Recursos didácticos para facilitar el aprendizaje de las nociones de probabilidad

El tema de la presente investigación me permitió poner a prueba la utilización de los juegos de azar, como un recurso didáctico que favorece la comprensión de las nociones de probabilidad, en un grupo de tercer grado de la Escuela Secundaria Oficial No. 0268 "Dr. Jorge Jiménez Cantú", situada en Nezahualcóyotl, Estado de México.

La metodología aplicada es de tipo instrumental, teniendo como objeto de estudio a 45 alumnos, con quienes se trabajó durante siete sesiones de 50 minutos, cada una. Llegando a verificar la utilización de diversos juegos de azar y otros recursos de apoyo, para mejorar la comprensión de nociones de probabilidad en este grupo de escolares.

Al detectar y/o reconocer las dificultades que muestran los adolescentes, de manera cognoscitiva y social, se emplearon estrategias de enseñanza y aprendizaje, secuencias integradas de procedimientos y actividades que se eligieron con la intención de facilitar la construcción, el almacenaje y la utilización del contenido de "nociones de probabilidad".

Con el fin de que los educandos los apropiaran de manera significativa y posteriormente los pongan en práctica, llevándolos a tomar mejores decisiones, tanto en juegos de azar como en su vida diaria. Tomando como referencia los Planes y Programas actuales en Educación Secundaria en México.

Palabras clave

Juegos de azar.

Comprensión.

Nociones de probabilidad.

Toma de decisiones.

Abstract

The subject of this research allows me to test the use of gambling as an educational resource that promotes understanding of the concepts of probability, a group of third grade Official Secondary School No. 0268 "Dr. Jorge Jimenez Cantú", located in Nezahualcóyotl, State of Mexico.

The methodology is instrumental type, with the object of study to 45 students, with whom he worked for seven sessions of 50 minutes each. Coming to verify the use of various gambling and other support resources, to improve the understanding of notions of chance in this group of schoolchildren.

By detecting and / or recognizing the difficulties that show adolescents, cognitive and social way of teaching and learning strategies, integrated sequences of procedures and activities that were chosen with the intention of facilitating the construction, storage and utilization were used content "notions of probability".

In order that the learners appropriated significantly and then implement them, leading them to make better decisions in both gaming and in daily life. Drawing on current plans and programs in Secondary Education in Mexico.

Keywords

Gambling.

Understanding.

Notions of probability.

Decision making.

.

Introducción

En la actualidad hablar de la educación básica y obligatoria en México implica tomar en cuenta tres niveles educativos: preescolar, primaria y secundaria; el último nivel tiene como propósito esencial es contribuir a elevar la calidad de la formación de los estudiantes que concluyeron la educación primaria mediante el fortalecimiento de aquellos contenidos que responden a las necesidades básicas de aprendizaje de la población joven del país y que sólo la escuela puede ofrecer; los contenidos integran conocimientos, habilidades y valores que le permiten al estudiante continuar su aprendizaje con alto grado de independencia, dentro y fuera de la escuela; facilitan su incorporación productiva y flexible al mundo del trabajo.

Así como lo menciona Moisés Sáenz, dentro de los rasgos que deberían caracterizar a la Educación Secundaria, considero importante resaltar el siguiente:

"Una escuela flexible y diferenciada que da cabida a la diversidad; y universal, porque es para todos, con diversas opciones de salida hacia distintos campos del saber o actividades futuras, a la vez que proporciona conocimientos y habilidades inmediatamente aprovechables" (SEP, 1993).

La mención anterior hace referencia a la aplicabilidad de los saberes que se adquieren a lo largo de la Educación Secundaria; siendo ésta la misma intención que se busca con la utilización de los juegos de azar para facilitar la comprensión de las Nociones de Probabilidad, que a su vez llevará como consecuencia a una mejor toma en sus decisiones.

La asignatura de Matemáticas se organiza para su estudio en tres niveles de desglose. El primero corresponde a los ejes, el segundo a los temas y el tercero a los contenidos. Además de estos elementos, existe uno más que forma parte de la estructura de los programas que son los aprendizajes esperados y se enuncian en la primera columna de cada bloque temático.

Estos aprendizajes señalan, de manera sintética, los conocimientos y las habilidades que todos los alumnos deben alcanzar como resultados del estudio de varios contenidos, incluidos o no en el bloque en cuestión. Los aprendizajes son saberes que se construyen como resultado de los procesos de estudio mencionados.

En el apartado de Propósitos del Estudio de las Matemáticas para la educación secundaria, se espera que los alumnos:

"Calculen la probabilidad de experimentos aleatorios simples, mutuamente excluyentes e independientes" (SEP, Programas de Estudio 2011, 2011).

Para cubrir tal propósito, en esta fase de la educación, es pertinente colocar como intermediaros, a los juegos de azar, facilitando tal propósito en la Educación Secundaria, dentro de los Planes y Programas 2011.

El tema de Probabilidad tiene varias áreas e implicaciones en toda sociedad, por mencionar algunos: pronósticos del tiempo, económicos, políticos, en el cálculo de las primas de seguro, o en cuestiones tan básicas como lo son los juegos de azar.

En el ámbito escolar se usan expresiones tales como "experimento aleatorio", "suceso aleatorio", e inclusive sustantivos como el "azar" o "aleatorio"; con este tipo de términos, generalmente se da inicio con los temas relacionados con la enseñanza de la Probabilidad.

Para ello, es momento precisar que el concepto de aleatoriedad no tiene un significado sencillo. El análisis epistemológico y psicológico del concepto muestra que hay una contradicción aparente, por un lado la "aleatoriedad" indica que cualquier resultado posible podría ocurrir, pero por otro, no se puede admitir que un resultado es aleatorio, si aparece un patrón en el mismo (por ejemplo, si al lanzar 3 monedas obtenemos 3 caras sucesivas). Además, las interpretaciones de la aleatoriedad han sido diferentes a lo largo de la historia, como lo manifiestan Batanero y Serrano en 1995 y posteriormente Batanero, Serrano y Green en1998 (Serrano, Batanero, & Cañizares, 1999).

Desde tiempo atrás y en la actualidad, la forma en que se aborda la enseñanza de estos conceptos continúa siendo mediante una didáctica tradicional, siendo sus tres componentes básicos: pizarrón, profesor y alumno. Dentro de las aulas se saturan los pizarrones con teoría, concluyendo así con un discurso en la que no existe una presencia significativa de los conocimientos de probabilidad para los alumnos y el papel de estos últimos se limita en copiarlos y memorizarlos, terminando en una caja de olvido a corto o mediano plazos (Góngora, 2011).

Como sostiene Batanero, la enseñanza de la probabilidad ha estado vinculada con el aprendizaje de algoritmos matemáticos, dejando de lado aspectos relevantes en su conceptualización, como la formulación de predicciones sobre las posibilidades de obtener diferentes resultados en experimentos aleatorios sencillos, la obtención de datos empíricos de estos experimentos, la comparación de las probabilidades experimentales generadas con las predicciones originales y el uso de recursos sencillos tales como ruletas, dados, monedas, etc. (Batanero, 1988).

Por todo lo anteriormente mencionado, el estudio de esta investigación sugiere que los adolescentes pueden adquirir nociones probabilísticas, al introducirlas mediante actividades basadas en juegos de azar, que favorecen su adquisición intuitiva.

Los jóvenes están rodeados de azar desde que nacen, en sus juegos (echar a suertes, juegos de datos, cartas) y vida cotidiana (meteorología, deportes).

Cabe señalar que Piaget e Inhelder en 1974 pensaron que el desarrollo de la idea de azar en el adolescente a temprana edad, es complementaria a la de la relación causa-efecto. Para ellos, sin esta comprensión de la causación, no hay un marco de referencia para identificar los fenómenos aleatorios. De igual manera indagaron la comprensión que tienen los jóvenes, de los patrones que aparecen en las secuencias de resultados aleatorios (Serrano, Batanero, & Cañizares, 1999).

En consecuencia, hasta la etapa de las operaciones concretas, en la que comienzan a apreciarse los factores que caracterizan los fenómenos causados, el joven no puede comprender la idea de azar.

Demostraron que al aumentar la edad y aparecer el razonamiento proporcional se acepta la irregularidad de la distribución.

Según los autores antes citados, el azar se considera debido a la interferencia de una serie de causas independientes y a la "no presencia" de todas las combinaciones posibles, salvo en el caso en que hubiera un gran número de repeticiones del experimento. A partir de este razonamiento aparece la idea de probabilidad, como razón entre las posibilidades de un caso y el conjunto de posibilidades.

En consecuencia, para Piaget, ni la idea de azar ni la de probabilidad pueden ser totalmente comprendidas hasta que se desarrolle el razonamiento combinatorio, en la etapa de las operaciones formales (12-14 años).

Analizando más a fondo a mi objeto de estudio, es importante resaltar que los adolescentes ya nos son niños, pero tampoco adultos. Descubren que sus cuerpos cambian espectacularmente, que empiezan a utilizar capacidades mentales más avanzadas y se hacen extremadamente conscientes de sus relaciones con los demás (Ball, 2002).

La adolescencia es el momento en el que a persona comienza a tener una existencia propiamente social, pública, en que se incorpora a la cultura de la sociedad en que ha nacido. En la adolescencia se realiza el paso del microgrupo al grupo amplio, de las instituciones de crianza y educación, familia y escuela, a las instituciones en su generalidad, las que son propias de la sociedad, de la cultura (Fierro & Martí, 1997).

Es así como el espacio de las interacciones sociales se acrecienta demasiado, extendiéndose a la sociedad entera por medio de los grupos de amigos y de la subcultura juvenil, comenzando la emancipación de la familia.

La adolescencia es una etapa de importantes cambios psicológicos; se redefine la imagen corporal relacionada a la pérdida de cuerpo infantil y por consiguiente a la adquisición del cuerpo adulto, culminación del proceso de separación/individualización y sustitución del vínculo de dependencia simbiótica con los padres de la infancia por relaciones objetables de autonomía plena, elaboración de duelos referentes a la pérdida de la condición infantil, establecimiento de una escala de valores o código de ética propio, identificación en el grupo de pares (Osorio, 2002).

La teoría del desarrollo cognoscitivo de Piaget sentó las bases psicológicas del enfoque constructivista en el proceso de enseñanza-aprendizaje. Según este autor, el niño debe conformarse su propio conocimiento del mundo donde vive y los adultos orientan esta proceso al ofrecerle estructura y apoyo (Meece, 2000).

Puede decirse que en su conjunto, la teoría del desarrollo de Piaget se refiere a la evolución del pensamiento, muy particularmente de la inteligencia en el niño a través de distintas edades, hasta la adolescencia; menciona que se trata de una teoría interdisciplinaria que comprende, además de los elementos psicológicos, aquellos que pertenecen a la biología, sociología, lingüística, lógica y epistemológica" (Estudiante., 2000). Los cuales dentro de sus investigaciones fueron separados en cuatro etapas, subdivididas en estadios, que le permitieron explicar las diferencias evolutivas en torno al pensamiento entre niños de diferentes edades. Separando el desarrollo de la inteligencia de la siguiente manera:

Tabla 1. Desarrollo de la inteligencia (Meece, 2000).

En esas circunstancias, a los jóvenes en estudio, apenas se les pide que comprendan y lo incorporen en su estructura cognoscitiva, de modo que dispongan de él para su reproducción, para el aprendizaje relacionado, y para solucionar problemas en alguna fecha dada.

El aprendizaje es significativo cuando el nuevo material guarda una relación sistemática con los conceptos pertinentes de la memoria a largo plazo; por consiguiente, el nuevo material expande, modifica o elabora la información de la memoria. El significado depende de variables personales como la edad, as experiencias, la posición socioeconómica y los antecedentes educativos.

Por lo exteriorizado arriba, la propuesta didáctica contemplará actividades diversas para que los colegiales encuentren significativo el aprendizaje de las nociones de probabilidad.

La formación matemática recibida, los conocimientos construidos, las habilidades y las actitudes desarrolladas en la educación básica, le permiten a cada individuo enfrentar y responder a determinados problemas de la vida moderna.

Además, las experiencias que vivan los niños y jóvenes al estudiar matemáticas en la escuela, pueden traer como consecuencias: el gusto o rechazo, la creatividad para buscar soluciones o la pasividad para escucharlas y tratar de reproducirlas, la búsqueda de argumentos para validar los resultados.

El conocimiento únicamente es importante en la medida en que los aprendices lo puedan usar, de manera flexible, para solucionar problemas. Su construcción amerita procesos de estudio que van de lo informal a lo convencional. Por eso, la actividad intelectual en estos procesos se apoya más en el razonamiento que en la memorización. Es decir, el adolescente debe usar los conocimientos previos, mismos que le permiten entrar en la situación; pero el desafío se encuentra en reestructurar algo que sabe, ya sea para modificarlo, ampliarlo, rechazarlo o para volver a aplicarlo en una nueva situación.

Para llevarla a cabo, el profesional de la enseñanza debe saber: qué, por qué, a quién y cómo enseñar. Es decir, la planeación didáctica, que es el conjunto de actividades ordenadas, estructuradas y articuladas para la consecución de objetivos educativos (González, 2012). (Anexo 1).

El material didáctico es en la enseñanza, el nexo entre las palabras y la realidad. Lo ideal sería que todo aprendizaje se llevase a cabo dentro de una situación real de vida. No siendo esto posible, el material didáctico debe sustituir a la realidad, representándola de la mejor forma posible, de modo que se facilite su objetivación por parte del estudiante (Club Ensayos, 2011).

El material necesita del profesor, para animarlo y darle vida. La finalidad del material didáctico es:

• Aproximar al colegial a la realidad de lo que se quiere enseñar, ofreciéndole una noción más exacta de los hechos o fenómenos estudiados.

• Motivar la clase.

• Facilitar la percepción y la comprensión de los hechos y de los conceptos.

• Concretar e ilustrar lo que se está exponiendo verbalmente

• Economizar esfuerzos para conducir a los jóvenes a la comprensión de los hechos y de los conceptos.

• Contribuir la fijación del aprendizaje a través de la impresión más viva y sugestiva que pueda provocar el material.

• Dar oportunidad para que se manifiesten las aptitudes y el desarrollo de habilidades específicas, como el manejo de aparatos o la construcción de los mismos por parte de los estudiantes.

Para ser realmente un auxiliar eficaz, el material didáctico debe:

• Se adecuado al asunto de la clase.

• Ser de fácil aprehensión y manejo.

• Estar en perfectas condiciones de funcionamiento- sobre toso tratándose de aparatos- pues nada divierte y dispersa más al alumnado de los "chascos" en las demostraciones.

La evaluación es la parte final de la función docente; debe figurar en todo el transcurso de la ejecución, con la finalidad expresa de control y de la rectificación.

Si bien es cierto que es un tanto subjetiva con referencia a una clase, no lo es menos el hecho de que el profesional de la enseñanza pueda, a través de ella, cerciorarse si las cosas van yendo bien o mal.

La evaluación del aprendizaje "nociones de probabilidad" será en el periodo de la ejecución de la propuesta didáctica; tomando en cuenta, los procesos de evaluación en el aula, que se manifiestan a continuación (Teixeira, 2009):

Heteroevaluación. Es cuando el profesional de la enseñanza evalúa al estudiante. Esta forma de verificación del aprendizaje es la más usada en cualquier comunidad educativa y su implantación está dada por la consecuencia natural de la relación maestro-alumno.

Coevaluación. Los colegiales se evalúan entre sí, esta modalidad, hace referencia a aprender a trabajar en equipo e insertarse en grupos que no siempre van a estar en concordancia con las preferencias de cada integrante, sin embargo, se aprende a evaluar y a ser evaluado.

Autoevaluación. El estudiante autoevaluará su aprendizaje. Las variantes del éxito, dependen de las características de madurez del adolescente para reconocer sus fortalezas y debilidades; por otro lado, que el profesor prepare dispositivos de control apropiados de autoevaluación. La autoevaluación permitirá a los estudiantes ser autónomos y autocríticos.

Por lo antepuesto, se considera en la evaluación:

• La participación de los escolares en las diferentes situaciones didácticas realizadas, sus posibilidades para trabajar colaborativamente y asumir responsabilidad en las actividades.

• La facilidad de los jóvenes para ejecutar las tareas propuestas y el progresivo avance que logran a lo largo de un periodo, lo que se manifiesta en :

• Las producciones escritas.

• Las explicaciones que pueden expresar sobre su trabajo, que les resulta fácil y difícil; cómo argumentan las decisiones que toman.

• La seguridad que manifiestan en sus participaciones orales.

• Las posibilidades para seguir y participar en la exposición y discusiones.

• En el trabajo que hacen de manera individual, por equipos o colectivamente.

• Las estrategias de enseñanza se definen como los procedimientos o recursos utilizados por el docente para promover aprendizajes significativos. Pueden incluirse antes (preinstruccionales), durante (coinstruccionales) o después (posinstruccionales) de un contenido curricular específico.

• Las estrategias preintruccionales, por lo general, preparan y alertan al educando en relación a qué y cómo va a aprender (activación de conocimientos y experiencias previas pertinentes), además le permiten ubicarse en el contexto del aprendizaje pertinente.

• Las estrategias coinstruccionales, apoyan los contenidos curriculares durante el proceso mismo de enseñanza. Cubren funciones como: detección de la información principal, conceptualización de contenidos; delimitación de la organización; estructura e interacciones entre dichos contenidos, mantenimiento de la atención y motivación.

• En cuanto a las estrategias posinstruccionales, se presentan después del contenido que se ha de aprender; permiten al estudiante una visión sintética integradora, incluso, crítica de material.

El tema de "Nociones de probabilidad" se aborda como contenido, dentro del eje temático "Manejo de la Información, con el Estándar Curricular "Conocimiento de la escala de probabilidad. Análisis de las características de eventos complementarios y eventos mutuamente excluyentes e independientes". Bajo este marco, me fue posible poner en juego los conocimientos, la iniciativa y la imaginación pedagógica que he desarrollado durante mi formación docente, para diseñar, aplicar y analizar actividades de enseñanza congruentes con los propósitos de la educación secundaria y de la asignatura de matemáticas.

Metodología

El grupo de 3° "B" está conformado por 45 alumnos, 20 hombres y 25 mujeres, la mayoría originarios del Estado de México a excepción de 4 educandos que nacieron en el Distrito Federal. La edad promedio que tienen los colegiales del grupo es de 14-15 años, por lo que se encuentran en la adolescencia.

Cuando se aborda algún contenido matemático, los jóvenes manifiestan capacidad de comprensión y asimilación de conocimientos complejos, asimismo las habilidades intelectuales necesarias para utilizar la lógica proposicional del pensamiento.

La ejecución se realiza a través de las clases y de las restantes actividades docentes y discentes, es la materialización de la planeación didáctica.

Con las secuencias didácticas que conformarán la propuesta didáctica, se pretende que los estudiantes aprendan a analizar los resultados de experimentos aleatorios a través de los juegos de azar, utilicen la escala de la probabilidad entre 0-1, vinculen diferentes formas de expresarla y establezcan cuál de dos o más eventos de una experiencia aleatoria tiene mayor probabilidad de ocurrir. Para lograrlo, se diseñaron diversas actividades conforme a las necesidades, gustos e intereses del colegiado. Estas secuencias didácticas se llevaron a cabo del 24 de marzo al 04 de abril de 2014.

Las sesiones que se presentan enseguida, corresponden la 1ra., 2da., 4ta., 5ta. y 7° a un lapso de tiempo de 100 y, la 3ra. y 6ta.de 50 minutos, debido a que esta es la forma de organización de los horarios en la secundaria, según las autoridades educativas correspondientes.

Los materiales y recursos que se utilizan para la enseñanza de "nociones de probabilidad" son: pintarrón, marcadores, hojas de colores, biografías de Blaise Pascal, Pierre Fermat y el Caballero de la Meré, una urna, pequeñas pelotas de unicel de tres colores diferentes y otras enumeradas del 1 al 49, una ruleta de la suerte, 46 loterías, tijeras, lápiz adhesivo, regla, colores de madera, hojas impresas con ejercicios, cartulina blanca o de color, recortes de juegos de azar, cartones de bingo y un dado interactivo.

Por otro lado, el mapa conceptual de los antecedentes históricos de la probabilidad y de los juegos de azar, la tómbola, la ruleta, el cubilete, la pirinola, la competencia "filas contra filas", y el juego de la papa caliente, serán las estrategias de enseñanza.

La acción didáctica del profesional de la enseñanza debe poner en juego todos los aspectos indicados previamente, a fin de que sus esfuerzos tengan un sentido objetivo y atiendan las necesidades del joven, llevándolo a trabajar dentro de sus posibilidades para que, de ese modo, los resultados del aprendizaje sean satisfactorios.

Dicho lo anterior, las estrategas de enseñanza que se aprovecharán durante la ejecución de la propuesta didáctica y los efectos esperados en el alumnado se visualizan en el Anexo 1.

Conclusión

El trabajo que desempeñé como docente, consistió en ser un facilitador del aprendizaje; ayudé a los colegiales por medio del diseño, aplicación y evaluación de las actividades que conforman la propuesta didáctica, a adquirir conocimientos, valores, habilidades y destrezas, que les permitieran desarrollarse eficientemente en la vida cotidiana.

Los educandos de 3° siguen sufriendo cambios emocionales, de conducta, de carácter y de posición, dentro de la sociedad (adolescencia). Construyen su identidad y desarrollan procesos colectivos.

Para implementar la estrategia, tuve que hacer uso de una planeación didáctica; para llevarla a cabo, se ordenaron, estructuraron y articularon, un conjunto de actividades para la consecución de objetivos educativos, considerando algunos referentes para adquirir un conocimiento global y sistemático de las finalidades de la función social de la educación secundaria; así como también de los propósitos y contenidos de la asignatura de matemáticas.

La intención didáctica durante este trabajo fue diseñar, ejecutar y evaluar actividades que cumplieron con los siguientes criterios: conocer los antecedentes históricos de la probabilidad y de los juegos de azar, plantear y resolver problemas acerca de los posibles resultados de los juegos de azar, utilizar la escala de la probabilidad entre 0 y 1, vincular diferentes formas de expresarla y establecer cuál de dos o más eventos, en una experiencia aleatoria, tienen mayor probabilidad de ocurrir.

Cabe manifestar, que la finalidad de estos recursos, fue motivar la clase, facilitar la percepción y la comprensión de los hechos y de los conceptos, concretar e ilustrar lo que se estaba exponiendo verbalmente, contribuir a la fijación del aprendizaje a través del impresión más viva y sugestiva que puede provocar el material, dando oportunidad para que se manifiesten las actitudes y el desarrollo de las habilidades específicas.

La evaluación figuró en todo el transcurso de la ejecución, con la intención expresa de control y de rectificación.

Cabe resaltar que algunos jóvenes no obtuvieron los resultados mencionados, a causa de enfermedades o porque no se dieron a la tarea de investigar lo que se realizó en las sesiones. Aunado a ello, la falta de interés se manifestó en sus actitudes negativas hacia el trabajo. A este conjunto de colegiales se les dio información sobre el tema, mediante hojas impresas con los problemas que se formularon y resolvieron en clase, con su respectiva asesoría.

Las actividades que llevó a cabo el grupo de 3º "B", favoreció el desarrollo de competencias para: el aprendizaje permanente, el manejo de información y de situaciones, la convivencia y la vida en sociedad.

Mediante las actividades empleadas como recursos didácticos, tales como: la elaboración del mapa conceptual de los antecedentes históricos de la probabilidad y de los juegos de azar, el planteamiento y resolución de problemas de probabilidad teórica y experimental de algunos juegos de azar (ruleta de la suerte, lotería y bingo) y la competencia "filas contra filas", consolidó al logro del objetivo principal de esta investigación y a su vez, de los propósitos educativos en el Plan vigente.

Bibliografía

Ball, P. y. (2002). Desarrollo de los Adolescentes I. Aspectos Generales. Desarrollo de los Adolescentes II. Crecimiento y Sexualidad. México: SEP.

Club Ensayos. (Junio de 2011). Recuperado el 18 de Febrero de 2016, de Uso De Materiales Didácticos: https://www.clubensayos.com/Psicología/Uso-De-Materiales-Didácticos/13038.html

Estudiante., E. G. (2000). Vol. I. En Teorías del Desarrollo. "El desarrollo según Piaget" (pág. 24). México: Océano.

Fierro, A., & Martí, E. y. (1997). El cuerpo y la imagen corporal". Barcelona: ICE/Horsori.

Góngora, V. L. (2011). Alternativas didácticas para enseñar probabilidad. México.

González, C. (06 de Mayo de 2012). SlideShare. Recuperado el 17 de Febrero de 2016, de http://es.slideshare.net/EES6/planificacin-y-secuencia-didctica

Meece, J. (2000). Desarrollo cognoscitivo: las teorías de Piaget y de Vigotsky, en el desarrollo del noño y del adolescente. México: McGraw-Hill Interamericana.

Osorio, J. (2002). Desarrollo de los Adolescentes I. Aspesctos Generales. Desarrollo de los Adolescentes II. Crecimiento y Sexualidd. México: SEP.

SEP. (1993). Plan y Programas de Estudio de Educación Básica. México.

SEP. (2011). Programas de Estudio 2011. En Guía para el maestro. Educación Básica. Secundaria. Matemáticas (pág. 14). México: Comisión Nacional de Libros de Texto Gratuitos.

SEP. (2011). Programas de Estudio 2011. Guía para el maestro. Educación Básica. Secundaria. Matemáticas. México.

Serrano, L., Batanero, C., & Cañizares, J. (1999). Concepciones sobre distribuciones aleatorias planas en alumnos de secundaria. Epsilon.

Teixeira, P. J. (01 de Noviembre de 2009). Evaluación Educativa IV. Recuperado el 15 de Febrero de 2016, de Proceso de Evaluación en la Primera y Segunda etapa de Educación Básica: http://evaluacioneducativa6.blogspot.mx/2009/11/proceso-de-evaluacion-en-la-primera-y.html

Anexos

ANEXO 1. Estrategias de Enseñanza y Efectos Esperados en el Educando.

ANEXO 2. Planeación Didáctica.

"2014 AÑO DE LOS TRATADOS DE TEOLOYUCAN"

ESCUELA NORMAL No. 2 DE NEZAHUALCÓYOTL.

"2014 AÑO DE LOS TRATADOS DE TEOLOYUCAN"

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Autor:

Leslie Badillo Jiménez