Temario
Métodos cerrados:
Métodos gráficos
Método de bisección
Método de la posición falsa
Métodos abiertos
Iteración simple de punto fijo
Método de Newton-Raphson
Método de la secante
Raíces de polinomios
Método de Müller
Método de Bairstow
Métodos gráficos
Los métodos gráficos consisten en graficar la función f(x) y observar donde la función cruza el eje x.
Ejemplo 1
Encontrar la raíz de:
Ejemplo 2
Grafica de: f(x) = sen 10x + cos 3x
Ejemplo 2 (cont.)
Grafica de: f(x) = sen 10x + cos 3x
Tarea
Utilice Excel para los siguientes problemas.
Determine las raíces reales de: f(x) = -0.5×2 + 2.5x + 4.5
Gráficamente. Confirme utilizando la fórmula cuadrática.
Determine las raíces reales de: f(x) = 5×3 – 5×2 + 6x – 2
Gráficamente.
Método de la bisección
Se trata de encontrar los ceros de
f(x) = 0
Donde f es una función continua en [a,b] con f(a) y f(b) con signos diferentes.
y = f(x)
x
y
a
b
f(b)
f(a)
Método de la bisección
De acuerdo con el teorema del valor medio, existe p ? [a,b] tal que f(p) = 0.
El método consiste en dividir a la mitad el intervalo y localizar la mitad que contiene a p.
El procesos se repite hasta la lograr la precisión deseada.
Método de la bisección
y = f(x)
x
y
a
b
f(b)
f(a)
p1=(a+b)/2
f(p1)
p
Mitad del intervalo que contiene a p
Primera iteración del algoritmo
Método de la bisección
y = f(x)
x
y
a =p1
b
f(b)
f(a)
p2=(a+b)/2
f(p2)
p
Mitad del intervalo que contiene a p
Segunda iteración del algoritmo
Método de la bisección
Algoritmo bisección
Entradas: extremos a,b; número de iteraciones ni; tolerancia tol
1. p=a; i=1; eps=1;2. mientras f(p)?0 y i? ni eps>tol 2.1. pa = p; 2.2. p = (a+b)/2 2.3. si f(p)*f(a)>0 entonces a=p; 2.4. sino 2.5. si f(p)*f(b)>0 entonces b=p; 2.6. i = i + 1; eps = |p-pa|/p;
Bisección en C
double biseccion(double a, double b, double error, int ni){
double p,pa,eps;
int i;
p = a;
i = 1;
eps = 1;
while(f(p) != 0 && i< ni && eps > error){
pa = p;
p = (a+b)/2;
if(f(p)*f(a)>0)
a = p;
else
if(f(p)*f(b)>0)
b = p;
i++;
eps = fabs(p-pa)/p;
}
return p;
}
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