Los números reales, como base de un todo (página 2)

Partes: 1, 2

Saber resolver sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas mediante el
método de Gauss.
Resolver sistemas de ecuaciones no lineales.
-Conocer la definición de inecuación lineal con una incógnita e inecuación cuadrática con una
incógnita.Aprender a resolverlas.
Resolución de un sistema de dos inecuaciones lineales con una incógnita.

Introducción.-
El Álgebra es una parte de las matemáticas que inició su recorrido en paralelo con la Aritmética
y la Geometría. Los antiguos griegos intentaban formular todos los problemas en lenguaje
geométrico, y el Álgebra solo pudo empezar a constituirse en disciplina autónoma, con la
sustitución de los números por las letras y la consideración de las ecuaciones desde el punto
de vista numérico (tradición babilónica-egipcia).
El Álgebra clásica se ocupó pues, de hallar fórmulas y métodos para resolver ecuaciones y
sistemas de ecuaciones. La figura destacada del período clásico es Diofanto de Alejandría (s.
III). A partir del s. IX, los matemáticos árabes aplican reglas formales en la resolución de las
ecuaciones. El Álgebra logra un nuevo impulso con matemáticos como Descartes (s. XVII) y
Gauss (s. XVIII) que dio una demostración del famoso teorema fundamental del álgebra.
El nacimiento del Álgebra moderna se produce con el francés Galois (s. XIX) que redujo el
estudio de las ecuaciones algebraicas al de los grupos de permutaciones de sus raíces.

8. Polinomios. Fracciones algebraicas.
Polinomios en una indeterminada. Operaciones con polinomios.-
Un Monomio es una expresión algebraica de un producto indicado de un número por una
letra (habitualmente se usa la letra “x”: “la indeterminada”).
Al número del monomio se le llama coeficiente.
Al resto de la expresión del monomio se le denomina parte literal.
Al exponente al que aparece elevada la letra “x” se le denomina grado.
Se define el valor numérico de un monomio (para un valor de la letra “x”) como el número
resultado de sustituir en “x” ese valor dado.
Ejemplo.- calcula el valor numérico de los monomios anteriores para x=-2.
Para el monomio 7×3 el valor numérico es: vn?7.??2?3 ?7.(?8) ? ?56

Decimos que dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal, así por
ejemplo son monomios semejantes:
2×3
y
7×3
SUMA de Monomios.-
Para sumar dos o más monomios éstos han de ser semejantes, y en ese caso la suma es otro
monomio semejante que tiene por coeficiente la suma de los coeficientes de los sumandos.
a) 2×3 ?5×3 ?3×3 ??2?5?3?x3 ? 4×3

x ? x2 ? x2 ?? ? ? ?x2 ?
x ?
2 2
b)
3
4 2
6
x
1 2 2 5 ?1 2 5?
2 3 6 ?2 3 6?
?? ?? ?? ?? 5
PRODUCTO de Monomios.-
El producto de dos monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los
coeficientes y de parte literal el producto de la parte literal de los factores.
?5×2??52?x3 ??5.52?x2?3 ?10 x5 ? 2×5

Un Polinomio es una suma indicada de dos o más monomios.
Cada uno de los monomios se le llama término.
Es posible que en un polinomio halla monomios semejantes, en ese caso es conveniente
operarlos y obtener el polinomio en su forma reducida.
Llamamos grado de un polinomio, escrito en su forma reducida, al mayor de los grados de los
monomios de ese polinomio.
Se define el valor numérico de un polinomio (para un valor de la letra “x”) como el número
resultado de sustituir en “x” ese valor dado.
Para no tener que escribir todos los monomios de un polinomio es frecuente nombrar a dicho
polinomio de la forma: p(x); q(x); r(x)……….
Ejemplo.- Dado p?x??3×2 ?2×3 ?5×2 ?3x?7?2×3.Escríbelo en su forma
reducida, indica el grado y calcula el valor numérico para x=-1.
p?x??3×2 ?2×3 ?5×2 ?3x?7?2×3 ? p?x??8×2 ?3x?7
Grado de
p?x?: 2;
valor numérico:
p??1??8??1?2 ?3??1??7 ?18
Operaciones con polinomios.-
a) SUMA de polinomios.-
Sean los polinomios: p?x?? x4 ?3×3 ?5x?3 q?x??5×3 ?3×2 ?11
Calcula i)p?x??q?x? ii)p?x??q?x?
i)p?x??q?x?? x4 ???3?5?x3 ?3×2 ?5x??3?11?? x4 ?2×3 ?3×2 ?5x?8
ii)p?x??q?x?? x4 ???3?5?x3 ?3×2 ?5x??3?11?? x4 ?8×3 ?3×2 ?5x?14
b) PRODUCTO de polinomios.-
Sean los polinomios: p?x?? 2×3 ?4×2 ?1 q?x??3x?2
Calcula p?x?.q?x?

c) COCIENTE de dos polinomios.-
Sean los polinomios: p?x?? 6×4 ?8×2 ?7x?40 q?x?? 2×2 ?4x ?5
Calcula p?x?:q?x?
Regla de Ruffini
(para dividir un
polinomio entre
x-a).-
Es frecuente
dividir un
polinomio entre
una expresión
del tipo: x-a.
Podríamos efectuar la división de la caja (como en el ejemplo anterior) pero el método de
Ruffini permite hacer estas divisiones más rápidamente.
Sean los polinomios: p?x?? 7×4 ?11×3 ?94x?7 q?x?? x?3
En este caso a =3. (¡Ojo!, En x+2 a=-2, en x-5 a=5)
El cociente de esta división es: c?x??7×3 ?10×2 ?30x?4
El resto de la división es:r ? ?5

Teorema del Resto.-

El valor numérico de un polinomio p?x? cuando x=a ( p?a?), coincide con el resto(r) de
dividir dicho polinomio p?x? entre x-a, o sea, p?a?=r.
En efecto, sabemos que se cumple la siguiente igualdad en cualquier división:
“Dividendo es igual al producto del divisor por el cociente más el resto”
Ejemplo.- Calcula el valor numérico de
p?x?? 7×4 ?11×3 ?94x?7 para x= 3
utilizando la regla de Ruffini.

Raíces de un Polinomio.-
Decimos que el número “a” es Raíz de un polinomio
Las raíces de un polinomio son pues las soluciones de la ecuación: p?x?? 0
Ejemplo.-Sea el polinomio
p?x?? x3 ?3×2 ?4x?12
Comprueba que a=2, a=-3 y a=-2 son raíces del polinomio.
p?2?? 23 ?3.22 ?4.2?12 ?8?12?8?12 ?0
p??3????3?3 ?3.??3?2 ?4.??3??12? ?27?27?12?12?0
p??2????2?3 ?3.??2?2 ?4.??2??12? ?8?12?8?12?0

Un resultado muy importante en relación con las Raíces de un polinomio dice:
El número de Raíces reales distintas de un polinomio es a lo sumo igual al grado de dicho
polinomio.

En el ejemplo anterior
p?x?? x3 ?3×2 ?4x?12es de grado 3 y tiene (como mucho)
3 raíces reales distintas (no tiene más que esas tres: 2;-3;-2)

Ejemplo.- Sea el polinomio p?x?? x3 ?4×2 ?5x?2 Comprueba que a=-1 y a=-2
son raíces del polinomio. Tiene sólo dos raíces reales (grado p?x?=3

Divisibilidad de polinomios.-
La divisibilidad entre polinomios se comporta de modo similar a la divisibilidad entre números
enteros.
Decimos que un polinomio
exacta. En tal caso también se dice que p?x? es múltiplo de d?x? ya que:
p?x?? d?x?.q?x?

Ejemplo.- El polinomio
p?x?? x3 ?3×2 ?4x?12 es múltiplo de d?x?? x?3
porque si q?x?? x2 ?4 entonces se cumple que:
x3 ?3×2 ?4x?12 ??x?3?.?x2 ?4?O sea:
p?x?? d?x?.q?x?
Factorizar un polinomio consiste en descomponerlo en producto de polinomios (factores) del
menor grado posible.

Pues bien, la Regla de Ruffini nos va a permitir factorizar polinomios con coeficientes y raíces
enteros.
Efectivamente, si “a” es una raíz entera del polinomio
de dividir p?x? entre d?x?? x?a es cero (división exacta) y por tanto se cumple que:
p?x?? d?x?.q?x?

Hemos visto (con algunos ejemplos), que al aplicar el Método de Ruffini de división de un
polinomio
divisor del término independiente del polinomio p?x? para que la división sea exacta.
Por tanto, los factores de la forma: x?a de un polinomio p?x? se encuentran tomando “a”
entre los divisores del término independiente del polinomio p?x?
Ejemplo.- Usa Ruffini para factorizar p?x?? x3 ?3×2 ?4x?12.
Según hemos visto, para factorizar el polinomio tenemos que “buscar” las raíces del polinomio
entre los divisores de 12(término independiente)

Ahora procedemos, mediante el método de Ruffini, a la factorización:
¡Observación! Si un polinomio tiene más de dos raíces no enteras, entonces aunque pueda
factorizarse, nosotros no podremos hacerlo utilizando el método de Ruffini y por tanto no
sabríamos factorizarlo.

Decimos que un polinomio es Irreducible cuando no tiene ningún divisor de grado inferior al
suyo.

Así por ejemplo son Irreducibles 5.x x?2 x2 ?3x?3
También es irreducible 2x?4 pues aunque es divisible por x?2 ambos son del mismo
grado.
Los polinomios Irreducibles desempeñan el mismo papel que los números primos en la
divisibilidad numérica.

MCD y mcm de dos polinomios.-
Un polinomio
divisor común de ambos y no hay otro divisor común de ambos con mayor grado. Se escribe:

Un polinomio M?x? es el mínimo común múltiplo de dos polinomios P?x?yQ?x? si es
múltiplo común de ambos y no hay otro múltiplo común de ambos con menor grado. Se
escribe:
Para calcular el MCD y el mcm de dos polinomios se procede de modo similar que en el caso
de la divisibilidad numérica.
Veámoslo con un ejemplo.-
Sean los polinomios p?x?? x2 ?9 y q?x?? x2 ?6x?9
Calcula el MCD y el mcm de ambos.
Factorizamos el polinomio:
p?x?
Factorizamos ahora el polinomio:
q?x?
Ahora para calcular el mínimo común múltiplo de ambos tomamos los factores comunes y no
comunes elevados al mayor exponente:
mcm?p?x?,q?x????x?3?2?x?3?

Para determinar el Máximo Común Divisor tomamos los factores que coinciden en ambos
polinomios (elevados al menor exponente).

x?4 1
?x?4??x?3? ?x?3?
MCD?p?x?,q?x????x?3?
Ejercicio.- Determina tú el MCD y el mcm de los polinomios:
p?x?? x2 ? x?2 q?x?? x3 ? x2 ?4x?4

Fracciones Algebraicas.-
Las fracciones entre polinomios se comportan de manera semejante a las fracciones
numéricas.
Una fracción algebraica es el cociente indicado de dos polinomios.

q?x?
Por ejemplo son fracciones algebraicas:
2×3 ?17x?3
3×2 ?5x?12
y
1
x ?5
y
3x?2
7
y
x?4
x2 ? x?12
Simplificación de Fracciones Algebraicas.-
Si el numerador y el denominador de una fracción algebraica son divisibles por un mismo
polinomio (de grado mayor o igual a uno), al hacerlo se simplifica la fracción.
Si dividimos numerador y denominador por el Máximo Común Divisor de ambos entonces la
fracción resultante es irreducible.
2×3 ?17x?3
Ejemplo 1.- Simplifica la fracción: a su irreducible:
2

3
?
3×2 ?5x?12 3x?4
x?4
Ejemplo 2.- Simplifica la fracción: a su irreducible:
?
?
x?4
x2 ? x?12
Ejercicio.- Simplifica tú la fracción:
x2 ?9
x2 ?6x?9
Dos fracciones algebraicas se dicen equivalentes si:
? Una de ellas se obtiene simplificando la otra.
? Al simplificar ambas obtenemos la misma fracción.
2x?5 x?4
Son por ejemplo equivalentes las fracciones: y
Comprueba que
al simplificar ambas obtenemos la fracción:
1
x ?3
Operaciones con Fracciones Algebraicas.-

Ejemplo.- Efectúa y simplifica:?
3 ? ?
x?2? ? x?2
a)?
1? ? ?9? x2 ? ? ?3? x?
? ?:? ? ? ??
? ?
😕
?3x??3? x??3? x? ?3? x
?x?1?
?x?1??x?1??x?1? ? ?x?1?2
???x? x??:??x? x???.?x?1?? ??
??.?x?1??
?? 1? ? 1?? ?? x2 ?1? ? x2 ?1??
? ?
?
??x2 ?1?x? ?x2 ?1? x2 ?1
?
?
? 2 ??x?1?? ?x?1??
? ? ?
? ?
2?1 1 ? 2? x?1?
x? x x?1?
1.- SUMA/RESTA de Fracciones Algebraicas.-
Para (sumar/restar) dos o más fracciones algebraicas tienen que tener el mismo
denominador, en ese caso, la fracción resultante es la que tiene por denominador el mismo que
el de las fracciones a (sumar/restar) y por numerador la (suma/resta) de los numeradores.
Si tuviesen distinto denominador habría que reducirlas previamente a común denominador
(es decir, obtener otras fracciones equivalentes a las dadas pero con el mismo denominador) y
a continuación al tener las fracciones el mismo denominador proceder como se explicó más
arriba.

2.- El producto de dos fracciones algebraicas es otra que tiene por numerador el producto de
los numeradores y por denominador el producto de los denominadores de las fracciones a
multiplicar.

3.- El cociente de dos fracciones es otra fracción que tiene por numerador el producto del
numerador de la primera por el denominador de la segunda, y por denominador el producto del
denominador de la primera por el numerador de la segunda.
1
:
?
?
? 3x
??x?2?2
? ? : ?: 1
2

: ? ?

Ejemplos de operaciones con fracciones algebraicas.-
?
?3x??3? x?
x? ?1
3? ? x 3? ? 3x ? ? 3x ?
?3
? x
b)
.
?x?1??x?1?x ?x?1?x
?
x2 ?1
x
x?1
2
c)
? ?
? ?:?

? x ?1 x? ?x?1??x?1? x?1
? ? ?? x ? ? x ??
d)
2x?2
x2
x? x ?
? :

?2x ?? ?
? x?1 3 5 ? ??x?1??x?4??3x?x?4??5×2 ?
? ? ?2×2 ?
?
x ?x?4?
x?4?
? x
2 2 ?
?
?
?2×2 ? ?2x ?34x?8
?? x2 ?17x?4?
?
?
x?1? x2 ? x??x?1?? x
?
?1? ? ?1?? ? ?1?
x??x?3? ?3
?1? x
x
x ?5x?6 ?0 solamente es cierta para x ?3 y x ? 2
2
2
e)

f)
2
x

?
? x2?x?4? ? x?4

? x ? x?3 ? x ? x?3
2
? ? ?1? ?1? ?
? x? x?3 x?3 x?3 x?3
9. Ecuaciones y sistemas.
Ecuaciones.-
Una ecuación con una incógnita es una igualdad algebraica que solamente se cumple para
algunos valores de la incógnita.
Por ejemplo la ecuación: x?5?8 solamente es cierta cuando la x ?3.
La ecuación:
2
En este sentido, se puede afirmar que una ecuación con una incógnita es una propuesta de
igualdad en la que interviene una letra (que es la incógnita).
Incógnita: significa desconocida, es una palabra que procede del latín
“in”: no y “cognoscere”: conocer.
La solución de la ecuación es el valor o valores de la incógnita que hacen cierta la igualdad.
Resolver una ecuación es determinar su solución o llegar a la conclusión de que no la tiene.
Hemos de saber que una ecuación puede tener más de una incógnita, así por ejemplo la
ecuación: x? y ?1 es una ecuación con dos incógnitas, y en este caso además tiene por
x=-1,5 e y=2,5;
x=0
solución infinitos valores para “x” e infinitos valores para “y” (x=2 e y=-1;
e y=1; x=-2 e y=3 etc.)

A lo largo de esta unidad vamos a trabajar distintos tipos de ecuaciones:
?
Polinómicas: en estas ecuaciones la incógnita aparece solamente en expresiones
b)3×2 ?5x ? 2
polinómicas. Así:a)3x?5?8
?
Con la incógnita en el denominador: en estas, como su nombre indica, la incógnita
aparece en el denominador de una fracción.
Así: ? ? ? 2
x x?3 10 x ?2x x
? Con Radicales: en estas ecuaciones la incógnita aparece bajo un signo radical. Así:
a) x ?2? x b) x?4 ? 6? x ? 2
? Con la incógnita en el exponente: en estas ecuaciones la incógnita aparece en algún
exponente de los términos de la ecuación. Así: a)2x ?64 b)32x?5 ? 2187

3.7?1 2?7?3?
? x ?
?10 sol : x ?15 b) ?
21? x 2x?7 5x?5
3?x?4?
?
?
En este curso vamos a trabajar con las ecuaciones de los tres primeros tipos, dejaremos para
el próximo las últimas (ecuaciones exponenciales) por resultar algo más complejo su
resolución.

Ecuaciones de primer grado con una incógnita.-
?b
a
Son aquellas ecuaciones polinómicas que se pueden reducir a la forma:
ax?b ?0 siendo a ? 0 Tiene una única solución:x ?
1?4 ? 2?5
?3? ?3
?5
4 . 7? 2
15
?
?217
?31
Comprobación:

?
20 5
x ? 7
x ?
Ejemplo.- Resuelve y comprueba la solución de la ecuación:
? ? ?5; mcm(20;5;15) ? 60
20 5 15
3?3x?1??12.2?x?3?? 4?4x? 2??5.60
9x?3?24x?72 ?16x?8?300
9x?24x?16x ?8?300?3?72
?31x ? ?217
?
sol : x ? 7
x?13
9
Ejercicio.- Resuelve y comprueba tú estas ecuaciones:
x 2x x x?1
a)
15 5 3 2
c) ? ?8? sol : x ?11
5 15 10
d)?2x?4?2 ? x?x?1??5 sol : x ? ?6
8 2 5
e) ? x ? x?3 sol : x ? 0
4
f)?x?1??x?1? ? 2 x2 ?1 ? x sol : x ? 2
3 6 3

a.x ?b.x?c ?0 a ? 0 su solución es
x1 ?
b2 ?4.a.c ?0?hay dos soluciones:
x2 ?
?4.a.c ?0?hay una única solución:x ?
3?2? ?5?2?? 2
??1?
??1?
Ecuaciones de segundo grado con una incógnita.-
Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una expresión que se puede reducir a la
forma:
2
?b? b2 ?4.a.c
2.a
x ?
¡Observación! En las ecuaciones de segundo grado es importante tener en cuenta el valor
numérico de la expresión:
b2 ?4.a.c(discriminante)
?

?
Si

Si b
?b? b2 ?4.a.c
2.a
?b? b2 ?4.a.c
2.a
2 ?b
2.a
?
2
Si b
?4.a.c ?0?no hay solución real
(La raíz cuadrada de un número negativo no es un número real).
Ejemplo.- Resuelve la ecuación de segundo grado:
3×2 ?5x ? 2
2
Por tanto:a ?3;b ? ?5;c ? ?2 si calculamos el discriminante:
b2 ?4.a.c ???5?2 ?4.3.??2?? 25?24 ? 49 ?0 Hay pues dos soluciones
reales:
12
6
?1
3
?
?2
6
?
5? 49
2.3
?
? 2
?
5? 49
2.3
?
?b? b2 ?4.a.c
2.a
x2 ?
?b? b2 ?4.a.c
2.a
x1 ?
Comprobación.-
18
9
5
3
3
9
2
? 2
? 2 ?
?
12?10 ? 2
2
3? ? ?5? ? ? 2
? 3 ? ? 3 ?
En el caso de que las ecuaciones de segundo grado sean incompletas, para su resolución
aplicaremos la misma fórmula que en las completas aunque, también es posible resolverlas de
un modo más sencillo.

?x1 ? 0
x2 ?
?
?
??
?x ? ?4
?
? ?
b)3 x2 ?5 ? x2 ?40 sol ? x1 ?
;x2 ?
c)?5x?4??2x?3??5 sol ? x1 ?
;x2 ?1
Ejemplo.-Resuelve las ecuaciones de segundo grado incompletas:
Tipo I
Tipo II
7
2
?5?
sol ? x1 ? 0;x2 ?
x?20
4
x2 ?3x
2
d)
e)5×2 ?7x?3 sol ?no tiene
?1
3

h) ? ? 1 2
2 4 8 3

Hay ecuaciones que, sin ser de primero y segundo grado, se pueden resolver utilizando los
recursos que ya tenemos. Veamos las más frecuentes:

Ecuaciones Bicuadradas.-
Las ecuaciones polinómicas de grado cuatro en las que los coeficientes de grado impar son
todos cero se denominan bicuadradas. Son de la forma:
ax4 ?bx2 ?c ?0 a ? 0
Para resolver estas ecuaciones utilizamos una estrategia matemática conocida por “cambio de
variable”. Si llamamos:
z ? x2
2 4
transforma en una ecuación de segundo grado en “z”, la resolveremos para “z” y,
?x2 ? ?4
a)3×2 ?48 ? 0
3×2 ? 48
5
7
48
3
x ? ? 16 7×2 ?5 ? 0 ? x2 ?
Si resolviésemos las anteriores ecuaciones incompletas usando la fórmula general
obtendríamos la 1misma solución. Compruébalo tú.

Ejercicio.- Resuelve estas ecuaciones de segundo grado:
a)3×2 ?2?x?5???x?3?2 ?19 sol ? x1 ?0;x2 ? 4
?5 2 5 2
2 2
?17
10
b)7×2 ?5x ? 0
x?7x?5?? 0

b2 ?4ac ? 25 ? 0?dos??
? ?x1 ? ?
? ??x2 ? ?
?x ? ? z2 ? ? ?
?
posteriormente, hallamos “x” teniendo en cuenta que:
x ? ? z
8
2
18
2
¡Observación! Las ecuaciones bicuadradas pueden tener hasta cuatro soluciones reales
distintas, dos valores de “x” por cada uno de “z”.
Ejemplo.- Resuelve y comprueba la solución de la ecuación bicuadrada:
2
? 4
?
13? 25
2
? 9
?
13? 25
2
?
z2 ?
z1 ?
?
9 ? ?3
9 ? ?3
4 ? ?2
4 ? ?2
?
?x ? ? z1 ? ?
x ? ? z ? ?
? ?x3 ? ?
? ?x4 ? ?
Vemos pues como esta ecuación bicuadrada en “x” tiene cuatro soluciones reales distintas.
Comprueba tú, en la ecuación bicuadrada, la solución.

Ecuaciones con “x” en el denominador.-
Los denominadores algebraicos se suprimen multiplicando los dos miembros de la ecuación
por el mcm de los denominadores. La ecuación a la que se llega puede ser de las que ya
sabemos resolver.
¡Observación! El proceso de multiplicar los dos miembros de la ecuación por expresiones
polinómicas puede introducir soluciones no válidas para la ecuación inicial. Por lo tanto
debemos comprobar, obligatoriamente, todas las soluciones obtenidas.
Ejemplo.- Resuelve (y comprueba la solución) de la siguiente ecuación:
?
?
1 3
x?3 10
1
x
? ?10x ? ? x 3
?mcm ???? ??10?x?3??10x ?3x?x?3?
10x?30?10x ?3×2 ?9x
x2 ?3x?10 ? 0
? ?3? 49 4
? 2 2
ecuación de 2º grado en"x": ?
? 2 2 2

Comprobación.-Ambas son solución ya que verifican la ecuación inicial:

? ?
x?1 1? x 5
3
10
3
10
3
10
3
10
1
5
1
2
?
?2?5
10
?
5?2
10
?
1
?2
?
1
?5
x ? ?5
x ? ?2
?34
5
Ejercicio.- Resuelve tú estas ecuaciones:
a) ? ? ? sol : x1 ?3;x2 ?
x?5 x?4 2
?
x?7 x2 ?3x?6
b)
x ?2x?3
1 1 3 ?2
x x 4 3

Ecuaciones con radicales.-
Las ecuaciones en las que la incógnita aparece bajo un signo radical cuadrático se resuelven
aislando el radical en un miembro de la ecuación, y a continuación elevando los dos miembros
al cuadrado.
En este proceso, aunque se conserva la solución de la ecuación inicial, se pueden introducir
alguna nueva solución que hay que rechazar, por eso es fundamental comprobar las
soluciones obtenidas en la ecuación radical.
Ejemplo.- Resuelve (y comprueba la solución) la ecuación radical:
aislamos elevamos

ordenamos

? 5? 9
? 2
resolvemosecuac.2º grado:?
? 2 2
Comprobación.-
x1 ? 4 Es solución pues cumple la ecuación radical:
4 ?2 ? 4
2?2 ? 4
1?2 ? 4
1?2 ? 4
Cuando hay dos radicales en la ecuación, el proceso requiere aislar uno de ellos en un
miembro de la ecuación y el segundo radical en el otro miembro.
Elevamos los dos miembros al cuadrado y obtenemos una nueva ecuación radical, pero ahora
tenemos un único radical en la ecuación y podremos resolverla repitiendo el proceso del
principio.

a) 31?x ?
; b) 5x ?5x?6 ?1; c) 31?x ? 2; d) 2x ? 2x?1 ?12
a) 31?x ?
31?x ?
? 31?x ? 3?3 ?1? x2 ? ?3? x2 ? 4 ? ? 1
? 50 ? x2 ?5x ?6 ? 0 ? ? 1
log( 31?x ) ? log(2) ? (1? x2)log(3) ? log(2) ?1? x2 ?
Ejemplo.- Resuelve la ecuación radical:

Aislamos un radical en cada miembro:

Elevamos al cuadrado los dos miembros:
?2
x?4 ? 6? x ? 2
x?4 ? 6? x ?2
? x?4?2 ?? 6? x ?2
6? x
Obtenemos la ecuación radical:x?4 ?6? x?4?4
?2
Simplificamos y obtenemos la ecuación radical:x?3? 2 6? x
Ahora elevamos al cuadrado los dos miembros:?x?3?2 ??2 6? x
Obtenemos la ecuación. x2 ?2x?15?0
Que tiene dos solucionesx1 ?5;x2 ? ?3
La única solución válida para la ecuación radical es
x ?5.Compruébalo!
Ecuaciones exponenciales y logarítmicas.-

A) Una ecuación exponencial es aquella en la que la incógnita está en el exponente. Por
ejemplo, son exponenciales las ecuaciones:
1
27
2 2
2
Para resolver las ecuaciones exponenciales de tipo a) y b) hay que expresar el segundo
miembro como una potencia de la misma base que el primero.
La ecuación exponencial tipo c) no se puede aplicar el anterior criterio, y se resuelve tomando
logaritmos en los dos miembros de la ecuación.
La de tipo d) se resuelve realizando un cambio de variable.
Veamos en la práctica como se procede:
1
27
2
expresamos el 2º miembro como potencia de 3:
1
27
? 3?3
2 ?x ? ?2
?x2 ? 2
2
?5x?6
b) 5x
1
2
27

?1 expresamos el 2º miembro como potencia de 5: 1? 50
2
2
?x ? 2
?x2 ? 3
?5x?6
?1? 5x
?5x?6
5x
2

que tomar logaritmos (decimales) en ambos miembros:
?
log( 2)
log(3)
log( 2)
log(3)
2
? x2 ?1?
?x ? ?0,6075
?x2 ? 0,6075

d) 2x ?2x?1 ?12 para resolverla efectuamos el cambio de variable: 2x ? y

?x2 ? ?5
a)34?x ?
b) x?2 ?186 c)3x ?3x?2 ? 30 d)5x?1 ?5x ?5x?1 ?
2x ?2x?1 ?12? 2x ?2x.2 ?12? y ? y.2 ?12?3y ?12? y ? 4
Ahora teniendo en cuenta el cambio de variable resolvemos en (x):

2x ? y ? 2x ? 4? 2x ? 22 ? x ? 2

B) Una ecuación logarítmica es aquella en la que la incógnita está en una expresión afectada
por un logaritmo. Por ejemplo, son logarítmicas:
a) logx?log50 ?3; b) 5log2?x?3?? log2(32); c) 2logx ? log?10?3x?

Se resuelven teniendo en cuenta las propiedades de los logaritmos.
Es conveniente comprobar las soluciones sobre la ecuación inicial, teniendo en cuenta que solo
existe el logaritmo de números positivos.
Veamos como se procede en la práctica:
1000
50
? 20
a) log x ?log50 ? 3? log?50.x?? log?1000?? 50x ?1000 ? x ?
5
Comprobamos sobre la ecuación inicial que la solución x ? ?1 es válida
5.log2(?1?3) ? log2(32) ?5log?2?? log?32?efectivamente!
c) 2log x ? log?10?3x?? log x2 ? log?10?3x?? x2 ?10?3x ? x2 ?3x ?10 ? 0 ?
?x1 ? 2
?

La solución
x ? ?5
no es válida, pues en la ecuación inicial aparece
logx y no podemos
hallar un logaritmo de un número negativo. La solución válida, en este caso, es x ? 2
2

sido válidas.

Ejercicio.
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales y logarítmicas:
31
5
1
9
2
4x?1
2
f )4log2?x2 ?1?? log2?625?
e)2logx?log?x?6?? 3log2
Sistemas de dos ecuaciones Lineales con dos incógnitas.-
Una ecuación polinómica de primer grado con dos incógnitas es de la forma:
ax?by ?c a,b,c son números reales.
Esta ecuación tienen infinitas soluciones reales para “x” y para “y”.
Dos ecuaciones de este tipo forman lo que llamamos un sistema lineal:

?3x?2y ?16
?y ? 5
?
y ? n
?
?y ? n
?a?x?b?y ? c?
?4x?3y ?15
?ax?by ? c
?

Llamamos solución del sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas a toda solución
común a ambas ecuaciones.
?x? y ? ?3
Ejemplo.-La solución del siguiente sistema:?
?x ? 2
es: ?
Dos sistemas se dicen equivalentes cuando ambos tienen la misma solución.
?x? y ? ?3 ?3x? y ?1
Ejemplo.-Los siguientes sistemas:? y ?

?x ? 2
son equivalentes pues ambos tienen la misma solución: ?

Para resolver un sistema vamos pasando a otros equivalentes al primero y cada uno más
?ax?by ? c
?
sencillo que el anterior hasta llegar a uno de la forma:
?x ? m
que es la solución del sistema inicial.
?

Hay tres modos de pasar de un sistema de la forma:

?x ? m
a otro de la forma:
A) Sustitución. B) Igualación. C) Reducción.
En los ejemplos veremos como se aplican estos métodos de resolución.

En función del número de soluciones un sistema puede ser:
A) Incompatible: el sistema no tiene solución.
B) Compatible: el sistema tiene solución. En este caso puede ocurrir:
? Que tenga una única solución: compatible determinado.
? Que tenga infinitas soluciones: compatible indeterminado.
Ejemplo.-Resuelve por los tres métodos el sistema:
?3x?2y ? 7
?
A) Sustitución.
? Despejamos una incógnita en una de las ecuaciones:x ?
4
? Sustituimos esta expresión en la otra ecuación:

3?
? 4 ?
? Resolvemos esta ecuación, que tiene por solución: y ? ?1

x ?
7?2y 7?2
?y ? ?1
?4x?3y ?15
?4.3?3(?1) ?15
?
? Sustituimos este valor obtenido de “y” en la expresión despejada de “x”:
? ?3
4 4
?x ?3 ?3x?2y ? 7
?

?3.3?2(?1) ? 7
?

B) Igualación.
? 7?2y
? 3
?

? 4
? Igualamos ambas expresiones: ?
3 4
? Resolvemos esta ecuación en “y”, que tiene por solución: y ? ?1
?

?
Sustituimos este valor de “y” en la expresión de “x”:
? ?3
3 3
?x ?3 ?3x?2y ? 7
Comprobamos la solución:? en el sistema: ?

?3.3?2(?1) ? 7
?
C) Reducción.
?
Se preparan las dos ecuaciones del sistema dado
(multiplicándolas por los números convenientes):

por
?
por
?
Restamos ambas ecuaciones miembro a miembro obteniendo una ecuación con una
única incógnita (en este caso “y”):
17y ? ?17
?
Resolvemos la ecuación resultante:
y ? ?1
?
Preparamos nuevamente las ecuaciones como en el primer paso

?y ? ?1
?4.3?3(?1) ?15
?4x?3y ?15
a)? 2
?x ? y ?5
? x? y ? x? y ? 2
? ?
?1?
(multiplicándolas por los números convenientes):

por
?
por
?
Sumamos ambas ecuaciones miembro a miembro obteniendo una ecuación con una
única incógnita (en esta caso “x”):
17x ?51
?
Resolvemos la ecuación resultante:
x ?3
?
?3x?2y ? 7
en el sistema: ?
?x ?3
Comprobamos la solución:?

?3.3?2(?1) ? 7
?
Observa como obtuvimos la misma solución aplicando cualquiera de los tres métodos para
resolver sistemas lineales.
Con la práctica aprenderás a determinar, en función de la rapidez con que puedas resolverlo,
cual de ellos es el más apropiado en cada caso.

Sistemas de ecuaciones no lineales.-
Los métodos aprendidos para resolver sistemas lineales junto con lo que sabemos de
resolución de ecuaciones no lineales, nos va permitir resolver sistemas de ecuaciones de muy
diversos tipos.
Ejemplo.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
?
?y ? x ?1
2

?x ? 2y ?1
c)?
?
1
x.y
?x2 ? y2 ?58
b)?
??x2 ? y2 ? 40
?1 1
d)?x y
?x.y ? 6
Sol.-
?y ? x ?1
?x ? y2 ?5
2

ecuación:2×2 ?2x?4 ?0que tiene por solución: x1 ?1;x2 ? ?2 sustituyendo
estos valores de “x” en la expresión de “y” despejada obtenemos las soluciones del sistema
inicial:

?

??x ? y ? 40
? ?x2 ? y2 ?58?multiplico ? ? 1?
???
x2 ? y2 ?58
? 2 multiplico por ?1
??x ? y ? 40????????x ? y ? ?40
?x2 ? ?7; y1 ? ?3
x? y ? x? y ? 2
?
?x2 ? y2 ?58
b)?
2 2
utilizando el método de reducción llegamos a:
2×2 ?98 que tiene de solución: x1 ? ?7;x2 ? ?7preparo el sistema:
otra reducción:
por

2 2 2

2y2 ?18 que tiene de solución: y1 ? ?3;y2 ? ?3
?
Las soluciones del sistema inicial son:
?x1 ? ?7; y1 ? ?3
?x1 ? ?7; y2 ? ?3
?

?x2 ? ?7; y2 ? ?3
¡Compruébalo!
?x ? 2y ?1
c)?
?
utilizaremos sustitución (1ª ecuación en 2ª):
2y?1? y ? 2y?1? y ? 2 operamos y resolvemos la ecuación

radical resultante (con dos radicales) obteniendo por solución:

??

Comprobamos estas posibles soluciones sobre el sistema inicial de ecuaciones no lineales.

x1 ?1; y1 ? 0cumplen la primera ecuación pero no la segunda.
x2 ?17; y2 ?8 cumplen las dos ecuaciones del sistema inicial.
Por tanto la única solución del sistema inicial es:
x2 ?17; y2 ?8
?
?1 1 1
d)?x y x.y operando la primera ecuación del sistema lo
?x.y ? 6
?y ? x ? x.y ?1
sustituyendo el valor despejado de “x.y” de la segunda
?x.y ? 6
ecuación en la primera obtenemos: y ?5? x
Sustituyendo esta expresión de “y” en la segunda ecuación del sistema:

?5y ?10
?5y ? z ? 6 ?
?3z ?12??
?5y ?10
?5y ? z ? 6 ?
?3z ?12??
?x ? 4
solB)?y ? 2
x?5? x?? 6obtenemos la ecuación de 2º grado:x2 ?5x?6 ?0
Las soluciones de esta ecuación son:x1 ?3;x2 ? 2

Sustituyendo estos valores de “x” en la expresión de “y” despejada:

?

Puedes comprobar que son soluciones del sistema no lineal inicial pues cumplen las dos
ecuaciones del mismo.

Método de Gauss para sistemas de ecuaciones lineales.-
Una interesante generalización del método de reducción para sistemas lineales de más de dos
ecuaciones e incógnitas es el método de Gauss.
Lo vemos, en este curso, para sistemas de tres ecuaciones y tres incógnitas.

Sistemas graduados.
Los siguientes sistemas se dicen graduados:
?x ?3y ? 2z ? 7 ?
? ? ?
? B)?
? ?
?
?2x ?3y ?14
A)?
?
De abajo arriba, vamos obteniendo el valor de cada incógnita que, en un paso posterior
sustituimos en las ecuaciones anteriores y permite seguir el proceso hasta obtener la solución
(o soluciones) del sistema.
Así, los anteriores sistemas son compatibles determinados:
?
?x ?3y ? 2z ? 7 ?
? ? ?
? B)?
? ?
?
?z ? 4
?
?x ? 5
?2x ?3y ?14
A)?
?

?y ? 2
solA)?
?
Aunque es menos evidente el siguiente sistema también es graduado:
?3x ?5y ?11
?
?
?x ? y ? z ?14

Un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se dice graduado si en una ecuación solo
aparece una incógnita, en otra ecuación aparecen dos incógnitas y en la tercera aparecen las
tres incógnitas.

Vamos a ver un método, llamado de Gauss, que permite transformar un sistema cualquiera en
otro equivalente graduado, y que como hemos visto en los ejemplos anteriores resultan
sistemas de muy fácil resolución.

?x ?2y ? z ? 3
?1 ?3 ?2 7 ? ?1 ?3 ?2
?
?
?
?2 ?1
3 ???? ???0
15
5
19
7 ? ?1 ?3 ?2
?
?
?11???? ??0
?
5
19
?
Método de Gauss.-
El procedimiento para transformar un sistema cualquiera en otro equivalente graduado se
denomina Método de Gauss.
Para que el sistema inicial tome la fisonomía del graduado equivalente se van “haciendo
ceros” sometiendo a las ecuaciones a dos transformaciones:
? Multiplicar una ecuación por un número distinto de cero.
? Sumar a una ecuación otra multiplicada por un número.
Este proceso se realiza de modo muy ágil cuando prescindimos de las incógnitas del sistema, y
utilizamos sólamente los coeficientes de las ecuaciones estructurados en lo que llamaremos
matrices numéricas.
Ejemplo.-
a)Resuelve mediante Gauss el sistema:
?
?2x ?5y ?3z ? 4
?
?5x ? y ?7z ?11
escribimos el sistema en forma matricial y “hacemos ceros”
? ? ? ? ? ?
? ?
?
(1ª)?2(2ª) (1ª)
(2ª) (2ª)
(3)ª?5(2ª) (3ª9?2(1ª)
?5 1 7 11? ?0 11 2 ?4? ?0 13 0 0 ?

El sistema graduado obtenido es equivalente al inicial y con incógnitas es:
? ?1y ?1z ? ?2 ?y ? 0
compatible
determinado
? ?13y ? 0 ?x ? 5

b)Resuelve mediante Gauss el sistema:
?x ?3y ?2z ? 7
?
?x ?8y ?21z ?11
?
? ?
? ? ?
7 ?
?11?
?7 ?
4 ? ?0 0 0
?1 ?8 ?21 11? ?0 ?5 ?19
(1ª)
(2ª)
(3ª)?(2ª)
(1ª)
(2ª)?2(1ª)
(3)ª?(1ª)
?
El sistema graduado obtenido es equivalente al inicial y con incógnitas es:
?x ?3y ?2z ? 7
?
?0x ?0y ?0z ? ?7

10. Inecuaciones y sistemas.

En muchos enunciados matemáticos aparecen expresiones algebraicas que no dicen “es igual
a” sino “es mayor que” o “es menor que”. Por ejemplo:
Manuel tiene 47 años. La edad de su hijo es tal que multiplicada por 5 no alcanza la
tener el hijo de Manuel?
edad de su padre. ¿Cuál es la edad máxima que puede
Si le llamamos “x” a la edad del hijo tendremos que:

??2,???
Estas inecuaciones son del tipo:
?3
x
2
a)2x?4 ? 0b)?2x?7 ?
?? ? os?2 dividim
Para resolverlas algebraicamente se procede como en el caso de las ecuaciones de primer
grado con una incógnita pero, teniendo en cuenta lo dicho más arriba, tendremos la siguiente
excepción:
“si multiplicamos o dividimos por un número negativo los dos miembros de una
inecuación, la desigualdad cambia de signo”

Ejemplo.- Resuelve las inecuaciones siguientes:
a)2x?4 ? 0?restamos4?2x ? ?4?????x ? ?2
?2, es
La solución de esta inecuación corresponde a todos los números reales mayores que
decir, intervalo
x
2
b)?2x?7 ?
dividimos por?5
? min?? min os tér
quitamos agrupamos
?3?deno? adores??4x?14 ? x?6??? ??
?5x ? ?20??????x ? 4
La solución de esta inecuación es el intervalo ???,4?

Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita.-
Las soluciones de un sistema de inecuaciones son las soluciones comunes a todas las
inecuaciones que forman el sistema.

Ejemplo.-Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:
?
a)? dividimos
por?2
5x ? 47
Por tanto, como mucho, el hijo tiene 10 años
Esta expresión se denomina inecuación

Definimos pues una inecuación como una propuesta de desigualdad que responde a
preguntas como: ¿para qué valores es cierto que 5x ? 47?
Las respuestas a esta pregunta son las soluciones de esta inecuación.

Inecuaciones de primer grado con una incógnita.-
Antes de pasar a explicar el proceso, fíjate en lo siguiente:
3?5si multiplicamos la desigualdad por ?2obtenemos:6?10
3?5 si multiplicamos la desigualdad por ?2 obtenemos: ?6? ?10
4? ?6 si dividimos la desigualdad por ?2 obtenemos:2? ?3
4? ?6 si dividimos la desigualdad por ?2 obtenemos:?2?3
¡Observación!
Al multiplicar o dividir los miembros de una desigualdad por un mismo número positivo ésta
no cambia.
Al multiplicar o dividir los miembros de una desigualdad por un mismo número negativo
cambia el signo de la desigualdad.

Fíjate en el gráfico superior, teniendo en cuenta que la solución común de ambas inecuaciones
es el intervalo:
Resuelve tú el siguiente sistema, fíjate en las inecuaciones dadas:

?
b)? x

Inecuaciones de segundo grado con una incógnita.-
2 2

Para resolverlas algebraicamente se procede así:
?
Determinamos los valores de la incógnita que hacen cero la ecuación de segundo
2
?
Colocamos estos valores sobre la recta real y señalamos los intervalos y semirrectas
que determinan.
?
Comprobamos, sobre la inecuación dada, con un valor de “x” de cada uno de los
conjuntos numéricos anteriores, los que la cumplen y los que no la cumplen. Aquellos
conjuntos numéricos que la cumplan constituyen las soluciones de la inecuación dada.
Ejemplo.
Resuelve las siguientes inecuaciones de 2º grado:
a)x2 ?5x?4 ? 0 b)x2 ?5x?4 ? 0 c)x2 ?5x?4 ? 0
a)x2 ?5x?4 ? 0 Resolvemos previamente la ecuación de 2º grado:
?x1 ?1
?x2 ? 4
Situamos en la recta real los valores hallados y valoramos sobre la inecuación de partida los
conjuntos numéricos determinados:
La solución de la inecuación es el intervalo cerrado:
?1,4?
2

hemos estudiado el caso anterior a), tendremos ahora que:

?2x ?7 ? 5
?x ?4 ?1
La solución de la inecuación b) es el intervalo abierto:
?1,4?
c)x2 ?5x?4 ? 0En este caso, igual que antes, solo cambia la desigualdad y observando el
caso a) podemos decir que:
La solución de la inecuación c) es:
???,1???4,???
Sistemas de inecuaciones con una incógnita.-
Las soluciones de un sistema de inecuaciones son las soluciones comunes a todas las
inecuaciones que forman el sistema.
Ejemplo.
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones:
?x2 ?5x ? 4 ? 0
?

Este sistema está formado por una inecuación de 2º grado y otra inecuación de 1º grado.
Las resolvemos cada una por separado, si comparten soluciones en común también serán
soluciones del sistema de partida.
Para la inecuación de 2º grado, que ya la hemos resuelto en un ejemplo anterior tenemos que:
?1,4?
La solución de la inecuación de 2º grado es el intervalo cerrado:

Para la inecuación de 1º grado tenemos:
La inecuación de 1º grado tiene por solución la semirrecta:
???,3?
Como ambas inecuaciones comparten como solución los valores del intervalo semiabierto:
1,3 decimos que es también la solución del sistema.
Ejercicio.
Resuelve los sistemas de inecuaciones dados:
?x2 ?4 ? 0
b)?
?x2 ?3x ?4 ? 0
a)?

importantes na matemática superior como é o límite da sucesión:an ? ?1?
?
Sucesiónes Numéricas
4.
5.
6.
Concepto de sucesión. Terminoloxía.
Progresións aritméticas e xeométricas.
Límite dunha sucesión. Algúns límites importantes.
Obxectivos Mínimos
– Coñecer o concepto de sucesión numérica e a terminoloxía que acompaña a este concepto
matemático.
– Traballar con dous tipos de sucesións enormemente importantes polas múltiples aplicacións
que delas se derivan: as progresions aritméticas e as progresións xeométricas.
–
Coñecer o concepto de límite dunha sucesión numérica, e traballar con algúns límites
n
?
?
1?
n?
Introducción.-
As sucesións numéricas son tan antigas como os propios números naturais.
Nas civilizacións de Exipto e Mesopotamia xa se atoparon problemas nos que se suman uns
poucos termos dalgunhas sucesións.
No século XIII o matemático italiano Leonardo de Pisa (Fibonacci), plantexoú o seguinte
problema:
¿Cántas parellas de coellos se producirán nun ano, comezando cunha única parella, se cada
mes calquera parella xera outra parella, que se reproducirá á súa vez dende o segundo mes de
ter nacido?
O número de parellas mes a mes é: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,……
Ésta é a chamada sucesión de Fibonacci, é unha sucesión que se dí recorrente pois cada
termo se obtén como suma dos dous anteriores.

O principal interés que alberga tanto o concepto como o cálculo de límites reside no seu
carácter de ferramenta básica para a Análise.
O cálculo infinitesimal do século XVII seguiú baseado en ideas pouco precisas dos límites. Non
foi ata o século XIX cando matemáticos como Cauchy ou Weierstrass perfilaron a noción de
límite de maneira rigorosa.
Deste modo conseguiuse para a Análise matemática altas cotas de precisión, eficacia e
sinxeleza.

11. Concepto de sucesión Terminoloxía.
As sucesións numéricas son conxuntos de números dados ordenadamente de modo
que se poidan numerar: primeiro, segundo,………
Por exemplo:
a) 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25……………………
b) 2, 4, 8, 16, 32, 64,…………………
c) 1, 4, 9, 16, 25 36,………………….
d) 1,-3, 9,-27 81,-243,…………
e) 4, 1,-2,-5,-8,-11,…………..
f) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,…………
Os elementos da sucesión chámanse termos e adoitan designarse mediante unha letra cos
subíndices correspondentes aos lugares que ocupan na sucesión: s1,s2,s3………
Así por exemplo na sucesión a) o primeiro termo é s1 ?1o segundo termo é
s2 ?5 o sexto termo é s6 ? 21.
Cada unha das sucesións dos exemplos anteriores constrúese seguindo un certo criterio.
Algúns destes criterios son evidentes:
?
,e))
?
Sumar sempre unha mesma cantidade a cada termo para obter o seguinte(casos a)

Multiplicar sempre pola mesma cantidade a cada termo para obter o seguinte(casos b),
d)).
Outros son menos evidentes:
? Cada termo se obtén sumando os duos anteriores(caso f)).

cn ???3?
?
Cada termo é o cadrado do número natural que ocupa o seu lugar(c)).
Moitas veces podemos atopar unha expresión que sirva para obter un termo calquera da
sucesión con só saber o lugar que éste ocupa na sucesión.
Por exemplo na sucesión a) a expresión: sn ?4n ?3serve para obter tódolos termos da
mesma, así se sustituimos nesa expresión o lugar de cada termo na letra “n” obteríamos:
s1 ?4.1?3?4?3?1 s6 ?4.6?3?24?3?21
A esta expresión chámaselle termo xeral dunha sucesión.
As sucesións nas que os termos se obteñen a partir dos anteriores, dise que están dadas de
forma recorrente(o caso f) é un deles, así obteriamos un termo calqueira da sucesión f) do
seguinte modo:sn ? sn?1 ? sn?2, n?N
Tamén o caso a) ven dada de forma recorrente e un termo calqueira viría dado por:
sn ? sn?1 ? 4, n?N .
No caso b) tamén teriamos un caso de sucesión dada de forma recorrente na que calqueira
termo ven dado por: sn ?2.sn?1, n?N

Exercicio 1.-Determina unha sucesión que se corresponda cos elementos da seguinte torre.
Exercicio 2.- Dadas as sucesións :
a) 1, 4, 9, 16, 25,…….. b) 2, 4, 8, 16, 32,……… c) 1,-3, 9, -27, 81,-243,…….
comproba, calculando os dez primeiros termos de cada unha delas, que os termos xerais son
respectivamente:
n?1
bn ?2n
an ?n2
Exercicio 3.- Constrúe unha sucesión cunha lei de recorrencia que sexa:

sn ? sn?1 ? n
Solución.- si o primeiro termo é
s1 ?3 teriamos a seguinte sucesión:
3, 5, 8, 12,……. continúa tí ata o termo 10.
Si o primeiro termo fose: s1 ? ?2¿cal serían ahora os dez primeiros?

Exercicio 4.- Escrebe os dez primeiros termos das sucesións:
a) o primeiro é -3, e cada termo se obtén sumando 5 o anterior.
b) o primeiro é 64 o segundo 36,os seguintes obteremolos mediante a semisuma dos
dous anteriores.
c) o primeiro é 5, e cada un dos seguintes se obtén facendo o inverso do anterior.
d) o primeiro é 100 e os demais obtéñense multiplicando o anterior por
2
1
.
n ? 4
Exercicio 5.- Descobre a lei de recorrencia das seguintes sucesións:
a) 1, 2, 3, 6, 11, 20, 37,………………………..an ? an?1 ?an?2 ?an?3
n ? 3
b)1,-4, 5,-9, 14,-23, 37,……………………….an ? an?2 ?an?1

,4 ,5 ,6 ,7 ………. …….. d ? 1
?
n ? 3
an?1
an?2
c)1, 2, 2, 1, ½, ½,1, 2,2, 1……………………..an
12. Progresións aritméticas e xeométricas.
Progresións Aritméticas.-
Unha progresión aritmética é unha sucesión numérica na que se pasa de cada termo ó
seguinte sumando un mesmo número ,d, (positivo ou negativo) ó que se lle chama diferencia
da progresión.
Por exemplo:
a) 3,5,7,9,11, 13, 15,………………………… d=2
b) 1, 5, 9,13,17,…………………………………d=4
c) 4, 1,-2,-5,-8,-11,……………………………..d=-3
d) 1300, 1250, 1200, 1150,………………..d=-50
2
2 2 2 2
2
e) 1,3
Imos ver agora que o termo xeral dunha progresión arirmética só depende do primeiro termo e
a diferencia.
En efecto, na progresión aritmética a) o primeiro termo é :a1
?3, a diferencia é: d ? 2
e
para pasar do primeiro termo ao quinto, por exmplo, necesitamos dar catro pasos, cada paso
ao quinto termo aumentamos: 4.2=8 unidades, é
supón dúas unidades de aumento
(d ?2), polo tanto para pasar de a1 ?3
dicir: a5 ?a1 ?8?3?8?11 .
Para pasar do primeiro termo ao 100 daremos 99 pasos de lonxitude de paso:2, é
dicir:a100 ?a1 ?99.2?3?99.2?3?198?201.
En xeral, teremos que para pasar do primeiro termo ao termo “n” necesitamos dar “n-1” pasos,
de lonxitude de paso: d(a diferencia), e por tanto :
an ?a1 ?(n?1).d
Para a progresión aritmética do exemplo a), que estivemos a ver, teremos que o termo xeral
ten a seguinte expresión:
an ?a1 ?(n?1).d ?3?(n?1).2?3? 2n?2?1? 2n, ou sexa: an ?1? 2n
Calcula tí o termo xeral de cada unha das progresións aritméticas b),c),d),e)
Suma dos termos dunha progresión aritmética.-
Para calcula la suma dos dez primeiros termos dunha progresión aritmética basta con ir
sumando un a un os dez termos de dita progresión.
Se en lugar dos dez primeiros tivésemos que sumar os mil primeiros tamén poderíamos
proceder do mesmo xeito pero resultaría pouco operativo.
É por iso que imos ver un modo de calcula-la suma dos “n” primeiros termos dunha progresión
aritmética, sen mais que coñecer o valor do primeiro termo(a1 ), o termo n-ésimo(an , que é o
último para sumar) e o número total de termos que temos que sumar(son “n”).

Procedamos primeiramente cun exemplo cocreto, así se na progresión a)
,do apartado anterior, sumásemos os dez primeiros termos saberíamos
que en total suman 120, en efecto:
Se chamamos
S10 á suma dos dez primeiros termos da progresión
10

i?1
?3?5? 7 ?9?11?13?15?17 ?19? 21?120.
imos a xustificar agora, que tamén poderiamos calcula-la suma anterior mediante a seguinte
fórmula:

???a1 ? a10?? 2a1 ?9d
???a2 ? a9?? 2a1?9d
?3? 21?10 ?120
2
?
? a10?10
2
?a1
S10 ?
En efecto, sabemos que a suma dos dez primeiros termos podemos escribila destes dous
modos :
S10 ? a1 ? a2 ?………. ………. ? a9 ? a10
S10 ? a10 ? a9 ?………. ………. …? a2 ? a1

Sumando as dúas expresións membro a membro temos:
(*)

Agora só nos convén observar que tódolos termos, neste exemplo son dez en total,que
aparecen no segundo membro da expresión suman todos igual,
en efecto:
a1 ? a1 ?
a10 ? a1 ?9d?
a2 ? a1 ?1d ?
a9 ? a1 ?8d?
Como os dez termos do segundo membro da expresión (*)suman igual podemos considerar

1
(*) e finalmente teremos:
termos tivesemos “n” a fórmula
En xeral se en lugar de dez
quedaría do seguinte xeito:
Progresións Xeométricas.-
Unha progresión xeométrica é unha sucesión numérica na que se pasa de cada termo
ó seguinte multiplicando por un mesmo número fixo ,r, ó que se lle chama razón da progresión.
Por exemplo:
a) 2, 4, 8, 16, 32, 64,………………… r=2
b) 3, 30, 300, 3000, 30000,……..r=10
c) 1,-3, 9,-27 81,-243,………………. r=-3
d) 80, 40, 20, 10, 5,
2
5
2
? 1
……………r
Observa como no caso de que a razón sexa maior que 1 fai que os termos da progresión
xeométrica crezan de forma sorprendentemente rápida (a) e b))

Igual que no caso das Aritméticas, imos ver agora que o termo xeral dunha progresión
xeométrica só depende do primeiro termo e a razón.
En efecto, na progresión xeométrica b) o primeiro termo é :a1
?3, a razón
é:
r ?10
e para
pasar do primeiro termo ao quinto, por exemplo, necesitamos dar catro pasos, cada paso
supón multiplicar por 10 e polo tanto para pasar de a1 ?3 ao quinto termo debemos
?a1

?a1
? a10?10
2
? an?.n
2
S10 ?

Sn ?

104 , e así teremos que:
multiplicar catro veces por 10, é dicir por
a5 ?a1.104 ?3.10000?30000
En xeral, teremos que para pasar do primeiro termo ao termo “n” necesitamos dar “n-1” pasos.
Como cada paso consiste en multiplicar por “r”, ó final teremos que:
an ?a1.r n?1

Para a progresión xeométrica b) teremos que o termo xeral ven dado por:
an ?3.10n?1
Calcula tí para o resto das progresións xeométricas o termo xeral.

Suma dos termos dunha progresión xeométrica.-
Para calcula-la suma dos dez primeiros termos dunha progresión xeométrica basta con
ir sumando un a un os dez termos de dita progresión.
Se en lugar dos dez primeiros tivésemos que sumar os cen primeiros tamén poderíamos
proceder do mesmo xeito pero resultaría pouco operativo.
É por iso que imos ver un modo de calcula-la suma dos “n” primeiros termos dunha progresión
xeométrica, sen mais que coñecer o valor do primeiro termo(a1 ), e a razón,r, de dita
progresión.

Procedamos primeiramente cun exemplo concreto, así se na progresión a)
,do apartado anterior, sumásemos os dez primeiros termos saberíamos
que en total suman 2046, en efecto:
10

i?1
? 2? 4?8?16?32? 64?128? 256?512?1024? 2046.

imos a xustificar agora, que tamén poderiamos calcula-la suma anterior mediante a seguinte
fórmula:
? 2046
2048? 2
1
?
2.210 ? 2
2?1
?
a1.r10 ? a1
r ?1
S10 ?
Se multiplicamos a expresión da suma dos dez primeiros
(*)S10 ?a1 ? a2 ?………. ………. ? a9 ? a10
pola razón, r=2, teremos:
2.S10 ? 2.a1 ? 2.a2 ?………. ………. ? 2.a9 ? 2.a10
(**)

Restando a expresión(**) da expresión (*) teremos:
2S10 ? S10 ?(a2 ?a3?……….? a11) ?(a1 ? a2 ? a3 ?…….? a10)
? a2 ? a3 ?………? a10 ? a11 ? a1 ? a2 ? a3 ?………? a10 ? a11 ? a1
Ou sexa:
2S10 ? S10 ?a11 ?a1
Se na primeira parte desta expresión sacamos factor común
S10,temos:

??a1.a6?
?128?
? 2046
?
a1.210 ? a1
2?1
a11 ? a1
2?1
S10 ?
S10(2 ?1) ? a11 ? a1
En xeral se en lugar de dez termos tivesemos “n” a fórmula quedaría do seguinte xeito:
ou
r n ?1
r ?1
Sn ? a1
a1.r n ? a1
r ?1
Sn ?
6
6
Producto de n termos dunha progresión xeométrica .-
Dada a progresión xeométrica: 2,4,8,16,32,64,128……….. de r=2 imos calcular o valor
do producto dos seis primeiros termos da mesma.
Poderiamos facer, como no caso das sumas, o producto desos seis termos e averiguar así o
resultado, pero se tivesemos que facer o producto de moitos mais termos este proceder
resultaría pouco operativo.
É por iso que imos obter unha fórmula, válida para todos os casos, que determine o valor dos
productos que queremos calcular.
Fixémonos como para o exemplo posto mais arriba, o producto dos seis primeiros termos
valería:P ?2.4.8.16.32.64?2097152.
Para detreminar a fórmula que permita facer o cálculo dos productos dos termos da progresión
xeométrica, imos a proceder como no caso das sumas dos termos nunha progresión aritmética,
e dicir:
Sabemos que o producto dos seis primeiros termos podemos escribilo destes dous modos :
P6? a1.a2.a3.a4.a5.a6
P ?a6.a5.a4.a3.a2.a1

O motivo de escribilo detes dous xeitos é porque nas progresións xeométricas cúmprese que o
producto de termos equidistantes dos extremos é o mesmo que o producto dos extremos, e
dicir,
a1.a6 ?a2.a5 ?a3.a4 ?128
Multiplicando as dúas expresións membro a membro temos:
(*)
Como todos os productos do segundo membro son iguais a?a1.a6? ,e en total temos seis, ao
final nos queda a expresión:
6
2
6
*P
6
6
No noso exemplo será pois:
2 6

2 6 6
? 242 ? 221 ? 2097152
P ?

?1125?
2,3, , , ,……… ….a1 ? 2
a2 ?3 an ? n?1
En xeral se en lugar de seis termos tivesemos “n” a fórmula quedaría do seguinte xeito:
2 n

Exercicio .- Calcula o producto dos catro primeiros termos da progresión xeométrica de primeiro
termo 3 e razón r=5.
Solución.-
Calculamos previamente o termo 4:
a4 ?a1.rn?1 ?3.53 ?3.125?375
4
4
Agora xa podemos proceder aplicando a fórmula directamente:
2 4 4 4
?1265625
P ?
Exercicios resoltos de sucesións e progresións aritméticas e xeométricas.

Exercicio 1.- Determina a diferencia(d), escrebe o termo xeral e calcula a suma dos 20
primeiros termos das seguintes progresións aritméticas:
a)1;1,5;2;2,5;3;3,5;4;4,5;……………………. d ?0,5an ?0,5n?0,5 S20 ?115
b)5,3,1,-1,-3,-5,…………………………………… d ??2bn ??2n ?7 S20 ??280

Exercicio 2.- Determina a razón(r), escrebe o termo xeral e calcula a suma dos 10 primeiros
termos das seguintes progresións xeométricas:
a)0,25;0,75;2,25;6,75;……………..
r ?3 an ?0,25.3n?1 S10 ?7381
n?1
b)3,-6,12,-24,……………………………. r ??2bn ?3.(?2)
S10 ??1023
Exercicio 3.-Busca unha lei de recorrencia para as seguintes sucesións:
a) 5,6,1,-5,-6,-1,………….a1 ?5 a2 ?6 an ?an?1 ?an?2 n?2
b)
3 1 1
2 2 3
n ? 2
a
an?2
Exercicio 4.- Escrebe o termo 63 da sucesión: 1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,………?
Exercicio 5.- Nunha progresión aritmética o termo
a8 ? 4
e a diferencia
d=-5. Calcula o primeiro termo e a suma dos 25 primeiros.
Solución.- a1 ?39 S25 ??525

Exercicio 6.- Relaciona cada sucesión co seu termo xeral:

gn ?0,2.?0,1?
en ? n2 ?1
fn ?
dn ? 2n
bn ?3n ?10
an ?39?7n
n n?1
n ?1
cn? 2n?5
Exercicio 7.- Nunha progresión xeométrica, a1 ?1000 e
hn ?8,8?1,1.n
a4 ?8. Calcula a suma dos cinco
primeiros termos.
Solución.- S5 ?1249,6
Exercicio 8.- Os ángulos dun triángulo están en progresión aritmética e o menor mide 36º.
¿Cánto meden os outros dous ángulos?
Solución.- 60º e 84º
Exercicio 9.- Nunha sala de cine, a primeira fila dista da pantalla 5,5 metros, e a sexta fila
dista 8,75 metros.¿En que fila está unha persona se a súa a distancia á pantalla é de 13,3
metros?
Solución.- está na fila n=13
Exercicio 10.- Considera a sucesión de números impares.
a) Determina a suma dos números impares menores ca 100. S ?2500
b) Determina a suma dos números impares menores ca 500. S ?62500

Exercicio 11.- Nunha aldea suiza, conta a tradición, que calqueira neno para o seu cumpreanos
pode levar moedas de chocolate de 20 gramos feitas na fábrica do lugar tendo en conta as
seguintes condicións:
i) o primeiro día só pode levar 1, o segundo só pode levar 2 e así sucesivamente cada
día duplicará o do anterior.
ii) cada día o peso total das mesmas que pode levar é como máximo de 1 tonelada.
a) ¿Cántos días estivo un neno carretando moedas ata o máximo permitido?
b) ¿Cánto pesan as moedas que leva na última carretada?
c) ¿Cántas moedas levoú en total por tódolos días que estivo carretando?
Solución.- a) n ?16 b) 655360 gramos c) 65535moedas

Exercicio 12.- O inventor do xogo do xadrez pediúlle ao rei un grao de trigo pola primeira casa
do taboleiro, dous graos de trigo pola segunda casa, catro graos de trigo pola terceira casa e
asi sucesivamente o dobre de graos en cada casa que os que hai na anterior.¿Cántos graos
lle pediú en total?
Solución 18 446 744 073 709 551 615

Exercicio 13.- ¿Poderías determinar cánto suman os seguintes números sen facer a suma un
a un?
a) 1+3+9+27+81+243
S= 364
b) 3+6+12+24+48+96+192+384 S= 765
( observación : ademáis de aplicar a fórmula correspondente, usa o procedemento xeral teórico
de suma de “n” termos para p. Xeométricas)

Exercicio 14.- Un vendedor de coches cobra ó mes un tanto fixo máis unha comisión por cada
coche que venda. En Xaneiro vendeu 14 coches e cobrou
2 460€. En Febreiro vendeu 23 coches e cobrou 3 630€. ¿Cántro cobrará en Marzo se vendeu
17 coches?
Solución.- 2 850€

Exercicio 15.- Unha bacteria reprodúcese por bipartición cada 10 minutos.
a)¿Cántas bacterias haberá despois de 1 hora?
b)¿Cántas bacterias haberá despois de 8 horas?
Solución.- a)26 ?64bacterias b)248 ?2,81.1014 bacterias

a)64,32,16,….an ? 64.? ?
n.?n?1?.?2n?1?
n .?n?1?
Sn ?1 ? 2 ?3 ?….? n ??1? 2?3?….? n?
?
??1? n?.n?
n2.?n?1?
a1 ?1 e o producto dos cinco
5
Exercicio 16.- Calcula a razón dunha progresión xeométrica con
primeiros termos vale:P ?1024
Solución.-r ?2
Exercicio 17.-Observa os diferentes cadrados que hai na figura. Obtivéronse unindo os puntos
medios de dous lados contiguos.
a) Determina-lo área dos seis primeiros cadrados desta
sucesión.¿Cal é o termo xeral?
b)Escribe a sucesión formada polas lonxitudes dos lados.
Solución.-
n?1
? 27?n
?1?
?2?
b) 64, 32, 16,………..

Outras sucesións importantes.
A) Sucesións de potencias.
Frecuentemente nos encontramos con sucesións do tipo:
1m,2m,3m,…………..,nm,………….
Para (m=2) e (m=3) temos as sucesións dos cadrados e a dos cubos dos números naturais
respectivamente.
Para estas sucesións son especialmente importantes as seguintes fórmulas que suman os “n”
primeiros termos:
6

4
2 2
A) 12 ? 22 ?32 ?…………? n2 ?

B) 13 ? 23 ?33 ?…………? n3 ?
A demostración de A) resulta algo complexa e no na damos.
A demostración de B) é algo máis sinxela:
Chamamos:Sn
?13 ?23 ?33 ?…………?n3 experimentando observamos que:
S1 ?13 ?1
S2 ?13 ? 23 ? 9
S3 ?13 ?23 ?33 ? 36
Todas as sumas son cadrados perfectos, e dicir,
S1 ?13 ?1?12
2

2

En xeral, por inducción en “n” teremos que:
4
2
3 3 3 3 2
2
? ? ?
? 2 ?
aritmética
diferencia?1
progresión
202 ?212 ?222 ?…………?502
Exemplo.
Calcula a suma seguinte:
Sol

?
1 ??1? 5 ? ?1? 5 ? ?
5 ?? ?
?
?
? ?
?
?
? ?
?
1 ??1? 5 ? ?
5 ?? ?
? ?
? ?
?
líma
?lím
50.51.101 19.20.39
6 6
? 42925?2470 ? 40455
202 ? 212 ? 222 ?…………?502 ? (12 ? 22 ?….?502)?(12 ? 22 ?…..?192) ?
B) Sucesión de Fibonacci.
Como xa plantexamos nas páxinas iniciais chamamos así á sucesión:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,……….
Cada termo, a partires do terceiro, se obtén sumando os dous anteriores.
n ? 3
E pois unha sucesión recorrente: a1 ?1 a2 ?1 an ? an?2 ?an?1
O termo xeral desta sucesión ten unha expresión complexa que é:
?? ? ?? ? ?
n n
an ?
2 2
Podemos calcular coa axuda da calculadora calqueira termo, por exemplo: a6 ? 8 o a8 ? 21
etc.
Calcula tí algúns termos mais desta sucesión empregando a fórmula do termo xeral.

n

2
valores de (n) un pouco grandes.
Isto nos permite obter un valor aproximado de an mediante a expresión:
?? ? ?
n
an ?
2
Así por exemplo para a7 ?12.98
Este valor é practicamente o mesmo que o obtido da fórmula do termo xeral da sucesión de
Fibonacci que é: a7 ?13
Calcula tí para valores de n ?10 os correspondentes termos empregando a fórmula de
aproximación, e comproba que son prácticamente os mesmos que os calculados coa fórmula
do termo xeral.

13 Límite dunha sucesión. Algúns límites importantes.
Antes de definir o concepto de límite dunha sucesión numérica, fíxate na representación gráfica
dos termos das sucesións seguintes:
n2
5
?4n
B)bn ?
5n
n?3
A)an ?
No caso A) observamos como os termos da sucesión se van achegando cada vez máis a 5.
Isto se expresa deste modo:
? 5
5n
n?3
n??
n
n??

bn ?lím? ?
?4n? ? ? ??
lím?an?? ?? ou an ? ??
No caso B), ainda que os termos da sucesión comezan decrecendo, a partires dun deles
empezan a crecer e fanse moi grandes, cada vez máis. Ou sexa:
?
?
lím
n??
?n2
n?? ? 5
O límite dunha sucesión numérica é o seu comportamento para termos moi avanzados, cando
“n” toma valores cada vez maiores.

Aproximación á idea de límite dunha sucesión.
Cando unha sucesión,an , ten un dos comportamentos que presentamos a continuación,
podemos atribuirlle un límite.
? Se se achega a un número
ou an ?l
?l? dicimos que: lím?an?? l
n??
?
que:
Se crece de modo que os seus valores acaban superando a calquera número, dicimos

n??
? Se decrece, tomando valores menores que calquera número negativo dicimos que:

n??

Sucesións sen límite.
n?1
Fíxate agora na seguinte sucesión:
? 1,?2,3,?4,5,?6,………….?
Non se achega a ningún número, nin os seus termos son cada vez maiores (pois os termos
pares son negativos) nin os seus termos son cada vez máis pequenos (porque os termos
impares son positivos).
Polo tanto dicimos que a sucesión anterior non ten límite.

Exercicios.
Estuda o comportamento das seguintes sucesións para termos moi avanzados e indica os
seus límites:

Dí razonadamente, cal das seguintes sucesións teñen límite:
Estuda o comportamento das seguintes sucesións para termos moi avanzados e indica os seus
límites:
Calcula o límite das seguintes sucesións

2,3 2, 4 2,5 2,………..
Determina o termo xeral da sucesión:2,
Estuda o seu límite.
Algúns límites importantes

A) Suma dos termos dunha progresión xeométrica.

?1? r ?1: Entón r n ?0 e en consecuencia: Sn ?
obtén como límite da sucesión: an ? ?1?
?
Lembremos que a expresión da suma de (n) termos dunha progresión xeométrica de razón
r ?1 ven dada pola fórmula:
ou
r n ?1
r ?1
Sn ? a1
a1.r n ? a1
r ?1
Sn ?
a1 ? 0 teremos que
Calculemos o valor do límite desta expresión segundo os valores de r :
? r ?1: Entón r n faise tan grande como queiramos e polo tanto se
Sn ? ?? e se a1 ? 0 entón Sn ? ??
?
r ? ?1: Entón r n faise tan grande como queiramos pero neste caso temos: e n é par
r n é positivo e se n é impar r n é negativo.
En calqueira caso Sn non ten límite.
?

?
?a1
r ?1
r ?1: A progresión é: ?a1,a1,a1,…….? e a suma é: Sn ? n.a1. Por tanto: se a1 ? 0
teremos que Sn ? ?? e se a1 ? 0 entón Sn ? ??
? r ? ?1: A progresión é: ?a1,?a1,a1,…….? e os valores da suma son:
?a1,0,a1,0,a1,0,…….? e por tanto Sn non ten límite.

Facendo un cuadro resumen dos resultados temos:
Progresións
Xeométricas
r ? ?1
?1? r ?1
r ?1
Sn
Non ten límite
?a1
r ?1
Sn ?
a1 ? 0
a1 ? 0
Sn ? ??
Sn ? ??
B) O número (e).
O número irracional (e), que xa usamos como base dos chamados logaritmos neperianos, se
n
?
?
1?
n?
Se calculamos algún dos seus termos temos:

Se continuamos calculando termos desta sucesión, obteremos que cada vez máis se van
aproximando ó número: e ? 2.7182……….
C) O número áureo ???.
Observa a composición feita de cadrados (numerados de 1 a 5):

? , , , , ,
,……….? ?? 1, 2,1.5,1.66,1.6,1.625,1.619,……..?
lím?b ??lím? ? ? a
? ? ?? ?
O lado dos dous primeiros é 1. A partir do terceiro, o lado de cada un é
igual á suma dos lados dos dous anteriores.
Poderiamos seguir construindo deste xeito cadrados de distinta lonxitude
de lado, así o cadrado numerado co 6 tería de lonxitude de lado 8, o
cadrado numerado co 7 tería de lonxitude de lado 13,e o cadrado
numerado co 8 tería de lonxitude de lado 21……….

Observa agora no gráfico da dereita os
rectángulos que se forman sucesivamente:
Os cocientes entre as lonxitudes dos lados
dos rectángulos forma a sucesión:
?
?
?1 2 3 5 8 13 21
,
?1 1 2 3 5 8 13
1? 5
2
, ísto quere decir que os
Esta sucesión ten por límite o número áureo? ?1.618…. ?

rectángulos parécense cada vez máis a rectángulos áureos.
Se an é a sucesión de Fibonacci, a sucesión
an?1
an
bn ?
ten por límite ? .
?1.618
1? 5
2
?
?
n
n??? n??? n
?an?1
Autor:
Ing. Lic. Yunior Andrés Castillo S.
“NO A LA CULTURA DEL SECRETO, SI A LA LIBERTAD DE INFORMACION”®
Santiago de los Caballeros,
República Dominicana,
2015.
“DIOS, JUAN PABLO DUARTE Y JUAN BOSCH – POR SIEMPRE”®