 y AC ? z2 ? z1 . Luego se tiene:
?
2
2
? 4a2
2 i?
??a ei? ? a???a e?i? ? a???a ei? ?a??a e?i? ?a
Luego se ha probado que:
2 2
y con esto termina la demostración.
3.3.4
El área del círculo
Supongamos que tenemos un círculo de centro O y radio a. Hallaremos el área del mismo mediante un
proceso de límites. Podemos aproximar el círculo por medio de un polígono regular de n lados.

El área de dicho círculo se expresa (ver problema 3):

?2? ?
A ? lim An ? lim
?2? ?
?
? ?
?
?
?2? ?
?2? ?
?
?
?
?
?
?
?
lim a2 ? ? ?? ?
?
?2?? ? ?2?? ??? ? ? a2?
?
?
?2? ?

sen? ?
? n ?
An ?
na2
2
A medida que n aumenta, el área de
An se aproxima cada vez más al área del círculo, y cuando
n ??, entonces An ? A, donde A es el área buscada. Luego podemos hacer:
sen? ?
? n ?
n?? n??
na2
2
Aquí se presenta un problema serio, pues el límite es una indeterminación de la forma ??0.
Afortunadamente, podemos remediar este inconveniente, considerando la serie de potencias del seno,
estudiada en este capítulo. Luego:
2
3 5

2n23! 2n45!
na
2
?
?
?2?
n
?
?
n??
A ? lim
n??
3 5
?
? n ? ? ? n ? ???
3! 5!
?
pues a partir del segundo término de la serie, los términos restantes convergen a cero. Luego el área del
a2? .
círculo de radio a es

Ejercicios
1.
Si
z1 ? c1ei? y z2 ? c2ei? son dos números complejos cualesquiera, probar que el triángulo de
vértices
z1, O y z2 tiene área A, dada por:
A ?
c1 ?c2 sen?? ???
2
2.
Demuestre que un polígono regular de n lados, inscrito en un círculo de radio a tiene área dada por
sen? ?
? n ?
An ?
na2
2
3.
Utilizando el ejercicio anterior calcule el área de un pentágono inscrito en un círculo de radio 1.
4.
Sea
z ? ei? un número complejo en el círculo unitario.

ex ??
??e ?
S ?

Probar que la distancia de l desde z hasta 1 es igual a:

l ? 2 1?cos?
5.
Usando el ejercicio anterior calcule el perímetro de un pentágono inscrito en un círculo de radio 1
6.

7.
Halle un par de identidades trigonométricas para

Demuestre que la serie

?

i?1
sen 4? y cos4? en función de sen? y cos? .

xi
i!
converge a un número real para todo x real.
8.

9.

y
Usando la serie anterior, calcule un valor aproximado de e con cinco cifras decimales.

Calcule el valor de las sumas

A? cos1? ?cos 2? ?cos 3? ???cos 89?

B ? sen1? ?sen2? ?sen3? ???sen89?
Tip
: sea z ? e
i?
con? ?1?y calcule el valor de la suma de una progresión geométrica:
10.

11.
89
i? n

n?1

Probar que el conjunto de las rotaciones en el plano con eje de rotación en un punto a es un grupo.

Hallar la transformación que lleva el triángulo A de vértices 0, 2, i, en el triángulo A’ de vértices
z1 ? 5?5i, z2 ? 5?3i y z3 ? 4?5i.

Bibliografía:
1.

2.
Paul K. Rees, Fred W. Sparks. Álgebra. Reverté Ed. Edición 2005.

Paul K. Rees, Fred W. Sparks, Charles Sparks Rees. Álgebra. Ed. Mc Graw Hill. Décima Edición.

3.

4.

5.

6.

7.

Louis Leithod. Álgebra. Ed. Harla. Edición 1995.

Stanley A. Smith, (et. Al.). Álgebra. Ed. Addison-Wesley. Edición 1992.

http://www.portalplanetasedna.com.ar/disputas_matematicas.htm

http://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/lico/Libros/complejos.pdf

http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_1/Los_numeros_complejos/complejos1.htm
Autor:
Ing. Lic. Yunior Andrés Castillo S.
“NO A LA CULTURA DEL SECRETO, SI A LA LIBERTAD DE INFORMACION”®
Santiago de los Caballeros,
República Dominicana,
2015.
“DIOS, JUAN PABLO DUARTE Y JUAN BOSCH – POR SIEMPRE”®