Selección de la TMAR y la TER

Relación entre costo del capital y TMAR

Para determinar una TMAR realista, el costo de cada tipo de financiamiento de capital se calcula inicialmente en forma separada y luego la porción de la fuente de deuda y la depatrimonio se ponderan con el fin de estimar la tasa de interés promedio pagada por elcapital de inversión disponible. Este porcentaje se denomina costo del capital. La TMAR se iguala después a este costo y algunas veces se establece por encima dependiendo del riesgo percibido inherente al área donde el capital puede ser invertido, la salud financiera de la corporación y muchos otros factores activos al determinar una TMAR. De no establecer una TMAR específica como guía mediante la cual las alternativas se aceptan o se rechazan, se programa efectivamente una TMAR de facto mediante estimaciones del flujo de efectivo neto del proyecto y límites sobre los fondos de capital. Es decir, la TMAR es, en realidad, el costo de oportunidad, el cual es la i* del primer proyecto rechazado debido a fondos de capital limitados.

Para entender el costo del capital, se deben revisar primero las dos fuentes principalesdel capital corporativo:

La financiación con deuda representa la obtención de préstamos por fuera de los recursos de la compañía, debiendo pagar el principal a una tasa de interés determinada de acuerdo con una programación de tiempo fijada. La financiación con deuda incluye el endeudamiento mediante bonos, préstamos e hipotecas. El prestamista no incurre enriesgo directo relacionado con el rembolso del principal y los intereses, ni comparte lasutilidades obtenidas por el uso de los fondos. La cantidad de la financiación con deudavigente está indicada en la sección de obligaciones del balance general corporativo.

La financiación con patrimonio representa el uso del dinero corporativo conformadopor los fondos de los propietarios y las ganancias conservadas. Los fondos de lospropietarios se clasifican como recaudos de ventas de acciones comunes y preferenciales en el caso de una corporación pública o capital de los propietarios en el caso de una compañía privada (que no emite acciones). Las ganancias conservadas son fondos anteriormente conservados en la corporación para inversión de capital. El monto del patrimonio está indicado en la sección del valor neto del balance general de la corporación.

Para ilustrar la relación entre costo del capital y TMAR, suponga que un proyecto grande de sistematización será financiado completamente mediante una emisión de bonos de $5,000,000 (100% financiado con deuda) y que la tasa de dividendos sobre los bonos es del 8%. Por consiguiente, el costo del capital de deuda es del 8%, como se muestra en la figura 1. Este 8% es la TMAR fundamental.

Sólo de ser necesario debe la gerencia aumentar dicha TMAR en incrementos que reflejan su deseo por un mayor retorno y su percepción de riesgo. Por ejemplo, la gerencia puede agregar a esta TMAR un monto que considera necesario para todas las inversiones o compromisos de capital en una área específica. Suponga que esta cantidad es del 2%, lo cual aumenta con el retorno esperado al 10% (figura 1).

También, si se considera que el riesgo asociado con esta inversión del sistema de cómputoes lo suficientemente sustancial para justificar un retorno adicional del 1%, la TMAR seráahora del 11%. El enfoque recomendado consiste en utilizar el costo del capital, 8% en este ejemplo, como la TMAR, y calcular el valor i* de la alternativa, utilizando los flujos de efectivo netos estimados durante la vida esperada. Suponga que se estima que la alternativa del sistema de cómputo proporcionaría un retorno del 11%. Entonces, debe considerarse cualquier retorno anticipado y factores de riesgo a fin de determinar si el 3% por encima de la TMAR de 8% es suficiente para justificar la inversión del capital. Después de estas consideraciones, si el proyecto es rechazado, la TMAR efectiva es ahora 11%. Este es el concepto de costo de oportunidad para esta alternativa de sistema de cómputo,la i* del proyecto rechazado ha establecido como TMAR real 11 % y no 8%.

Fig.1

Mezcla deuda-patrimonio y costo promedio ponderado de capital

La mezcla deuda-patrimonio (D-P) identifica los porcentajes de financiamiento con deuda y con patrimonio para una corporación. Una compañía con una mezcla 40-60 D-P tiene el 40% de su capital originado en fuentes de capital de deuda (bonos, préstamos e hipotecas) y el 60% derivado de fuentes de patrimonio (acciones y ganancias conservadas).

La mayoría de los proyectos obtiene los fondos a partir de la combinación de capital dedeuda y de patrimonio dispuestos específicamente para el proyecto u obtenidos a partir deun grupo de capital corporativo. El costo promedio ponderado de capital (CPPC) del grupo se estima mediante fracciones relativas (o porcentajes) de las fuentes de deuda y depatrimonio. Si se conocen las fracciones en forma exacta, se utilizan para estimar el CPPC: de otra forma se utilizan fracciones históricas para cada fuente en la relación:

CPPC = (fracción de patrimonio)(costo del capital patrimonial)

+ (fracción de deuda)(costo del capital de deuda) [1]

Los dos términos de costo están expresados como tasas de interés porcentuales.

Puesto que prácticamente todas las corporaciones públicas tienen una mezcla de fuentesde capital, el CPPC es un valor entre los costos del capital de deuda y de patrimonio. Si seconoce la fracción de cada tipo de financiamiento con patrimonio —acciones comunes,acciones preferenciales y ganancias conservadas— la ecuación [1] se amplía para incluircada componente del patrimonio.

CPPC = (fracción de acciones comunes)(costo del capital en acciones comunes)

+ (fracción de acciones preferenciales)(costo del capital en acciones preferenciales) + (fracción de ganancias conservadas)(costo del capital en ganancias conservadas) + (fracción de deuda)(costo del capital de deuda) [2]

El valor CPPC puede calcularse utilizando valores antes o después de impuestos para elcosto del capital; sin embargo, el uso del método después de impuestos es el correcto, yaque el financiamiento con deuda tiene una clara ventaja tributaria.

La figura 2 indica la forma usual de las curvas del costo del capital. Si el 100% delcapital se obtiene del patrimonio o de fuentes de deuda, la CPPC iguala el costo de capital de las fuentes de los fondos. Prácticamente, en cualquier programa de capitalización, siempre hay una mezcla de fuentes de capital involucradas. Como ilustración, la figura 18.2 indica un CPPC mínimo para un capital de deuda de alrededor del 45%. La mayoría de las firmas operan dentro de un rango de mezclas D-P. Por ejemplo, un rango de 30% a 50% definanciamiento con deuda para algunas compañías puede ser muy aceptable tratándose deprestamistas sin incrementos en el riesgo o en la TMAR. Sin embargo, otra compañía puede ser considerada "de alto riesgo" solamente con el 20% de capital de deuda. Se requiere conocimiento y confianza en las capacidades de una gerencia y conocimiento de los proyectos actuales, para determinar un rango de operación razonable para la mezcla D-P de una compañía particular.

Fig. 2

Ejemplo

Un nuevo programa de ingeniería genética requerirá $1 millón de capital. El principal funcionario financiero (PFF) ha estimado las siguientes cantidades de financiación a las tasas de interés indicadas después de impuestos:

$500,000 al 13.7%$200,000 al 8.9%$300,000 al 7.5%

Ventas de acciones comunesUso de ganancias conservadasFinanciamiento con deuda mediante bonos

Históricamente, esta compañía ha financiado proyectos utilizando la mezcla D-P del 40% a partir de fuentes de deuda que cuestan 7.5%, y 60% a partir de fuentes de patrimonio que cuestan 10.0%. Compare el valor CPPC histórico con el de este programa de genética actual.

Solución

Para estimar el CPPC histórico se utiliza la ecuación [1].

CPPC = 0.6 (10) + 0.4 (7.5) = 9.0%

Para el programa actual, el financiamiento con patrimonio está compuesto del 50% de acciones comunes ($500,000 de $1.0 millón) y 20% de utilidades retenidas, con el 30% restante de fuentes de deuda. El programa CPPC de la ecuación [2] es:

CPPC = porción de acciones + porción de ganancias retenidas + porción de deuda = 0.5 (13,7) + 0.2 (8.9) + 0.3 (7.5) = 10.88%

Se estima que el programa actual tiene un CPPC más alto del experimentado históricamente (10.88% versus 9.0).

Variaciones en TMAR

La TMAR se determina en términos relativos al costo del capital. Sin embargo, la determinación de TMAR no es un proceso muy exacto, ya que la mezcla de capital de deuda y patrimonio cambia con el tiempo y de un proyecto a otro. Aun, en todos los casos debe establecerse alguna TMAR para compararla con la TR de proyectos estimados. Asimismo, la TMAR no es un valor invariable establecido para toda la corporación, másbien, se ve alterada por diferentes oportunidades y tipos de proyectos. Por ejemplo, unacorporación puede utilizar una TMAR del 10% para activos depreciables y una TMAR del20% para inversiones de diversificación, tales como la compra de compañías más pequeñas, tierra, etc.

La TMAR varía de un proyecto a otro y a través del tiempo debido a factores tales como los siguientes:

Riesgo del proyecto. Donde hay más riesgo (percibido o real) asociado con una área deproyectos propuestos, la tendencia es fijar una TMAR más alta. Esta es estimulada porel alto costo del capital de deuda comúnmente experimentado al obtener préstamos paraproyectos considerados de alto riesgo, lo cual en general, significa que hay preocupaciónporque el proyecto de inversión no pueda realizar por completo sus requisitos de ingresosproyectados.

Oportunidad de inversión. Si la gerencia ha decidido diversificar o invertir en ciertaárea, la TMAR puede reducirse para estimular la inversión con la esperanza de recuperarel ingreso o utilidad perdidos en otras áreas. Esta reacción común a la oportunidad deinversión puede crear gran confusión cuando los parámetros desarrollados en textoscomo éste son aplicados estrictamente en un estudio de economía. La flexibilidad resultamuy importante.

Estructura tributaria. Si los impuestos corporativos están aumentando (debido amayores utilidades, ganancias de capital, impuestos locales, etc.). hay presión paraaumentar la TMAR. El uso de un análisis después de impuestos puede ayudar a eliminaresta razón para una TMAR fluctuante, puesto que los gastos que acompañan el negociotenderán a reducir los impuestos y, por consiguiente, a reducir los costos después deimpuestos.

Capital limitado. A medida que el capital de deuda y de patrimonio se limitan, la TMARaumenta y la gerencia empieza a mirar de cerca la vida del proyecto. A medida que lademanda por capital limitado excede la oferta (elaboración del presupuesto de gastos decapital), es posible que la TMAR tienda a ser fijada a un nivel más alto. El costo deoportunidad juega un gran papel al determinar la TMAR realmente utilizada para tomardecisiones de aceptación y de rechazo.

Tasas del mercado en otras corporaciones. Si las tasas aumentan en otras firmas conlas cuales se hacen comparaciones, una compañía puede aumentar su TMAR en respuesta. Con frecuencia, estas variaciones están basadas en cambios en las lasas de interés del mercado, que ocasionan un impacto directo sobre el costo del capital. Si se considera al gobierno como una 'corporación', una norma usual son las tasas actuales cobradas por una agencia gubernamental particular.

Ejemplo

Saúl, quien posee un pequeño negocio de servicios residenciales de jardinería, piensa comprar cierto equipo nuevo. Ha ido a su banco regular a fin de solicitar un préstamo para equipo como empresa pequeña. Identifique algunos factores que podrían cambiar la TMAR que el banco esperaría de la compañía de Saúl. Base los comentarios en los cinco factores mencionados en esta sección e indique la dirección posible del cambio de la TMAR.

Solución

Entre las muchas consideraciones, algunas habituales son:

Riesgo del proyecto. La TMAR puede ser aumentada si ha habido una grave sequía en el área durante los 2 últimos años, reduciendo así la necesidad de los servicios de Saúl. La capacidad de generación de ingresos se encuentra en riesgo bajo esta situación.

Oportunidad. La TMAR aumenta si, por ejemplo, otras firmas que ofrecen servicios similares han solicitado préstamos en el mismo banco durante los últimos 6 meses.

Impuestos. Si 1a comunidad local acabara de eliminar los servicios personales y de viviendas de la lista de renglones sujetos a impuestos sobre las ventas, Saúl necesitaría menos ingresos, entonces la TMAR sería reducida ligeramente.

Limitación de capital. Si el resto del equipo de propiedad de la compañía de Saúl fuera comprado con sus fondos propios y no hubiera préstamos vigentes, aunque no hubiera capital patrimonial adicional disponible, la TMAR tendería a ser más baja ahora para considerar el capital de deuda.

Tasas del mercado. Si el banco local de Saúl obtiene sus recursos de crédito para pequeñas empresas de un gran banco regional y la tasa del mercado para el banco local acabara de ser aumentada en forma sustancial, la TMAR aumentaría debido a una situación de dinero más restrictiva ocasionada por la mayor tasa del mercado.

Establecimiento de un valor TMAR para la toma de decisiones

Un estudio de ingeniería económica correctamente realizado utiliza una TMAR igual alcosto del capital comprometido con la alternativa. Si los fondos propios de la corporación se utilizan de manera exclusiva, el costo del capital patrimonial debe ser la tasa de interésTMAR. Si se aplica una combinación de capital de deuda y de patrimonio, la CPPC calculada debería ser la TMAR. También, los riesgos asociados con una alternativa deberían ser considerados por separado a partir de la determinación de la TMAR con cálculos para la medida de valor bajo riesgo. Todo esto conduce alparámetro de que la TMAR no debe ser aumentada arbitrariamente para contener los diversos tipos de riesgo asociados con las estimaciones del flujo de efectivo. Sin embargo, con frecuencia la TMAR se fija por encima del CPPC o del costo del capital relevante porque la gerencia trata de contener el riesgo aumentando la TMAR.

La terminología y las definiciones desarrolladas se utilizarán a fin de identificar los lineamientos generales para establecer los valores TMAR con base en patrimonio, deuda y combinaciones de las dos fuentes de capital.

ie = tasa de interés asociada con los fondos propios de la corporación (éste el costo del capital patrimonial o el retorno sobre fondos de patrimonios disponibles y en el grupo de inversión)

id = costo del capital de deuda a partir de todas las fuentes.

CPPC = costo promedio ponderado del capital después de impuesto.

Es usual que id > ie porque cuesta más utilizar los fondos de alguien que los propios. Sin embargo, éste puede no ser el caso si, dependiendo de la oportunidad, el capital de deuda es más barato que el costo estimado de adquirir fondos de patrimonio.Es posible tomar una determinación bastante compleja de la TMAR (sin consideraciones de riesgo), pero el enfoque simple es establecer la TMAR entre ie y CPPC. Las situaciones siguientes describen la forma de establecer la TMAR en forma más precisa para la mayoría de los entornos de capital-disponible y capital-limitado que se puedan experimentar.

Capital disponible. Éste describe la situación cuando una alternativa mutuamenteexcluyente debe ser seleccionada entre dos o más, o cuando pueden aceptarse propuestasindependientes con i* ( TMAR sin una adherencia estricta al presupuesto de capital.

• Si los acuerdos de financiación se conocen específicamente, se debe utilizar TMAR = ie. (El costo del capital de deuda se conoce con especificidad aquí, de manera que ésteno se considera de nuevo al determinar la TMAR).

• Si se desconocen las particularidades de la financiación y/o la financiación procedede una combinación de capital de patrimonio y de deuda, se debe utilizar TMAR =CPPC.

Capital limitado. Éste describe la situación en la cual existe un límite de inversiónestricto para la selección de alternativas mutuamente excluyentes o cuando se preparaun presupuesto de capital para la selección de propuestas independientes.

• Si solamente hay fondos de propiedad de la corporación (patrimonio) comprometidos,se debe utilizar TMAR = ie.

• Si se requiere una combinación de deuda y patrimonio, se debe utilizar TMAR =CPPC.

Por supuesto, los valores TMAR entre estos límites guía están determinados con base en lascircunstancias actuales. Si se utiliza el enfoque simple, es decir, ie ( TMAR ( CPPC esestablecido como rango operacional, entonces los factores no económicos, incluyendo elriesgo del proyecto, se consideran separadamente a medida que se realiza cada estudio deeconomía.

La presión para asignar riesgo a la TMAR es fuerte en la práctica y con frecuencia se utiliza algún multiplicador por el valor relevante del costo del capital, como TMAR =1.1 (CPPC) o TMAR = 1.8 (ie). Nuevamente, éste no es un método recomendado puesto que compromete la precisión y el esfuerzo realizado para determinar cuánto cuesta en realidad el capital. Pero, permanece el hecho de que algunos gerentes encuentran en ésta una base conveniente para decisiones, sin hacer análisis adicional bajo el riesgo de las estimaciones del flujo de efectivo.

Generalidades sobre la tasa de retorno y su cálculo

Si el dinero se obtiene en préstamo, la tasa de interés se aplica al saldo no pagado (insoluto) de manera que la cantidad y el interés total del préstamo se pagan en su totalidad con el último pago del préstamo. Desde la perspectiva del prestamista o inversionista, cuando el dinero se presta o se invierte, hay un saldo no recuperado en cada periodo de tiempo. La tasa de interés es el retorno sobre este saldo no recuperado, de manera que la cantidad total y el interés se recuperan en forma exacta con el último pago o entrada. La tasa de retomo define estas dos situaciones.

Tasa de retorno (TR) es la tasa de interés pagada sobre el saldo no pagado de dineroobtenido en préstamo, o la tasa de interés ganada sobre el saldo no recuperado de unainversión, de manera que el pago o entrada final iguala exactamente a cero el saldo conel interés considerado.

La tasa de retorno está expresada como un porcentaje por periodo, por ejemplo, i = 10%anual. Ésta se expresa como un porcentaje positivo; es decir, no se considera el hecho deque el interés pagado en un préstamo sea en realidad una tasa de retorno negativa desde laperspectiva del prestamista. El valor numérico de i puede moverse en un rango entre -100%hasta infinito, es decir, -100% < i < (. En términos de una inversión, un retorno dei = -100% significa que se ha perdido la cantidad completa.

La definición anterior no establece que la tasa de retomo sea sobre la cantidad inicial dela inversión, sino más bien sobre el saldo no recuperado, el cual varía con el tiempo. Elsiguiente ejemplo ilustra la diferencia entre estos dos conceptos.

Para determinar la tasa de retorno i de los flujos de efectivo de un proyecto, se debedefinir la relación TR. El valor presente de las inversiones o desembolsos, VPD se iguala al valor presente de los ingresos, VPR. En forma equivalente, los dos pueden restarse e igualarse a cero. Es decir,

VPD = VPR

0 = – VPD + VPR [3]

El enfoque de valor anual utiliza los valores VA en la misma forma para resolver para i.

VAD = VAR

0 = – VAD + VAR [4]

El valor i que hace estas ecuaciones numéricamente correctas es la raíz de la relación TR. Se hace referencia a este valor i mediante otros términos adicionales a la tasa de retorno: tasa interna de retorno (TIR), tasa de retorno de equilibrio, índice de rentabilidad y retorno sobre la inversión (RSI). Éstos se representan por la notación i*.

Cálculos de la tasa de retorno utilizando una ecuación de valor presente

Una cantidad presente de dinero es equivalente a una cantidad más alta a una fecha futura, siempre que la tasa de interés sea mayor a cero. En los cálculos de la tasa de retorno, el objetivo es encontrar la tasa de interés i* a la cual la cantidad presente y la cantidad futura son equivalentes.

La columna vertebral del método de la tasa de retorno es la relación TR. Por ejemplo, sialguien deposita $ 1000 ahora y le prometen un pago de $500 dentro de tres años y otro de $1500 en cinco años a partir de ahora, la relación de la tasa de retorno utilizando VP es:

1000 = 500 (P/F, i*, 3) + 1500(P/F, i*, 5) [5]

donde debe calcularse el valor de i* para hacer que la igualdad esté correcta (Véase figura3). Si se trasladan $1000 al lado derecho de la ecuación [5], se tiene

O = – 1000 + 500 (P/F, i*, 3) + 1500(P/F, i*, 5) [6]

La ecuación [6] aplica la forma general de la ecuación [3], que será utilizada en lafijación de todos los cálculos de la tasa de retorno basados en valor presente. La ecuación seresuelve para i y se obtiene i* = 16.9%. Puesto que en general, en un proyecto dado, hayentradas y desembolsos involucrados, puede encontrarse un valor de i*;además, la tasa deretorno siempre será mayor que cero si la cantidad total de los ingresos es mayor que lacantidad total de los desembolsos, cuando se considera el valor del dinero en el tiempo.

Debe ser evidente que las relaciones de la tasa de retorno son apenas una reordenaciónde una ecuación de valor presente. Es decir, si se supiera que la tasa de interés anterior era16.9% y se deseara encontrar el valor presente de $500 dentro de tres años y de $1500dentro de cinco años, la ecuación sería:

P = 500(P/F, 16.9%,3) + 1500(P/F, 16.9%,5) = $ 1000

Fig. 3

la cual se reordena fácilmente en la forma de la ecuación [6]. Esto ilustra que las ecuaciones de la tasa de retomo y del valor presente se plantean exactamente de la misma forma. Las únicas diferencias están en lo que está dado y en lo que se busca.

Hay dos formas comunes para determinar i* una vez se ha establecido la relación VP: lasolución manual a través del método de ensayo y error, y la solución de computador a través de la hoja de cálculo. La segunda es más rápida pero la primera ayuda a entender mejor la forma como trabajan los cálculos TR.

i* utilizando ensayo y error manual. El procedimiento general empleado para calcularuna tasa de retorno utilizando la ecuación de valor presente y cálculos manuales de ensayoy error es el siguiente:

1. Trazar un diagrama de flujo de efectivo.

2. Plantear la ecuación de la tasa de retorno en la forma de la ecuación [3].

3. Seleccionar valores de i mediante ensayo y error hasta que la ecuación esté equilibrada. '

Al utilizar el método de ensayo y error para determinar i*, es conveniente acercarse bastante a la respuesta correcta en el primer ensayo. Si los flujos de efectivo se combinan, de tal manera que el ingreso y los desembolsos pueden estar representados por un solo factor tal como P/F o P/A, es posible buscar (en las tablas) la tasa de interés correspondiente al valor de ese factor para n años. El problema, entonces, es combinar los flujos de efectivo en el formato de uno solo de los factores estándar, lo cual puede hacerse mediante el siguiente procedimiento:

1. Convertir todos los desembolsos en cantidades bien sea únicas (P o F) o cantidadesuniformes (A), al ignorarse el valor del dinero en el tiempo. Por ejemplo, si se deseaconvertir un valor A en un valor F, multiplique simplemente por A el número de años n.El esquema seleccionado para el movimiento de los flujos de efectivo debe ser aquelque minimiza el error causado por ignorar el valor del dinero en el tiempo. Es decir, si lamayoría de los flujos de efectivo son una A y una pequeña cantidad es F, la F se debeconvertir en una A en lugar de hacerlo al revés, y viceversa.

2. Convertir todas las entradas en valores bien sea únicos o uniformes.

3. Después de haber combinado los desembolsos y las entradas, de manera que se apliquebien sea el formato P/F, P/A o A/F, se deben utilizar las tablas de interés para encontrarla tasa de interés aproximada a la cual se satisface el valor P/F, P/A o A/F, respectivamente,para el valor apropiado de n. La tasa obtenida es una buena cifra aproximada para utilizaren el primer ensayo.

Es importante reconocer que la tasa de retorno obtenida en esta forma es solamente unaestimación de la tasa de retorno real, ya que ignora el valor del dinero en el tiempo.

Cálculos de tasa de retorno utilizando una ecuación de valor anual

De la misma manera como i* puede encontrarse utilizando una ecuación VP, también puede determinarse mediante la forma VA de la ecuación 4. Este método se prefiere, por ejemplo, cuando hay flujos de efectivo anuales uniformes involucrados. El procedimiento es el siguiente:

1. Dibuje un diagrama de flujo de efectivo.

2. Defina las relaciones para el VA de los desembolsos, VAD, y entradas, VAR con i* como variable desconocida.

3. Defina la relación de la tasa de retomo en la forma de la ecuación [4], 0= – VAD + VAR

4. Seleccione valores de i por ensayo y error hasta que la ecuación esté equilibrada. De sernecesario, interpole para determinar i*.

TASA DE RETORNO COMPUESTA:

ELIMNACION DE VALORES MÚLTIPLES DE í*

Las tasas de retomo calculadas hasta ahora son tasas que equilibran exactamente los flujosde efectivo positivos y negativos considerando el valor del dinero en el tiempo y parasecuencias convencionales de flujo de efectivo. Cualquier método de medida de valor queexplique el valor del dinero en el tiempo puede utilizarse al calcular esta tasa de equilibrio,tal como VP, VA o VF. Independientemente del método que se utilice, la tasa de interésobtenida a partir de estos cálculos se conoce como la tasa interna de retomo, TIR. Expresado en forma simple, Los fondos que permanecen sin recuperar están aún dentro de la inversión, de ahí el nombre de tasa interna de retorno. Los términos generales, tasa de retorno y tasa de interés implican en general la tasa interna de retorno.

El concepto de saldo no recuperado cobra importancia cuando se generan (arrojan) flujosde efectivo positivos antes del final de un proyecto. Un flujo de efectivo positivo, una vez generado, se libera o se convierte en un fondo externo al proyecto, y no se considera más en el cálculo de la tasa interna de retorno. Tales flujos de efectivo netos positivos puedenocasionar una secuencia de flujo de efectivo no convencional y valores múltiples de i*,como se analizó en la sección anterior. Sin embargo, hay un método para considerarexplícitamente estos fondos, como se ha planteado en esta sección. Adicionalmente, se haeliminado el dilema de raíces múltiples de i*.

Primero, se examinarán los cálculos de tasa interna de retorno para los siguientes flujos de efectivo: se invierten $10,000 en t = O, se reciben $8000 en el año 2, y se reciben $9000 en el año 5. La ecuación VP que determina i* para la tasa de retorno es:

O = – 10,000 + 8OOO(P/F, i, 2) + 9000(P/F, i, 5)

i = 16.815%

Si se utiliza esta tasa para los saldos no recuperados, la inversión será recuperada exactamente al final del año 5, como lo verifican los siguientes cálculos.

Saldo no recuperado al final del año 2 inmediatamente antes de recibir $8000:

– 10,000(F/P, 16.815%, 2)= – 10,000(1 + 0.16815)2 =$ -13,645.74

Saldo no recuperado al final del año 2 inmediatamente después de recibir $8000:

-13,645.74 + 8000 = $ -5645.74Saldo no recuperado al final del año 5 inmediatamente antes de recibir $9000:

-5645.74(F/P, 16.815%, 3) = $ -8999.47Saldo no recuperado al final del año 5 inmediatamente después de recibir $9000:

$-8999.47 + 9000 = $0.53 (considerando el error de aproximación)

En este cálculo no se consideran los $8000 disponibles después del año 2. Por consiguiente,una buena pregunta es: ¿Qué sucede si se consideran los fondos liberados de un proyecto alcalcular la tasa de retorno global de éste? Después de todo, algo debe hacerse con los fondos liberados. Una posibilidad es suponer que el dinero se reinvierte a alguna tasa establecida.Una segunda es suponer simplemente que las reinversiones ocurren a la TMAR, si ésta esuna tasa factible para dicho propósito. Además de dar cuenta de todo el dinero liberadodurante el periodo del proyecto y reinvertido a una tasa realista, el enfoque analizado enseguida tiene la ventaja de convertir una secuencia de flujo de efectivo no convencional (con valores múltiples de i*) en una secuencia convencional con una raíz, que puede serconsiderada como la tasa de retorno para tomar una decisión sobre un proyecto.

La tasa de ganancias utilizada para los fondos liberados se llama la tasa de reinversión,simbolizada por c. Esta tasa, establecida por fuera del proyecto particular que está siendoevaluado (o externa a éste), depende de la tasa disponible en el mercado para inversiones. Si una compañía está obteniendo, por ejemplo, 8% en sus inversiones diarias, entonces c = 8%. Puede ser práctico fijar c igual a la TMAR ya establecida. Ahora, la tasa de interésque satisface la ecuación de la tasa de retorno se llama la tasa de retorno compuesta (TRC)y será simbolizada por i´. Por definición:

La tasa de retorno compuesta, i´, es la tasa de retorno única para un proyecto que suponeque los flujos de efectivo netos positivos, que representan dinero no requeridoinmediatamente por el proyecto, son reinvertidos a la tasa de reinversión c.

El término compuesto se utiliza aquí para describir dicha tasa de retorno porque ésta seobtiene utilizando otra tasa de interés, a saber c, la tasa de reinversión. Si c resulta ser iguala cualquier otro de los valores i*, entonces la tasa compuesta i´ será igual a ese valor de i*.La TRC es conocida, entre otros términos, como retomo sobre el capital invertido (RCI) ytasa externa de retorno (TER).

El procedimiento correcto para determinar i´, denominado procedimiento del proyectode inversión neta, se resume a continuación. La técnica permite encontrar el valor futuro dela cantidad de inversión neta en un periodo (año) futuro. Encuentre el valor de la inversiónneta del proyecto F en el año t a partir de Ft-1 utilizando el factor F/P para un año a la tasade reinversión c si la inversión neta anterior Ft-1 es positiva (dinero extra generado por elproyecto), o a la tasa TRC i´ si Ft-1 es negativa (el proyecto utilizó todos los fondosdisponibles). Matemáticamente, para cada año t establezca la relación:

La ecuación para F obtenida utilizando este procedimiento se ha fijado igual a cero y se haresuelto para i´ por computador o por el método manual de ensayo y error. El valor i´ obtenido es único para una tasa de reinversión establecida c.

Para una tasa de reinversión c del 15% se ilustra el desarrollo de f1 hasta F3 para lasecuencia siguiente de flujo de efectivo, que está graficada en la figura 4a.

La inversión neta para el año t = 0 es: F0 = $50

Fig. 4

la cual es positiva, de manera que rinde c = 15% durante el primer año. Mediante la ecuación[7], F1 es:

F1 = 50(1 +0.15) – 200 = $ – 142.50

Este resultado se muestra en la figura 4b. Dado que la inversión neta del proyecto es ahoranegativa, el valor F1 obtiene un interés a la tasa i´ durante el año 2. Por consiguiente, para elaño 2,

F2 = F1 (1 + i´)+C2 = -142.50 (1 +i´) + 50

El valor i´ debe determinarse. Comoquiera que F2 será negativo para todos los i´ > 0, utilice i´ para fijar F3 como se muestra en la figura 7.6c.

F3 = F2 (l + i´) + C3 = [-142.50 (1 +i´) + 50](1 + i´) + 100 [8]

Al definir la ecuación [8] igual a cero y resolviendo para i´, resultará la tasa de retomocompuesta i´. Si hubiera habido más expresiones Ft , i´ sería utilizada en todas las ecuaciones posteriores. El procedimiento del proyecto de inversión neta para encontrar i´ puede resumirse de la siguiente manera:

1. Trace un diagrama de flujo de efectivo de la secuencia original del flujo de efectivo neto.

2. Desarrolle la serie de inversiones netas del proyecto utilizando la ecuación [7] y elvalor establecido de c. El resultado es la expresión F n en términos de i´:

3. Defina la expresión F n igual a cero y encuentre el valor i´ para equilibrar la ecuación.

Vienen al tema diversos comentarios. Si la tasa de reinversión c es igual al valor de latasa interna de retorno i* (o sólo a uno de los valores de i* cuando hay múltiples), la i´ quees calculada será exactamente la misma que i*, es decir, c = i* = i´ Cuanto más cercano estéel valor de c a i´, menor será la diferencia entre las tasas compuesta e interna. Es razonable suponer que c = TMAR, si todos los fondos extra del proyecto pueden obtener de manerarealista la tasa TMAR.

A continuación se resumen las relaciones entre c, i´, e i*.

Problema

Una compañía con sede en Europa ha mercadeado un aceite lubricante sintético durante 3 años, con los siguientes flujos de efectivo neto en miles de dólares estadounidenses.

Calcule la tasa de retomo compuesta para la inversión en aceite lubricante sintético si la tasa de reinversión es (a) 7.47% y (b) 20%.

Solución

(a) Utilice el procedimiento expresado arriba a fin de determinar i´ para c = 7.47%.

1. La figura 5 muestra el flujo de efectivo original.

2. La primera expresión del proyecto de inversión neta es F0 = $+2000. Dado que F0 > 0, se puede utilizar c = 7.47% para escribir F1, por la ecuación [7].

F1 = 2000(1.0747) – 500 = $1649.40

Nuevamente, F1 > 0, por tanto, use c = 7.47% para determinar F2.

F2 = 1649.40 (1.0747) – 8100 = $-6327.39

La figura 6 muestra el flujo de efectivo equivalente en este momento. Puesto que F2 < 0,utilice i´ para expresar F3.

F3 = -6327.39 (1+ i´) + 6800

3. Defina F3 = 0 y resuelva para i´ directamente.

-6327.39 (1+ i´) + 6800 = 0

1+ i´ = 6800/6327.39 = 1.0747

i´ = 0.0747 (7.47%)

Fig. 5 y 6

(b) Para c = 20%. La serie del proyecto de inversión neta es:

Defina F3 = 0 y resuelva para i´ directamente:

1+ i´ = 6800/5820 = 1.1684

i´ = 0.1684 (16.84%)

La TCR o TER es i´ = 16.84% a una tasa de reinversión,

La tasa de rendimiento. Hay tres formas de calcular la tasa de rendimiento.

La tasa interna de rendimiento (TIR). La tasa interna de rendimiento TIR (Internal Rate of Return, IRR), que a menudo se conoce sencillamente como la tasa de rendimiento (Rate or Retum, RoR), es la tasa de interés i* para la que el valor presente neto de todos los flujos de efectivo del proyecto es cero. Cuando todos los flujos de efectivo se descuenten a la tasa i*, el valor presente equivalente de todos los beneficios del proyecto será igual al valor presente equivalente de todos los costos del proyecto. Una definición matemática de la tasa interna de rendimiento es la tasa i* que satisface la ecuación siguiente:

(1)

Esta fórmula supone flujos de efectivo discretos Aj y descuentos al final del periodo en losperiodos de j = 1,2,…, N.

La tasa de descuento usada en los cálculos de valor presente es el costo de oportunidad, una medida para el rendimiento que puede ganarse sobre el capital si éste se invirtiera en otra parte. Así un proyecto propuesto dado, deberá ser económicamente atractivo si y sólo cuando su tasa interna de rendimiento, TIR (Internal Rate of Return, IRR) supere el costo de las oportunidades a las que se renunció, como las mide la tasa mínima atractiva de rendimiento (Minimum Attractive Rate of Return, MARR) de la compañía. Es decir, se justifica el incremento de la inversión si, para esta propuesta, la IRR > MARR:

Tasa externa de retorno o tasa esperada de rendimiento (TER): tasa de rendimiento que espera tener una empresa o persona física como consecuencia de una inversión; el promedio de la distribución de probabilidades de rendimientos posibles,

Tasa externa de rendimiento. Cuando se aplica apropiadamente, el método de tasa interna de rendimiento da las mismas soluciones que se obtienen con los métodos del valor anual y del valor presente, si bien la estructura algebraica es tal que, con facilidad, puede llevar a los analistas a soluciones incorrectas.

Consideremos el modelo de final de periodo descrito en la ecuación (1):

Esta expresión también se puede escribir como:

A0 + A1x + A2x2 +…+ ANxN = 0

donde x = (1 + i*)-1. Si se despejan se obtiene i*, así que queremos encontrar las raíces x de esta expresión polinominal de orden N. Sólo nos interesan las raíces reales y positivas, por supuesto, ya que todo valor significativo de i* debe ser real y positivo. Existen muchas soluciones posibles para x y, por extensión, para la tasa de rendimiento i*.

El procedimiento de solución requiere del uso de una tasa de interés auxiliar, la tasa de rendimiento disponible del capital reinvertido, para garantizar que se den todos los flujos de efectivo positivos al final del último periodo N. El problema revisado tiene sólo una variación en signo y así, hay una sola tasa externa de rendimiento, TER (External Rate of Return, ERR). Es "externa" en el sentido de que es el resultado de las cantidades y los periodos de los flujos de efectivo de la inversión original, así como de la influencia de la tasa de interés auxiliar.

Como anteriormente lo hicimos, supóngase que Aj representa el flujo de efectivo al final del periodo j, para j = 0,1,2,…,N. Además supóngase que:

Los Rj son flujos de efectivo positivos y los Cj son los flujos
de efectivo negativos. Supóngase que k representa el interés
auxiliar, suponiendo que k es también la MARR. El valor equivalente
de todos los flujos positivos al final del periodo está dado por: